高二数学期末考试大题总复习

解答题二：概率

1．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球.

(Ⅰ)求连续取3次球，恰好得3分的概率；

(Ⅱ)求连续取2次球的得分之和ξ的分布列及数学期望Eξ.

2.《同一首歌》大型演唱会即将举行，甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔．

已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。

规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

3．一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。

（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；

（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的分布列及数学期望。

解答题二：概率 1

解答题二：概率 2

4．（本小题满分13分）（2011广东理科）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本

数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的

分布列及其均值（即数学期望）．

5、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（2）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．

解答题二：概率 3

6、已知将一枚质地不均匀．．．

的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为.27

1

（1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；

（2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的

总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E ξ.

7、某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次

测试的概率分别是

4

3

54和. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响. （I ）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；

（II ）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过

1次的概率；

（III ）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4

次测试后被撤销上岗资格的概率.

8、甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概

率为

53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为5

3

，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.

（I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III ）求甲取得比赛胜利的概率.

解答题二：概率 4

9、一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为

求出y 对x

10、电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

附：K 2

＝n ad －bc 2

a ＋

b

c ＋

d a ＋c b ＋d

解答题二：概率 5

解答题二：概率 答案

1．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到

一个红球得2分，取到一个白球得1分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球.

(Ⅰ)求连续取3次球，恰好得3分的概率；

(Ⅱ)求连续取2次球的得分之和ξ的分布列及数学期望E ξ. 1. 解：（1）设“3次均取得白球得3分”的事件为A ，则.125

8

525252)(=??=A P …4分

（2）从袋中连续取2个球的情况为：2次均为白球；1次白球，1次红球；2次均为红 球三种情况，所以，ξ的可能取值为2、3、4.…………………6分

而每次取得红球的概率为

53，每次取得白球的概率为5

2

，每次取球的情况是彼此独立的。 ∴2512)53)(52()3(;254)52()2(12222======C P C P ξξ；.25

9)53()4(2

02=

==C P ξ

9分

所以，2.325

4253252=?+?+?=ξE ………………12分 2.《同一首歌》大型演唱会即将举行，甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔． 已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。 规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选． （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

2解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则

3

43101(0)30C P C ξ===， 12643

103

(1)10

C C P C ξ?===， 21643101(2)2C C P C ξ?===，

363

101

(3)6

C P C ξ=== ， ……………………4分 其分布列如下：

解答题二：概率 6

甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5

9

61321210313010=?+?+?+?

． …………………6分 （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

P (A )=

310

3

6

1426C C C C +=

3

2

1202060=+，

P (B )=

1514

1205656310

3

81228=+=+C C C C ．………8分

因为事件A 、B 相互独立，

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()

451

15141321=

??? ??-??? ??

-=?=?B P A P B A P ， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 (

)

45

4445111=-=?-=B A P P ． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45

44

． …………………12分

3．一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。 （Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；

（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的分布列及数学期望。 3解：

（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A ，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况

则53

)(3

5

2312==C C C A P ……………………4分 （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为3、4、5、6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为

.5

3

,52取到黑球的概率为……………………6分 125

27

)53()3(33

3

===C P ξ

解答题二：概率 7

125

54

52)53()4(223=?==C P ξ

125

36)52()53()5(213=?==C P ξ 125

8)52()6(3

03===C P ξ

ξ∴的分布列为

10分

数学期望：E ξ=3×

12527+4×12554+5×12536+6×1258=5

21…………12分

4．（本小题满分13分）（2011广东理科）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本

数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的

分布列及其均值（即数学期望）．

4．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则

9814

5

a =，解得35a = 所以乙厂生产的产品数量为35件

（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品

由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为2

35145

?

=（件）

解答题二：概率 8

（3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ=== 11

23256

(1),10C C P C ξ===

2

2251

(2),10

C P C ξ===∴ξ的分布列为：

∴012.1010105

E ξ=?+?+?=

5、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（2）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望． 5、解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．

（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===?=

所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=?+?=

该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==?= ． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．

（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布

(30.9)B ，，33()0.90.1k

k k P k C ξ-==??，0123k =，

，，，即ξ的分布列是

解答题二：概率 9

ξ的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=?+?+?=．

（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=?=）

6、已知将一枚质地不均匀．．．

的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为.27

1

（1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；

（2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的

总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E ξ.

6（1）解：设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P ，依题意有： .3

1

.271

333==

?P P C 可得

所以，抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为

.9

2

32)31(223=??=C P ………………………………………………6分

（2）解：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4.

;

27

92132)31(21)32(31)2(;

271021)32(3121)32()1(;

27421)32()0(22321

321

330330

3=???+???===???+??===??==C C P C C P C P ξξξ

.

54

121)31()4(;

54

721)31(2132)31()3(33

333

3223=??===??+???==C P C C P ξξ

所以ξ的分布列为

E ξ=0×27+1×27+2×27+3×54+4×54=.2

7、某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次

测试的概率分别是

4

3

54和. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.

解答题二：概率 10

（I ）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；

（II ）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过

1次的概率；

（III ）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4

次测试后被撤销上岗资格的概率.

7、解：（I ）记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A 1，

.125

61

)54(1)(1)(311=-=-=A P A P

（II ）记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A 2，“连续3个月参

加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B 1，则 ,64

9)431()43()(,12548)541()54()(21

322232=-??==-??=C B P C A P

.500

27

64912548)()()(2222=?==B P A P B A P

两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为

.500

27

（III ）记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A 3，

.64

3

)41(4341)41()43()(2223=??+?=A P

8、甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概

率为

53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为5

3

，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.

（I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III ）求甲取得比赛胜利的概率. 8、解：（I ）只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：

.25

12

54531=?=

P

（II ）只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：

.25

185********=?+?=

P

（III ）甲取得比赛胜利共有三种情形：

若甲胜乙，甲胜丙，则概率为

25

125453=?； 若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为

6252753535153=???； 若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为.625

48

53545252=

??? 所以，甲获胜的概率为

.5

362548625272512=++ 9、一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为

解答题二：概率 11

求出y 对x 9、 x ＝1

5

(14＋16＋18＋20＋22)＝18，

y ＝15

×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，

∑5

i ＝1

x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222

＝1660， ∑5

i ＝1

y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32

＝327， ∑5

i ＝1

x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， ∴b ^

＝∑5

i ＝1x i y i －5x ·y ∑5 i ＝1x 2i －5x

2

＝620－5×18×7.41660－5×182

＝

－46

40

＝－1.15. ∴a ^

＝7.4＋1.15×18＝28.1. ∴回归直线方程为y ^

＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表为：

∴∑5

i ＝1 (y i －y i )2＝0.3，∑ i ＝1 (y i －y )2

＝53.2，

R 2＝1－

∑5

i ＝1 y i －y ^i

2

∑5 i ＝1 y i －y

2

≈0.994.

∴R 2

＝0.994.因而拟合效果较好．

10、电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

解答题二：概率 12

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

附：K 2

＝n ad －bc 2

a ＋

b

c ＋

d a ＋c b ＋d

10、 (1)25人，从而完成2×2列联表如下：

将2×2K 2

＝n ad －bc 2 a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d

＝100× 30×10－45×15 2

75×25×45×55＝10033

≈3.030.

因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．

(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为

Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}

其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.

Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，

事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝7

10

.

[点评] 本题考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，解决这类题目的关键是对题意准确理解．

解答题二：概率13