9.16分组分解法

9.16分组分解法
9.16分组分解法

第三节分组分解法

【知识要点表解】

对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作

【方法主线导析】

●学法建议

本节的重点是设计分组,使其能够具有公因式或运用公式为分解,难点是分组的合理性,值得注意的是分组的方法没有固定的形式,要依据其特点,适当的分组,预见其分组后的结果情况。

●释疑解难

1.对于四项式的两两分组,若分组的方法不同会导致最后的结果不同吗?

[解答] 不会,因为通过合理的分组分解,且使每一个因式都分解到不能再分解时,最后的结果一定是相同的。

2.若多项式带有括号,应如何分解?

[解答] 若多项式带有括号,且括号内的式子相同时,可用换元后进行分组分解,若括号内式子不相同,又不便直接分组时,要将括号去掉,重新整理后再分组分解。

●典型例题

例1 对4x2+2x-9y2-3y运用分组分解法分解因式,分组正确的是:()

A.(4x2+2x)+(-9y2-3y)B.(4x2-9y2)+(2x-3y)

C.(4x2-3y)+(-9y2+2x)D.(4x2+2x-3y)-9y2

[分析]A.各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理。B.第一组可用平方差公式分解得(2x+3y)(2x-3y),与第二组有公因式2x-3y可提取,所以分组合理,C.与D.各组均无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理。

[解答] B.

例2 将x3-x2y-xy2+y3分组分解,下列的分组方法不恰当的是

A.(x3-x2y)+(-xy2+y3)B.(x3-xy2)+(-x2y+y3)

C.(x3+y3)+(-x2y-xy2)D.(x3-x2y-xy2)+y3

[分析]A.、B.各组提公因式后,又有公因式可提取分解,所以分组合理,C.第一组运用立方和公式,第二组提取公因式后,有公因式x+y,所以分组合理,D.第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式,所以分解不恰当。

[解答]D.

例3 把下列各式分解因式

(1)7x 2-3y+xy-21x (2)x 2-3ax-6ab-4b 2 (3)1-x 2+4xy-4y 2

[分析] (1)按字母x 、y 两两分组,或按各项的系数比两两分组。(2)因为各项的系数之间无比例关系,按字母分组后又无公因式,所以应考虑符合公式的分组,即第一项、第四项一组,其余两项为另一组。(3)因为两项一组分组后,均无法继续分解,所以考虑三项、一项的分组,即把符合完全平方公式的项合为一组,另一项作为第二组。

[解答] (1)7x 2-3y+xy-21x

=(7x 2-21x )+(-3y+xy ) =7x (x-3)+y (x-3) =(x-3)(7x+y ) 或者

注意:虽然分组的形式不同,但分解的结果相同。

例4 把下列各式分解因式

[分析] (1)五项式分组常为三项、二项,且把符合公式的分为一组,所以前三项一组,后二项为另一组,(2)第一项与第五项为一组,其答卷项为另一组。(3)前三项与后三项均符合完全平方公式,且两者之间的符号相反,又可用平方差公式。(4)依次分为三项、二项、一项共三组,使其化为二次三项式,再继续运用完全平方公式。

[解答]

3

)(7()

7(3)7()213()7(2137

2

2-+=+-+=--++=-+-x y x y x y x x x y xy x x xy y x )

21)(21()2(1)44(1441)3()32)(2()

2(3)2)(2()

63()4(463)2(2

22222222y x y x y x y xy x y xy x a b x b x b x a b x b x ab ax b x b ab ax x +--+=--=+--=-+---+=+--+=--+-=---1222)4(1

6944)3(81263)2(6344)1(222223

22322++-+--+-+++-+-+-+-y x y xy x a a y xy x y y xy x x y x y xy x 22333

22322281263)2()32)(2()2(3)2()63()442(6344)1(+-+----=---=+-++-=+-+-y

y xy x x y x y x y x y x y x y xy x y

x y xy x

例5 把下列各式分解因式。 (1) a(a-1)(a-2)-6

(2) (x+2)(x-2)-4y(x-y) (3) y(y+2)+4x(x-y-1) [分析] (1)(2)(3)都具有一个共性,即含有括号,且都无法再继续进行下去,这时,应考虑去掉括号,重新分组,则可“柳暗花明”,出现转机。 [解答]

例6 已知 ,化简 。

[分析] 由已知条件,通过因式分解,可得到(x+5y )的值,从而可以化简的求代数式。

[解答] 由 ,可得 )

22)(2()2(2)2()24(444442)

1(4)2()3()22)(22(4)2(4)44(444)

(4)2)(2)(2()2)(3()3(2)3()62()3(6

236)2)(1()1(222222222

2222323---=---=--+-=--++=--++--+-=--=-+-=+--=---++-=-+-=-+-=-+-=---y x y x y x y x y x y xy x x xy x y y y x x y y y x y x y x y xy x y xy x y x y x x a a a a a a a a a a a a a a 01251022=-++y xy x 2

235x y x x ++01251022=-++y xy x 20

]1)5][(1)5[(.01)5(y x y x y x =-+++=-+即

[能力层面训练] ●知识掌握

1、用分组分解法把ab-c+b-ac 分解因式分组的方法有 A 、1种 B 、2种 C 、3种 D 、4种

2、用分组分解a 2-b 2-c 2+2bc 的因式,分组正确的是

3、填空:

(1)ax+ay-bx-by=(ax+ay)- ( ) =( )( ) (2)x 2-2y-4y 2+x=( )+( ) =( )( ) (3)4a 2-b 2-4c 2+4bc=( )-( ) =( )( ) 4、把下列各式分解因式

5、把下列各式分解因式

6、把下列各式分解因式

●能力提高 7、把 分解因式为( ) )2().()2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--1243)3(3217)2(21565)1(2222--+--+--+a x ax b a ab a xy x y x 12)3(2)2(44)1(2

242223+-+-+--+--+y y x x x ax ab bx a x x x x )2()22()3()()()2()1()1()1(222222c b b c b a a b a cd d c ab b b a a -+-+++++-+96422---

a a x

A 、(2x-a+3)(2x-a-3)

B 、(2x-a+3)(2x+a-3)

C 、(2x+a+3)(2x-a-3) C 、(2x+a+3)(2x+a-3) 8、把 分解因式为( ) A 、(a+2 )(a+2b-2) B 、(a-2b)(a+2b-2) C 、(a+2b)(a-2b+2)

D 、(a-2b)(a+2+2) 9、把下列各式分解因式

●延伸拓展

10、化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1998

11、当x-y=1时,求代数式 的值. 12、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边,求证:代数式 的值一定是负数。

分组分解法

例1 把下列各式分解因式

(1)7x 2-3y+xy-21x (2)x 2-3ax-6ab-4b 2

(3)1-x 2+4xy-4y 2 (4)(x 2+3x-2)(x 2+3x+4)—16

例2 对4x 2+2x-9y 2-3y 运用分组分解法分解因式,分组正确的是( ) A .(4x 2+2x )+(-9y 2-3y ) B .(4x 2-9y 2)+(2x-3y ) C .(4x 2-3y )+(-9y 2+2x ) D .(4x 2+2x-3y )-9y 2 例3 将x 3-x 2y-xy 2+y 3分组分解,下列的分组方法不恰当的是( ) A .(x 3-x 2y )+(-xy 2+y 3) B .(x 3-xy 2)+(-x 2y+y 3)

b b a a 44222+--

)()()()5(4)1)(4()

8(2)4()4)(3()())((2)2()6())((9)1(2222222222222222b a c a c b c b a b a b a ab b a b a b a b a c b b c a c a -+-+---+-+-+---+++--+42233433y xy y x y x xy x +

+---222224)(b a c b a --+

C .(x 3+y 3)+(-x 2y-xy 2)

D .(x 3-x 2y-xy 2)+y 3 例4把下列各式分解因式

例5 把下列各式分解因式。

(4) a(a-1)(a-2)-6 (5) (x+2)(x-2)-4y(x-y) (6) y(y+2)+4x(x-y-1) (4)x 4+1

(5)

例6 已知 ,化简 作业

1、用分组分解法把ab-c+b-ac 分解因式分组的方法有( )

A 、1种

B 、2种

C 、3种

D 、4种 2、用分组分解a 2-b 2-c 2+2bc 的因式,分组正确的是( )

3、填空:

(1)ax+ay-bx-by=(ax+ay)- ( )

=( )( ) (2)x 2-2y-4y 2+x=( )+( )

=( )( ) (3)4a 2-b 2-4c 2+4bc=( )-( )

=( )( )

1222)4(16944)3(81263)2(6344)1(2222232232

2++-+--+-+++-+-+-+-y x y xy x a a y xy x y y xy x x y x y xy x 01251022=-++y xy x 2235x y x x ++)2().()2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)

2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--129223-++x x x

4、把下列各式分解因式

(7)x 2+4 (8)

6、把下列各式分解因式

7、把 分解因式为( ) A 、(2x-a+3)(2x-a-3) B 、(2x-a+3)(2x+a-3) C 、(2x+a+3)(2x-a-3) C 、(2x+a+3)(2x+a-3)

8、把 分解因式为( )

A 、(a+2 )(a+2b-2)

B 、(a-2b)(a+2b-2)

C 、(a+2b)(a-2b+2)

D 、(a-2b)(a+2+2) 9、化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1998

10、当x-y=1时,求代数式 的值.

12、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边,求证:代数式 的值一定是负数。

12

43)3(3217

)2(21565)1(2222--+--+--+a x ax b a ab a xy

x y x 1

2)6(2)5(44)4(2242223+-+-+--+--+y y x x x ax ab bx a x x x x )

2()22()3()()()2

()

1()1()1(222222c b b c b a a b a cd d c ab b b a a -+-+++++-+96422---a a x b b a a 44222+--)

()()()8(4)1)(7()8(2)4()4)(6()())((2)5()6())((9)4(2222

222222222222b a c a c b c b a b a b a ab b a b a b a b a c b b c a c a -+-+---+-+-+---+++--+4

2233433y xy y x y x xy x ++---222224)(b a c b a --+254222345+++++x x x x x

“分组分解”教学案例-精选文档

“分组分解”教学案例 用分组分解法分解因式,是初中数学的一个教学难点。每年教学到这个地方,我都特别重视,特别下劲。尽管我为此付出了很多,但是教学效果始终不尽人意,总有个别学生不能够灵活运用这种方法。 为了攻破这一教学难点,我除了反思自己的教学外,还积极到计算机网络上检索同仁们的教学录像,借鉴他们的教学方法,对我启发很大。 教学过程如下: 师:到现在为止,我们学习了哪两种因式分解的方法?生:提取公因式法,利用公式法。 师:怎样分解因式a(m+n)+b(m+n)? 生:提取公因式(m+n)得(a+b)(m+n)。 师:怎样分解下面这个因式?请同学们思考一下。 am+an+bm+bn。 师:(少顿。做思考状)如果我们能够把它转化成a(m+n)+b(m+n),那么问题就迎刃而解了。而要达到这一目的,首先要做什么?谁能够勇敢地站起来说一说? 学生甲:先把它分成两组,再提取公因式am+an+bm+bn= (am+an)+(bm +bn)= a(m+n)+b(m+n)。 师:说得很完整。到了这一步,再提取公因式(m+n),就得到了因式分解的最终结果(a+b)(m+n)。 (教师指着解题过程,面对学生,提高音量)这种先对因式分组,再进行分解的方法,就是我们这一节要研究的因式分解方法。(板书课题《分组分解法》)

师:谁能够根据我们刚才的因式分解过程,给分组分解法下一个定义?请同学们思考1分钟。 教师从众多举手的学生中,指定一位站起来回答,自己板书定义:用分组来分解因式的方法,叫做分组分解法。 师:我们刚才为什么要把am+an+bm+bn分成(am+an)和(bm+bn)呢?而没有分成其他组呢?这里有什么潜规则?(少顿)这就涉及到分组的原则问题。(板书“原则:”)请同学们观察分成的两个组,看它们有什么特点?我要指定学生回答。 学生乙:每个组都有公因式。 师:对。分解后,每个组都有可以提取的公因式。因为我们的目的是进行因式分解。如果所分的组没有公因式可提取,那么分解将无法进行,也就失去了分组的意义。所以,大家一定要记住,所分的组里要有公因式。(板书:原则1:分解后,每个组都有可以提取的公因式。) 师:看一看,想一想,分的组还有什么特点? 生:组与组之间还有公因式。 师:只有当组与组之间还有公因式可提,分解因式的工作才能继续进行。所以,分组的第二个原则是“组与组之间还有公因式”(板书:原则2:组与组之间还有公因式。)请同学们用1分钟时间把这两个原则熟记下来。教师指定学生读这两个原则,指定不同程度的学生不看黑板叙述这两个原则。指出,今后用分组分解法分解因式的时候,首先要用这两个原则衡量自己的分组。所分的组符合这两个原则,分组的方法基本上是对的;所分的组违背了这两条原则,因式分解无法继续,要重新分组。 板书两道例题: 1、-ab+ac-bc 2、2ax-10ay+5by-bx 指定一个学生到黑板上做第一题,其他学生在自己的位置上做。

分组分解法教案讲课稿

分组分解法教案

9.16 分组分解法 上海市民办中芯学校张莉莉 教学目标: 1.理解分组分解法在因式分解中的重要意义. 2.在运用分组分解法分解因式时,会筛选合理的分组方案. 3.能综合运用各种方法完成因式分解. 教学重点:理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点:筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解 教学过程: 一复习引入 1.什么是因式分解? 2.学过几种因式分解的方法? 3.思考:如何将多项式by + )1(分解因式? + bx ay ax+ 二新知探究 环节1 内容:因式分解by + )1( + ax+ ay bx 教师:提出问题指导学生一题多解引入定义 学生:思考回答板书练习 意图:1.通过一题多解,培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法,再局部的把握知识。 3. 探索讨论总结分组的原则

要点:对于四项式的各项没有共同的公因式,而且也没有 供四项式作分解的公式可用,所以用我们前面学过 的基本方法都无法直接达到分解的目的.但如果分 组后在局部分别分解,然后在组与组直接再看看有 没有公因式,就可以创造整体分解的机会. 试一试:分解因式(1) 22-+-y x xy (2)1+++ab b a (4)y x y x 2422-+- (4)b a b a ---3922 环节2 如何将多项式12)2(22-++b ab a 分解因式? 教师:提出问题:两两分组可行吗?多项式有什么特征? 学生:尝试 探索 总结 意图:拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组? 要点:组和组之间存在平方差的联系 巩固练习: (1)y x y xy x 5251022-++- (2)b ab a a 332+-- (3)a a x x 2222--- 三 课堂小结:引导学生从知识,技能,方法,整体等方面自主小结如何 合理分组,教师点评,总结 四 作业布置:练习册:9.16 补充思考题:

分组分解法进行因式分解

分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式,所得的结果为() 分析:先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。 例2. 分解因式 分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;此题也可把,分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 2. 在几何学中的应用 例:已知三条线段长分别为a、b、c,且满足 证明:以a、b、c为三边能构成三角形 分析:构成三角形的条件,即三边关系定理,是“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边” 证明: 3. 在方程中的应用 例:求方程的整数解

分析:这是一道求不定方程的整数解问题,直接求解有困难,因等式两边都含有x与y,故可考虑借助因式分解求解 4、中考点拨 例1.分解因式:_____________。 说明:观察此题是四项式,应采用分组分解法,中间两项虽符合平方差公式,但搭配在一起不能分解到底,应把后三项结合在一起,再应用完全平方公式和平方差公式。 例2.分解因式:____________ 说明:前两项符合平方差公式,把后两项结合,看成整体提取公因式。 例3. 分解因式:____________ 说明:分组的目的是能够继续分解。 5、题型展示: 例1. 分解因式: 说明:观察此题,直接分解比较困难,不妨先去括号,再分组,把4mn分成2mn和2mn,配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知:,求ab+cd的值。

分组分解法因式分解(5课时)

(一)复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) (二)新课讲解 1.引入提问:如何将多项式am+an+bm+bn因式分解? 分析:很显然,多项式am+an+bm+bn中既没有公因式,也不好用公式法。怎么办呢?由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有: am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明:如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习: 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2.应用举例 例1.把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,分别提出公因式a与c后,另一个因式正好都是a-b,这样就可以继续提公因式。 解:a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2:把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x的降幂排列,然后从两组中分别提出公因式2a与-b,这时另一个因式正好都是x-5y,这样就可继续提公因式。解:2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问:这两个例题还有没有其他分组解法?请你试一试。如果能,请你看一下结果是否相同?练习:把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1.a(m+n)-b(m+n) ⒉xy(a-b)+x(a-b) 3.n(x+y)+x+y ⒋a-b-q(a-b) 5.p(m-n)-m+n ⒍2a-4b-m(a-2b) 7.a2+ac-ab-bc ⒏3a-6b-ax+2bx 9.2x3-x2+6x-3 ⒑2ax+6bx+7ay+21by ⒒xy+x-y-1 ⒓ax2+bx2 -ay2-by2 ⒔x3-2x2y-4xy2+8y3 ⒕3m-3y-ma+ay ⒖4x3+4x2y-9xy2-9y3⒗x3y-3x2-2x2y2+6xy

最新分组分解法教案

9.16分组分解法 教材解读: 本章主要介绍提公因式法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法和分组分解法四种最简单、最常用的分解因式的方法。本节内容分组分解法是为前面三种方法的运用创造条件,即把多项式各项适当分组,使之能够应用以上三种方法。分组的目的不仅要使各组“局部”能分解因式,而且要能对整体进一步进行因式分解。因式分解和整式的乘法运算都是整式的一种恒等变形,因式分解是整式乘法的一种逆向变形,也是今后学习分式的基础。课程标准要求:在因式分解中,所涉及的多项式不超过四项;不涉及添项、拆项等偏重技巧性的要求。用公式法分解因式时,只涉及平方差公式和完全平方公式。不要求掌握用十字相乘法对二次项系数不等于1的二次三项式进行因式分解;关于一般的二次三项式的因式分解,将通过后续学习主要掌握求根公式法。由于因式分解需要学生有较高的观察能力、分析能力和应用能力,因此要关注学生不同的思维方式,鼓励、引导学生积极思考,勇于探索,培养学生潜在的思维能力和创新能力。 教学目标: 1.理解分组分解法的概念. 2.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 3.经历分组分解法分解含有四项的多项式的过程,体会因式分解的基本方法之间的联系和区别,提高观察、分析和解决综合问题的能力? 重点:分组分解法分解含有四项的多项式难点:选择适当的分组方法,继续因式分解教学过程: 一.复习 师:我们已经学习了因式分解的哪几种基本方法? 生:提公因式法、公式法、十字相乘法。 师:好,下面让我们试一试用这些基本方法来因式分解吧! 分解因式,并归纳解题模块: 6a2 -6b2 归纳解题模块: 两项式的因式分解的解题模块:1?“提”取公因式2.“套”平方差公式 2 2 2a 4ab 2b 3a2-15a 18 归纳解题模块: 三项式的因式分解的解题模块:1?“提”取公因式 2.“套”完全平方公式或十字相乘法 设计意图:通过三道题目的练习,引导学生归纳出两项式和三项式因式分解的解题模块,训练学生的归纳能力。 二、新课探索 师:同学们已经掌握用提公因式法、公式法、十字相乘法这些解题工具来解二项式与三项式的因式分解的题目,那么还有哪些未知的题目有待我们去研究呢?问题一:

初中因式分解中的“分组分解法”

初二因式分解解读之六:编制人:平生曜曜 因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度,如何分组并非漫无目标地轮换重组,这需要讲究一些“可以掌控的”技巧,而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。 不废话!开始上菜,入席就吃。只要肯用心吃,终有一天会吃胖的! (1)、分解因式:a2 x -b2 x -a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案:______________________________________。 〈分析〉:原式由“①、a2 x,②、-b2 x,③、+ a2 y,④、+ b2 y”这四部分组成,其中没有任何公因式可提取,但我们发现,其中个别“成员”间有公因式,所以可考虑: 第一种分组方式:①和②分为一组,③和④分为另一组。 解:原式=(a2 x -b2 x)+(-a2 y + b2 y) = x(a2 -b2)- y(a2 -b2) = (a2 -b2)(x -y) =(a + b)(a-b)(x -y) 第二种分组方式:①和③分为一组,②和④分为另一组。 解:原式=(a2 x -a2 y)+(-b2 x + b2 y) = a2(x - y )-b2(x -y) =(x -y)(a2 -b2) = (x -y)(a-b)(a + b) (2)、分解因式:x2 -4 + y2-2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案:______________________________________。

〈分析〉:原式由“①:x2”、“②:-4”、“③: +y2”和“④:-2xy”这四部分组成,其中没有任何公因式可提取,但我们发现,其中个别“成员”若组合在一起,就可以暂时先用提取公因式法,或者运用公式法,来作第一步分解,所以值得尝试: 第一种分组方式:①和②分为一组,③和④分为另一组。 解:原式=(x2 -4)+(y2 -2x y) = (x - 2 )(x + 2)-y(y -2x) 此法不能完成最终的分解任务,所以要另行分组,进行微调、重组! 第二种分组方式:①、③、④合为一组,②单独为另一组。 解:原式=(x2 + y2 -2x y )+(-4) =(x - y)2 -(2)2 =(x - y + 2)(x - y - 2) (3)、分解因式:x2 + 3x -y2 -3y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案:______________________________________。 〈分析〉: 第一种情况:尝试①、②合为一组,③、④合为另一组: 解:原式=(x2 + 3x )+(-y2 -3y) = x(x + 3)- y(y + 3) 此法不能完成最终的分解任务,所以要另行分组,进行微调、重组! 第二种情况:尝试①、③合为一组,②、④合为另一组: 解:原式=(x2 -y2)+(3x-3y) =(x + y)(x - y)+ 3(x - y) =(x - y)(x + y + 3) 〈总结技巧之一〉:形如“平方和”的项,宜与“相应的交叉项”暂时凑成一组,然

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法: 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项,分组不是盲目的,要有预见性.也就是说,分组后每组之间必须要有公因式可提取,或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式; 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法: 、型的二次三项式因式分解: (其中,) 、二次三项式的分解: 如果二次项系数分解成、,常数项分解成、;并且等于一次项系数,那么二次三项式: 借助于画十字交叉线排列如下:

◆ 因式分解的一般步骤:一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式; ②、提取公因式以后或没有公因式,再考虑公式法或十字相乘法; ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式,再考虑能否用十字相乘法; ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式,考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明: ①、因式分解要进行到不能再分解为止; ②、结果中相同因式应写成幂的形式; ③、根据不同多项式的特点,灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点,因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一:十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算:

(1) (2) (3) (4) 运用上面的结果分解因式: ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金:型三项式关键是把常数分解为两个数之积(),而这两个数的和正好等于一次项的系数()。 ◎变式议练一: 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数的个数为( ) 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式: ①、

9.16 分组分解法教案

9.16 分组分解法 一、教学目标 理解分组分解法的意义;进一步理解因式分解的意义;初步掌握分组后能直接提公因式分解因式的方法。尝试中获得合作的成功,感受一下成功的喜悦。 二、教学重点、难点 掌握分组分解法的分组原则;如何分组才能达到因式分解的目的;选择分组方法。 三、教学流程设计 四、教学过程

(一)复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) (二)新课讲解 1.引入 提问:如何将多项式am+an+bm+bn因式分解? 分析:很显然,多项式am+an+bm+bn中既没有公因式,也不好用公式法。怎么办呢?由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有: am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明: 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习: 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) (三).应用举例 例1.把a2-ab+ac-bc分解因式

分析 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,分别提出公因式a与c后,另一个因式正好都是a-b,这样就可以继续提公因式。 解:a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2:把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析: 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x的降幂排列,然后从两组中分别提出公因式2a与-b,这时另一个因式正好都是x-5y,这样就可以继续提公因式。 解:2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问: 这两个例题还有没有其他分组解法?请你试一试。如果能,请你看一下结果是否相同? (四)、练习: 把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n

八年级数学分组分解法知识点总结

八年级数学分组分解法知识点总结 2014年初二数学分组分解法知识点 分组分解法 我们看多项式am+ an+ bm+ bn,这四项中没有公因式,所以不能用提取公因式法,再看它又不能用公式法分解因式. 如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn),这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式. 原式=(am +an)+(bm+ bn) =a(m+ n)+b(m +n) 做到这一步不叫把多项式分解因式,因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n),因此还能继续分解,所以 原式=(am +an)+(bm+ bn) =a(m+ n)+b(m+ n) =(m +n)?(a +b). 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出,如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式. 初二数学知识点:提公因式法

提公因式法 1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时,首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时,可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形,或改变符号,直到可确定多项式的公因式. 2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意: 1.必须先将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和等于一次项的系数. 2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试,一般步骤: ①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况; ②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数. 3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式. 初二数学知识点:提公因式法 提公因式法 1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时,首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时,可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形,或改变符号,直到可确定多项式的公因式. 2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意: 1.必须先将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和等于一次项的系数. 2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试,一般步骤:

因式分解专题 用分组分解法 含答案

4、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式,所得的结果为( ) A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析:先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。 解:原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;此题也可把x x 54-,x x x 321--和分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解法1: 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2:

初二数学因式分解分组分解法

初二数学因式分解分组分解法 一、分组分解法分解因式的意义 我们把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。 二、学习指导: 如果一个多项式适当分组,使分组后各组之间有公因式或可应用公式,那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。 分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法,公式法和十字相乘法的多项式。 分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组,把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式,使之具有公因式,或者符合公式的特点等,从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。 我们有目的地将多项式的某些项组成一组,从局部考虑,使每组能够分解,从而达到整个多项式因式分解的目的,至于如何恰当地分组,需要具体问题具体分析,但分组时要有预见性,要统筹思考,减少盲目性,分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习,不断总结规律,便能掌握分组的技巧。 三、例题分析 例1、分解因式: (1)2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1 分析(1):解①,首先注意到前两项的公因式(2x)和后两项的公因式(-3),分别把它们提出来,剩下的是相同因式(x+y),可以继续用提公因式法分解。解②,此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面解2的解法。 解①: 2x2+2xy-3x-3y =(2x2+2xy)-(3x+3y) =2x(x+y)-3(x+y) =(x+y)(2x-3) 解②: 2x2+2xy-3x-3y =(2x2-3x)+(2xy-3y) =x(2x-3)+y(2x-3) =(2x-3)(x+y) 说明:解①和解②虽然是不同的分组方式,但却有着相同的内在联系,即两组中的对应项系数成比例,分别为1:1和2:(-3)。这也是分组中必须遵循的规律之一。 分析(2):若将此题按上题中解②的方法分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4),含有b的项一组即-b2-4b=-b(b+4),那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提,不可再分解下去。可先将a2-b2一组应用平方差公式,再提出因式。 解: a2-b2+4a-4b =(a2-b2)+(4a-4b) =(a+b)(a-b)+4(a-b) =(a-b)(a+b+4)

因式分解中的“分组分解法”

解读因式分解系列之三编制人:平生曜曜 因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度,如何分组并非漫无目标地轮换重组,这需要讲究一些“可以掌控的”技巧,而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。 不废话!开始上菜,入席就吃。只要肯用心吃,终有一天会吃胖的! (1)、分解因式:a2 x -b2 x -a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案:______________________________________。 〈分析〉:原式由“①、a2 x,②、-b2 x,③、+ a2 y,④、+ b2 y”这四部分组成,其中没有任何公因式可提取,但我们发现,其中个别“成员”间有公因式,所以可考虑: 第一种分组方式:①和②分为一组,③和④分为另一组。 解:原式=(a2 x -b2 x)+(-a2 y + b2 y) = x(a2 -b2)- y(a2 -b2) = (a2 -b2)(x -y) =(a + b)(a-b)(x -y) 第二种分组方式:①和③分为一组,②和④分为另一组。 解:原式=(a2 x -a2 y)+(-b2 x + b2 y) = a2(x - y )-b2(x -y) =(x -y)(a2 -b2) = (x -y)(a-b)(a + b) (2)、分解因式:x2 -4 + y2-2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案:______________________________________。 〈分析〉:原式由“①:x2”、“②:-4”、“③: +y2”和“④:-2xy”这四部分组成,

分组分解法因式分解

分组分解法(第一教时) (一)复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) (二)新课讲解 1.引入提问:如何将多项式am+an+bm+bn因式分解? 分析:很显然,多项式am+an+bm+bn中既没有公因式,也不好用公式法。怎么办呢?由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有: am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明:如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习: 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2.应用举例 例1.把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,分别提出公因式a与c后,另一个因式正好都是a-b,这样就可以继续提公因式。 解:a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2:把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x的降幂排列,然后从两组中分别提出公因式2a与-b,这时另一个因式正好都是x-5y,这样就可继续提公因式。解:2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问:这两个例题还有没有其他分组解法?请你试一试。如果能,请你看一下结果是否相同?练习:把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1.a(m+n)-b(m+n) ⒉xy(a-b)+x(a-b) 3.n(x+y)+x+y ⒋a-b-q(a-b) 5.p(m-n)-m+n ⒍2a-4b-m(a-2b) 7.a2+ac-ab-bc ⒏3a-6b-ax+2bx 9.2x3-x2+6x-3 ⒑2ax+6bx+7ay+21by ⒒xy+x-y-1 ⒓ax2+bx2 -ay2-by2

因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题

因式分解-----十字相乘法 1.认识二次三项式 多项式c bx ax ++2,称为字母x 的二次三项式,其中2ax 称为二次项,bx 为一次项,c 为常数项.例如,322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式. 在多项式2286y xy x +-中,如果把y 看作常数,就是关于x 的二次三项式;如果把x 看作常数,就是关于y 的二次三项式. 在多项式37222+-ab b a 中,把ab 看作一个整体,即3)(7)(22+-ab ab ,就是关于ab 的二次 三项式.同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把x +y 看作一个整体,就是关于x +y 的二次三项式. 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2.十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax +b )(cx +d )竖式乘法法则.它的一般规律是: (1)对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ,如果能把常数项q 分解成两个因数a ,b 的积,并且a +b 为一次项系数p ,那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x 可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ,b ,c 都是整数且a ≠0)来说,如果存在四个整数2121,,,c c a a ,使a a a =?21,c c c =?21,且b c a c a =+1221, 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头,凑中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此,一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单化,当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式,还要注

分组分解法教案

9.16 分组分解法 上海市民办中芯学校 张莉莉 教学目标: 1.理解分组分解法在因式分解中的重要意义. 2.在运用分组分解法分解因式时,会筛选合理 的分组方案. 3.能综合运用各种方法完成因式分解. 教学重点: 理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点: 筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解 教学过程: 一 复习引入 1.什么是因式分解? 2.学过几种因式分解的方法? 3.思考:如何将多项式 by bx ay ax +++)1(分解因式? 二 新知探究 环节1 内容 :因式分解 by bx ay ax +++)1( 教师:提出问题 指导学生一题多解 引入定义 学生:思考 回答 板书练习 意图:1.通过一题多解,培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法,再局部的把握知识。 3. 探索 讨论 总结分组的原则 要点:对于四项式的各项没有共同的公因式,而且也没有供四项式作 分解的公式可用,所以用我们前面学过的基本方法都无法直接 达到分解的目的.但如果分组后在局部分别分解,然后在组与 组直接再看看有没有公因式,就可以创造整体分解的机会. 试一试:分解因式(1) 22-+-y x xy (2)1+++ab b a (4)y x y x 2422-+- (4)b a b a ---392 2 环节2 如何将多项式12)2(2 2-++b ab a 分解因式? 教师:提出问题:两两分组可行吗?多项式有什么特征? 学生:尝试 探索 总结 意图:拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组? 要点:组和组之间存在平方差的联系 巩固练习: (1)y x y xy x 5251022-++- (2)b ab a a 332+-- (3)a a x x 222 2---

沪科版数学七年级下册《因式分解 分组分解法》教案

《因式分解分组分解法》教案

程 教 学 过式。 例1把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组,分别提 出公因式a与c后,另一个因式正好都是a-b,这样就可以提出 公因式a-b 解:a2-ab+ac-bc ——分组 =(a2-ab)+(ac-bc) ——组内提公因式 =a(a-b)+c(a-b)——提公因式 (a-b)+c(a-b) 例2把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析:把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两 组的项都按x的降幂排列,然后从两组分别提出公因式2a与-b, 这时,另一个因式正好都是x-5y,这样全式就可以提出公因式 x-5y。 解: 2ax-10ay+5by-bx =(2ax-10ay)+(5by-bx) =(2ax-10ay)+(-bx +5by) =2a(x-5y)-b(x- 5y) =(x-5y)(2a-b) 例1,例2种还有没有其他分组的方法?如果有,因式分解的 结果是不是一样。 例1解(2):a2-ab+ac-bc例2解(2): 2ax-10ay+5by-bx =(a2+ac)-(ab+bc) =(2ax-bx)+(5by-10ay) =a(a+c)-b(a+c) =(2ax-bx)+(-10ay +5by) = (a+c)(a-b) =x(2a-b)-5y(2a-b) = (2a-b)(x-5y) 分组规律: 讨论补充 记录 .

程 在有公因式的前提下,按对应项系数成比例分组,或按对应项的次数成比例分组。 分解步骤: (1)分组;(2)在各组内提公因式; (3)在各组之间进行因式分解 ;(4)直至完全分解 观察多项式: (1) x2-y2+ax+ay (2) a2-2ab+b2-c2 你能把它分解吗? 五、巩固新知,当堂训练(15分钟) .把下列各式分解因式 (1)4a2+4ab+b2-1 (2)x2-4y2+12yz-9z2 (3)-a2-2ab-b2+c2 六小结 本节课你学习了哪些内容? 七课堂作业 必做题:.课本76页练习 选做题: 课本84页c 组复习题第2题 八、课外作业, 基础训练同步 板书 设计 一、出示学习目标: 四、当堂训练 二、出示自学提纲 五、课堂小结: 三、合作探究 六、课堂作业 教 学 反 思 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ y y x x 3932 2 --- 例yz z y x 24222+-- 例

苏教版七年级下册数学[十字相乘法及分组分解法(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版七年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 十字相乘法及分组分解法(基础) 【学习目标】 1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数;实数系数;字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】 【 400150 十字相乘法及分组分解法 知识要点】 要点一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++,若存在pq c p q b =?? +=? ,则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释:(1)在对2x bx c ++分解因式时,要先从常数项c 的正、负入手,若0c >, 则p q 、同号(若0c <,则p q 、异号),然后依据一次项系数b 的正负 再确定p q 、的符号 (2)若2 x b x c ++ 中的b c 、为整数时,要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b ,直到凑对 为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即12a a a =,常数项c 可以分解成两个因数之积,即12c c c =,把1212a a c c ,,,排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到1221a c a c +,若它正好等于二次三项式2 ax bx c ++的

分组分解法因式分解

把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) (二)新课讲解 1.引入提问:如何将多项式am+an+bm+bn因式分解? 分析:很显然,多项式am+an+bm+bn中既没有公因式,也不好用公式法。怎么办呢?由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有: am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明:如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习: 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2.应用举例 例1.把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,分别提出公因式a与c后,另一个因式正好都是a-b,这样就可以继续提公因式。 解:a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2:把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x的降幂排列,然后从两组中分别提出公因式2a与-b,这时另一个因式正好都是x-5y,这样就可继续提公因式。解:2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问:这两个例题还有没有其他分组解法?请你试一试。如果能,请你看一下结果是否相同?练习:把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1. a(m+n)-b(m+n) ⒉ xy(a-b)+x(a-b) 3. n(x+y)+x+y ⒋ a-b-q(a-b) 5. p(m-n)-m+n ⒍ 2a-4b-m(a-2b) 7. a2+ac-ab-bc ⒏ 3a-6b-ax+2bx 9. 2x3-x2+6x-3 ⒑ 2ax+6bx+7ay+21by ⒒ xy+x-y-1 ⒓ ax2+bx2 -ay2-by2 ⒔ x3-2x2y-4xy2+8y3 ⒕ 3m-3y-ma+ay ⒖ 4x3+4x2y-9xy2-9y3⒗ x3y-3x2-2x2y2+6xy 分组分解法(第二教时)

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