高三三角函数试卷及详细答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π

4)等于( ) A.17 B ．7 C ．－17

D ．－7

2．函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是( ) A ．2π B ．4π C.π4

D.π2

3．“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．函数y ＝2sin(π3－x )＋cos(π

6＋x )(x ∈R )的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1

D ．－ 5

5．已知△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则角A 的对边a 的值为( )

A ．2

B ．4 C. 2

D ．2 2

6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )

A ．－12 B.12 C ．－1

D ．1

7．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π

4]上的最小值是－2，则ω的最

小值等于( )

A.23

B.32 C ．2

D ．3

8．(2011·浙江)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝3

3，则cos(α＋β

2)＝( )

A.33 B ．－3

3 C.539

D ．－6

9

9．已知θ为第二象限角，且cos θ2＝－1

2，那么

1－sin θcos θ2－sin θ2

的值是( ) A ．－1 B.12 C ．1

D ．2

10．(2013·大纲全国)已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π

2对称 C ．f (x )的最大值为3

2

D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数

11.把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π

3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为( )

A ．

1，π

3

B ．1，－π

3

C．2，π

3D．2，－

π

3

12．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小

正周期为6π，且当x＝π

2时，f(x)取得最大值，则（)

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数

B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数

C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数

D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，则cos2θ＋sin2φ的值为________．

14．在△ABC中，若b＝5，∠B＝π

4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.

15．(2013·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________.

16．下面有五个命题：

①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.

②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ

2，k∈Z}．

③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．

④把函数y＝3sin(2x＋π

3)的图像向右平移

π

6得到y＝3sin2x的图像．

⑤函数y＝sin(x－π

2)在[0，π]上是减函数．

其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)

．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

已知函数f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4

cos2x，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求

其值域．

18．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝

(sin x －cos x )sin2x

sin x

.

(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间． 19．(本小题满分12分)

(2013·大纲全国)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .

(1)求B ； (2)若sin A sin C ＝

3－1

4，求C .

20．(本小题满分12分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2. (1)求角B 的大小；

(2)若|BA

→－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值． 21．(本小题满分12分)

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC

＝θ，a ＝4.

(1)求bc 的最大值及θ的取值范围．

(2)求函数f (θ)＝23sin 2

(π

4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．

22．(本小题满分12分)

已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π

4)． (1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π

4]上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f (α)＝3

5，求m 的值．

答案

一、选择题1． 答案，A

解析，∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝

tan α＋1

1－tan α＝17.

2． 答案，D

解析，y ＝sin2x cos2x ＝12sin4x ，所以最小正周期为T ＝2π4＝π

2. 3． 答案，B

解析，若等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，即α＋γ＝2β＋2k π，或α＋γ＋2β＝π＋2k π，k ∈Z ；若α，β，γ成等差数列，即α＋γ＝2β，可得等式sin(α＋γ)＝sin2β成立．

4． 答案，A

解析，y ＝2sin(π3－x )＋cos(π6＋x )＝2cos[π2－(π3－x )]＋cos(π6＋x )＝2cos(π

6＋x )＋cos(π6＋x )＝3cos(π

6＋x )．

当x ＝5

6π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－3. 5． 答案，B

解析，因为sin B ＋sin C ＝2sin A ，所以由正弦定理得b ＋c ＝2a ，又周长为4(2＋1)，所以a ＝4.

6． 答案，D

解析，∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B .

∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 7． 答案，B

解析，方法一：画图知[－π3，π4]内包含最小值点，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3，∴ω≥

3

2. 方法二：∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π

4]上的最小值是－2时，ωx ＝2k π－π2，x ＝2k πω－π2ω(k ∈Z )，∴－π3≤2k πω－π2ω≤π

4，得?

????

ω≥8k －2，ω≥－12k ＋3

2?ω≥32.

8． 答案，C

解析，根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝22

3，sin(π4－β2)＝63.

所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β

2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2) ＝13×33＋223×63＝539. 9． 答案，C

解析，由θ为第二象限角知θ2在第一、三象限，又由cos θ2＝－12<0知θ

2是第三象限角，且cos θ2>sin θ

2.

故1－sin θcos θ2－sin θ2

＝(cos θ2－sin θ2)2cos θ2－sin θ2

＝

cos θ2－sin θ2

cos θ2－sin θ2

＝1. 10． 答案，C

解析，由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x .

令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得t ＝±3

3. 当t ＝±1时，函数值为0； 当t ＝－33时，函数值为－439； 当t ＝33时，函数值为43

9.

∴g (t )max ＝439，即f (x )的最大值为43

9.故选C. 11. 答案，D

解析，由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π

3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.

12． 答案，A

解析，∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝1

3. 又∵f (π2)＝2sin(13×π2＋φ)＝2sin(π

6＋φ)＝2， ∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π

3＋2k π，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π

3)．

∴f (x )的单调递增区间为[－52π＋6k π，π2＋6k π]，单调递减区间为[π2＋6k π，7

2π＋6k π]，k ∈Z .

观察各选项，故选A. 二、填空题13．答案，0 解析，由tan 2θ＝2tan 2φ＋1，得

cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－tan 2φ

tan 2φ＋1

.

∴cos2θ＋sin 2φ＝－tan 2φ

tan 2φ＋1

＋sin 2φ＝－sin 2φ＋sin 2φ＝0.

14．答案，，25

5，210

解析，∵tan A ＝sin A cos A ＝2，∴sin A ＝25 5.又∵b ＝5，B ＝π

4，根据正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝

5×25522

＝210.

15．答案，－25

5

解析，f (x )＝sin x －2cos x ＝5(

15sin x －2

5

cos x )， 令cos α＝15，sin α＝－2

5

，则f (x )＝5sin(α＋x )．

当x ＝2k π＋π

2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，即θ＝2k π＋π

2－α(k ∈Z )，

所以cos θ＝cos(2k π＋π2－α)＝cos(π2－α)＝sin α＝－25＝－25

5.

16． 答案，①④

解析 考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π. ②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．

③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点． ④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π

6个单位得

y ＝3sin[2(x －π6)＋π

3]＝3sin2x .

⑤y ＝sin(x －π

2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题． 三、解答题17．

答案，偶函数，{y |－1≤y <12或1

2

解析，由cos2x≠0，得2x≠kπ＋π

2，解得x≠

kπ

2＋

π

4，k∈Z.

所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ

2＋

π

4，k∈Z}．

因为f(x)的定义域关于原点对称，

且f(－x)＝6cos4(－x)＋5sin2(－x)－4

cos(－2x)

＝6cos4x＋5sin2x－4

cos2x＝f(x)，

所以f(x)是偶函数．

当x≠kπ

2＋

π

4，k∈Z时，

f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4

cos2x

＝(2cos2x－1)(3cos2x－1)

cos2x＝3cos

2x－1，

所以f(x)的值域为{y|－1≤y<1

2或

1

2

18．

答案，(1){x∈R|x≠kx，k∈Z}，T＝π

(2)[kπ＋3π

8，kπ＋

7π

8](k∈Z)

解析，(1)由sin x≠0，得x≠kπ(k∈Z)．故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝(sin x－cos x)sin2x sin x

＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin2x－cos2x－1

＝2sin(2x－π

4)－1，

所以f(x)的最小正周期T＝2π

2＝π.

(2)函数y＝sin x的单调递减区间为[2kπ＋π

2，2kπ＋3π

2](k∈Z)．

由2kπ＋π

2≤2x－

π

4≤2kπ＋

3π

2，x≠kπ(k∈Z)，

得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π

8(k ∈Z )．

所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π

8](k ∈Z )． 19．

答案，(1)120° (2)15°或45°

解析，(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac . 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°. (2)由(1)知A ＋C ＝60°，

所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝12＋2×3－14＝32.

故A －C ＝30°或C －A ＝30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 20．

答案 (1)π

3，(2) 3

解析 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1

2. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π

3.

(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.

∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3

4ac ≤ 3.

∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3. 21．

答案 (1)16,0<θ<π

3 (2)f (θ)min ＝2 f (θ)max ＝3 解析 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·

cos θ＝8.

又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8

cos θ≤16. ∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π

3. (2)f (θ)＝23sin 2(π

4＋θ)＋2cos 2θ－ 3 ＝3·[1－cos(π

2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π

6)＋1. ∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π

6. ∴12≤sin(2θ＋π

6)≤1.

当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×1

2＋1＝2； 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π

6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3. 22．

答案 (1)[0，1＋2

2] (2)－2

解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12.

又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－2

2，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋1

2∈[0，1＋22]．

(2)f (x )＝sin 2

x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2

＋12sin2x －m 2cos2x ＝1

2[sin2x －(1

＋m )cos2x ]＋1

2，

由tan α＝2，得sin2α＝

2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45

，

cos2α＝cos2α－sin2α

sin2α＋cos2α

＝

1－tan2α

1＋tan2α

＝－

3

5.

所以3

5＝

1

2[

4

5＋(1＋m)

3

5]＋

1

2，得m＝－2.