高中数学必修4知识点总结

高中数学必修4知识点总结

第一章 三角函数

1、特殊角的集合:

第一象限角的集合:},90360360|{Z k k k ∈+?<

αα 第二象限角的集合:},180********|{Z k k k ∈+?<<+?

αα 第三象限角的集合:},270360180360|{Z k k k ∈+?<<+?

αα 第四象限角的集合:},360360270360|{Z k k k ∈+?<<+?

αα 终边落在x 轴非负半轴上的角的集合:},360|{Z k k ∈?=

αα 终边落在x 轴非正半轴上的角的集合:},180360|{Z k k ∈+?=

αα 终边落在x 轴上的角的集合:},180|{Z k k ∈?=

αα

终边落在y 轴非负半轴上的角的集合:},90360|{Z k k ∈+?=

αα 终边落在y 轴非正半轴上的角的集合:},270360|{Z k k ∈+?=

αα 终边落在y 轴上的角的集合:},90180|{Z k k ∈+?=

αα 终边落在坐标轴上的角的集合:},90|{Z k k ∈?= αα

2、终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合

},360|{Z k k S ∈+?==αββ

,即任一与角α终边相同的角都可以表示成角α与整

数个周角和的形式. 3、弧度制与角度制的换算: (1)1rad '185730.57)180

(

=≈=π (2)180

1π

=

rad 01745≈rad

(3)π2360= rad,π=

180rad

4、弧长公式和扇形面积公式:

(1)弧长公式:r l ||α= (2)扇形面积公式:2||2

1

21r lr S α== 5、常见结论:

(1)若α与β的终边关于x 轴对称,则Z k k ∈=+,2πβα (2)若α与β的终边关于y 轴对称,则Z k k ∈+=+,)12(πβα (3)若α与β的终边关于原点对称,则Z k k ∈+=-,)12(πβα (4)若α与β的终边在同一直线上,则Z k k ∈=-,πβα

6、定义:α是一个任意大小的角,以α的顶点O 为坐标原点,以α的始边为x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.设),(y x P 是α的终边与单位圆的交点,规

定:y =αsin ,x =αcos ,x

y

=

αtan 7、设α是一个任意角,点),(y x P 为α终边上任意一点(异于原点O ),则点P 与原点的距离

022>+=

y x r ,那么比值

r

y

叫做α的正弦,记作r y =αsin ； 比值r x 叫做α的余弦,记

作r x =αcos ；比值x y

叫做α的正切,记作x y =αtan 。

8、三角函数的定义域和值域:

(1)正弦函数x y sin =,]1,1[,-∈∈y R x (2)余弦函数x y cos =,]1,1[,-∈∈y R x (3)正切函数x y tan =,R y Z k k x x x ∈∈+

≠∈},,2

|{π

π

9、记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.其含义时在第一象限各三角函数值全为正,在第二象限只有正弦值为正,在第三象限只有正切值为正,在第四象限只有余弦值为正. 10、诱导公式 (1)诱导公式

诱导公式(一):απαsin )2sin(=+k (Z k ∈) απαcos )2cos(=+k (Z k ∈)

απαtan )2tan(=+k (Z k ∈)

诱导公式(二):απαsin )sin(-=+ απαc o s )c o s (-=+ απαtan )tan(=+ 诱导公式(三):ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- ααtan )tan(-=- 诱导公式(四):ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=- 诱导公式(五):ααπcos )2sin(=- ααπ

s i n )2c o s (=-

诱导公式(六):ααπ

cos )2sin(=+ ααπ

s i n )2

c o s (-=+ (2)记忆口诀

角α的三角函数的所有诱导公式可以概括为:“奇变偶不变,符号看象限”. ①把角化为

απ±2

k

(Z k ∈)的形式.若k 为偶数,则函数名不变;若k 为奇数,则函数名作改变:正?余.

②看象限的过程中,一律将角α看成锐角,再根据απ±2

k

(Z k ∈)的象限决定三角函数

的符号(正负).

11、三角函数线: (1)单位圆和有向线段

单位圆:半径等于单位长度,圆心在原点的圆叫做单位圆. 有向线段(非严格定义):带有方向的线段叫做有向线段.

设任意角α

的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆的相交于

),(y x P ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,过)0,1(A 作单位圆的切线交α终边(当α在第

一,四象限时)或其反向延长线(当α在第二,三象限时)于T . 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,与x 轴反向时为负值 当MP 与y 轴同向时为正值,与y 轴方向时为负值 当AT 与y 轴同向时为正值,与y 轴反向时为负值 根据上面规定,则y MP x OM ==,. (2)三角函数线:

根据正弦,余弦,正切的定义,则有

MP y ==αsin ,OM x ==αcos ,AT OA

AT OP MP x y ====

αtan 这三条与单位圆有关的有向线段AT OM MP ,,分别叫做角α的正弦线,余弦线,正

切线.

当角α的终边落在x 轴上时,M 与P 重合,A 与T 重合,此时正弦线,正切线分别

变成一个点;当角α的终边在y 轴上时,O 与M 重合,余弦线变成一个点,过A 的切线平行于y 轴,不能与角α的终边相交,所以正切线不存在,此时角α的正切值不存在.

12、同角三角函数的基本关系公式:1cos sin 2

2=+αα αα

α

tan cos sin = 13、常用到的同角三角函数的基本关系式变形: (1)1cos sin 2

2=+αα的变形:

αα22cos sin 1+=,αα22cos 1sin -=,αα2

2sin 1cos -= αα2

cos 1sin -±=,αα2

sin 1cos -±= (2)α

α

αcos sin tan =

的变形: αααtan cos sin =,α

α

αtan sin cos = （3）ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+之间的关系:

ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2

-=-

2)cos (sin )cos (sin 2

2

=-++αααα

14、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象中,

五个关键点是:)0,2(),1,2

3

(),0,(),1,2(

),0,0(ππππ

- 余弦函数x y cos =,]2,0[π∈x 的图像中,

五个关键点是:)1,2(),0,2

3

(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-

只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.

正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ??

??

15、综合探究：函数sin()y A x k ω?=++的图象

画出函数)3

2sin(3π

+=x y ,R x ∈的简图.

综合结论： 平移法过程： (1)先平移后收缩 (2)先收缩后平移

两种方法殊途同归

(1) y=sinx 相位变换（平移） y=sin(x+φ) 周期变换 y=sin(ωx+φ)

振幅变换 )sin(?+ω=x A y

(2) y=sinx 周期变换 y=sin ωx 相位变换（平移） y=sin(ωx+

φ)

振幅变换 )sin(?+ω=x A y

注: (1)函数)0,0)(sin(>>+=ω?ωa x A y 中,A 影响函数图象的最高点和最低点,即函

数的最值;ω影响函数图象每隔多少重复出现,即函数的周期;?影响函数的初相.

(2)对于函数)0,0)(sin(>>+=ω?ωa x A y 的图象,相邻的两个对称中心或两条对称

轴相距半个周期;相邻的一个对称中心和一条对称轴相交周期的四分之一.

16、求三角函数周期的方法

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.

(2)公式法，对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ是常数，A ≠0,ω≠0)的函数， (3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.

17、求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.

(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z ”，即通过求y=Asin z 的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.

(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为-ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反.

高一数学必修4第一章三角函数单元训练题

20131130

一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48

分）

1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）

A ．B=A ∩C

B ．B ∪C=C

C ．A C

D ．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是

（ ）

A ．

3

π

B ．－

3

π C ．

6

π D ．－6

π 3、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα

-=-+那么的值为

（ ）

A ．－2

B ．2

C ．

23

16 D ．－

23

16

4、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边 （ ） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上

C ．在y 轴上

D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ?等于 ( )

A ．2

-

B ．

2

C ．

12

D ． 12

-

6、要得到)4

2sin(3π

+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象

（ ）

A ．向左平移4π个单位

B ．向右平移4π个单位

C ．向左平移8π个单位

D ．向右平移8

π

个单位

7、如图，曲线对应的函数是 （ ）

A ．y=|sin x |

B ．y=sin|x |

C ．y=－sin|x |

D ．y=－|sin x |

8 ( )

A ．cos160?

B ．cos160-?

C ．cos160±?

D ．cos160±? 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12

sin cos 25

A A +=

,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形

10、函数)3

2sin(2π

+

=x y 的图象

（ ）

A ．关于原点对称

B ．关于点（－6π，0）对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线x=6

π

对称 11、函数sin(),2

y x x R π

=+∈是 （ ）

A ．[,]22

ππ

-

上是增函数 B ．[0,]π上是减函数

C ．[,0]π-上是减函数

D ．[,]ππ-上是减函数

12、函数y =的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z π

πππ-

+

∈?????

? B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈?

?????

C ．22,2()3

3k k k Z π

πππ+

+

∈?

????

?

D ．222,2()3

3k k k Z ππππ-

+

∈?

?

???

?

二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分） 13、已知απ

βαππβαπ2,3

,34则-<-<-<

+<的取值范围是 . 14、)(x f 为奇函数，=<+=>)(0,cos 2sin )(,0x f x x x x f x 时则时 .

15、函数])32

,6[)(8cos(πππ

∈-

=x x y 的最小值是 ． 16、已知,2

4,81cos sin π

απαα<<=?且则=-ααsin cos .

三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（8分）求值2

2

sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)?+?+?--?+-?

18、（8分）已知3

tan 2

απαπ=

<<,求sin cos αα-的值.

19、（8分）绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按

逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm?

20、（10分）已知α是第三角限的角，化简α

α

ααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+

21、（10分）求函数2

1()tan 2tan 5f t x a x =++在[

,]42

x ππ

∈时的值域(其中a 为常数)