2014年4月04183概率论与数理统计考前精简资料(必下)

04183概率论与数理统计（经管类） 1．若E(XY)=E(X)

)(Y E ?,则必：D(X+Y)=D(X)+D(Y)

2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 0.1 。 3．设随机变量

X

的分布函数为

)(x F ，下列结论错误的是：)(x F 连续

4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)=k n k k n q

p C -

5．设

X

服从正态分布

)

4,2(N ，

Y

服从参数为

2

1的指数分布，且

X

与

Y

相互独立，则

(23)D X Y ++= 20

6．设

n

X X X 21独立同分布，且

1EX μ

=及2DX

σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得

()1n i i P X a a =??≥????∑为常数的近似值为

1a n n μσ-??

-Φ ?

??

7．设二维随机变量

),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为

Y X

0 1 2 -1 0 1

0.2 0 0.1 0 0.4 0 0.1 0 0.2

则

(0,1)F = 0.6 。

8．设k

X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（2

χ分布 ）

分布

9．设两个相互独立的随机变量

X 与Y 分别服从

)1,0(N 和)1,1(N ，则：21)1(=≤+Y X P

10．设总体

X~N (2,σμ)，2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量：

n

s x t /0μ-=

12．设A 、B 表示三个事件，则

AB 表示 ：A 、B 都不发生；

13．设随机变量X 的概率密度为?????<≥=-,0,0;

0,e )(5

x x c x f x

则常数c 等于（ 0.2 ）

14.设随机变量X 的概率密度为其他10,,0)(3≤≤??

?=x ax x f ，则常数a= ( 4 )。

15.设

21)(=A P ，31)(=B P ，61)(=A B P ，则=)(AB P 112

16. 随机变量F~F(n1 ，n2）,则F

1

~ ( F(n2，n1) )

18．设

()

~0,2X N ，

()

~0,1Y N ，且

X 与Y 相互独立，则随机变量~Z

X Y =- (0,3)N

19．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为

32，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是：818

20、设

C B A ,,为三事件，则=?B C A )(B C A ?)(

21．已知

)(A P =0.7，)(B P =0.6，3.0)(=-B A P ，则=)(B A P 0.1 。

22．设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则随σ的增大,概率P

{}σμ≤-X ( 保持不变 )。

23．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在0.05的显著水平下拒绝H0：μ=μ0，那么在0.01的显著水平下，(必拒绝H0 )。 24．设

()F x 和()f x 分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有(()0F -∞= )

25．设X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤

≥-)2(EX X P 0.5 。

26．设二维随机变量

),(Y X 的联合分布律为

Y X

0 1 2 -1 0 1

0.2 0 0.1 0 0.4 0 0.1 0 0.2

则

(1)P X Y +≤= 0.8。

27.已知随机变量X 的概率密度为

)(x f X ，令Y= -2X ，则Y 的概率密度)(y f Y 为：

)2(21y f X --

28．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且

)1(+X E =3，则λ=0.5。

29．设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = Fx(x) 30．设Ａ与Ｂ互为对立事件，且Ｐ(A)>0, Ｐ(B)>0,则下列各式中正确的是( ()0.5P AB = ）

31．设随机变量Ｘ的分布函数是Ｆ(x)，下列结论中不一定成立的是：)(x F 为连续函数

32．设随机变量Ｘ～Ｕ(2, 4), 则Ｐ(3

33．设随机变量X 的概率密度为

??

?<<=其它

,

010,

2)(x x x f ，则

)32(<<-X P =1。

34．设Ｘ～Ｎ(-1, 2), Y~Ｎ(1, 3), 且Ｘ与Ｙ相互独立，则X+Y~Ｎ(0, 5)

35.设随机变量X ～B （36，6

1

），则D （X ）＝(5 )。

二、填空题

1． 100件产品，有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一个产品，则第二次取到次品的概率是0.1。

2．袋中有5个黑球，2个白球，一次随机地摸出3个球，其中恰好有2个白球的概率为0.3。

3．已知随机变量

X

服从参数为λ的泊松分布，则

)3(=X P =λ

λ-e !

33

。

4．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且X 与Y 相互独立，则X2+Y2 ~

)2(2χ。

5．设总体

X

服从正态分布

()

2,N μσ，

n

X X X ,,,21 来自总体

X

的样本，

X

为样本均值，则

)(X D =n

2

σ。

6．设随机变量

X

的分布律为

X

-1 0 1 P

0.25

0.5

0.25

则

(212)P X -<= 1 。

7．设随机变量

X

服从参数为λ的泊松分布，且

[(1)(2)]1E X X --=，则λ=。

8．设

()

1F x 与

()

2F x 分别为随机变量

1

X 与

2

X 的分布函数，为使

()()()

12F x aF x bF x =-是某一随

机变量的分布函数，则

b a ,满足a-b=1。

9．设X ～N(1,4) ，则

4)1(2

-X ～

)1(2

χ。 10．设

n

X X X ,,,21 来自正态总体

()2

,N μσ

（0>σ）的样本，则n

X σ

μ

-服从N(0,1)。

11. 已知

)(A P =)(B P =31，61)(=B A P ，则=)(B A P 7/18 。

12. 抛硬币5次，记其中正面向上的次数为X ，则P(X ≤4)= 5/32 。 13.设D(X)=1, D(Y)=4, 相关系数

xy

ρ=0.12, 则COV(X,Y)=____0.24 ___。

14. (X,Y)~f(x, y)=其他0,0,

,0)(≥≥??

?+-y x Ce y x ，则C= 1 。

15 若随机变量X 的方差存在，由切比雪夫不等式可得

≤

>-)1)((X E X P D(X) 。

16 总体X~N (2

,σμ)，n x x x 21,为其样本，未知参数μ

的矩估计为

x 。

17. 设随机变量X

的概率密度为

??

?<<=其它

,

010,

2)(x x x f ，以Y 表示对

X

的三次独立重复观察中事

件

}21{≤X 出现的次数，则EY = 3/4 。

18. 样本来自正态总体N(μ，σ2),当σ2未知时，要检验H0: μ=μ0 ，采用的统计量是

n

S X μ

-。

19．在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是0.7，且这两门课是否及格相互独立。现从该班任选一名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为 0.42 。

20．设连续型随机变量X

的密度为

??

?<<=其它，020,2)(x x x f ，则=≤≤-)1X 1(P 1/4 。

21．设X 服从

)4,2(N ,则)2(≤X P = 0.5 .

22．设

12,,,n

X X X 是来自于总体服从参数为λ的泊松分布的样本，则λ的一无偏估计为

X

。

19．设随机变量

(1,2)i X i =的分布律为

i X

-1

1

k

p

1

4

1

2

1

4

且

12

,X X 独立，则

{}

120,1P X X ==-= 1/8 。

23．设两个相互独立的随机变量

X 与Y 分别服从

)1,0(N 和)1,1(N ，则Y X 2+服从 N(2,5)

24．设X 为连续型随机变量，c 为常数，则()P X c == 。

25．设随机变量X 的分布律为

X

0 1 2 P

0.1

0.4

0.5

记

X

的分布函数为

()F x ，则(1)F = 0.5 。

26．把3个不同的球随机放入3个不同的盒中，则出现2个空盒的概率为 1/27 。 27．设A ，B 为随机事件，则

=A B A )(

A 。

28. 设Ａ,Ｂ为随机事件，且Ｐ(A)＝0.8 Ｐ(B)=0.4 =

)(A B P 0.25,则

)

(B A P ＝ 0.5 。

29. 若已知

)(X E =2 , )(X D =4, 则E(2X2)= 16 。

30. 设随机变量X ～N （1，9），

)32(+X D =

36 。

31. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生但B 不发生的概率与B 发生但A 不发

生的概率相等，则

)(A P = 4/9 。

32

n

x x x 21,为总体X 的样本，X 服从[0,

θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，记

∑==n

i i

x n x 11，则θ的无偏估计是 x 2 。

33 若E(X)= μ, D(X)= σ2>0, 由切比雪夫不等式可估计≥+<<-)33(σμσμX P

8/9 。

34. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = F(x) 。

35 随机变量F~F(n1 ，n2）,则F

1

~ F(n2,n1) 。

三、计算题

1．设X 与Y 为相互独立的随机变量，X 在[-2,2]上服从均匀分布，Y 服从参数为λ=3的指数分布，求：（X , Y ）的概率密度。 2．设连续型随机变量

X

的分布函数为

??

?<≥-=-

0,0

,)(x x e a x F x

求：(1)求常数a ；(2) 求随机变量X

的密度函数。

3．设随机变量~(2,5)X U ，现对X 进行三次独立观测，求（1）

(3)P X >；

（2）至少有两次观测值大

于3的概率。

4．设

n

X X ,,1 是来自总体的一样本，求

????

?≤≤=-其它,01

0,),(1x x x f θθθ，其中θ为未知参数，求θ

的矩估计。

5．已知某电子器材厂生产一种云母带的厚度服从正态分布，其均值

μ=0.13(mm)，标准差σ

=0.015(mm)。

某日开工后检查10处厚度，算出其平均值x =0.146(mm)，若厚度的方差不变，试问该日云母带的厚度的均值与0.13(mm)有无显著差异(α=0.05，

96

.1025.0=u )？

6. 10件产品中有4件是次品，从中随机抽取2件，求（1）两件都是次品的概率，（2）至少有一件是次品的概率。

7. 有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为：0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、轮

船、汽车来的话，迟到的概率分别为0.25，13，1

12，而乘飞机则不会迟到，求：

(1)他迟到的概率。(2)已知迟到了，他 乘火车来的概率是多少。

8. 设随机变量X 的分布律为

???? ??1.04.02.03.02320πππ，求Y 的分布律，其中， (1)2

)2(π-=X Y ; (2)

cos(2)Z X π=-。 9. 正常人的脉搏平均次数为72次/分。今对10 名某种疾病患者测量脉搏，平均数为 67.5次/分，样本标准差为6.3386。设患者的脉搏次数X 服从正态分布，试检验患者的脉 搏与正常人的脉搏有无差异。[ 注α=0.05，t0.025（9）=2.262] 10．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1

0 和2

，现从A 和B 的产品中分别占60

和40

的

一批产品中随机抽取一件，发现是次品，试求该次品属于A 生产的概率。 11．已知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ，求1

X =aX+b 与

2

X =CY+d 的相关系数，其中a ，b ，c ，d 均为

常数，且a ≠0 ，c ≠0．

12．设

n

X X ,,1 是来自总体

X

的一样本，求

(1),01

(,)0,x x f x θθθ?+≤≤=?

?其它，其中θ为未知参数，

求θ极大似然估计。

13．从五副不同的手套中任取4只，求其中至少有两只手套配成一副的概率。 14 设二维随机变量的分布律为

Y X 1-

０

31

41 １

41

61

试求：(1). (X, Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律，(2). X 与Y 是否相互独立，为什么?

15.设X 的密度函数为

其他，10,,0)1(2)(<

?-=x x x f ，求Y=X3的期望和方差。

16. 设(X ，Y)的概率密度为

3,

01,01

(,)0,

x y x y f x y -≤≤≤≤?=?

?其他

(1)求边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y ；(2) 求)(X E 和)(X D

17．设随机变量X 的密度函数为

2,03()0,ax x f x ?<<=?

?其他

求：（1）常数a 的值； （2）1Y

X =-的密度函数()Y f y 。

18.设连续型随机变量X 的分布函数为

,8,

80,0,,,180)(≥<≤

x F

求(1).X 的概率密度

)(x f ; (2).

)8)

()((X D X E X P ≤

-

19．某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(Ω)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(Ω)，

设总体为正态分布。问在显著性水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大。(2

0.05

(8)χ=15.507，20.95(8)χ=

2.733)。

20.某厂生产的铁丝的折断力服从正态分布，且已知平均折断力为570公斤，标准差为8公斤。现在改变了原材料，据检验，标准差不会改变，今从新生产的铁丝中随机抽取抽取10根，测得折断力的平均值为574.8公斤，问新产品的平均折断力是否有显著改变？(96.1,

05.0025.0==μα)

三、计算题（答案）

1. 由已知条件得X,Y 的概率密度分别为

其他,11,,021)(≤≤-?????=x x f X 其他,0,,02)(2Y ≥???=-y e y f y 因为X 与Y 相互独立，所以 其他,

0,11,,0)()(),(2Y X ≥≤≤-??

?==-y x e y f y f y x f y

2. 解：1）由

1)(=+∞F 得1=a

2）因为

??

?

<≥-=-

0,00

,1)(x x e x F x

，故

='=)()(x F x f ??

?<≥=-0,00

,)(x x e x F x

3. 解：1) 因

1

,25()3

,

x f x ?

≤≤?=?

??其他，故

(3)P X >=5

3

1323

dx =?

2)P(至少有两次观测值大于3)=

22333321220()()33327C C +=

4解：由()1

101EX xf x dx x x dx X θθ

θθ∞

--∞====+??,得

2

?1X X θ??= ?

-??

5解：

01:0.13;:0.13

H H μμ=≠，取

)

1,0(~N n

X U σμ

-=

故拒绝域为：

0.025 1.96

U Z ≥=， 而

0.1460.13

1.96

0.01510

U -=

>，因此拒绝

H ，认为有显著的差异。

6解：（1）用A 表示取到两件皆次品，则A 中含有

2

3C 个基本事件。

故P(A)=

151

2

1023=C C (2) 用B 表示取到的两件中至少有一件是次品，B （i=0,1,2）表示两件中有i 件次品， 则B=B1+B2,显然B0,B1,B2互不相容，故

P(B)=P(B1)+ P(B2)=

158

2

10232101

713=+C C C C C . 7.解：设

1H =

{乘火车}；

2H =

{乘汽车}；

3H =

{乘轮船}；

4H =

{乘飞机}；

A ={他迟到}，

则1)

()()()()()()()()()1122334431111123

0104531012520

P A P A H P H P A H P H P A H P H P A H P H =+++=

?+?+?+?=

2)

()()()()()()11110.30.25

0.5

320

P A H P H P H A P H A P A P A ?=

===

8. 解：因为X 的分布律为

????

??1.04.02.03.02320πππ，故得 X

2π

π

23π

2

)

2(π-=X Y

2π

2π

42

π )2cos(π-=X Z

-1 1 -1 1 P

0.3

0.2

0.4

0.1

(2)

故(1)2

)2(π-=X Y 的分布律为 (5)

Y 0

2π

42

π P

0.2

0.7

0.1

(2))2cos(π-=X Z 的分布律为 (8)

Z -1 1 P

0.7

0.3

9. X~N （u ，σ2） H0: u =u0

由于总体方差未知，可用T 统计量。 由

X

=67.5 S=6.3386

T=

n

S X /)

(0μ-=(67.2-72)

10

/6.3386=2.394

t0.025（9）=2.262

T

=2.3947>2.262 ， T 落入拒绝域故否定原假设。

认为患者的脉搏与正常人有显著差异。 10. 解： 设

A H ={A 生产的次品}，

B H =

{B 生产的次品}，C ={抽取的一件为次品}，

()()()

()()()()

0.010.63

0.010.60.020.47

A A A A A

B B P

C H P H P H C P C H P H P C H P H ?=

=

=

?+?+

11. COV(X1, X2)=COV(aX+b, cY+d)= acCOV(X,Y) (2分 ) D(X1)=D(aX+b)=a2D(X) (1分 ) D(X2)=D(cY+d)=c2D(Y) (1分 )

)

()(),(21212

1

X D X D X X COV X X =

ρ=

)

()()

,(Y D X D ac Y X acCOV =

00<>???-=ac ac ac ac

ρρρ

12 解：因为

1

1

()(,)(1)n n

i i i i L f x x θ

θθθ===∏=∏+，

故

1

ln ()(ln(1)ln )

n

i i L x θθθ==++∑，

从而由1ln ()1

(ln )01n i i L x θθθ=?=+=?+∑得

1

?1ln n

i

i n

x

θ

==--∑；

13. 解：令“没有两只手套配成一副”这一事件为A ，则P(A)=

218

4

101

212121245=C C C C C C 则“至少有两只手套配成一副的概率”这一事件为A ，

2113

2181)(1)(=-

=-=A P A P

14. 解:

关于Ｘ的边缘分布律

Ｘ 0

１

Ｐ 127 125

关于Ｙ的边缘分布律

Ｙ －１ ０

Ｐ 127 125

由于

()14449)1()0(311,0=-=?=≠=

-==Y P X P Y X P

因此X 与Y 不互相独立

15. 解

：

101

)1(2)()()(1

33

3

??=

-===+∞

∞

-dx x x dx x f x X E Y E

036.0281

)1(2)()()(1

6662≈=

-===??+∞

∞

-dx x x dx x f x X E Y E

026.01001

281))(()()(22≈-=

-=Y E Y E Y D

16.

17.1）由3

)(11

2a

dx ax dx x f =

==

??+∞

∞

-，得3=a

2）

()()(1)(1)

Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤+

=

22,11,8

)1(1

,022,11,31,0)(32)1(02

2)1(≤???????≤≤-<=≤???????≤≤<=??--∞-y y y y y y dx x y dx x f y y ，

故

??

?

?

?

≤

≤

-

=

'

=

其他

,0

2

1,

8

)1

(3

)

(

)

(

2

y

y

y

F

y

f

18. （1）

其他

8

8

1

)

('

)

(

≤

≤

??

?

?

?

=

=

x

x

F

x

f

(2)

6

1

8

1

)

3

14

3

10

(

)

3

2

)4

(

)

8

)

(

)

(

(3

14

3

10

=

=

≤

≤

=

≤

-

=

≤

-?dx

X

P

X

P

X

D

X

E

X

P

19. 解：

2222

01

:0.005;:0.005

H H

σσ

≤>

，取

)1

(

~

)1

2

2

2

2-

-

=n

s

n

χ

σ

χ

（

，

故拒绝域为：

222

0.05

(1)(8)15.507

n

α

χχχ

≥-==

，

而

22

2

22

(1)80.007

15.6815.507

0.005

n s

χ

σ

-?

===>

，因此拒绝0

H

，认为显著地偏大。

20.

570

:

=

μ

H

选取统计量

n

x

/

σ

μ

μ

-

=

,

μ

~N(0,1) 带入

8.

574

=

x，10

,8=

=n

σ

得

8974

.1

10

/8

570

8.

574

=

-

1.8974<1.96 即u落在接受域内，故接受H0

即认为平均折断力无显著改变。