湖北省黄冈中学2014届高三5月适应性考试数学(文)B卷(word解析版)

湖北省黄冈中学2014届高三适应性考试

数学（文史类）试题

本试卷共6页，共22题．满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

命题：张卫兵 审稿：曹燕 校对：龙燕

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的. 1．复数720146i 8i +（其中i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．一批产品有,,A B C 三种型号，数量分别是120件，80件，60件.为了解它们的质量是否存在差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本，其中从型号C 的产品中抽取了3件，则n 的值是（ ）

A ．13

B ．12

C ．10

D ．9

3．已知条件:p 2log (1)1x -<；条件:q |2|1x -<，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件

4．已知02θπ≤≤，且cos()02

π

θ-->，2

2sin 102

θ

->，则θ的范围是（ ）

A ．3(

,2)2ππ B ．3(,)2ππ C ．(,)2ππ D ．(0,)2

π 5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，过焦点且垂直于长轴的弦长为

3，则椭圆的方程是（ ）

A ．22154x y +=

B ．22142x y +=

C ．22143x y +=

D ．2

212

x y +=

6．△ABC 的内角,,A B C 的对边,,a b c 成等差数列，且5sin 7sin A B =，则角A =（ ） A ．

3π B ．34π C ．23π D ．56

π 7．在长为5cm 的线段AB 上任取一点C ，以,AC BC 为邻边作一矩形，则矩形面积不小于24cm 的概率为（ ）

A ．15

B ．25

C ．45

D ．35

8．在ABC ?中，3AB =，2AC =，1

2

BD BC =，则AD BD ?=（ ） A ．

52 B ．52- C ．54 D ．54

- 9．函数e x y m =+（其中e 是自然对数的底数）的图象上存在点(,)x y 满足条件： 2,e ,.x y x y x ??

???

≤≤≥则实数m 的取值范围是（ ） A ．2[2e ,0]- B ．2[2e ,1]-- C ．22[2e ,2e e ]-- D ．2[1,2e e ]--

10．如果函数()f x 满足：对定义域中的任意三个数,,a b c ，都有(),(),()f a f b f c 是一个三角形三边的长，则称()f x 为“三角形函数”.在函数①||y x =;②2x y =;③

1

(12)y x x x =+≤≤;④32432(01)y x x x =-+≤≤中，

“三角形函数”的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共35分. 请将答案

填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．已知集合*{|06},{|,}A x x B x x a x =<<=>∈N ，若A B 有8个子集，则整数a 的

值是

12．直线10x by ++=平分圆22230x y y +--=的面

积，则b =

13．a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则a 的

值是

14

．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体 积是

15．向量(1,1),(1,0)==-a b ，则向量()t t +∈R a b 模的最小值是

13题图

正视图

侧视图 俯视图

14题图

16．已知

2115315=+， 2117428=+， 211

9545

=+

， ………………

观察以上各等式有:（1）

2

11

= ； （2）3n ≥，且*n ∈N 时，

2

21

n =- 17．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>中，12,A A

是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点.若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两

点(1,2)i P i =，使得△12(1,2)i PA A i =构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e

的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. （本小题满分12分）

已知函数1()2sin cos()2f x x x ?=--（02π?<<）的图像过点(,1)3

π

. （Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间.

17题图

19．（本小题满分12分）

如图1，AD 是直角△ABC 斜边上的高，沿AD 把ABC ?的两部分折成直二面角 （如图2），D

F A C ⊥于F .

（Ⅰ）证明：BF AC ⊥；

（Ⅱ）设AB AC =，E 为AB 的中点，在线段DC 上是否存在一点P ，使得DE ∥平面PBF ?若存在，求DP

PC

的值；若不存在，请说明理由．

20． (本小题满分13分)

已知在等比数列{}n a 中，213121,1a a a a =+-=，数列{}n b 满足

3

21()23n n b b b b a n n

*+

++???+=∈N . （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .

图2

B

C

A

D F E

P

D

图1

A

C

B

21．（本小题满分14分）

已知函数()e x f x ax =-（其中e 是自然对数的底数）.

（Ⅰ）若函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线过点(1,1)，求a 的值； （Ⅱ）当11e a +≤≤时，求证：()f x x ≤.

22．（本小题满分14分）

动圆E 过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，圆心E 的轨迹是曲线C . (Ⅰ)求曲线C 的方程；

(Ⅱ)过点(4,2)Q 的任意一条不过点(4,4)P 的直线与曲线C 交于,A B 两点，直线AB

与直线4y x =+交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k ，问是否存在实数λ，使得123k k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

x

F

北省黄冈中学2014届高三适应性考试

数学（文史类）

答案

一、A 卷选择题答案 CDCCA BCCDB B 卷选择题答案CACBC CDDAB 以下是A 卷选择题答案及解答：

1. 720146i 8i 6i 8+=--,对应的点位于第三象限,选B.

2.3601208060

n =

++，故13n =，选D. 3.2log (1)101213x x x -

π

π

θθθθ-

->?+>?->?<,于是θ是第三、四象限的角（含y 轴负半轴）；2

2sin 10cos 0cos 02

θ

θθ->?->?<，于是θ是第二、三象限的角

（含y 轴正半轴），从而θ是第三象限的角，选C. 5.242a a =?=，焦点三角形是直角三角形，一直角边长为32，斜边长为5

2

，另一直角

边长221c c ==?=，∴23b =，选A.

6. ,,a b c 成等差数列2a c b ?+=，7

5sin 7sin 575A B a b a b =?=?=，∴

73

,55

a b c b ==，

∴22212cos 223

c b a A C bc π+-==-?=

,选B . 7.设AC x =，则(5)4x x -≥，解得14x ≤≤，又05x ≤≤，所以所求的概率为3

5

，选

C. 8.由12BD BC =

得，D 是BC 的中点，所以1

()2

AD AB AC =+. 22111115

()()()()222244

AD BD AB AC BC AB AC AC AB AC AB ?=+?=+?-=-=-,选C.

9.当e x y m =+的图象与e y x =相切时，设切点为00(,e )x x ，则切线斜率为0e x .由0e e x =得01[0,2]x =∈.所以当e x y m =+的图象与e y x =相切于(1,e)时，m 的值最大.此时0m =.

当e x y m =+过原点时，

1m =-.此时e 1x y =-的图象与直线2x =的交点为2(2,e 1)-在点(2,2)的上方.故当e x y m =+图象过点(2,2)时，m 的值最小，

此时22e m =-.

综上所述，2[2e ,0]m ∈-，选D.

10.“三角形函数”的函数值都为正数，且最小值的2倍大于最大值. ①||y x =的函数值有0，不是“三角形函数”； ②2x y =取1,2a b c ===，则()2,()2,()4f a f b f c ===不构成三角形

三边长；③1(12)y x x x =+≤≤的最小值为2，最大值为52，而5

222?>，所以它是“三

角形函数”； ④32432(01)y x x x =-+≤≤，21266(21)y x x x x '=-=-，在1

(0,)2上递减，

在1(,)2+∞上递增，其最小值为74，最大值为3，而7

234

?>，所以它是“三角形函数”，

选B .

二、填空题：

11.A

B 有3个元素，为3,4,5，所以2a =.

12.圆的方程即为22(1)4x y +-=，圆心为(0,1).直线过圆心，所以1b =-.

13. 由程序框图知，1

2,1;1,2;,3;2,

4,

2

a i a i a i a i ===-=====，直到2014i =，故此

时2a =.

14.几何体是一个半球和一个圆柱的组合体,体积为3214272443233V π

ππ=??+??=.

15.

(1,)t t t +=-a b ，||t -=a b ，所以当1

2

t =

时，()t t +∈R a b . 16.（1）1535,2847,4559=?=?=?，所以

21111116611666

=+=+?；（2）x

111

21(21)

n n n n =+--. 17.以12A A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，所以圆的半径大于点O 到BF 的距离，且小于OB 的长.

故a a b ?>?

??

得

e <

三、解答题： 18.

（Ⅰ）12sin cos()1cos()3

3

23π

π

π??-

-

=?-=……………………………………3分 ∵02

3

3

6

π

π

π

π

??<

<-

<

,∴3

6

6

π

π

π

??-

=-

?=

.…………………………………

6分

（Ⅱ）111

()2sin cos()2sin sin )6

222

f x x x x x x π

=--

=+

-2cos sin x x x =+…8分

1cos 21

222

x x -=

+- sin(2)6

x π

=-,……………………………………………………………………

10分 ∴当3222,2

6

2k x k k π

π

πππ+

-

+

∈Z ≤≤，即在区间5[,]()36

k k k ππ

ππ++∈Z 上()f x 单调递减.…………………………………………………………………………………………12分

19.（Ⅰ）∵,AD DB AD DC ⊥⊥，∴BDC ∠是二面角B DA C --的平面角.又∵二面角B DA C --是直二面角，∴BD DC ⊥,∴BD ⊥平面ADC ，∴BD AC ⊥，又DF AC ⊥，

∴AC ⊥平面B

，∴B ⊥.………………………………………………………………5分

（Ⅱ）连接CE 交BF 于点M ，连接PM ,则PM ∥DE .…………………………………7分

∵AB AC =,∴AD DC =,∴F 为AC 的中点，而E 为AB 的中点，∴M 为ABC ?的重心,

∴12EM MC =,∴12DP PC =.即在线段DC 上是否存在一点P ，使得DE ∥PBF ，此时1

2

DP PC =.

……………………………………………………

分

12

20.(Ⅰ)设公比为q ，则21222n n q q q a -=?=?=.…………………………………………2分

111b a ==.………………………………………………………………………………………

4分 2n ≥时，

122212222n n n n n

n n n b a a b n n

-----=-=-=?=?. ∴2

1,1

2,2n n n b n n -=?=???

≥…………………………………………………………………………7分

（Ⅱ）1n =时，11S =； 2n ≥时，012122322n n S n -=+?+?+

+?，1212222322n n S n -=+?+?+

+?，

两式相减得：1221112222(1)21n n n n S n n ---=----

-+?=-?+.

∴*n ?∈N ,1(1)21n n S n -=-?+.………………………………………………………………13分

图2

B C

A

D

F E

P

M

21.（Ⅰ）函数()f x 图象过点(0,1)-，切线斜率为1(1)

(0)210

f --'==-,…………………2分

()e ()e (0)12x x f x ax f x a f a ''=-?=-?=-=,∴3a =.………………………………6分

(Ⅱ)令()()g x x f x =-，则()e (1)x g x a x =--.

若1a =，则()e 0x g x =>，∴()f x x ≤成立.……………………………………………8分 若11e a <+≤，则()e (1)x g x a '=--.

∴当ln(1)x a <-时，()0g x '<；当ln(1)x a >-时，()0g x '>. ∴()g x 的(,ln(1))a -∞-上单调递减；在(ln(1),)a -+∞上单调递增.

∴ln(1)()(ln(1))(1)ln(1)(1)[1ln(1)]a g x g a e a a a a --=---=---≥.………………………11分

又∵1110a e a <+?->≤，ln(1)ln e 1a -=≤， ∴(1)[1ln(1)]0a a ---≥.

∴()0g x ≥,即()f x x ≤恒成立.

综上，当11e a +≤≤时()f x x ≤.…………………………………………………………14分

22.(Ⅰ)点E 到A 的距离与到直线1x =-的距离相等，所以曲线C 是以A 为焦点的抛物线.设为

2

2y px =，则122

p

p =?=，故曲线C 的方程为

24y x =.………………………………………4分

(Ⅱ)设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2(4)y k x -=-.

由2(4)4y k x y x -=-??=+?

得4282(,)11k k M k k +---.

∴382

421142341

k k k k k k --

+-=

=+-

-.…………………7分 x

Q

P

设1122(,),(,)A x y B x y .

由22(4)4y k x y x

-=-??=?得，2222(844)161640k x k k x k k --++-+=. ∴22121222

84416164

,k k k k x x x x k k -+-++==

.………………………………………………9分

∴121212121244(4)2(4)2

4444

y y k x k x k k x x x x ------+=+=+---- 121212122(8)11

22(

)2444()16

x x k k x x x x x x +-=-+=----++ 2222

22

844

2(8)422161648443

416

k k k k k k k k k k k -+-+=-=-+-+-?+ ∴1232k k k +=,即2λ=.……………………………………………………………………14分