第一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．了解命题的概念．

2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

一、基础知识

A ．命题

1．命题

可以判断 真假 的陈述句，叫做命题．

注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．

（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．

例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③213x +=；④若a b =，c d =，则a c b d +=+．

以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当1x =时，为真；当1x ≠时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题．

2．假命题、真命题

真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．

假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．

注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．

延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）

（1）开句、命题函数

形如“213x +=”、“32x +>”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x ）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．

开句常记作()P x 、()Q y ，其中变元,x y 是在一定范围里变化.当x 取某个个体a 时，开句()P x 就变成了命题()P a （与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“32x +>”而言，当1x >-时，为真；当1x ≤-时，为假．

（2）开句的取真集

对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“32x +>”而言，“”时为真，“”时为假.使开句()P x 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{|()}x P x ．对开句来说，取真集为{|32}{|1}x x x x +>=>-．

解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集．

（3）将命题函数()P x 变成命题

命题函数()P x 变成命题的方法有两个．

方法一：将命题函数()P x 中的x 用特殊个体a 代入，从而得到对特殊个体a 进行判断的命题，这种命题叫做单称命题()P a ． 例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词．

再如，命题函数():32P x x +>，对x 赋值1,3-，可得到命题(1)P 和(3)P -，即(1):132P +>，和(3):(3)32P --+>．

当然(1)P 是真命题，(3)P -是假命题．

方法二：利用量词来限制个体的范围

例如：命题函数():32

P x x+>，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数x都有32

x+>”．

x+>”或“有实数x使32前者是假命题，后者是真命题．

3．命题的形式

若p，则q．

其中p叫做命题的条件（或题设），q叫命题的结论．

注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题．

B．四种命题及其关系

1．四种命题及其关系

（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.

（2）设原命题为：“若p，则q”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若q，则p”．

否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若p

?”．

?，则q 逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若q

?”．

?，则p 延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）

当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子．

当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位臵，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“A：垂直于弦”、“B：过圆心”；结论也有两个：“C：平分这条弦”、“D：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：A B C D

∧→∧，该命题的所有偏逆命题有：∧→∧：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；

A C

B D

∧→∧：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；

A D

B C

∧→∧：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；

B C A D

∧→∧：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦．

B D A C

2．四种命题的真假关系

（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．

（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题．具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题．

具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题．（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．

（4）不等价关系：两命题的真假性没有关系．互逆命题、互否命题不等价．

C．充分条件与必要条件

记命题“若p，则q”为“q p

→”，若命题“若p，则q”为真，则进一步记作“p q

?”，为假时，则记作p q

≠>．

1．基本概念

（1）若p q

?，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）若p q

<≠，则称p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．?，且p q

（3）若p q

?，则称p是q的充要条件，这时，q也是p的充要条件．?，且p q

（4）若p q

<≠，则称p是q的不充分不必要条件，这时，q也是p的不充分不≠>，且p q

必要条件．

注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．

（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．

2．对“充分条件”与“必要条件”的理解

（1）从定义本身去理解

充分条件：要使结论q 成立，只要具备条件p 就足够了．

事实上，式子p q ?已经表明，条件p 成立时，结论q 一定成立，就是说，要使结论q 成立，只要具备条件p 就足够了． 必要条件：当条件q 成立时，结论p 不一定成立，但条件q 不成立时，结论p 一定不成立. 依题意，条件为q 、结论为p ．

一方面，虽然命题“p q →”为真，但其逆命题“q p →”却未必为真，因此，当条件q 成立时，结论p 不一定成立． 另一方面，命题“p q →”为真，从而其逆否命题“q p ?→?”也真，即q p ???，据此可知，条件q 不成立时，结论p 一定不成立．

（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”

视“开关A 的闭合”为条件p ，“灯泡B 亮”为结论q ，则

图①中，条件p 是结论q 的 条件． 充分不必要条件（,p q p q ?<≠）

图②中，条件p 是结论q 的 条件． 必要不充分条件（,p q p q ≠>?）

图③中，条件p 是结论q 的 条件． 充要条件（,p q p q ??）

图④中，条件p 是结论q 的 条件． 不充分不必要条件（,p q p q ≠><≠）

（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”

设条件p 对应集合A ，条件q 对应集合B ，即:{|()}p A x p x =，:{|()}q B x q x =．

①若A B ?，则p 是q 的充分条件，若A B ≠

?，则p 是q 的充分不必要条件． 事实上，若有x A ∈，∵A B ?，可得x B ∈，即p q ?，∴p 是q 的充分条件．

若有x A ∈，∵A B ≠

?，可得x B ∈，p q ?且p q <≠，∴p 是q 的充分不必要条件． ②若B A ?，则p 是q 的必要条件，若B A ≠

?，则p 是q 的必要不充分条件． 事实上，若有x A ∈，∵A B ?，可得x B ∈，即p q ?，∴q 是p 的必要条件．

若有x A ∈，∵A B ≠

?，可得x B ∈，p q ?且p q <≠，∴p 是q 的必要不充分条件． ③若A B =，则p 与q 互为充要条件．

事实上，若有x A ∈，∵A B =，可得x B ∈，即p q ?，若有x B ∈，∵A B =，可得x A ∈，即q p ?，∴p 、q 互为充要条件． ④若A B ?且B A ?，则p 是q 的既不充分条件也不必要条件．

事实上，若有x A ∈，∵A B ?，可得x B ?，即p q ≠>，同理p q <≠，p 是q 的既不充分也不必要条件．

二、基本思想方法

等价转化的思想

示例 已知1:|1|23x p --

≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ?是q ?

的充分不必要条件，①

②

③

④

求实数m的取值范围．

解：由

1

|1|2

3

x-

-≤得，{|210}

A x x

=-≤≤．由22

210(0)

x x m m

-+-≤>得，{|11,0}

B x m x m m

=-≤≤+>．

∵q p

?，∴B A

?．

结合数轴有

12,

110,

0.

m

m

m

-≥

?

?

+≤

?

?>

?

解得03

m

<≤．

点评与警示：本题利用等价转化思想，把p q

???转化为q p

?，进一步转化为B是A的子集，然后利用数轴列出不等关系．

A．命题的判断、命题的真假判断

例判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的真子集；命题；假命题．

（2）三角函数是单调函数吗？疑问句，不是命题．

（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行；命题；假命题．

（4）3

x<；开句，不是命题．

（5）若x∈R，则2

210

x x

-+>；命题；真命题（∵二次三项式221

x x

-+的判别式70

?=-<，在x∈R条件下，始终有2

210

x x

-+>）．

（6）若整数a是素数，则a是奇数；命题；假命题（∵2

a=时，由条件推不出结论）．

（

72-．命题；假命题．

点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．

B．命题的形式

例把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．（1）周长相等的两个三角形面积相等；

（2）偶数能被2整除；

（3）奇函数的图象关于原点对称；

（4）同弧所对的圆周角不相等；

（5）菱形对角线互相平分；

（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

（7）负数的立方是负数；

（8）对顶角相等．

解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等．假命题．

（2）若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．

（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．

（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．

（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分．真命题．

（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．真命题．

（7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．真命题.

（8）若两个角是对顶角，则这两个角相等．真命题．

选填②

C ．四种命题的概念

例 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.

（1）当2x =时，2320x x -+=；

（2）对顶角相等；

（3）等底等高的两三角形全等；

（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等．

解：（1）原命题：若2x =，则2320x x -+=． 逆命题：若2320x x -+=，则2x =．

否命题：若2x ≠，则2320x x -+≠． 逆否命题：若2320x x -+≠，则2x ≠．

（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等． 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．

否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．

（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.

逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等.

否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等.

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等．

（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等．

逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等．

否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等．

点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”．

D ．四种命题之间的关系

例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．

（1）垂直于平面α内无数条直线的直线l 垂直于平面α；

（2）若0q <，则方程20x x q ++=有实根；

（3）若220x y +=，则0x y ==；

（4）菱形对角线垂直且相等．

解：（1）原命题：若直线l 垂直于平面α内无数条直线，则直线l 垂直于平面α． 假命题.

逆命题：若直线l 垂直于平面α，则直线l 垂直于平面α内无数条直线． 真命题.

否命题：若直线l 不垂直于平面α内无数条直线，则直线l 不垂直于平面α． 真命题．

逆否命题：若直线l 不垂直于平面α，则直线l 不垂直于平面α内无数条直线． 假命题．

（2）逆命题： 若方程20x x q ++=有实根，则0q <． 假命题．

否命题：若0q ≥，则方程20x x q ++=无实根． 假命题．

逆否命题：若方程20x x q ++=无实根，则0q ≥． 假命题．

（3）逆命题：若0x y ==，则220x y +=． 真命题．

否命题：若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0． 真命题．

逆否命题：若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠． 真命题．

（4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形． 假命题．

否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等． 假命题．

逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形． 假命题．

E ．利用等价命题证明

例 证明：若220x y +=，则0x y ==.

分析：将“若220x y +=，则0x y ==”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”为真命题．

证明：若,x y 中至少有一个不为0，不妨设0x ≠，则20x >，∴220x y +>，即220x y +≠.

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

F ．充要条件的判定

例 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？

（1）:2p a b +=，:q 直线0x y +=与圆22()()2x a y b -+-=相切．

（2）:||p x x =，2:0q x x +≥．

（3）设,l m 均为直线，α为平面，其中l α?，m α?，://p l α，://q l m ．

（4）设,22ππα??∈- ???，,22ππβ??∈- ???

，:q αβ<，:tan tan q αβ<． （5）ABC △中，内角,A B 对边的长分别为,a b ，:p a b >， :sin sin q A B >．

解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件．

G ．由充分条件、必要条件求参数取值范围 已知条件321:022

n n p +-≤-，条件22:q x x a a +<-，且p ?是q ?的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是

A ．1[2,]2--

B ．1{,2}2

C ．[1,2]-

D ．1(2,][2,)2

-+∞ 解：不等式321022n +-≤-等价于3(21)(22)0,220,x x x +?--≤??-≠??即1228x ≤<，解得31x -≤<，∴条件p 对应的取值集合[3,2)M =-． 由22x x a a +<-，得()[(1)]0x a x a +--<．

当1a a -<-，即12

a >时，解集为(,1)a a --，这时条件q 对应的取值集合(,1)N a a =--； 当1a a -=-，即12

a =时，解集为?，这时N =?； 当1a a ->-，即12a <

时，解集为(1,)N a a =--． ∵p ?是q ?的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，从而条件q 对应的取值集合N 是条件p 对应的取值集合M 的真子集． 当12

a >时，(,1)N a a =--，由N M ，得3,11,a a -≤-??≥-?解得122a <≤； 当12a =时，N =?，显然有N M ；

当12a <时，(1,)N a a =--，由N M ，得31,1,

a a -≤-??≥-?解得112a -≤<． 综上，a 的取值范围是[1,2]-．

答案：C ．

H ．错解剖析

写出命题“若a b =，c d =，则a c b d +=+”的否命题和逆否命题．

否命题是： ．

逆否命题是： ．

错解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a 与b ，c 与d 都不相等，则a c b d +≠+．

逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a 与b ，c 与d 都不相等．

错因分析：事件“a b =，c d =”的正确否定应为：①a 与b 、c 与d 不都相等；②a b ≠或c d ≠．

正解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a b =，c d =中至少有一个不成立，则a c b d +≠+．

逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a b =，c d =中至少有一个不成立．

M ．方法规律探究

四种条件的判定方法.

（1）定义推断法：分别去判断p q ?和q p ?是否成立，然后形成结论．

（2）原、逆命题推断法：

原真逆假?条件为：充分不必要； 原假逆真?条件为：必要不充分；

原真逆真?条件条件为：充要； 原假逆假?条件为：不充分不必要.

（3）逆否命题判别法：判断命题p q ?→?的真假，改为判断其逆否命题q p →的真假．

（4）集合推断法：具体内容见前面．

（5）传递法：即123n p p p p ???? ，得1n p p ?．

一、选择题

1．下列语句不是命题的有

①230x -=；

②与一条直线相交的两直线平行吗？

③315+=；

④536x ->．

A ．①③④

B ．①②③

C ．①②④

D ．②③④

解：①开句，不是命题．②疑问句，不是命题．③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题．④开句，不是命题． 答案：C ．

2．若,M N 是两个集合，则下列命题中的真命题是

A ．如果M N ?，那么M N M =

B ．如果M N N = ，那么M N ?

C ．如果M N ?，那么M N M =

D ．如果M N N = ，那么N M ?

答案：A ．

3．有下列四个命题：

①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；

②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；

③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；

④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；

其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=． 真命题．

②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤． 假命题．

③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤． 假命题（∵26032x x x +-≤?-≤≤，332x x >-≠?-≤≤）．

④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数． 假命题（∵a =b 2b a =不是无理数）．

答案：B ．

二、判断题

4．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．

（1）等边三角形的三个内角相等；

（2）当0a >时，函数y ax b =+的值随x 值的增加而增加．

解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．

（2）当0a >时，若x 的值增加，则函数y ax b =+的值也增加，真命题．

5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假.

（1）矩形的对角线相等；

（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

（4）实数的平方是非负数．

解：（1）若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题．

（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题．

（3）若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题．

（4）若一个为实数，则这个数的平方为非负数．真命题．

6.给出以下命题，判断p 是q 的什么条件？

（1）:p A B =，:sin sin q A B =；（2）:2p x >且3y >，:5q x y +>；（3）:p 正方形，:q 菱形；（4）:p a b >，11:q a b

<． 解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．

二、解答题

7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题．

（1）ac bc a b >?>；

（2）当14

m >-时，210mx x -+=无实根． 解：（1）若ac bc >，则a b >． 否命题：若ac bc ≤，则ca b ≤． 逆否命题：若a b ≤，则ac bc ≤．

（2）若1

4m >-，则方程210mx x -+=无实根． 否命题：若14

m ≤-，则方程210mx x -+=有实根． 逆否命题：若方程210mx x -+=有实根，则1

4

m ≤-． 8．有下列四个命题：

①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；

②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；

③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；

④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；

其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=． 真命题．

②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤． 假命题．

③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤． 假命题（∵26032x x x +-≤?-≤≤，332x x >-≠?-≤≤）．

④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数． 假命题（∵a =b 2b a =不是无理数）．

答案：B ．

9．写出下列命题“若0m ≤且0n ≤，则0m n +≤”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．

解：逆命题：若0m n +≤，则0m ≤且0n ≤． 假命题．

否命题：若0m >或0n >，则0m n +>． 假命题．

逆否命题：若0m n +>，则0m >或0n >． 真命题．

10．求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．

分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题．

证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等．

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

11．证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠．

分析：将“若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若1a b -=，则222430a b a b -+--=”为真命题．

证明：若1a b -=，则1a b =+，∴2222243(1)2(1)432122430a b a b b b b b b b b -+--=+-++--=+++--=，

即222430a b a b -+--=．

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.

12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，,a b ∈R ，若()()0f a f b +≥，求证：0a b +≥．

分析：将“若()()0f a f b +≥，则0a b +≥”视为原命题．要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若0a b +<，则()()0f a f b +<”为真命题．

证明：“若0a b +<，a b <-.∵()f x 为R 上的增函数，∴()()f a f b <-，又知()f x 为奇函数，∴()()f a f b <-，即()()0f a f b +<． 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．