专题：圆锥曲线综合问题(椭圆、抛物线、双曲线与向量、导数等综合问题)
专题：直线、圆锥曲线与平面向量
一 能力培养
1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 二 问题探讨
问题1设坐标原点为O,抛物线2
2y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ?
的值.【分类讨论思想】
问题2已知直线L 与椭圆22
221x y a b +=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为OP k ,OQ k ,如果
2
2OP OQ b k k a
?=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.
问题3给定抛物线C:2
4y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点.
(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB
夹角的大小;
(II)设FB AF λ=
,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围.
问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:
①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线; ③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为22.
三 习题探究 选择题
1．已知椭圆2215x y k +=的离心率105
e =,则实数k 的值为（ ） A,3 B,3或
253 C,5 D,15或15
3
2．一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为（ ） A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线
3．已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲线的准线方程是（ ） A,925y =±
B,925x =± C,1225y =± D,12
25
x =± 4．抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是（ ） A,(0,0) B,1
(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)22
5．已知点F 1(,0)4,直线l :1
4
x =-
,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是（ ）
A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题
6．椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为103,则此椭圆的
方程为 .
7．与方程3
x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 .
8．设P 是抛物线2
440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA
所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .
9．设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .
10．已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足0HP PM ?=
,
32
PM MQ =-
.
(I)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C;
(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A,B 两点,若在x 轴上存在一点E 0(,0)x ,使得ABE ?是等边三角形,求0x 的值.
11．已知双曲线C:22
221x y a b
-=(0,0)a b >>,点B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点,O 为坐标原点.点
A 在x 轴正半轴上,且满足,,OA O
B OF
成等比数列,过点F 作双曲线C 在第一,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P.
(I)求证:PA OP ?= PA FP ?
;
(II)设1,2a b ==,直线l 与双曲线C 的左,右两分支分别相交于点D,E,求DF
DE
的值.
12．已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线2
4y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲
线上.
(I)求点2F 的轨迹方程;
(II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.
13、已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?
的最小值.
14．（1）求直线1y x =+被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦中点轨迹方程.
y
p
Q
o
x
参考答案
问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时,在22y x =中,令1
2
x =
,有1y =±,则 11(,1),(,1)22A B -,得113
(,1)(,1)224
OA OB ?=?-=- . (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1()2
y k x =-
由21()22
y k x y ?
=-???=?
,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.
设1122(,),(,)A x y B x y ,则212122
21
,4
k x x x x k ++=?=,得 OA OB ?= 1122(,)(,)x y x y ?=12x x ?+1y 2y =12x x ?+11()2k x -21
()2
k x ?-
=22
212121
(1)()24
k k x x x x k +?-++ =222
22121(1)424
k k k k k ++-
?+=34-. 综(1),(2)所述,有3
4
OA OB ?=-
. 问题2解:设点P,Q,M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,(,)x y
由条件知2211221x y a b += ①22
22221x y a b += ②
122x x x +=,122y y y += ③2
12212y y b x x a
=- ④
①+②得2222
121222
2x x y y a b
+++= 即
22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=,将③,④代入得2222442x y a b
+=,
于是点M 的轨迹方程为22
22122
x y a b +=.
问题3解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1y x =-, 把它代入24y x =,整理得2
610x x -+= 设A 11(,)x y ,B 22(,)x y 则有12126,1x x x x +==.
112212121212(,)(,)2()OA OB x y x y x x y y x x x x ?=?=+=-+
+1=3-.
22221122121212[4()16]41OA OB x y x y x x x x x x =+?+=+++=
341cos ,41OA OB OA OB OA OB
?<>==-
, 所以OA 与OB 夹角的大小为341
arccos 41
π-.
(II)由题设FB AF λ= 得2211(1,)(1,)x y x y λ-=--,即2121
1(1)
x x y y λλ-=-??=-?.
得22221y y λ=,又2211224,4y x y x ==,有221x x λ=,可解得2x λ=,由题意知0λ>, 得B (,2
)λλ或(,2)λλ-,又F(1,0),得直线l 的方程为
(1)2(1)y x λλ-=-或(1)2(1)y x λλ-=--,
当[4,9]λ∈时,l 在y 轴上的截距为
21λλ-或21λλ--,由222
11
1λλλλλ=+--+,可知 21λλ-在[4,9]上是递减的,于是324413λλ≤
≤-,423
314
λλ-≤-≤--, 所以直线l 在y 轴上的截距为[43,34-
-]34
[,]43
. 问题4解:设M (,)x y 为曲线C 上任一点,曲线C 的离心率为e (0,1)e e >≠,由条件①,②得
22
1
x y e x +=-,化简得:22222(1)20e x y e x e -++-= (i)
设弦AB 所在的直线方程为y x m =+ (ii)
(ii)代入(i)整理后得:22222(2)2()0e x m e x m e -+++-= (iii), 可知2
2e =不合题意,有2
20e -≠,
设弦AB 的端点坐标为A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,AB 的中点P 00(,)x y .则1x ,2x 是方程(iii)的两根.
21222()2m e x x e ++=--,212122
2()
()()22m e y y x m x m m e ++=+++=-
+- 2120222x x m e x e ++==-,21202
(1)22y y m e m
y e ++-==-,又中点P 00(,)x y 在直线0x y +=上, 有222m e e +-+22(1)2
m e m
e +--=0,解得2m =-,即AB 的方程为2y x =-,方程(iii)为 2222(2)2(2)40e x e x e -+-+-=,它的28(2)0e ?=->,得22e >.
21222(2)22e x x e -++=-=-,2122
42e x x e
-?=- 由2
121AB k
x x =+-,得22222121212()(1)[()4](1)AB x x k x x x x k =-+=+-+
即22
222
4(22)(24)(11)2e e
-=-?+-,得242e =>,将它代入(i)得22
3840x y x --+=. 所求的曲线C 的方程为双曲线方程:2
24()314493x y --=.
1焦点在x 轴得3k =;焦点在y 轴得25
3
k =,选B.
2设圆心O(0,0),1(4,0)O -,'
O 为动圆的圆心,则''1(4)(1)3O O O O r r -=+-+=,选C.
3知双曲线的中心为(2,2),由340x y -=变形得
22
0916y x -=,于是所求双曲线方程为 22
(2)(2)1916
y x ---=,它的准线为925y -=±,即925y =±,选A.
4设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得22
2(1)0x m x m +-+=,
由2
2
4(1)40m m ?=--=,得1
2
m =
,这时得切点(12,1),选B.
5由MF MB =知点M 的轨迹是抛物线,选D.
6可得28
10
3a c a a c
+=???-=
??,消去c ,整理得2
37400a a --=,有5a =或83-(舍去),得3c =, 4b =,所以所求的椭圆方程为22
12516
x y +=.
7设点P (,)x y 是所求曲线上任一点,它关于y x =-对称的点'(,)P y x --在3x y =上, 有3
()y x -=-,即3
y x =. 8设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +?=
,02(1)
3
y y +?-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.
9由条件可得123PF PF =或213PF PF =,设P (,)x y 代入可知交点的轨迹是两个圆. 10解:(I) 设点M (,)x y ,由32PM MQ =-
,得P (0,),(,0)23
y x Q - 由0HP PM ?= ,得3(3,)(,)0,22
y y
x -?=所以24y x =.又点Q 在x 轴的正半轴上,得0x >.
所以,动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
(II)设直线l :(1)y k x =+,其中0k ≠,代入24y x =,整理得2222
2(2)0k x k x k +-+= ①
设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,2121222(2)
,1k x x x x k -+=-
=,1212(1)(1)y y k x k x +=+++ =124()2k x x k k ++=,有AB 的中点为22
22
(,)k k k
-, AB 的垂直平分线方程为2
2
212()k y x k k k --=--,令0y =,0
221x k =+,有E 22(1,0)k + 由ABE ?为正三角形,E 到直线AB 的距离为3
2AB ,知222411k AB k k
-=?+. 由22223121k k k k -+=,解得3
2
k =±,所以0
113x =. 11(I)证明:直线l 的方程为:()a
y x c b
=-
-
由()a y x c b b y x a ?=--????=??,得P 2(,)a ab c c ,又,,OA OB OF 成等差数列,
得A(2a c ,0),有22(0,),(,),(,)ab a ab b ab PA OP FP c c c c c =-==- ,
于是222a b PA OP c ?=- ,22
2a b PA FP c
?=- ,因此PA OP ?= PA FP ? .
(II)由1,2a b ==,得5c =,l :1
(5)2
y x =-
- 由2
21(5)214
y x y x ?=--????-=??,消去x ,整理得215165160y y -+= ① 设D 11(,)x y ,E 22(,)x y ,由已知有12y y >,且1y ,2y 是方程①的两个根.
12165
15y y +=,121615y y =,21212122112()2103
y y y y y y y y y y +-+==,解得213y y =或13.
又12y y >,得21y y =13,因此12121
13
2
1DF y y y y DE y =
==--
. 12解:(I)1(1,0)F ,1222AF BF ==,设2(,)F x y 则
121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹
方程为1x =和
22
(1)(2)184
x y --+=(0,4y y ≠≠) (II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:
22
(1)(2)184
x y --+= ①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上, 知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上,
所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点, 把y x m =+代入椭圆的方程并整理得223(104)2810x m x m m --+-+= 由0?=,得123m =±.
13..解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，
所求方程为：22
x y 122
－＝ （x >0）
（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，
此时A （x 0，2
x 2－），B （x 0，－20
x 2－），O
AO B ? ＝2
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，
代入双曲线方程22
x y 122
－＝
中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1?有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则
2222122
2122
44(1)(2)02012
01k b k b kb x x k b x x k ?
??=--?--≥?
?
+=>?-?
?+=>?-?解得|k |>1， 又OA OB ?
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）
＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2
＝22
22k 242k 1k 1
＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ?
的最小值为2
14.解析：由2
2141y x y x ?-=??
?=+?得224(1)40x x -+-=得
23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有
121225
,33x x x x +==-
得， 21212124208
2||2()42
2933d x x x x x x =-=+-=+=
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，
由2
2114y kx y x =+??
?-=??得
22(4)250k x kx ---=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则
22
420(4)0k k ?=+->， ∴
2
1680,||5k k <<， 且
1212
2225
,44k x x x x k k +=
=---，
∴
121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =
+==+=++=--，
22444k x k y k ?=??-?
?=?-?
得
22
40(4x y y y -+=<-或0)y >。 方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则
221122224444x y x y ?-=??-=??得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-，
∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y x
x y =-， 即
22
40x y y -+=（图象的一部分） 点评：（1）弦长公式2
12122
1
||1||1||AB k x x y y k
=+-=+-；（2）有关中点弦问题的两种处理方法。
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
圆锥曲线与向量小题
圆锥曲线小题专项训练 1．已知抛物线x y 82 =的准线与双曲线A,B 两点，双曲线的一条渐近线 F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ） 2所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸缩变换?为（ ） C.43x x y y '=??'=? 3的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=?F F AF ，若椭圆的离心率等于则直线AB 的方程是 ( ) ． A ． 4．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射 后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。”由此可得如下结论：如右图，过双曲线C ：右支上的点P 的切线l 平分12F PF ∠。现过原点作l 的平行线交1PF 于M ，则||MP 等于（ ） A ．a B ．b C D ．与点P 的位置有关 5 e 右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2) （ ） A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能 6．如图，在ΔABC C ，以A 、H 为焦点的双曲线的离心率为 （ ） A ．2 B ．3 C D
7 F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使1||||PO PF =，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(1,)+∞ C ．（1，3） D ．[)2,+∞ 8．已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A.34 B. 35 C.2 D. 3 7 9． M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM 则直线PN 的斜率的取值范围是( ) A ． B ． C ． ]2,8[-- D ． ]8,2[ 10．设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆 （ ） A 、 B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-. 11．已知实系数方程2(1)10x a x a b +++++=的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率， 值范围是（ ） A ．(2,1)-- B 12．如图，已知点B x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且 PM//x 轴，9=?BM BP ，若点P 的坐标为（0，t ） ，则t 的取值范围 是（ ）A ．0 高二《椭圆 双曲线 抛物线》测试题 班级 姓名： 一、选择题 （每小题5分 共40分） 1、抛物线28y x =的准线方程是 （ ） (A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- ２、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4、双曲线与椭圆15 22 =+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ） A ．13 2 2=-x y B ．1322 =-x y C ．13 2 2=-y x D ．13 22 =-y x 5、已知椭圆19162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．7 79 D ．49 6、过抛物线焦点任意作一条弦，以这条弦为直径作圆，这个圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 7、一动圆的圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线02=-y 相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 8、以椭圆 116 252 2=+y x 的中心为顶点，以这个椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A 、 5 18 B 、 5 36 C 、 3 80 D 、 3 100 二、填空题（每小题5分 共25分） 9、抛物线的焦点为双曲线17 92 2=-y x 的左焦点，顶点在双曲线的中心，则抛物线方程为 10、抛物线y px p 2 20=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 11、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 12、设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是 13、抛物线y x =2上的点到直线l x y ：--=20的最短距离是 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 平面向量与圆锥曲线的综合问题 例1 已知F 1、F 2分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，125 4 PF PF ?=- ，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b = ，c = ∴1(F ，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则 2 2 125 (,,)34PF PF x y x y x y ?=--=+-=-，又2214 x y +=， 联立22 227414 x y x y ?+=????+=?? ，解得221134x x y y =??=?????== ???? ，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 联立2 2222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ?+=??++=?+++=??=+? ∴1221214x x k = +，122 1614k x x k +=-+由22 (16)4(14)120k k ?=-?+?> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得23 4 k >．①又AOB ∠为锐角 c o s 00A O B O A O B ?∠>??>，∴12120OA OB x x y y ?=+> 又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴ 1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++222 1216(1)2()41414k k k k k =+? +?-+++ 222 12(1)21641414k k k k k +?=-+++224(4)014k k -=>+∴2144k -<<．② 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 2 1的一个焦点为（ 0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2 x 2椭圆 16 7 1的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是 ，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（） 13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |， 则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点， M 、N 分别是圆（ x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 2 4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 2 2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ 椭圆 双曲线 D 抛物线 2 x 8若双曲线— a 2 y_ b 2 1(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（ ） S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________ 2 2 2 2 xy xy 14已知椭圆 1与双曲线 1 (m, n, p,q m n p q 16 已知双曲线a 2 "2= 1 a 2 的两条渐近线的夹角为 三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9抛物线y x 2上到直线2x y 0距离最近的点的坐标（ ) 3 5 (1,1) 3 9 D (2,4) A - J B C ,- 2 4 2 4 10已知c 是椭圆 2 2 x y 1 (a K b 0）的半焦距，则一 C 的取值范围（ ） a b a A (1, ) B (2 ) C (1,、 ② D (1,辽］ 11方程mx ny 2 0 与 mx 2 2 ny 1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 A D 2 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a -p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点，且 o C .5 F 1PF 2 =60 R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ----------------- 15已知抛物线x 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 —,则双曲线的离心率为 3 象可能是（ ） 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 圆锥曲线与向量的综合性问题 一、常见基本题型： 在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐 标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。 (1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质， 例1、设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,MP PN PM PF =⊥． 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程； 解：（解法一）MP PN =，故P 为MN 的中点． 设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2 y M x P x -> 又(1,0)F ，(,),(1,)22 y y PM x PF ∴=--=- 又PM PF ⊥，2 04 y PM PF x ∴?=-+= 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => （解法二）MP PN =，故P 为MN 的中点． 设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2 y M x P x -> - 又由,MP PN PM PF =⊥，故FN FM =，可得22FN FM = 由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => 例2、已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点 重合，离心率e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆 于A 、B 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点(1,0)M ，且()MA MB AB +⊥，求直线l 的方程； 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为(,0)c ，因为2 8y x =的焦点坐标为(2,0)，所以2c = 因为c e a ==25a =，21b = 解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P 椭圆,双曲线,抛物线 特性总结 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 椭圆方程 图形特征 几何性质 范围 顶点 焦点 准线 对称性 长短轴 离心率 焦半径 弦长公式：|AB |＝ [ ]2 12 212 212 x x 4)x x ()k 1(|x x |k 1-+?+=-?+ 若用k ，y 1及y 2表示|AB |，则|AB |＝)0k (|y y |1k 1 212≠-?+ 标准方程 22a x －2 2b y ＝1（a ＞0，b ＞0） 2 2a y －2 2b x ＝1（a ＞0，b ＞0） 简图 中心 O （0，0） O （0，0） 顶点 A 1（－a ，0），A 2（a ，0） B 1（0，a ），B 2（0，－a ） 范围 |x|≥a |y|≥a 焦点 F 1（－c ，0），F 2（c ，0） F 1（0，－c ），F 2（0，c ） 准线 x ＝±c a 2 y ＝±c a 2 渐近线 y ＝±a b x y ＝±b a x 4. （1）当M （x 0，y 0）为22a x －22 b y ＝1右支上的点时，则|MF 1|＝ex 0＋a ，|MF 2|＝ex 0－a 。 （2）当M （x 0，y 0）为22a x －22 b y ＝1左支上的点时，|MF 1|＝－（ex 0＋a ），|MF 2|＝)a ex (0--。 （3）当M （x 0，y 0）为22a y －22 b x ＝1上支上的点时，|MF 1|＝ey 0＋a ，|MF 2|＝ey 0－a 。 （4）当)y ,x (M 00为 1b x a y 2 2 22=-下支上的点时，)a ey (|MF |01+-=，=|MF |2)a ey (0-- 5. 常用的公式结论： 4、常用的公式及结论： （1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与 2x 、2y 项分母的大小即 可。若2 x 项分母大，则焦点在x 轴上；若2 y 项分母大，则焦点在y 轴上。 （2）对于椭圆的两种标准方程，都有 0b a >>，焦点都在长轴上，且a 、b 、c 始终满足 222b a c -= 5、直线与椭圆的位置关系 掌握直线与椭圆的位置关系，通过对直线方程与椭圆方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系。 （1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据Δ来讨论。 （2）对于直线与椭圆的位置关系，还可以利用 圆锥曲线归纳总结 ——for Yuri 第22sin cos θθ+部分：知识储备 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-=+ （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 12AB x =-=或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n + =?< 距离式方程 ：2a = (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆：22b a ；双曲线：2 2b a ；抛物线：2p (4) 圆锥曲线的定义 黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时，122tan 2F PF b θ?=S P 在双曲线上时，122cot 2 F PF b θ ?=S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===?） (6) 记住焦半径公式： ①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x + ，焦点在y 轴上时0||2 p y + 3333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333 第0sin xdx π ?部分：三道核心例题 例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ?=， 1OF =。 （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于,P Q 两点，问：是否存在直线 l 京翰提示：圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等,解答题目相对较难,同时平面向量的介入,增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等。 高二数学—圆锥曲线综合练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知|→ a |=|→ b |，→ a ⊥→ b ，且（→a +→b ）⊥（k → a -→ b ） ，则k 的值是( ) A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2 2、已知3a =r ，23b =r ，3a b ?=-r r ，则a r 与b r 的夹角是（ ） A 、150? B 、120? C 、60? D 、30? 3、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x=（ ） A 、23 B 、223 C 、323 D 、4 23 4、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x =（ ） A 、－3 B 、34 - C 、0 D 、 34 5．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 ( ） A ． 45 B ．2 5 C ．32 D ．4 5 6．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82 -= B ．y x 82 = C ． y x 162 -= D ．y x 162 = 7．若过原点的直线与圆2 x +2 y +x 4+3=0相切，切点在第三象限，直线的方程是( ） A ．x y 3= B ．x y 3-= C ．x y 3 3 = D ．x y 3 3- = 直线与圆锥曲线的位置关系 专题四：共线向量问题 1、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22 194 x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。 分析：由DP DQ l =uuu r uuu r 可以得到121 23(3)x x y y l l ì?=?í?=+-??，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。 解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), Q DP DQ l =uuu r uuu r \(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即121 23(3)x x y y l l ì=??í?=+-??? 方法一：方程组消元法 又Q P 、Q 是椭圆29x +24y =1上的点\22222222194()(33)19 4x y x y l l l ì??+=???í?+-?+=???? 消去x 2，可得222222(33)14 y y l l l l +--=- 即y 2=1356l l - 又Q －2￡y 2￡2，\－2￡1356l l -￡2 解之得：155 λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55?? ????。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠， 由2234936 y kx x y =+??+=?消y 整理后，得22(49)54450k x kx +++= P 、Q 是曲线M 上的两点 22(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2144800k ->即295k > ① 由韦达定理得：1212225445,4949k x x x x k k +=-=++ 212121221 ()2x x x x x x x x +=++ 222254(1)45(49)k k λλ+∴=+即22223694415(1)99k k k λλ+==++ ② 1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ） 直线圆锥曲线与向量的综合问题 高考考什么 知识要点： 1．直线与圆锥曲线的公共点的情况 00 ),(0 2=++??? ?==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0 ,0)0)=?≠→=→A ii A i 相切相交 （3）两个公共点 → 0,0>?≠A 2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常 用的弦长公式：1212AB x y y =-=- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量容 （1） 给出直线的方向向量或； （2）给出与相交,等于已知过的中点; （3）给出,等于已知是的中点; （4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线. （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。 （8）给出,等于已知是的平分线。 （9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形; （10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在中，给出等于已知通过的心； （15）在中，给出等于已知是的心（三角形切圆的圆心，三角形的心是三角形三条角平分线的交点）； （16）在中，给出,等于已知是中边的中线; 高考怎么考 主要题型： 1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题； 4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 高考真题 1.[2012·卷] 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率． 由已知可得直线的斜率k× 1 －2 ＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2. 2.[2012·卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． 图1－3 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1设双曲线22 12 y x m -=的一个焦点为(0,2)-，则双曲线的离心率为( ). D 2椭圆22 1167 x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线经过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为（ ） A 32 B 16 C 8 D 4 3 两个正数a 、b 的等差中项是5 2 ，，则椭圆22221x y a b +=的离 心率为（ ） A 4设1F 、2F 是双曲线2 2 124 y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 31||PF =42||PF ， 则12PF F ?的面积为（ ） A B 5 P 是双曲线22 916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和 22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 6已知抛物线24x y =上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点(3,2)A ，则 ||||PA PM +的最小值为（ ） 1 2 1 2 7 一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 8若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双 曲线的离心率为（ ） D 2 9抛物线2y x =上到直线20x y -=距离最近的点的坐标（ ） A 35,24?? ??? B (1,1) C 39,24 ?? ??? D (2,4) 10已知c 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的半焦距，则b c a +的取值范围（ ） A (1,)+∞ B )+∞ C D 11方程2mx ny +=0与22mx ny +=1(0,0,)m n m n >>≠表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ） 12若AB 是抛物线22(0)y px p =>的动弦，且||(2)AB a a p =>，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ） A 12 a B 12 p C 112 2a p + D 12a －12 p 二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题 B C D A高二数学椭圆双曲线抛物线测试题
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