高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
2012高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
1. （安徽）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6
R π
θρ=∈的距离是_____。
2.（北京）直线t t y t x (12?
??--=+=为参数)与曲线ααα
(sin 3cos 3???==y x 为参数)的交点个数为______。
3.（福建）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2
,332(
),0,2(π
，圆C 的参数方程θθ
θ
(sin 23cos 22??
?+-=+=y x 为参数）。 （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
4.( 广东) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为
1:(x t C t y t =???=??是参数） 和22cos :(2sin x C y θθθ
?=??
=??是参数），它们的交点坐标为_______.
5.（湖北）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系. 已知射线π
4θ=与曲线2
1,(1)x t y t =+??=-?
（t 为参数） 相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .
6.（湖南）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,
12x t y t
=+??
=-? (t 为参数)与曲线2C ：
sin ,
3cos x a y θθ=??
=?
(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.
7.（江苏）在极坐标中，已知圆C 经过点(
)
24P π，
，圆心为直线3sin 32ρθπ?
?-=- ??
?与极轴
的交点，求圆C 的极坐标方程．
8（江西）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2
-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。
9（辽宁）在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()2
2
2:-2+=4C x y
（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程。
10（陕西）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．
11（上海）如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6
π
α=，
若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .
12（新课标）
已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数???
?
??==，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都
在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3
π
（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编15：选修部分
一、选择题
1 ．（2013年高考大纲卷（文））不等式2
22x -<的解集是
（ ）
A ．()-1,1
B ．()-2,2
C ．()()-1,00,1
D ．()
()-2,00,2
二、填空题
2 ．（2013年高考陕西卷（文））(几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC
的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = ______.
(图中D.E 两点交换)
E
P
D
A
B C
【答案】
.6
3 ．（2013年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题)
已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.
【答案】1cos sin x y θ
θ=+??=?
(θ为参数)
4 ．（2013年高考陕西卷（文））A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a -b |>2, 则关于实数x
的不等式||||2x a x b -+->的解集是______.
【答案】A:R
5 ．（2013年高考天津卷（文））如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线
与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为______.
E
A
B
D
C
【答案】
15
2
6 ．（2013年高考湖南（文））在平面直角坐标系xOy 中,若直线121,
:x s l y s =+??=?
(s 为参数)和
直线2,
:21
x at l y t =??
=-?(t 为参数)平行,则常数a 的值为_____
7 ．（2013年高考陕西卷（文））(坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线2
2x t y t
?=?=? (t 为参数)的
焦点坐标是____________ .
【答案】(1, 0)
8 ．（2013年高考广东卷（文））(几何证明选讲选做题)
如图3,在矩形ABCD 中,3,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_______.
图 3
E
C
B
D
A
【答案】
21
2
9 ．（2013年上海高考数学试题（文科））若
2011x =,111
x y
=,则x y +=________. 【答案】1 三、解答题
10．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-1:几何证明选讲
如图,.AB O CD O E AD CD D 为直径，直线与相切于垂直于于，
BC 垂直于CD 于C EF ，,垂直于F ,连接,AE BE .证明:
(I);FEB CEB ∠=∠ (II)2
.EF AD BC =
【答案】
11．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—1几何证明选讲:如图,CD 为△ABC 外接圆的切
线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,,E F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且
BC AE DC AF ?=?,,,,B E F C 四点共圆.
(Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;
(Ⅱ)若DB BE EA ==,求过,,,B E F C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.
【答案】
12．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—4:坐标系与参数方程
C
A
B
D
F
E
已知曲线1C 的参数方程为45cos ,
55sin x t y t
=+??
=+?(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<).
【答案】解:(1)将45cos 55sin x t
y t
=+??
=+?,消去参数t,化学普通方程22(4)(5)25x y -+-=,
即 1C ： 22810160x y x y +--+=, 将22cos ,
810160sin x p x y x y y p θθ
=?+--+=?
=?代入得
28cos 10sin 160ρρθρθ--+=;
所以1C 极坐标方程为
28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.
(2)2C 的普通方程为2220x y y +-=,
2222
810160=1=0y=2y=2.20
x y x y x x x y y ?+--+=??????+-=????，
，，解得或， 所以12C C 与交点的极坐标为(2,
),(2,)42
π
π
. 13．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—4;坐标系与参数方程
已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y β
β=??
=?
(β为参数)上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.
(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
【答案】
14．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—1:几何证明选讲
如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点
E ,DB 垂直BE 交圆于点D . (Ⅰ)证明:DB DC =; (Ⅱ)设圆的半径为1,3BC =
,延长CE 交AB 于点F ,求BCF ?外接圆的半径.
【答案】解:(1)连接DE,交BC 为G,由弦切角定理得,
ABE BCE ∠=∠,而
,,ABE CBE CBE BCE BE CE ∠=∠∠=∠=故.又因为DB BE ⊥,所以DE 为直
径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.
(II)由(1),CDE BDE ∠=∠,DB DC =,故DG 是BC 的中垂线,所以32
BG =
,圆心为O,连接BO,则060BOG ∠=,0
30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=,所以CF BF ⊥,
故外接圆半径为
32
. 15．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—5:不等式选讲
已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. (Ⅰ)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集; (Ⅱ)设1a >-,且当1
[,)22
a x ∈-
时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围 【答案】解:(I)当2()a f x =-时，不等式 设函数y=21223x x x -+---,则 15,212,1,236, 1.x x y x x x x ? - ? --≤≤?? ->??? 其图像如图所示 从图像可知,当且仅当x (0,2)∈时,y<0,所以原不等式的解集是{ }02 x x <<; (II)当)1 ,,()1.22a x f x a ?∈- =+?? 不等式()f x ≤g(x)化为1+a≤x+3. 所以x≥a -2对x ∈1,22a ?? - ???? 都成立,故22a a -≥-,即43a ≤, 从而a 的取值范围是41,3 ??- ?? ? . 16．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)1 3 ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】 17．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲 已知函数()f x x a =-,其中1a >. (I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集; (II)已知关于x 的不等式()(){} 222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值. 18．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ?? ==-= ?? ? . (I)求1C 与2C 交点的极坐标; (II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为 ()3312 x t a t R b y t ?=+?∈?=+??为参数,求,a b 的值. 【答案】 014年全国各地高考文科数学试题分类汇编15： 选修4系列 1 选修4-1 几何证明选讲 15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-1所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长 ＝________． 图1-1 15．3 21．[2014·江苏卷] A ．[选修4-1：几何证明选讲] 如图1-7所示，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB ＝∠D . 图1-7 证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC ， 所以∠OCB ＝∠B . 又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 所以∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B ＝∠D ，因此∠OCB ＝∠D . [2014·江苏卷] B ．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝??????－1 21 x ，B ＝??????1 12 －1，向量α＝??? ?2y ，x ，y 为实数．若＝，求x ＋y 的值． 22．[2014·辽宁卷] 选修4-1：几何证明选讲 图1-6 如图1-6，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . (1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED . 22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A . 因为AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°， 所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径． (2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°. 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，所以∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 所以ED 为直径．又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB . 22．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-1：几何证明选讲 如图1-5，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2. 图1-5 22．证明：(1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD， 故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC. 因此BE＝EC. (2)由切割线定理得P A2＝PB·PC. 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2. 22．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲 如图1-5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE. 图1-5 (1)证明：∠D＝∠E； (2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形． 22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆， 所以∠D＝∠CBE. 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E. (2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故点O在直线MN上． 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点， 故OM⊥AD，即MN⊥AD， 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E. 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形． 15．[2014·陕西卷] B.(几何证明选做题)如图1-3所示，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________． 图1-3 15．3 7．[2014·天津卷] 如图1-1所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是() A．①②B．③④ C．①②③D．①②④ 7．D 2 选修4-2 矩阵 3 选修4- 4 参数与参数方程 14．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________． 14．(1，2) 12．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：???x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)的普通方程 为________． 12．x －y －1＝0 3[2014·江苏卷] C ．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为???x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解：将直线l 的参数方程???x ＝1－22t ， y ＝2＋2 2 t 代入抛物线方程y 2 ＝4x ， 得????2＋22t 2 ＝4??? ?1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2， 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. 23．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程； (2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y )，依题意，得? ????x ＝x 1， y ＝2y 1.由x 21 ＋y 21＝1得x 2＋????y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24 ＝1. 故C 的参数方程为? ??? ?x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)． (2)由? ????x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得?????x ＝1，y ＝0或?????x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为????12，1，所求直线斜率k ＝12 ，于是所求直线方程为y －1＝12??? ? x －12，即2x －4y ＝－3， 化为极坐标方程，得2 ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝3 4sin θ－2cos θ. 23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈??? ? 0， π2. (1)求C 的参数方程； (2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标． 23．解：(1)C 的普通方程为 (x －1)2＋y 2 ＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为 ? ????x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝ π 3 . 故D 的直角坐标为??? ?1＋cos π3，sin π 3，即????32，32. 23．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：x 24＋y 2 9＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 23．解：(1)曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ， y ＝3sin θ(θ为参数)， 直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝5 5 |4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝2 5 5|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝4 3 . 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为225 5 . 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为25 5 . 15． [2014·陕西卷] C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点????2，π6到直线ρ sin ??? ?θ－π6＝1的距离是________． 15． 1 4 选修4- 5 不等式选讲 4[2014·江苏卷] D ．[选修4-5：不等式选讲] 已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2 ＋y )≥9xy . 证明：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2 ≥33xy 2>0， 1＋x 2 ＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2 ＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 15．[2014·江西卷] x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________． 15．[0，2] 24．[2014·辽宁卷] 选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ； (2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤1 4 . 24．解：(1)f (x )＝? ????3x －3，x ∈[1，＋∞）， 1－x ，x ∈（－∞，1）. 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤4 3 ， 故1≤x ≤4 3 ； 当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0， 故0≤x ＜1. 所以f (x )≤1的解集M ＝???? ?? x 0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16????x －14 2≤4， 解得－14≤x ≤3 4， 因此N ＝?????? x －14≤x ≤34， 故M ∩N ＝???? ?? x 0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是 x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝ x (1－x )＝14－????x －122 ≤1 4 . 24．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝????x ＋1 a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2； (2)若f (3)＜5，求a 的取值范围． 24．解：(1)证明：由a >0 ，有f (x )＝????x ＋1a ＋|x －a |≥????x ＋1a －（x －a ）＝1a ＋a ≥2， 所以f (x )≥2. (2)f (3)＝???? 3＋ 1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1 a ，由f (3)<5得3