山东大学《高等数学》期末复习参考题 (2)

山东大学《数学分析III 》期末复习参考题

一、选择题（共 5 小题，20 分）

1、二重积分

(其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为( )

2、设函数z z x y =(,)是旋转双叶双曲面--+=x y z 2221的z >0的部分，则点

)0,0(是函数z 的（

）

（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 3、设f x y e

x y y x x y

(,)()()=-+-?????

?+1313132

311，则在（0,1）点处的两个偏导数f x '(,)01和f y '

(,)01的情况为（ ）

(A)两个偏导数均不存在；

(B) f x '

(,)01不存在, f e y '

(,)014

3

=

(C) f e x '

(,)013=，f e y '

(,)0143

= (D) f e x '

(,)013

=

，f y '

(,)01不存在 4、设z xye

xy

=-，则z x x x '

(,)-=（ ）

(A) -+2122

x x e x () (B) 2122

x x e x ()- (C) --x x e x ()122

(D) -+x x e x ()122

5、若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则

( )

(A) e; (B) e -1; (C) 0; (D)π.

二、填空题（共 10 小题，40 分）

1、设向量场A =P (y ,z )i +Q (z ,x )j +R (x ,y )k ,则div A =___________.

2、极限lim()

x y y

y x x

xe →→++01

21= ??????? 。

3、函数z x y =+

ln()2

在点（1，3）沿{}

a =-11,方向的方向导数是___________。 4、函数z x y x y =----234612

2

的驻点是___________。

5、设D ：x 2+y 2≤2x ,由二重积分的几何意义知

=________.

6、曲线z xy

y ==??

?1

在点（2，1，2）处的切线与x 轴正向所成的倾角为___________。

7、函数f (x ,y ,z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +yz +4x 在点(0，1，－2)处的梯度是__________. 8、曲面sin()cos()sin()x y y z z x +++--=

++232322

2

在点(,,)πππ646-处的

切平面方程是______。

9、设函数F x y z (,,)具有一阶连续偏导数，曲面 F x y z (,,)=0过点 P (,,)--134，且F P F P F P x y z (),(),()=-==3231，则曲面 F x y z (,,)=0在点 P 的法线与

zx 平面的夹角是___________。

10、函数arcsin()x y 22+的定义域为___________。

三、计算题（共 5 小题，30 分）

1、计算二重积分

其中D ：|x |≤3,|y |≤1.

2、求曲线z x y y =+=???

226上的点(,,)1637处的切线的斜率。

3、求曲面积分

其中S 是半球面x 2+y 2+z 2=4,z ≥0.

4、计算rot(r ×c ),其中r 为矢径，c ={2,1,－3}.

5、设u x y z =++222，而z x y =2cos ，求

????u x u

y

,。 四、证明题（10 分）

设函数u F x y z =(,,)在条件Φ(,,)x y z =0下有极值为u F x y z 0000=(,,)，其中函数

F 及Φ具有一阶连续偏导数且不全为零。试证明曲面u F x y z =(,,)与曲面Φ(,,)x y z =0

在点()x y z 000,,处有相同的切平面（即两曲面相切）。

《数学分析III 》期末试卷02答案与评分标准

一、选择题（共 5 小题，20 分）

BDCDC

二、填空题（共 10 小题，40 分）

1、0

2、e e

2 3、

152

4、（1，－1）

5、π

6、

π

4

7、k j i 1125-+

8、π)4

232(23)22(+=--+z y x 9、

π3

10、x y 2

2

1+≤

三、计算题（共 5 小题，30 分）

1、解：原式=

（3分）

=36 （6分）

2、解：k z x

x x y x ======16

1

22

（6分）

3、解：224y x z --=

，

y x y x y y x x

S d d 441d 2

222

22???

?

?

?--+????

?

?--+= y x z

y x y x d d 2

d d 422

2=

--=

（3分） 且 4|),(2

2≤+=y x y x D

()()

y x y x S z y z x

D

S

d d 2d 2222

?????+=+∴

（4分）

r r r d d 2

2

220

??

?θ=π

[]2

2

2042???

???π?θ?=π

=π=?π?16422 （6分）

4、解：r ×c =

={－3y －z ,2z +3x ,x －2y }. （3分）

rot(r ×c )=

={－4,－2,6}. （6分）

5、解：u x z x y x x y x =+?=+2222432cos cos

（3分） u y z x y y x y y y =+-=-222224(sin )sin cos （6分）

四、证明题（10 分）

证明：显见曲面u F x y z =(,,)与Φ(,,)x y z = 0在 点(,,)x y z 000相交。

（2分）

令 ),,(),,(z y x z y x F L Φ+=λ 则在点),,000z y x 处有

?

??

??=Φ+==Φ+==Φ+=0

00z z z y y y x x x F L F L F L λλλ （5分）

所以向量{}

F F F x y z

x y z ,,(,,)

000与向量 {}

)

,,(000,,z y x z y x

ΦΦΦ

平行。

（8分）

故两曲面在点(,,)x y z 000处有相同法线， 故有相同的切平面。

（10分）