上海市闵行区2016年高三年级数学一模试卷(文科含答案)

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（文科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数z 满足i 3i z =-（i 为虚数单位），则||z = .2

2．若全集U =R ，函数2

1x y =的值域为集合A ，则U A =e .)0,(-∞ 3．方程4260x

x

--=的解为 .2log 3x = 4．函数()cos()sin sin()cos x x

f x x x

π-=π+的最小正周期T = .π

5．不等式

11

2

x >的解集为 .)2,0( 6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .15π

7．已知ABC △中，43AB i j =+ ，34AC i j =-+

，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △的面积为 .

252

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10

9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且

32532S S =+，则2lim n n S n

→∞= .5 10．若函数1

()2x f x -=，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 . 1

11．若点P 、Q 均在椭圆22

22

:11

x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-

的最大值为 .2a

12．已知函数c o s 04()2

5 4x x f x x x π?≤≤?

=??-+>?，，

，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .(8 10)，

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a

和d

c （*,,,a b c

d ∈N ）,则

b d

a c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=???，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116

105

<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 .227

14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意n ∈*N ，都有1(1)32

n

n n n S a n =-++-，则

数列{}21n a -的前n 项和为 .11

334n

n -

-?

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“

2b a

a b

+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设2

3

4

5

()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.

(A) 511y x =+- (B) 511y x =-- (C) 511y x =-+- (D) 511y x =--- 17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足a b c c

b a b c

-+≤+-，则角A 的范围是（ B ）.

(A)0,

π?

?

?6?? (B) 0,π?? ?3?? (C) ,π

??π??6?? (D) ,π

??

π??3??

18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示.{}

(())0A x f g x ==,{}

(())0B x g f x ==,则A B 中元素的个数为（ C ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编

号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，

12AA AB ==，1BC =,BAC π

∠=

6

，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π

2

，并求三棱柱

111ABC A B C -的体积．

[证明] 在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，

11//BC B C ，BCD ∴∠或它的补角即为异面直线11B C 与CD 所成角，……………2分

由2AB =，1BC =,BAC π∠=

6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π

∴∠=2

即BC AC ⊥，…………4分

又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分 BC CD ∴⊥………………8分

所以异面直线11B C 与CD 所成角的为2

π

．…………………… 10分

三棱柱111ABC A B C -的体积为11

31232

ABC V S AA =?=???=△． ……………12分

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02

βαπ

<<

<<π． （1）若3

=4

απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；

（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+． [解]（1）方法一: ()2cos 3

αβ-=

， O

x

y

A

B

C

A

B

D

A 1

B 1

C 1

x y -1 O

1 2 1 图2 x y -1 O 1 1 -1 图1

1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=9

1

- …3分

3

=4απ，即9

1)223c os(

-=-βπ， …………………………………6分 9

1

2sin =∴β． …………………………………8分

方法二: ()2cos 3αβ-=

，3=4απ，即3

2sin 22cos 22=+-ββ， …………3分

3

2

2cos sin =

-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β ……………………………6分

9

1

2sin =∴β． …………………………………8分

（2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=OA ，)sin ,(cos ββ=OB OB OA ?∴=βαβαsin sin cos cos + ………………10分

又因为OA 与OB 夹角为βα-，1==OB OA

OB OA ?∴=)cos()cos(βαβα-=-?OB OA ………………………12分 综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立． ……………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．

某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数a

y x

=

图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，点P 到2l 的距离为2千米.以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy .

（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度（结果精确到1米）.

[解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN

x

y A

B M

N

P

O 大海

1l

2l

的函数关系式为8

y x =

，…4分 又得4

(10,)5

N ，所以定义域为[]1,10. ………………………………6分

（2）由（1）知(2,4)P ，设直线AB 方程为4(2)y k x -=-，

由4(2)8

y k x y x -=-???=??

得 22(2)80k x k x +--=,224(2)324(2)0k k k ?=-+=+=…8分

20k ∴+=，2k ∴=-，所以直线AB 方程为28y x =-+， ……………… 10分

得(0,8)A 、(4,0)B ， ………………………………………………12分 所以6416458.944AB =+=≈千米． 答: 公路AB 的长度为9千米. ………14分

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．

已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3

(1,

)2

，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合，斜率为k 的直线l 交抛物线E 于A B 、两点，交椭圆Γ于C D 、两点．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）直线l 经过点()1,0F ，设点(1,)P k -，且PAB △的面积为43，求k 的值； （3）若直线l 过点()0,1M -，设直线OC ，OD 的斜率分别为12,k k ，且12

121

,,k k k 成等差数列，求直线l 的方程.

[解]（1）设椭圆的方程为()2

2

2210x y a b a b +=>>，由题设得222219141

a b a b ?+=?

??=+?

，…2分

2243a b ?=∴?=?

，∴椭圆Γ的方程是

22143x y += …………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2

(1),4,

y k x y x =-??

=?得2222

2(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ?=+>，

则42422

22

4(44)44(1)1k k k k AB k k k ++-+=?+=

…………………………6分 (1,)P k -到l 的距离2

31

k d k =

+，又43PAB

S =△,222314(1)4321

k

k k k +∴??=+ 22433k k =+，故3k =±． ………………………10分

（3）设直线:1l y kx =-，由221,

1,43

y kx x y =-???+

=??消去y 得()22

43880k x kx +--=，

()0,1M -在椭圆内部，l ∴与椭圆恒有两个交点,设()()1122,,,C x y D x y ，则

1221228,43

8.43k x x k x x k ?

+=??+?

-?=?+?

，由12121,,k k k 成等差数列得121221121212

411x x x y x y k k k y y y y +=+=+= 122112

122211212(1)(1)2()

(1)(1)()1x kx x kx kx x x x kx kx k x x k x x -+--+==---++ …………………12分 2222168248843123

k k k

k k k k --=

=--++-， ………………………14分

即22k =±

，∴直线l 的方程为212

y x =±-． ………………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S ．规定：若数列{}n a 满足前r 项依次成公差为1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列

{}n a 为“r 关联数列”．

（1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意n ∈*

N ，66n n a S a S ≥；

（3）若数列{}n a 为“6关联数列”，当6n ≥时,在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求n d ，并探究在数列{n d }中是否存在三项m d ，

k d ，p d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，

说明理由.

[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，

∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列

,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ， 即24

5

11

=++a a ，解得31-=a …………2分 54,4

2,5n n n n a n --≤?∴=?≥?（或55

4,54,62,62,7n n n n n n n a n n --?-≤-≤?==??≥≥??

）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -?-≤?=??-≥?（或22441717

,5,6

2222

27,627,7n n n n n n n n n S n n --??-≤-≤??==????-≥-≥??

） …………………………………6分

{}2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,n a --- ，{}:3,5,6,6,5,3,1,9,25,n S ------

{}:9,10,6,0,5,6,4,72,400,n n a S -- ，可见数列{}n n a S 的最小项为666a S =-，

证明：541

(4)(7),5

22(27),6

n n n n n n n n a S n --?--≤?=??-≥?，

列举法知当5n ≤时，min 55()5n n a S a S ==-； ………………………………………8分

当6n ≥时，)6(27)2(2525≥?-?=--n S a n n n n ，设5

2

n t -=，则{}22,2,,2,m t ∈ ，

222749

272()2272648

n n a S t t t =-=--≥?-?=-． ……………………10分

（3）由（1）可知，当6n ≥时，52n n a -=，因为：1(21)n n n a a n d +=++-，

4

5

22(1)n n n n d --=++故：5

21

n n d n -=

+． ……………………………13分 假设在数列{}n d 中存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列，则：

()

2

k m p d d d =，即：2

555

222111k m p k m p ---??=? ?+++??

，()()()210102

22111k m p m p k -+-=+?++（*） 15分 因为,,m k p 成等差数列，所以2m p k +=，（*）式可以化简为)1)(1()1(2

++=+p m k ， 即：2k mp =，故k m p ==，这与题设矛盾．

所以在数列{}n d 中不存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列．…18分

（或：因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则

必为非零常数列，而5

21

n n d n -=+显然不是非零的常数，所以不存在．）