几何概型的常见题型及典例分析

一．几何概型的定义

1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：

（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成事件A A P =

说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.

4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.

（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二．常见题型

（一）、与长度有关的几何概型

例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2

cos x

π的值介于0到

之间的概率为( ). A.

31 B.π

2 C.21 D.32

例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？

例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。

例4、在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2

与81cm 2

之间的概率．练习：

2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.18

3、已知集合A {x |－1

>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”

的概率是 ________．

4、小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．

（二）、与面积有关的几何概型

例1、ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（） A ．

B.14

8π D.18

例2、如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

例3、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为。

例4、在三角形ABC 中任取一点P ，证明：△ABP 与△ABC 的面积之比大于1n n -的概率为21

。

例5、将长为L 的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．

例6、已知函数f (x )＝－x 2

＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．练习

1、ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π

2、设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2

＋ax ＋b 2

＝0有实根的概率是 ( ) A.12 B.14 C.18 D.116

3、已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( ) A.13 B.23 C.19 D.29

4、在区域???

????≥≥+-≤-+00202y y x y x 内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2

＝1内的概率为( )

A.π2

B.π8

C.π6

D.π

图2

P G F

A M

5、在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．

6、在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝12x 3

＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅

有一个零点的概率为________．

7、已知函数f (x )＝x 2

－2ax ＋b 2

，a ，b ∈R.

(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；

(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．

（三）、与角度有关的几何概型

例1、在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC ，求使得AOC ∠和BOC ∠都不小于30°的概率？

例2、如图所示，在等腰直角ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率。

例3、在等腰Rt △ABC 中，C=900

，在直角边BC 上任取一点M ，求030CAM ∠≤的概率

（四）、与体积有关的几何概型

例1、在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？

例2、任取三条不大于a的线段，求这三条线段能够成一个三角形的概率。

例3、在区间[0,l]上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)| x2+y2+z2＜1,x≥0,y≥0,z≥0} (1)构造出随机事件A对应的几何图形；

（2)利用该图形求事件A的概率.

（五）、会面问题中的概率

例1、某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

例2、两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．

（六）、与线性规划有关的几何概型

例1、小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？

（七）、生活中的几何概型

例1、某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．

例2、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？

例3、假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.

例4、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？

例5、平面上画有一组平行线，其间隔交替为1.5cm和10cm，任意地往平面上投一半径为2cm的圆，求此圆不与平行线相交的概率。

例6、《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计

后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为9

，那么该台每小时

约有________分钟的广告．

例8、两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。

例9、某勘探队勘测到，在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

例10、一只海豚在水池中游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．练习

1、平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( ) A.14 B.13 C.12 D.23

2、在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，

E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概

率是__________．

3、甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．

几何概型练习

一、选择题

1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（）

A ．0.62

B ．0.38

C ．0.02

D ．0.68

2．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2

与49 cm 2

之间的概率为（） A ．

310

B ．

C ．

D ．

3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（） A ．116

B ．

216

C ．

316

D ．

4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（） A ．

4 B

．38 C ．14 D ．1

5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（）

A ．13

B ．49

C ．59

D ．710

6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（） A ．

B ．

C ．

3 D ．1

7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）

A．1

B．

C．

D．

8．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（）

A．1

100 B．1

C．1

D．

9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）

A．1

B．

C．

D．

10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（）

A．1

B．

C．

D．

11．若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为（）

A．1

B．

C．

D．

12．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是

A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定

13、取一根长度为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么间断的两段的长都不小于1m 的概率是（）

A、2

B、

C、

D、不能确定

14、某人睡午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是（）

A、1

B、

C、

D、

15、在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是（）

Ａ．1

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

16、在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点

钻探，那么钻到油层面的概率是（） A 、

140 B 、125 C 、1250

D 、1500 17．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是

A ．0.5

B ．0.4

C ．0.004

D ．不能确定

18．在数轴上，设点x 在x ≤3中按均匀分布出现，记点(]1,2a -∈为事件A ，则P(A)的值为

（）（A ）1

（B ）0

（C ）

12 （D ）1

19．已知直线[],2,3y x b b =+- ∈，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是（）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

20、如图，边长为2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影

区域内的概率为3

，则阴影区域的面积为（）（A ）34 (B) 38 (C) 3

(D)无法计算

21、设[0,]x π∈，则1

sin 2

x <的概率为（）

A ．16

B ．14 C.13 D ．1

二、填空题

1、在一个边长为2的正方形中有一个椭圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积

2、在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数 a ，则这个实数7>a 的概率为

3、在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．

4、在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于

的概率是．

5、已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是__________。

6、边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆及正方形夹的部分的概率是____________。

7、在等腰直角三角形ABC 中，在斜线段AB 上任取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的

概率是___________。

8、若x 可以在31≤+x 的条件下任意取值，则x 是负数的概率是______.

9、在400ml 自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是________________________________。

10、对于几何概率，概率为0的事件是否可能发生？_________________。

11、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 . 12、两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候后到者20分钟，过时就可离开，这两人能会面的概率为________

13、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率是___________________。

14．在平面直角坐标系xoy 中，向平面区域(){}

11,11,≤≤-≤≤-=y x y x U 内随机抛掷一

点，则点落在平面区域???????≥≥≥-≤-=0

001

2y x y x y x A 内的概率()=A P ________________ . 15．已知等腰090=∠?C ABC Rt 中，，在CAB ∠内任作射线AM ，则030<∠CAM 的概率为 .

16．在正方体1111D C B A ABCD -内有一个内切球O ，则在正方体1111D C B A ABCD -内任取点M ，点M 在球O 内的概率为 .

17.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于cm 6.现用直径等于cm 2的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线有公共点的概率

1.8一个边长为2的正方形内有一内切圆，现在向正方形中随机地撒一把豆子（共n 颗），结果有m 颗豆子落在了圆内（假设豆子都落在了圆中），试根据以上事实，估计圆周率π约为_________________.

19．在线段[03]，上任取一点，则此点坐标小于1的概率是．

20．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是．

21．从1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml ，则其含有麦锈病的种子的概率是．

22、如图，如果你向靶子上射200镖，你期望多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域）

。

23.如图在半径为1的半圆内，放置一个边长为

的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________. 24、如图矩形ABCD 的边长AB=4cm, BC=2cm,在矩形中随机地撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是 .

25. 一红绿灯路口，红黄绿灯亮的时间依次为30秒、 5秒、45秒，当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是 . 三、解答题

1、如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？

2、甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

3、两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．

4、已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.

(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；

(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．

5、甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

6．飞镖随机地掷在下面的靶子上．

（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？

（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？

高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。一基本知识剖析 1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.几何概型的概率公式： P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； 3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。二常见题型梳理 1.长度之比类型例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2 之间的概率． 2.面积、体积之比类型例3. （08江苏高考6）.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为。

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：12153 101 12 C C P C ==。

几何概型的常见题型

几何概型的常见题型李凌奇2017-06-26 1．与长度有关的几何概型例1．在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.3 2 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于0到 2 1 之间, 需使2 23x π ππ - ≤ ≤- 或 322x π ππ ≤ ≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 2．与面积有关的几何概型例2．ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（） A ． 4 π B.14 π - C. 8 π D.18π - 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型. 解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 2 π 因此取到的点到O 的距离大于1的面积为2 2π -，则取到的点到O 的距离大于1的概率为 A O D C B 1 图

古典概型,几何概型深刻复习知识点和综合知识题

知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 6 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（）

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）（1）（2）（3）（4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率一、随机事件概率：事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0）（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈

几何概型的五类重要题型

剖析几何概型的五类重要题型解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率计算公式:积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P = .其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 1.几何概型的两个特征： (1)试验结果有无限多； (2)每个结果的出现是等可能的．事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关． 2..解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 3.用几何概型解简单试验问题的方法 (1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解． (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算． 4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的． 5.均匀随机数的应用 (1)用随机模拟法估计几何概率； (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．下面举几个常见的几何概型问题. 一.与长度有关的几何概型例1 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30× 31=10米， ∴3 13010)(==E P . 方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．二.与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？思路点拨此为几何概型，只与面积有关．

几何概型的经典题型及标准答案

几何概型的经典题型及答案

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3 几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

4 区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于 0到21之间,需使 223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2 ，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1 之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×3 1 =10米， ∴3 1 3010)(==E P . 方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦， K K K1图1-2图1-1 O O M N E F M N E F E1F1

概率论例题

概率论例题例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }= ! k e k λ λ- Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，k P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}= ! k e k λ λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k 当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布 P{Y = r }=∑+∞ ===0 },{k r y k x P =∑+∞ ====0 }/{}{k k x r y P k x P =∑ +∞ =--r k r k r r k k q p C e k λλ! =∑+∞ =--+--r k r k r q r r k k k k p e )(!) 1()1(! 1) (λλλ =∑+∞=---r k r k r rq r k r p e )()! (1!1)(λλ =rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律 ∑+∞ ==0 }{r r y P = 1 ？例2. 解因为η只取非负值，所以当0y ≤时， 2()() () F y P y P y ηηξ=<=< = 当 0y >时

2()()()) F y P y P y y y ηηξξ=<=<=< 2 2 2 2 12()t t t dt dt dt ξ--=== 2 20 u u y y e - -= =? ? 所以 20 ,0()0,0u y y F y y η-?>?=??≤?? 1 y --?

几何概型的经典题型与答案

几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到2 1之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的

区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1 [-上随机取一个数x,即[1,1] x∈-时,要使cos 2 x π 的值介于 0到 2 1 之间,需使 223 x πππ -≤≤-或 322 x πππ ≤≤ ∴ 2 1 3 x -≤≤-或 2 1 3 x ≤≤，区间长度为 3 2 ，由几何概型知使cos 2 x π 的值介于0到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 = = = 度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度 P. 故选A. 例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解记 E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30× 3 1 =10米， ∴ 3 1 30 10 ) (= = E P. 方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．例3、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率。思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G是一维空间（即直线）上的线段MN，而有利场合所对应的区域G A 是长度不小于R的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF与E 1 F 1 是长度等于R的两条弦， K K K1 图1-2 图1-1 O O E F E F E1F1

概率论习题及答案

概率论习题一、填空题 1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 . 2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率 . 3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 . 4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB = 5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ?= 6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为 .. 7、设()0.4,()0.7,P A P A B =?= 若,A B 独立，则().P B = 8、设,A B 为两事件，11 ()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2 (),1,2,3,3 i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是. 10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。那么(|)P C AB = 。 12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相表示为互不相容事件的和是。15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为。二、选择题 1、下面四个结论成立的是（） .()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A --=-?=??=? ?-=-?=若且则

人教版高中数学必修三第三章概率几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理基本知识 1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2.几何概型的概率公式 P(A)=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等. 4.几何概型与古典概型的比较一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关，即试验结果具有无限性，是不可数的.这是两者的不同之处.另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是两者的共性. 通过以上对几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要点是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性这两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提.因此，用几何概型求解的概率问题跟古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示. 常见题型 1.长度之比类型例1 小赵欲在国庆60周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率. 分析因为客车每小时一班，而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型. 解设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50，60]这一时间段内，而事件的总体是整个一小时，即60分钟.因此，由几何概型的概率公式，得P(A)= 605060-=61，即小赵等车时间不多于10分钟的概率为6 1. 例2 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间的概率. 分析正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12 cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率. 解记“面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于 6cm 与9 cm 之间”的概率，所以有P(A)= 9612-=14. 小结本题的难点不在于几何概型与古典概型的区别，而是将正方形的面积关系转化为边长的关系，从而将问题归为几何概型中的长度类型，这是本题的关键所在.同时，本题也体现了数学上的化归思想的作用. 2.面积、体积之比类型例3 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题 (含答案) [例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167 6045602 22=-=P [例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。解：R AC AB 2||||= =. ∴ 2 1 2== = ? R R BCD P ππ圆周 [例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过 2 1 的概率。解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为 2 1。事件“三段的长度都不超过 21 ”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2 1 1,21,21<--<

下午3：00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x 故192 251200 25 41 2 π π= =P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02 =++b ax x 两根均为正数的概率。 ??? ??>=?>-=+≥-=?000 42 1212b x x a x x b a 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a （2）变换 121-*=a a ，121-*=b b （3）从中数出满足条件 2 4 1a b ≤且0b 的数m （4）n m P = （n 为总组数） [例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求?ABC 是锐角三角形的概率。解法1：记?ABC 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“?ABC 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合 Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。因为?ABC 是锐角三角形的条件是 02 << αβπ ,且αβπ +> 2 所以事件A 构成集合 A =+> << {(,)|,,}αβαβπ αβπ 2 02 由图2可知，所求概率为 P A A ()=的面积的面积 Ω==12212 1 422() ππ。解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当?ABC 为锐角三角形，记为事件A 。则当C 点在劣弧C C 12上运动时，?ABC 即为锐角三