2012年高考核心考点习题集

1

练习(一)(集合、逻辑、函数、导数与不等式)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，?U B ＝{4,5}，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{4} C ．{1,2,3} D ．{3,5}

2．下列命题：①?x ∈R ，x 2≥x ；②?x ∈R ，x 2≥x ；③4≥3；④“x 2≠1”的充要条件是“x ≠1或x ≠－1”中，其中正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2] D ．[2,4]

4．设x 、y 为正数，则(x ＋y )????1x ＋ 4

y 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 5．函数f (x )＝4x ＋1

2

x 的图象( )

A ．关于原点对称

B ．关于直线y ＝x 对称

C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称

6．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log b a

x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是

7．一物体A 以速度v ＝3t 2

＋2(t 的单位：s 、v 的单位：m/s)，在一直线上运动，在此直线上在物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方8 m 处以v ＝8t (t 的单位：s 、v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，设n s 后两物体相遇，则n 的值为( )

A.4＋103

B ．2＋10

C ．4

D ．5

8．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝???110x 在????0，103上根的个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题：本大题共6小题每小题5分，满分30分．

9．集合M ＝?

???

??

???

?m ??

10m ＋1∈Z ，m ∈Z

的所有元素之和为________．

10．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 11．已知双曲线x 2－y 2＝1的一条渐近线与曲线y ＝13

x 3＋a 相切，则a 的值为______．

12．设函数f (x )＝?

????

2－

x ，x ∈(－∞，1)

x 2，x ∈[1，＋∞).若f (x )>4，则x 的取值范围是____________．

13．已知b >0，直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值

为__________

14．设x 、y 满足约束条件????

?

2x －y ＋2≥08x －y －4≤0

x ≥0，y ≥0

，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最

大值为8，则a ＋b 的最小值为________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负数根，命题q ：关于x 的方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0没有实数根．若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ” 为真命题，求m 的取值范围．

16．(12分)若f (x )＝a ·2x ＋a －2

2x ＋1为奇函数．

(1)判断它的单调性； (2)求f (x )的值域．

3

17．(14分)设函数f (x )＝?

????

1 (1≤x ≤2)

x －1 (2

记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )．

(1)求函数h (a )的解析式；

(2)在图1中画出函数y ＝h (x )的图象并指出h (x )的最小值．

图1

18．(14分)

某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.

(1)用x 、y 表示混合物成本C ；

(2)确定x 、y 、z 的值，使成本最低．

19．(14分)某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A (m 2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m 3，且每层的建筑面积相同，土地的征

用面积为第一层的2.5倍. 经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用(总费用为建筑费用和征地费用之和)．

20．(14分)设x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)＝ax3＋bx2－a2x(a>0)的两个极值点．

(1)若x1＝－1，x2＝2，求函数f(x)的解析式；

(2)若|x1|＋|x2|＝2 2，求b的最大值；

(3)若x1

12a(3a＋2)

2.

5

练习(二)(三角函数、平面向量与解三角形)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．角α终边过点(－1,2)，则cos α＝( ) A.

55 B.2 55C ．－5

5 D.－2 55

2．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π

3对称的是( )

A ．y ＝sin ????2x －π6

B ．y ＝sin ????2x －π3

C ．y ＝sin ????2x ＋π6

D ．y ＝sin ????x 2＋π3 3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →

成立，则m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2 3sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60°C ．120° D ．150°

5．已知函数y ＝f (x )sin x 的一部分图象如图1，则函数f (

x )可以是( )

图1

A ．2sin x

B ．2cos x

C ．－2sin x

D ．－2cos x

6．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

7．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝3 5，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3) D ．(－6,3)

8．定义平面向量之间的一种运算“□”如下，对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a □b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )

A ．若a 与b 共线，则a □b ＝0

B ．a □b ＝b □a

C ．对任意的λ∈R ，有(λa )□b ＝λ(a □b )

D ．(a □b )2＋(a·b )2＝|a |2|b |2 二、填空题：本大题共6小题每小题5分，满分30分．

9．若三角形ABC 的三条边长分别为a ＝2，b ＝1，c ＝2，则sin A

sin (A ＋C )＝__________.

10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →

＝__________. 11．f (x )＝cos ????ωx －π6的最小正周期为π

5

，其中ω>0，则ω＝________.

12．已知α是第二象限的角，tan α＝－1

2

，则cos α＝________.

13．函数y 2＝sin x －cos x 的图象可由y 1＝sin x ＋cos x 的图象向右平移________个单位得到．

14．函数f (x )＝1－2sin 2????x ＋π4，则f ????π

6＝________. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 15．(12分)已知向量a ＝????sin x ，3

2，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在????－π

2，0上的值域．

16．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω＞0，0＜φ＜π

2)的图象如图2.

(1)求A 、ω及φ的值； (2)若tan α＝2，求f ???

?α＋π

8的值．

图2

7

17．(14分)已知：向量a ＝(3，－1)，b ＝(sin2x ，cos2x )，(0＜x ＜π)，函数f (x )＝a·b . (1)若f (x )＝0，求x 的值；

(2)求函数f (x )取得最大值时，向量a 与b 的夹角．

18．(14分)设函数f (x )＝cos ????x ＋23π＋2cos 2x

2，x ∈R . (1)求f (x )的值域；

(2)记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f (B )＝1，b ＝1，c ＝3，

求a 的值．

19．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个

最高点之间的距离为2π.

(1)求f (x )的解析式；

(2)若α∈????－π3，π2，f ????α＋π3＝13，求sin ????2α＋5π

3的值．

20．(14分)已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设AB →和AC →

的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；

(2)求函数f (θ)＝2sin 2????π4＋θ－3cos2θ最大值与最小值．

9

练习(三)(数列、推理与证明)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80

2．在等比数列{a n }中，若a n >0且a 3a 7＝64，a 5的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1、2a 2、a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )

A ．7

B ．8

C ．15

D ．16 4．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图1的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中白色地面砖的块数是(

)

图1

A ．4n ＋2

B ．4n －2

C ．2n ＋4

D ．3n ＋3

5．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1

2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝

a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )

A ．Π11

B ．Π10

C ．Π9

D ．Π8

6．数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (n ∈N *)，a 、b 、c 为常数，则a －b ＋c ＝( )

A ．－3

B ．－4

C ．－5

D ．－6

7．已知{a n }是等比数列，a 1＝4，a 2＝2，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )

A ．16(1－4－n )

B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323

(1－2－

n )

8．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如

[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.2]＝－3，这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋[log 24]＋…＋[log 264]的值为( )

A ．21

B ．76

C ．264

D ．642

二、填空题：本大题共6小题每小题5分，满分30分．

9．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前6项的和S 6的值是__________．

10．如图2，在平面上，用一条直线截正方形的一个角则截下一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理得c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －ABC ，若用s 1、s 2、s 3表示三个侧面面积，s 4表示截面面积，你类比得到的结论是________________.

图2

11．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23…＋25n －

1是31的倍数的命题时，当n ＝1时，原式为__________，从n ＝k 到n ＝k ＋1成立时，左边需要增添的项是____________．

12．已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则

a m ＋n ＝

b ·n －a ·m n －m ”．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)为等比数列，且b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，

m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝______________.

13．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.

14．如图3，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．

1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 … … …

图3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

15．(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；

(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3

＋b 3成等比数列，求T n .

16．(12分)已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝10，a 5＝4. (1)求{a n }的通项公式；

(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．

11

17．(14分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.

(1)求a n 与b n ；

(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1

S n

的值．

18．(14分)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3

＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.

(1)求{a n }、{b n }的通项公式；

(2)求数列????

??

a n

b n 的前n 项和S n .

19．(14分)设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋1

a n(n∈N

*)．(1)求证：当n∈N*时，恒有a n>2n＋1成立；

(2)若数列{b n}中，b n＝a n

n

(n∈N*)，判断b n与b n＋1的大小，并说明理由．

20．(14分)已知数列{a n}为等差数列，a3＝5，a7＝13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n＝2b n－1.

(1)求{a n}、{b n}的通项公式；

(2)若c n＝a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n；

(3)试比较T n与a n S n的大小，并说明理由．

13

练习四(立体几何)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．若a、b表示互不重合的直线，α、β表示不重合的平面，则a∥α的一个充分条件是()

A．α∥β，a∥βB．α⊥β，a⊥βC．a∥b，b∥αD．α∩β＝b，a?α，a∥b

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()

A．三角形 B.四边形C．五边形 D.六边形

3．已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()

A．P A＝PB>PC B．P A＝PB

4．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是()

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

5．如图1，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为()

A．2a2B．a2 C.3a2 D.

3 4a

2

图1 图2

6．设α、β是两个不同的平面，l为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l?α，m?β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m?β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是() A．p或q B．p且q C．┐p或q D．p且┐q

7．如图2，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列结论中正确的个数是()

①BD1⊥AC；②BD1⊥A1C1；③BD1⊥B1C.

A．0 B．1 C．2 D．3

8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()

A.

2

3 B.

3

3 C.

2

3 D.

6

3

二、填空题：本大题共6小题每小题5分，满分30分．

9．已知四棱椎P－ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝8，则该四棱椎的体积是__________．

10．如图3，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为__________．

15

图3

11．如图4的五个正方体中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形的序号是________．

图4

12．已知三个球的半径R 1、R 2、R 3满足R 1＋2R 2＝3R 3，则它们的表面积S 1、S 2、S 3，满足的等量关系是__________．

13．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则三角形面积S ＝1

2

r (a ＋b ＋c )，

根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.

14．如图5，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．

图5

三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 15．(12分)如图6，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .

(1)证明：P A ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .

图6

16．(12分)如图7，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．

图7

17．(14分)如图8，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC1；

(2)求证：AC1∥平面CDB1；

(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

图8

18．(14分)已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起(如图9)．

(1)证明：BF∥平面ADE；

17

(2)若△ACD 是正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，设EA ＝a ，求三棱锥E －ADC 的体积．

图9

19．(14分)如图10，在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12

.

(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；

(2)求面SCD 与面SAB 所成的二面角的正切值．

图10

20．(14分)如图11，已知棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且AA 1⊥面ABCD ， ∠DAB ＝60°，AD ＝AA 1，F 为棱AA 1的中点，M 为线段BD 1的中点．

(1)求证：MF ∥平面ABCD ； (2)求证：MF ⊥平面BDD 1B 1；

(3)若AA 1＝2，求点C 1到平面BFD 1的距离．

图11

19

练习五(解析几何)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )

A ．x －2y －1＝0

B ．x －2y ＋1＝0

C ．2x ＋y －2＝0

D ．x ＋2y －1＝0

2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．12

3．与椭圆x 24

＋y 2

＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )

A.x 24－y 2＝1

B.x 22－y 2＝1

C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22

4．设F 1、F 2为双曲线x

24

－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上满足∠F 1PF 2＝90°，

则△F 1PF 2的面积是( )

A ．1 B.5

2

C ．2 D. 5

5．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，则过点M 的最短弦所在的直线方程是( )

A ．x ＋y －1＝0

B ．x －y －1＝0

C ．x －y ＋1＝0

D ．x ＋y ＋2＝0

6．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，那么线段PQ 中点的轨迹方程是( )

A ．y 2＝2x －1

B ．y 2＝2x －2

C ．y 2＝－2x ＋1 D. y 2＝－2x ＋2 7．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.8

5

D ．3 8．若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a

2－y 2

＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲

线右支上的任意一点，则OP →·FP →

的取值范围为( )

A ．[3－2 3，＋∞)

B ．[3＋2 3，＋∞) C.????－74，＋∞ D.???

?7

4，＋∞ 二、填空题：本大题共6小题每小题5分，满分30分． 9．抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．

10．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的焦点，M 为椭圆上一点MF 1⊥x 轴且∠

F 1MF 2＝45°，则椭圆的离心率是__________．

11．双曲线x 216－y 2

9

＝1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差

中项，则P 点到左焦点的距离为__________．则|PF 2|＝1

2

(a ＋c ＋c －a )＝c ＝5，由双曲线

的定义得：|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝8＋5＝13.

12．若a 、b 、c 是直角三角形△ABC 的三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为__________．

13．椭圆x 29＋y 2

2

＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________，

∠F 1PF 2的大小为__________．

14．直线?

????

x ＝－2＋t

y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为

__________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

15．(12分)已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.

(1)求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；

(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.

16．(12分)根据下列条件求圆的方程：求经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y －3＝0上的圆的方程．

17．(14分)已知圆C方程为：x2＋y2＝4.

(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2 3，求直线l的方程；

→

(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ