2007-2013年新课标全国卷、宁夏卷高考数学真题详解详细

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（新课标全国卷）

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥

Ｃ．:p x ??∈R ，sin 1x >

Ｄ．:p x ??∈R ，sin 1x >

2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量13

22

-=a b （ ）

Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，

Ｃ．(10)-，

Ｄ．(12)-，

3．函数πsin 23y x ??=- ??

?在区间ππ2??

-????

，的简图是（ ）

4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ）

Ａ．23-

Ｂ．13-

Ｃ．

13

Ｄ．

2

3

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）

6．Ａ．2450

Ｂ．2500

Ｃ．2550 Ｄ．2652

6.已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点11

1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且y x

1

1-

2

π- 3

π

- O 6π

π

y

x

1

1- 2

π

- 3π- O 6

π π y

x

1

1- 2

π

- 3

π

O

6π- π

y

x

π 2

π-

6

π- 1

O

1-

3

π Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

开始

1k =

0S =

50?

k ≤是

2S S k =+

1k k =+

否

输出S 结束

2132x x x =+， 则有（ ）

Ａ．123FP FP FP += Ｂ．2

2

2

123FP FP FP +=

Ｃ．2132FP FP FP =+

Ｄ．22

1

3FP FP FP =· 7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，

x c d y ，，，成等比数列，则

2

()a b cd

+的最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中

标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几 何体的体积是（ ）

Ａ．

3

4000cm 3

Ｂ．3

8000cm 3

Ｃ．3

2000cm

Ｄ．34000cm 9．若

cos 22

π2sin 4αα=-?

?- ?

??，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72

-

Ｂ．12

-

Ｃ．

12

Ｄ．

72

10．曲线12

e x y =在点2

(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．

2

9e 2

Ｂ．2

4e

Ｃ．2

2e

Ｄ．2

e

11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

123s s s ，，分别

表示甲、乙、丙三名运动员这

次测试成绩的标准差，则有

（ ）

Ａ．312s s s >>

Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>

Ｄ．231s s s >>

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，

2h ，h ，则12::h h h =（ ）

甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6

丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4

20

20正视图

20侧视图

10 10

20俯视图

Ａ．3:1:1 Ｂ．3:2:2

Ｃ．3:2:2 Ｄ．3:2:3

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．

14．设函数(1)()

()x x a f x x ++=

为奇函数，则a = ．

15．i 是虚数单位，51034i

i

-+=+ ．

（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，） 16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排

一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面 内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，， 并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与

椭圆2

212

x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；

（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +

与

AB

共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面

方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中

有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为

m

S n

. 假设正方形D

C M

O

S

B

A

C

ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中

的点的数目．

（I ）求X 的均值EX ；

（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．

附表：1000010000

()0.250.75k

t

t t t P k C

-==

??∑

k 2424 2425 2574 2575 ()P k

0.0403

0.0423

0.9570

0.9590

21．（本小题满分12分） 设函数2

()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e

ln

2

．

请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．

（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．

23.（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲

设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．

2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（新课标全国卷）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的．

1．已知函数2sin()(0)y x ω?ω=+>)在区间[]02π，

的图像如下：那么ω＝（ ） A ．1

B ．2

C ．

2

1

D ．

3

1

2．已知复数1z i =-，则1

22--z z

z =（ ）

A ．2i

B ．2i -

C ．2

D ．2-

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A ．

18

5 B ．

4

3 C ．

2

3 D ．

8

7 4．设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为S n ，则2

4

a S =（ ） A ．2

B ．4

C ．

2

15 D ．

2

17 5．右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三 个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选 项中的（ ）

A ．c x >

B ．x c >

C ．c b >

D ．b c >

6．已知1230a a a >>>，则使得2

(1)1(123)i a x i -<=，

，都成立的x 取值范围是（ ） A ．110a ??

???

，

B ．120a ?? ???

，

C ．310a ?? ???

，

D ．320a ?? ???

，

7．23sin 702cos 10

-=-

（ ） A ．1

2 B ．

2

2

C ．2

D ．

32

8．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A ．a ，b 方向相同

B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C ．λ∈R ?，λ=b a

D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=0a b

9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 10．由直线12x =

，x =2，曲线1

y x

=及x 轴所围图形的面积为（ ） 开始 输入a b c ，，

x a =

b x >

x b =

x c =

输出x 结束

是

是 否

否 y x

2π

1

1 O

A ．

154

B ．

174

C ．

1

ln 22

D ．2ln 2

11．已知点P 在抛物线2

4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）

A ．114??- ???

，

B ．114?? ???

，

C ．(12)，

D ．(12)-，

12．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A ．22

B ．23

C ．4

D ．25

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答．

13．已知向量(011)=-，，a ，(410)=，，b ，29λ+=

a b 且0λ>，则λ= ．

14．设双曲线

22

1916

x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．

15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9

8

，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下： 甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352

乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ；② ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

3 1 27 7 5 5 0 28

4

5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4

6 7

9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7

34 3 2 35 6

甲

乙

已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和S n 的最大值．

18．（本小题满分12分）

如图，已知点P 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线BD '上，60PDA ∠=?．

（Ⅰ）求DP 与CC '所成角的大小； （Ⅱ）求DP 与平面AA D D ''所成角的大小．

19．（本小题满分12分） A B ，两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为 X 1 5％ 10％

P

0.8

0.2

（Ⅰ）在A B ，两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；

（Ⅱ）将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值．（注：

2()D aX b a DX +=）

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22

22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．F 2也是抛物线C 2：

24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且｜MF 2｜=3

5

．

（Ⅰ）求C 1的方程；

（Ⅱ）平面上的点N 满足21MF MF MN +=，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若0OA OB =

，求直线l 的方程．

21．（本小题满分12分） 设函数1

()()f x ax a b x b

=+

∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式：

X 2 2％ 8％ 12％

P

0.2

0.5

0.3

A B

C D P A '

B '

C '

D '

（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。 22．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

已知曲线C 1：cos sin x y θθ=??=?，

（θ为参数），曲线C 2：22

2

2

2{

-=

=t x t y （t 为参数）．

（Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12C C ''，．写出12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你的理由． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()84f x x x =---．

（Ⅰ）作出函数()y f x =的图像；（Ⅱ）解不等式842x x --->．

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（新课标全国卷）

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1)已知集合}{

{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I （ ) (A) }{

1,5,7 (B) }{

3,5,7 (C) }{

1,3,9 (D) }{

1,2,3 (2)复数

32322323i i

i i

+--=-+( ) 1

1

O x

y

（A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2

（3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ,v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断( )

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

（4）双曲线24x -2

12

y =1的焦点到渐近线的距离为( )

（A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）1 （5）有四个关于三角函数的命题：

1p ：?x ∈R, 2

sin 2x +2cos 2x =12

2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny

3p : ?x ∈[]0,π,

1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ?x+y=2

π

其中假命题的是( )

（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p

（6）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥??

-≥-=+??-≤?

则( )

（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 （7）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列,若1a =1，则4s =( )

（A ）7 （B ）8 （C ）15 （D ）16

（8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个

动点E ，F ，且2

2

EF =，则下列结论中错误的是 ( ) （A ）AC BE ⊥

（B ）//EF ABCD 平面

（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值

(9)已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且

P A P B P B P C P C P A ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的( )

（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心

（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）

（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的合等于( )

（A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5

（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2

m ）为( ) （A ）48+122 （B ）48+242 （C ）36+122 （D ）36+242

（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值,设f （x ）=min{, x+2,10-x} (x ≥ 0),则f （x ）的最大值为( )

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答．

（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________. （14）已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________

（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。 （16）等差数列{n a }前n 项和为n S 。已知1m a -+1m a +-2m

a

=0，21m S -=38,则m=_______

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

（18）（本小题满分12分）

某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。

（I ）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； （II ）从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽插结果分别如下表1和表2. 表1： 生产能力分组 [)100,110 [)110,120 [)120,130 [)130,140 [)140,150

人数 4

8

x

5

3

表2：

生产能力分组 [)110,120

[)120,130

[)130,140

[)140,150

人数

6

y

36

18

（i ）先确定x ，y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii ）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点。

（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；

（Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：EC 的值；若不存在，试说明理由。

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP OM

=λ，求点M 的轨迹方程，

并说明轨迹是什么曲线。

（21）（本小题满分12分） 已知函数3

2

()(3)x

f x x x ax b e

-=+++

（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；

（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明

βα-＜6.

请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。 （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线C 1：4cos ,

3sin ,

x t y t =-+??

=+? （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=??=?（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2

t π

=

，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线

332,

:2x t C y t

=+??=-+? （t 为参数）距离的最小值。

（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 道B 距离的6倍的和. （1）将y 表示成x 的函数；

（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（新课标全国卷）

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1)已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{|

4,}B x x x Z =≤∈,则A B ?=( )

(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}

(2)已知复数2

3(13)

i z i +=

-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=( )

A.

14 B.1

2

C.1

D.2 (3)曲线2

x

y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为( )

（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 ( C )y=-2x-3 ( D)y=-2x-2

(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )

（5）已知命题

1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，

则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是( )

（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q

（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )

（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于

( )

（A ）

54 （B ）45

（C ）65

（D ）56

（8）设偶函数()f x 满足3

()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=( ) (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或

(D) {|22}x x x <->或

（9）若4cos 5α=-

，α是第三象限的角，则

1tan

21tan 2

α

α+=-( ) (A) 12- (B) 12

(C) 2 (D) -2

（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113

a π (D) 2

5a π

（11）已知函数|lg |,010,()16,10.2

x x f x x x <≤??

=?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范

围是( ) (A) (1,10)

(B) (5,6)

(C) (10,12)

(D) (20,24)

（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为( )

(A) 22136x y -= (B) 22

145x y -= (C) 22

163x y -= (D) 22

154

x y -= 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答．

（13）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分

1

()f x dx ?

，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得

到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分

1

()f x dx ?

的近似值为 。

（14）正视图为一个三角形的几何体可以是_____________________ （写出三种） （15）过点A(4,1)的圆C 与直线x-y=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为___ _ . (16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=

1

2

DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为33-，则∠BAC=_______.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足21

112,32n n n a a a -+=-=

（1） 求数列{}n a 的通项公式；

（2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

(18)（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点 （1） 证明：PE ⊥BC

（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角

的正弦值

(19)(本小题12分)

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

是否需要志愿 性别 男 女 需要 40 30 不需要

160

270

（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比

例？说明理由

附：

（20）（本小题满分12分）

设12,F F 分

别

是

椭

圆

22

22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与E 相交于,A B 两点，且

22,,AF AB BF 成等差数列。

（1）求E 的离心率；

（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程

（21）（本小题满分12分）

设函数2

()1x

f x e x ax =---。 （1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+??=?（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=??=?

（θ为参数），

（Ⅰ）当α=

3

π

时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

（23）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项 设函数()241f x x l =-+ （Ⅰ）画出函数()y f x =的图像

（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围。

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（新课标全国卷）

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)复数

212i

i

+-的共轭复数是( ) （A ）35i -

（B ）3

5

i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）

单调递增的函数是( ) （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）2

1y x =-+ (D) 2

x

y -=

（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( ) （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040

（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

1

1 O x

y

（A ）

13 （B ）12 （C ）23 （D ）34

（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=( )

（A ）45-

（B ）3

5

- （C ）35 （D ）45

（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为

( )

（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )

（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3

（8）5

12a x x x x ?

???+- ????

???的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )

（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =

，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )

（A ）

103 （B ）4 （C ）163

（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??

+>?∈

???

3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??

->?∈ ???

其中的真命题是( ) （A ）

14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24

,P P

（B ）（11）设函数()sin(

)cos()(0,)2

f x x x π

ω?ω?ω?=+++>

<的最小正周期为π，且

()()f x f x -=，则( )

（A ）()f x 在0,

2π?? ???单调递减 （B ）()f x 在3,

44ππ

??

???

单调递减 （C ）()f x 在0,2π?? ??

?单调递增 （D ）()f x 在3,

44

ππ

??

???

单调递增 (12)函数1

1y x

=

-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答． （13）若变量,x y 满足约束条件329,

69,x y x y ≤+≤??

≤-≤?

则2z x y =+的最小值为 。

（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为

2

2

。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 。 （15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

（16）在ABC V 中，60,3B AC ==

，则2AB BC +的最大值为 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9.a a a a a +==

（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??

????

的前n 项和.

(18)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；

(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

（19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为

从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ?=?uuu r uu u r uuu r uu r

，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。