三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)

三角函数专题辅导

课程安排

制作者：程国辉

专题辅导一

三角函数的基本性质及解题思路

课时：4-5学时 学习目标：

1. 掌握常用公式的变换。

2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)

tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β

2、倍角公式：

sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)

cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)

cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)

3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±???→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβαβαβαβααα

αααβα

αβααβα

αα

αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=

-

4、同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：2

2

2

2

2

2

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：

一角二名三结构

首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=?

，

(

)()

2

2

2αβ

β

ααβ+=-

--

等）。

如：

1、已知2tan()5αβ+=

，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____///3

22

2、02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2

23sin()αβ-=，求

cos()αβ+///490

729

3、已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的函数关系

为______///43

(1)55

y x x =<<

(2)三角函数名互化(切割化弦)，如 1、求值sin 50(13tan10)+///1 2、已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值///1

8

(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。如

1、A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则c o s (

)A B +＝_____///-

2、ABC ?，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A = ____三角形///等边

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：2

1cos 2cos

2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=与升幂公式：2

1cos 22cos αα+=，2

)。如

1、若3

2

(,)αππ∈为_____///sin 2α

2、2

5f (x )sin x cos x x =-x R )∈递增区间＿＿＿＿＿＿51212

[k ,k ](k Z )ππππ-+∈

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 1、tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα

αα

++

+ ///sin α

2、求证：

2

1tan 1sin 212sin 1tan 2

2ααα

α

++=--；

3、化简：

4221

2cos 2cos 22tan()sin ()44

x x x x ππ-+

-+ ///1cos 22x

(6)常值变换主要指“1”的变换（2

2

1sin cos x x =+2

2

sec tan tan cot x x x x =-=?

tan sin 42

ππ===

等）。

如已知tan 2α=，求2

2sin sin cos 3cos αααα+- （答：3

5

）

(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”。如 1、若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __

（答：21

2

t -±)，特别提醒

：这里[t ∈；

2、若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。

///

3、已知

2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42

ππ

α<<，试用k 表示sin cos αα-的值

（8）、辅助角公式中辅助角的确定

：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所

在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b

a

θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。如

（1）

若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________. ///[－2,2] （2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______///32

- （3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= ///－2

专题辅导二

三角函数的图像性质及解题思路

课时：10课时 学习目标：

1会求三角函数的定义域 2会求三角函数的值域

3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。如x y sin =与x y cos =的周期是π. 4会判断三角函数奇偶性 5会求三角函数单调区间

6对sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>函数的要求 （1）五点法作简图

（2）会写sin y x =变为sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的步骤 （3）会求sin()y A x ω?=+的解析式

（4）知道cos()y A x ω?=+，tan()y A x ω?=+的简单性质 7知道三角函数图像的对称中心，对称轴 8能解决以三角函数为模型的应用问题

（一） 、知识要点梳理

1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，

3,,

,22

2

π

π

ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：

（1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22

x k k Z π

π=+

∈时，y 取最大值1；当

()322

x k k Z π

π=+

∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。如 （1）若函数sin(3)6

y a b x π

=-+

的最大值为23，最小值为21

-，则=a __，=b ＿

1

,12

a b ==或1b =-）

； （2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2

,

2[π

π-∈x ）的值域是____/// [－1, 2] （3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是___、___///7，－5

（4）函数2

()2cos sin()3

f x x x x π

=+sin cos x x +的最小值是_____，此时x

＝__________

（答：2；()12

k k Z π

π+

∈）

； （5）己知21cos sin =

βα，求αβcos sin =t 的变化范围///1

[0,]2

（6）αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα2

2s i n s i n +=y 的最值///1max =y ，222min -=y ）

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？

3

4、周期性：①sin y x =，cos y x =的最小正周期都是2π；

②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是

2||

T πω=

。 如

(1)若3sin )(x

x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___///—1/2 (2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4

sin x -的最小正周期为____///π (3) 设函数)5

2sin(

2)(π

π

+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为____///2

5、奇偶性与对称性：

(1)正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线

()2

x k k Z π

π=+

∈；

(2)余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π

π??

+

∈ ??

?

，对称轴是直线()x k k Z π=∈；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。如

（1）函数522y sin x π??

=- ???

的奇偶性是______、 （答：偶函数）；

（2）已知函数3

1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5

f()-=______ （答：－5）；

（3）函数)c os (sin c os 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______

（答：128k (

,)(k Z )ππ-∈、28

k x (k Z )ππ=+∈）； （4）

已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。

（答：6

k (k Z )π

θπ=+

∈）

6、单调性：

()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ?

?++∈???

?单

调递减；

cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递

增。特别提醒，别忘了k Z ∈！

7、 三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：

2sin sin sin a b c R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；

()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R =

=2c

R

=

；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； ②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：222

2

2

2

2cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc

+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定

三角形的形状.

(4)面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.

如ABC ?中，若C B A B A 2

2222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角

三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：

,sin()sin ,sin cos 22

A B C

A B C A B C π++=-+==；

（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

如

（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定

（答：C ）；

（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件

（答：充要）；

（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____

（答：12

-

）； (4)在ABC ?中，a ,b ,分

别是角A 、B 、C 所对的边，若

(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____

（答：60）；

（5）在ABC ?中，若其面积222

S =，则C ∠=____

（答：30）；

（6）在ABC ?中，60 1A ,b ==ABC ?外接圆的直

径是_______

（答：

3

）；

（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，2

1,cos 32

B C

a A +==则= ，22

b

c +的最大值为

（答：1932

;）；

（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 ＿＿

（答：06

C π<≤

）；

（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=，且,,AOB BOC COA ???的面积

满足关系式AOB BOC COA S S ???+=，求A ∠（答：45）．

8、反三角函数：

（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a 表示一个角，这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ??

-

????

内(11)a -≤≤。 (2)反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是

)2

,2(],,0[],2,2[π

πππ

π--

. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ，[)π,0， [0,),[0,),[0,]2

π

ππ．

9、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如

（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2

560x x -+=的两根，则求αβ+的值______

（答：

34

π）； （2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______

（答：

3

π）； （3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值

（答：23

π）.

专题辅导三

形如sin()y A x ω?=+函数的基本性质及解题思路

课时：4课时 学习目标：

1、掌握形如sin()y A x ω?=+函数的基本性质。

2、知道解题方法。

（一）、知识要点梳理

1、几个物理量：A ：振幅；1

f T

=

频率（周期的倒数）；x ω?+：相位；?：初相；

2、函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A

期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2

π

?<

()f x ＝_____（答：15()2sin()23

f x x π

=+）

；

3、函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，

3,,

,22

2

π

π

ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

4、函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()s i n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

ω

，得到函数()s i n y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移

|

|?

ω

个单位，如 （1）函数2sin(2)14

y x π

=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？

（答：2sin(2)14y x π

=-

-向上平移1个单位得2sin(2)4

y x π

=-的图象，再向左平移

8

π

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1

2

即得sin y x =的图象）；

(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2

x

y =的图象向___平移____个单位

（答：左；

2

π

）； （3）将函数72sin(2)13

y x π

=-

+图像，

按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量

（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6

a π

=-

-）

； （4）若函数()[]()

cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是

（答：）

附录一、三种基本变换规律： 1．平移变换规律

(1)水平平移：y ＝f (x ＋ )的图象，可由y ＝f (x )的图象向左( ＞0), 或向右( ＜0)

平移| |个单位得到。

(2)垂直平移：y ＝f (x )+b 的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b |

个单位得到。 2．对称变换规律

(1) y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称。 (2) y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称。

(3) y ＝f －1

(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称。

(4) y ＝－f -1

(－x )与y ＝f (x ) 的图象关于直线y ＝－x 对称。 (5) y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称 3．伸缩变换规律

(1) 水平伸缩：y ＝f (ωx )(ω＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸长(0＜ω

＜1) 或缩短( ω＞1)到原来的1

ω

倍(纵坐标不变)得到。

(2) 垂直伸缩:y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)得到。

注：函数y ＝Asin (ωx ＋ )(A ＞0, ω＞0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变

换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y =Af (ωx ＋ ) (A ＞0, ω＞0)也成立。 例1：要得到函数y ＝sin (2x －π

3 )的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )

(A)向左平移 π3 个单位 (B)向右平移π

3 个单位

(C)向左平移π6 个单位 (D)向右平移π

6

个单位

例2：函数y ＝－1

x ＋1

的图象是( )

例3：如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )

(A) －13 (B)－3 (C) 1

3

(D)3

例4：设函数f (x )＝1－1－x 2 (-1≤x ≤0)，则函数y ＝f

－1

(x )的图象是( )

例5：将y ＝2x 的图象( )

(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位

再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y ＝log 2(x +1)的图象。 例6：函数y ＝tan (x 2 －π

3

)在一个周期内的图象是( )

例7：函数y ＝12 cos 2

x ＋ 3 2 sinxcosx ＋1的图象可由y ＝sinx 的图象经过怎样的平移和伸缩

变换得到？

5、研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将

sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。如

（1）函数23

y sin(x )π

=-+

的递减区间是______

（答：51212

[k ,k ](k Z )π

πππ-

+∈）

； （2）12

34

x y log cos(

)π

=+的递减区间是_______ （答：336644

[k ,k ](k Z )π

πππ-+

∈）

； （3）设函数)2

2

,0,0)(sin()(π?π

ω?ω<

<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3

2π=

x 对称，它的周期是π，则

A 、)2

1

,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[

,]123

ππ

上是减函数 C 、)0,12

5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A

（答：C ）；

（4）对于函数()2sin 23f x x π?

?

=+

??

?

给出下列结论： ①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线12

x π

=

成轴对称；

③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3

π

个单位得到； ④图像向左平移

12

π

个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。 其中正确结论是_______

（答：②④）；

（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为

3

π

，那么此函数的周期是_______ （答：π）

6、正切函数tan y x =的图象和性质：

（1）定义域：{|,}2

x x k k Z π

π≠

+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数

的定义域了吗？

（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =

cos x +的周期为

2

π

，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周

期不变；

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π??

???

()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但

无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ??

-++∈ ???

内都是增函数。但要注

意在整个定义域上不具有单调性。

专题辅导四 综合训练

课时：4课时 学习目标：

1、掌握一些常见题型的解法。

（三）例题讲解

例1求函数3tan(2)4

y x π

=--的定义域，周期和单调区间。

例2已知函数()2sin(2)4

f x x π

=-

（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若3[0,

]4

x π

∈，求()f x 的取值范围； （7）求函数()f x 的对称轴与对称中心；

（8）若()f x ?+为奇函数，[0,2)?π∈，求?；若()f x ?+为偶函数，[0,2)?π∈，求

?。

例3．（1）将函数1si n(2)

24

y x π

=

-的图象向______平移_______个单位得到函数1

s i n 22

y x =

的图象(只要求写出一个值) (2) 要得到1cos(2)24y x π=-的图象,可以把函数sin()cos()66

y x x ππ

=--的图

象向______平移_______个单位(只要求写出一个值).

例4.设x R ∈,函数2

1()cos ()2f x x ω?=+-

(0,)2

o π

ω?><<,已知()f x 的最小正周期为π,且1

()84

f π=. (1)求ω和?的值; (2)求的单调增区间.

例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b (1)求这段时间的最大温差

(2)写出这段曲线的函数解析式

（四）练习题 一、选择题

1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6

π

个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是

A ．sin()6y x π

=+ B ．sin()6

y x π

=- C ．sin(2)3y x π=+

D ．sin(2)3

y x π

=- 2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a

f x x x

π+=<<，下列结论

正确的是

A ．有最大值而无最小值

B ．有最小值而无最大值

C ．有最大值且有最小值

D ．既无最大值又无最小值 3.函数y =1+cos x 的图象 （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称

（D ）关于直线x =

2

π

对称 4.已知函数f (x )=2sin ?x(?>0)在区间[3π-

,4

π

]上的最小值是－2，则?的最小值等于 A.

32 B.2

3

C.2

D.3 5.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距

离的最小值

4

π

，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.

2π D . 4

π 6.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( )

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1

7为了得到函数R x x y ∈+=),6

3sin(2π

的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的

点

（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变）

（C ）向左平移6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

（D ）向右平移6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

8.已知函数11

()(sin cos )sin cos 22

f x x x x x =

+--,则()f x 的值域是

(A)[]1,1- (B) ,12??

-

???? (C) 1,2?-??? (D)

1,2?--??

?

9.函数1

|sin(3)|2

y x =+的最小正周期是（ ）

Ａ．

π2

Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π

10.函数()tan 4f x x π??

=+

??

?

的单调增区间为 A ．,,2

2k k k Z π

πππ??

-

+

∈ ??

?

B ．()(),1,k k k Z ππ+∈

C ．3,,44k k k Z ππππ??-

+∈ ??

? D ．3,,44k k k Z ππππ?

?

-+∈ ??

?

11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是

（A ）sin 6y x π??

=+

??

?

（B ）sin 26y x π??

=-

??

?

（C ）cos 43y x π??

=-

??

?

（D ）cos 26y x π??

=-

??

?

12.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4

π

=x 处取得最

小值，则函数)4

3(

x f y -=π

是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2

3(

π

对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 13设ππ22αβ??∈- ???

，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ） Ａ．充分而不必要条件

Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

14.函数y=

2

1sin2+4sin 2

x,x R ∈的值域是 (A)［-

21,23］ (B)［-23,2

1

］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ 二、填空题 15.sin()4

y x π

=-+

在[0,2]x π∈的增区间是

16.2cos 0()x x R ≥∈的x 的集合是

17.8sin()48

x y π

=-

的振幅,初相,相位分别是 18.tan 1x ≤,且x 是直线的倾斜角,则x ∈

19.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??

-????

上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿＿＿。

20.若)4

sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = . 三．解答题

22设函数3cos(2)3

y x π

=+

（1）用“五点法”作出在一个周期内的简图；

（2）写出它可由cos y x =的图像经怎样的变化得到。

23已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图像关于直线6

x π

=-对称，求a 的值。

24已知2

()2cos 2f x x x a =++（a R ∈是常数

（1）若()f x 的定义域为R ，求()f x 的单调增区间； （2）若[0,]2

x π

∈时，()f x 的最大值为4，求a 的值。

25已知函数sin()(0,0,||)2

y A x B A π

ω?ω?=++>><在同一个周期上的最高点为

(2,2)，最低点为(8,4)-。求函数解析式。

26 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位小时）的函数，记作：

()y f t =下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+。

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放。由（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

27已知函数f (x )=A 2

sin ()x ω?+(A >0,ω>0,0

π

函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求?;

（2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).