在动量表象中验证无限深势阱中粒子的不确定关系式

在动量表象中验证无限深势阱中粒子的不确定关系式

王为民(四川南充龙门中学)

摘要 由于教材和参考资料没有在动量表象计算无限深势阱中粒子不确定关系的数学内容,使一部分人疑惑坐标表象和动量表象计算不确定关系缺乏数学的一致性。为了解决这个问题。本文的目的就是给出教材和参考书的这个缺失环节。

关键词 动量表象 不确定关系 平均值 无限深势阱

在动量表象中坐标算符的形式为

p

i ?? 动量算符的形式为

p 所以,在动量表象中的不确定关系式为

)4

2

在动量表象中验证无限深势阱中粒子的不确定关系式

22 ≥????? ?????p p i 这个关系式利用了

[] i p p i p x =??

??????=,, 在无限深势阱中

()()()???≥≤∞<<=a x x a x x V ,000

粒子的定态薛定谔方程为

ψ=ψ-E dx d m 2

222 其归一化本征函数为

()??? ??=

ψx a n a x n πsin 2 在动量表象中,粒子的动量波函数为 ()dx x a n px i a p c ??

? ????? ??-=?∞∞-ππsin exp

在动量表象中验证无限深势阱中粒子的不确定关系式

1 坐标算符在动量表象中的平均值为 ()()()2sin 2

sin ''sin '2sin ''sin x'-x exp 1sin exp ''sin 'exp 1)(2*a dx x a n x a

dx x a n x dx x a n x x a dx x a n x dx x a n dp p i a dxdp x a n px i x dx x a n px i a dp p c p i p c x

=??? ??=??? ????? ??-=??

? ????? ????????-=??

? ????????-??? ????????=??=??????????∞

∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞

∞-∞∞-∞∞-πππδππππππ

坐标算符的平方的平均值为

在动量表象中验证无限深势阱中粒子的不确定关系式

()()()()??? ??-=??? ??=

??? ????? ??=

??? ????? ????????-=

??? ????????-??? ????????=

???? ????=??????????∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-222222222

*22131sin 2sin ''sin x'-x 2sin ''sin x'-x exp 1sin exp ''sin 'exp 1ππππδππππππn a dx x a n x a dx x a n x dx x a n a dx x a n x dx x a n dp p i a dxdp x a n px i x dx x a n px i a dp p c p i p c x

利用正弦函数的傅里叶变换

()()[]

k k i dx e kx x i --+=-∞

∞-?ωδωδπω)sin(

可将前面的无限粒子动量波函数写成

()??

??????? ??--??? ??+=??? ????? ??-=?∞

∞-a n p a n p a i dx x a n px i a p c πδπδπππ sin exp 1 因为动量波函数正交归一

所以有

()()1-2==??∞∞∞∞-ωωd P dp p c 其中

p =ω,而 ()2????????? ??--??? ??+=

a n p a n p a P πδπδπω

()ωP 定义在()∞∞,-上的偶函数,只在a n πωω±

==±取非零值。

故()0==?∞

∞-ωωωd P p

在动量表象中验证无限深势阱中粒子的不确定关系式

()2

22??? ??==?∞∞-a n d P πωωωω

2

在动量表象中验证无限深势阱中粒子的不确定关系式

在动量表象中验证无限深势阱中粒子的不确定关系式

2??? ??=a n p π 因此22226

132πn a

x x x -=-=?

a n p

p p π=-=?22 在动量表象的无限深势阱中不确定关系式为 263

222 >

-=??πn p x 其中 ,3,2,1=n

参考文献

1.【德】顾樵,《量子力学》Ⅱ,北京,科学出版社,2014.6.第349——351页

相关文档