平面向量的作业
作业1 向量的背景、概念几何的表示
一、选择题
1、下列说法正确的是（）
A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.
B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C、向量的大小与方向有关.
D、向量的模可以比较大小.
2、判断：
（1）向量AB的长度与向量BA的长度相等；（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同；
（3）两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；
（4）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中判断错误的命题个数有（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、1个
3、若a为任意非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|②a∥b
③|a|＞0④| b |＝±1，
其中正确的是（）
A、①④
B、③
C、①②③
D、②③
4、下列命中，正确的是（）
A、|a|＝| b |?a＝b
B、|a|＞| b |?a＞b
C、a∥b ?a＝b；
D、|a|＝0?a＝0
5、下列物理量：
①质量②速度③位移④力⑤加速度
⑥路程，其中是向量的有（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
6、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A、一条线段 B、一段圆弧
C、圆上一群孤立点
D、一个单位圆
二、填空题
7、已知AB =1,AC=2,若∠BAC=60°,则BC=8、已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必
定
9、在四边形ABCD中, AB=DC, 则四边形ABCD
是
三、解答题
10．如图,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、
D},求集合T={PQ|P∈M，Q∈M,且P、Q不重合}
11.某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改
变方向向西偏北60°走了400m到达C点,最后又改变
方向,向东走了200m到达D点(1)作出向量AB、
BC、DC(1 cm表示200 m) (2)求DA的模
12、在矩形ABCD中，AB=2BC,M、N分别为AB和
CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和中
点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？请分
别写出来。
数学作业答题纸
班级姓名
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案
二、填空题
7. 8. 9.
三、解答题
10.
11、
12
A B
C
D
M
N
作业2 相等向量和共线向量 一．选择题
1.在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）
A. AB 与AC 共线 B . DE 与CB 共线 C. AD 与AE 相等 D. AD 与BD 相等 2.下列命题正确的是（ ） A. AB 与BA 是平行向向量；
B .若a 、b 都是单位向量,则a = b
C.若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形
D.两向量相等，则它们的始点、终点一定相同 3.在下列结论中,正确的结论为（ ） (1)若a ∥b 且| a |=| b |，则a = b (2)若a = b ，则a ∥b 且| a |=| b |
(3)若a 与b 方向相同且| a |=| b |，则a = b (4)若a 与b 方向相反或| a |=| b |，则a ≠b A.(1)(3) B .(2)(4) C.(3)(4) D.(2)(3)(4) 4.下列说法正确的是（ ）
A ．方向相同或相反的向量是平行向量
B ．零向量是０.
C ．长度相等的向量是相等的向量
D ．共线向量是在一条直线上的向量 ５.在菱形ABCD 中，DAB ∠＝?
120，则以下说法错误的是（ ）
A ．与A
B 相等的向量只有一个（不含A B ）
B ．与A B 模相等的向量有9个（不含A B ）
C ．B D
的模恰为DA 的模的3倍
D ．DA 和CB 不共线
6.下列语句正确的是（ ）
A. a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c
也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.若量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
二、填空题
7.在梯形ABCD 中，若E,F 分别为腰AB 、DC 的三等分点，
且|A D
|=2,|B C |=5,则|E F
|=
8.已知ABCD 是菱形，
|AB |=1，∠DAB=3
π,
则|BD
|= |AC
|= . 三、解答题
9、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰
直角三角形，（1）找出图中与A B
共线的向量；（2）
找出图中与A B 相等的向量（3）找出图中与｜A B
｜
相等的向量；
10、设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,
求证：K L
=N M .
数学作业答题纸
班级 姓名 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 答案
二、填空题
7. 8. ， 三、解答题
C F
D B E
A A B
C
D
O
A B
E C D K
A B C
D N
L M
K
9、 10、
A B C
D
N L M
K
张家口市第一中学高一数学学科作业
班级 姓名
a
b
c
d
e
f
A B
C
D
作业3 向量的加法运算及其几何意义 一．选择题
1. 若AB =DC
，则四边形ABCD 是（ ）
A.梯形
B.等腰梯形
C.平行四边形
D.菱形 2. 下列命题正确的是（ ） A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a ，b 满足| a |>| b |且a 与b 同向，则a > b
D.对于任意向量a 、b ,必有| a + b |≤| a |+| b | 3. 以下四个命题中不正确的是（ ） A . 若a 为任意非零向量，则a ∥0 B . | a+b |=|a |+|b |
C . a =b ，则|a |=|b |，反之不成立
D . 任一非零向量的方向都是惟一的
4．已知4||,6||==AC AB ，则||BC 的取值范围为（ ）
A. )8,2(
B.]8,2[
C.)10,2(
D. ]10,2[ 5. 设（AB +CD ）+（BC +DA ）= a , b ≠0,则在下列结论中，正确的有（ ）
①a ∥b ; ②a + b = a ; ③a + b = b ; ④｜a + b ｜＜｜a ｜+｜b ｜
A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
6. 已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，
BC =b ，AC =c ,则|a +b +c |等于（ ）
A. 0
B. 3
C.
2 D. 22
二、填空题 7.设a 表示“向东走3 km ”,b 表示“向北走4 km ”,则|a+b|=_____________.
8.化简AB BC CD DA +++=
。
9 一架飞机向北飞行200 km 后，改变航向向东飞行200 km ，则飞行的路程为 ,两次位移的和的方向为 ,大小为 .
10.在四边形ABCD 中，根据图示用一个向量填空： a +b = ， b +c = ， c +d = ， a +b +c +d = .
三、解答题
11．如图，一物体受到水平方向和与水平方向成60?角
的两个力的作用，已知两个力的大小均为2 N ，求它的合力的大小及方向。
12.已知在矩形ABCD 中，宽为2，长为23,AB =
a , BC =
b ,AC =
c ,试作出向量a+b+c ，并求出其模的大
小。
数学作业答题纸
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 答案
二、填空题
7.
8. 9. ， ，
10. ， ， ，
三、解答题
O B
A
作业4 向量的减法运算及其几何意义 一．选择题
1. 当|a |=|b |≠0且a 、b 不共线时，a +b 与a －b 的关系是（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 相等
2. 在下列各题中,正确的命题个数为( ) (1)若向量a 与b 方向相反,且|a |>|b |,则a + b 与a 方向相同
(2)若向量a 与b 方向相反,且|a |>|b |,则方向a - b 与a + b 相同
(3)若向量a 与b 方向相同,且|a |>|b |,则a - b 与a 方向相反
(4)若向量a 与b 方向相同,且|a |>|b |,则a - b 与a + b 方向相反
A. 1个
B. 2 个
C. 3个
D. 4个
3. 在四边形ABCD 中，AC AB AD =+
，则
ABCD 是 ( )
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 平行四边形 4. 任给向量a ,b ,则恒有（ ）
A. |a +b |=|a |+|b |
B. |a －b |=|a |－|b | C .|a －b |≤|a |+|b |
D. |a －b |≤|a |－|b |
5. 已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，
BC =b ，AC =c ,则|a +b +c |等于（ ）
A. 0
B. 3
C.
2 D. 22
6. 已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的（ ） A. 重心 B. 垂心
C. 内心
D. 外心
二、填空题
7. 化简：
（1）（CD AB -）－(BD AC -)=
（2）()()PQ MO QO QM -+-=
.
8. 当非零不共线向量OA 、OB 满足 ，
OA +OB 平分向量OA 、OB 的夹角为 . 三、解答题
9.设M 是线段AB 的中点，O 是平面上任意一点，求
证：OA OB OM OM +=+
10. 已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：
2AB DC EF +=
11. 已知任意四边形
ABCD ，求证：
AB CD AD CB +=+
数学作业答题纸
一、选择题
题号
1 2 3 4 5 6 答案
二、填空题
7. ， 8.
三、解答题
9、 10、
11、
A B C
D
E F
A
B C
E F D
M 作业5 向量数乘运算及其几何意义 一．选择题
1. R m ∈下列说法正确的是（ ）
A.若m a =0，则有m=0
B.若m ≠0, a ≠0，则m a 的方向与a 同向
C.若m ≠0,则|m a |=m| a |
D.若m ≠0, a≠0，则m a 与a 共线
2、如图.点M 是ABC ?的重心,则MC MB MA -+
为（ ）
A ．0
B ． 4ME C. 4MD D ．4MF
3. 若|AB |=8，|AC |=5，则|BC |的取值范围是（ ）
A.［3，8］
B.（3，8）
C.［3，13］
D.（3，13）
4. 已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若
AB =a ,AC = b ，则AM 等于（ ）
A ．)a 21b -（
B )b 21
a -（
C )a 21b +（
D )b 2
1
-a -（ 5.在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 边上的中线，G 是它的交点，则下列等式中不正确的是（ ）
A. 32=
BG BE
B. DG =2
1
AG
C. CG =－2FG D
31
DA +2
132=FC BC 6. 已知λ，μ∈R ，下列结论中，错误的是（ ）
A ．λ（a + b ）=λa +λb
B ．（λ+μ）a =λa +μa
C ．λ（μa ）=（λμ）a
D ．λa +μb =（λ+μ）（a + b ）
二、填空题
7. 已知M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点， 若AB =a,AC =b ,则MN =_______.
8. 梯形ABCD ，AB ∥CD ，AB=2CD ，M 、N 分别是CD 和AB 的中点，若AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示
BC 和MN ，则BC =________，MN =____.
9.若|a+b |=|a |+|b |，则a 与b 必须满足的条件是 ; 若|a+b |<|a |+|b |，则a 与b 必须满足的条件是 ; 若|a-b |<|a |+|b |，则a 与b 必须满足的条件是 ; 若|a-b |=||a |-|b ||，则a 与b 必须满足的条件是 ;
三、解答题 10.设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果
AB =2 e 1+3 e 2，BC =6 e 1+23 e 2, CD =4 e 1-8 e 2，
求证：A 、B 、D 三点共线．
11. 已知P 、Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点，BC =a, =DA b 试用a 、b 表示QP .
四、附加题
12. 试用向量法证明三角形中位线定理. 13. 已知a 、b 满足
111
()3525-=（+3）-（+2）a b a b a b
.求证：a 、b 共线.
数学作业答题纸
班级 姓名
一、选择题
题号
1 2 3 4 5 6 答案
二、填空题
7. 8. ， 9. ， ， ，
三、解答题
10、 11、
12、 13、
A
B
C
D P
Q
作业6 正交分解和平面向量的坐标表示
一．选择题
1．已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →
的坐标是( C )．
A(－2，－1) B(2,1) C(1,2) D(－1，－2) 2．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( C )． A ．向量a 的终点坐标为(－2,3) B ．向量a 的起点坐标为(－2,3) C ．向量a 与b 互为相反向量 D ．向量a 与b 关于原点对称 3．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量； ④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( C )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是( A )． A ．若实数λ1、λ2
使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ
1
＝λ2＝0
B ．对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈R
C ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1、 λ2∈R
D ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋ λ2e 2的实数λ1、λ
2有无数对 5．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四
组向量能作为平面向量的基底的是( )． A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－1
2e 2
C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2
D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 二、填空题
6．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，O 为原点且a ＝OA →
，则x ＝－1，y ＝－2.
7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →
，则P
点的坐标为___?
???－1，－3
2_____． 8．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ?n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ?q ＝(－4，－3)，则q ＝_(－2,1)_
9．已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →
＝b ，用a ，b 表示AG →＝_____34a ＋3
4
b ___.
10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝__4
3______.
三、解答题
11．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →
的坐标．???
?－5
2，－3 12．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋t ·AB →
，求：
(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？（－23，－13，－23 3） (2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值？若不能，请说明理由． 数学作业答题纸 班级 姓名 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 三、填空题 6. 7 8. 9 10. 三、解答题 11、 12、 作业7平面向量的坐标运算及 共线向量的坐标表示 一、选择题 1．下列各组的两个向量共线的是( D )． A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14) C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2) D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4) 2．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB → 和CD → 是相反向量，则D 点坐标是( C )． A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(1，－1) D ．(－1,1) 3．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( D )． A ．(4,8) B ．(8,4) C ．(－4，－8) D ．(－4,8) 4．已知AD 为△ABC 的中线，则AD → 等于(D )． A .AB →＋AC → B. AB →－AC → C. 12AB →－12AC → D .12AB →＋12 AC → 5．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB → 平行且方向相反的向量a 可能是( D )． A ．a ＝(1，－2) B ．a ＝(9,3) C ．a ＝(－1,2) D ．a ＝(－4，－8) 6．已知a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，a ∥b ，则tan α＝( A )． A .34 B ．－34 C .43 D ．－43 7．已知向量OA →＝(3，－2)，OB → ＝(－5，－1)，则向量12 AB → 的坐标是( A )． A.????－4，12 B.????4，－1 2 C ．(－8,1) D ．(8,1) 二、填空题 8．已知a ＝(x,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则b －c 与a 共线,则x= 6 9．已知a ＝(1,1)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则x ＝__1______. 10．设a ＝(32，22)，b ＝(sin α，1 3)，且a ∥b ，则锐 角α＝___45°_____. 11．如图，平面内有三个 向量OA →、OB →、OC →.其中OA → 与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为_____6___． 三、解答题 12．设a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )，且满足a ∥b 的实数x 存在， 求实数a 的取值范围．（a ≥－1.） 13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、 (3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →， 求证：EF →∥AB → . 数学作业答题纸 班级 姓名 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 四、填空题 8. 9. 10 11 三、解答题 12、13、 数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用 b a B A O a -b 平面向量基础知识 1．向量的概念 (1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可用字母a ，b ，c ，…等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示(起点写在前面，终点写在后面，上面划箭头)如AB 表示由起点A 到终点B 方向的向量． (2)向量的模：向量AB 的大小(即向量AB 的长度)叫做向量AB 的模，记作|AB |．又如向量a 的模记作|a |． 注意：向量的模是一个非负实数，是只有大小而没有方向的标量． (3)零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念． ①零向量：长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的方向可看作任意方向． ②单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行可记作：a //b ．因为平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量又叫做共线向量．我们规定0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a =b ．相等向量一定共线，反之则不一定成立． 2．向量运算 (1)加法运算 ①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法，如已知向量a ，b ， 作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC ． 这种根据向量加法的定义求向量和的方法，叫做向量加法的 三角形法则． 由图可知，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则以A 为起点C 为终点的对角线AC 就是a 与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行 四边形法则． ②运算性质： a + b =b +a (交换律)； (a +b )+ c =a +(b +c )(结合律)； a +0=0+a =a ． (2)减法运算 ①相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量． 记作a ．零向量的相反向量仍是零向量；-(-a )=a ；a +(-a )=0 (即互为相反的两个向量的和是零向量．) ②减法定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a b =a +(-b )． 求两个向量的减法可转化为加法进行．若向量是用两个大写字母，则只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可将减法变为加法，如AB -BC =AB +CB 如图，已知，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ．即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向a 的终点的向量．此法则叫做两向量减 法的三角形法则． (3)实数与向量的积： ①定义：λa ，其中λ>0，λa 与a 同向，|λa |=|λ|?|a |； λ<0时，λa 与a 反方向，|λa |=|λ|?|a |；λ=0时，λa =0，当a =0，λa =0． ②运算律： B A C a +b a b B A C a +b a b D a b 平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时， 第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线 段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值． 05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3. 平面向量专题 向量专题 ☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 与任意向量平行 ☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0 a 为单位 向量?｜0 a ｜＝1 ☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平 行向量也称为共线向量 ☆向量加法AB BC +=AC 向量加法有“三角形法则”与“平 行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首 尾相连”． ☆实数与向量的积： ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长 度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时， λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意 的 ☆两个向量共线定理： 向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ ☆平面向量的基本定理： 如果2 1 ,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这 一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数2 1 ,λλ使： 2211e e a λλ+=，其中不共线的向量2 1 ,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ☆平面向量的坐标运算： (1) 若()()1 1 2 2 ,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，12 12 a b x x y y ?=?+? (2) 若()()2 2 1 1 ,,,y x B y x A ，则() 2 121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1 1 2 2 ,,,a x y b x y ==，则12 21//0 a b x y x y ?-= (5) 若()()1 1 2 2 ,,,a x y b x y ==，则a b ⊥，0 212 1 =?+?y y x x ☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 ☆两个向量的数量积： 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a · b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ?= ☆向量的投影：︱b ︱cos θ=|| a b a ?∈R ，称为向量 b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： a · b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 ☆向量的模与平方的关系：2 2 ||a a a a ?== ☆乘法公式成立： ()()2 2 22 a b a b a b a b +?-=-=-； 平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为 平面向量得实际背景及基本概念 1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。 ２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。 数量与向量得区别： 数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向 ５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向 (2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段 比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。 ②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。 ③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示； ②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:; ７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念： 长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。 ９、平行向量定义: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。 说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量 长度相等且方向相同得向量叫相等向量、 说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等; (３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．． A(起点) B (终点) a 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为 平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相 平面向量的基本定理及其坐标表示 第一部分 知识梳理 一、平面向量的基本定理：如果21,e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使得2211e e λλ+=。我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 对于两个非零向量a 与b ，通过平移使他们的起点重合，比如a oA =，b oB =，则 () 1800≤≤=∠θθAOB 叫做向量与的夹角。 二、 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）向量的分解：一个平面向量用一组基底21,e 表示成2211e e λλ+=,(R ∈21,λλ）的形式，我们称之为向量的分解 （2）向量的正交分解：把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，这两个互相垂直的向量称为正交基底。 （3） 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别去与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量,作为基底，对于平面捏的任一向量a ，由平面向量基本定理可以知，有且只有一对实数y x ,，使得j y i x a +=，这样，平面内的任一向量都可以由y x ,唯一确定，我们把有序的实数对()y x ,叫做向量的坐标，记作),(y x a =，其中x 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标，),(y x =叫做向量的坐标表示。 三、平面向量的坐标运算： （1） 两个向量和、差的坐标运算。已知),(),,(2211y x y x ==则 ),(2121y y x x ++=+，),(2121y y x x --=- （2） 平面向量数乘的坐标运算。已知()R y x a ∈=λ,,，则()y x a λλλ,= （3） 已知A 、B 的坐标，求的坐标。设),(),,(2211y x B y x A ，则()1212,y y x x --= 四、平面向量共线的坐标表示： 已知()11,y x =，() 0),(22≠=y x ，与共线?01221=-y x y x 五、线段定比分点坐标： 若点()111,y x P ，P2（ x2),(222y x P ，()y x P ,，λ为实数，且P 21PP P P λ=,则点P 的坐标y x ,满足：()y x P , 2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一 组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角. 平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b . 思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号) 篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计 1、【2014宁波二模理17】已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO xAB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC=． 解答：取AC 中点D ，则有2AO xAB y AC xAB y AD =+=+，而21x y +=，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，故有BC=AB=3， AC=4，求得2 cos 3 BAC ∠=. 2、【2014杭州二模文8理6】设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若 3 1 31+= ，则BAC ∠的度数为（） A.30°B.45°C.60°D.90° 解答：取AC 中点D ，则有12 33 AO AB AD = +，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，即有AO=BO=2DO ，故可求得60BAC ∠=?. 3、【2009浙江理样卷6】已知AOB ?，点P 在直线AB 上，且满足 ()2OP tPA tOB t R =+∈，则 PA PB =（）A.13B.1 2C.2D.3 解答：由已知212t OP OA tOB t = ++，点P 在直线AB 上，得2112t t t +=+，解得1t =-或12t =.当1t =-时，可得11 22OA OP OB =+，此时A 为PB 中点，PA PB =12；当12t =时， 可得11 22OP OA OB =+，此时P 为AB 中点， PA PB =1. 4、【2014浙江省六校联考理17】已知O 为ABC ?的外心，2AB a =，2 (0)AC a a = >，120BAC ∠=，若AO xAB yAC =+(x ,y 为实数)，则x y +的最小值为_____． 解答：如图，设AO BC E =，EO m =，AO R =，则易知 () 11R R AO AE x AB y AC R m R m = =+--，其中111x y +=，,2R m R ?? ∈???? ，故由已知可得R x y R m += -，所求取值范围是[)2,+∞. 5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知O 为ABC ?的外心， 120,2,4=∠==BAC AC AB 。若21λλ+=，则=+21λλ__________. 解法1：如图，设AO BC E =，EO m =，AO R =，AF BC ⊥于F 点，OG BC ⊥于 平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F高三第二轮复习平面向量复习专题
平面向量基础知识
平面向量的基本概念及线性运算知识点
2021年高中数学-平面向量专题
平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
平面向量专题
(完整版)平面向量基本定理练习题
平面向量的基本概念
(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc
平面向量基本定理及经典例题
[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结
平面向量的基本性质
平面向量基本定理03913
必修四平面向量基本定理
平面向量概念教学设计
等和线解决的平面向量专题
平面向量的基本概念练习题