大学医科实用数学练习题1.1

练习题1.1

1. 已知()f x 的定义域是[1,2]，求11f x ??

?+??

的定义域。 解：函数()y f x =的定义域为[1,2], 因此 1[1,2]1x ∈+，即111121x x ?≥??+??≤?+?

， 解方程组得：102x -≤≤，所以1()1f x +的定义域为1{|0}2

x x -≤≤。 2.判断下列各组函数是否相同？为什么？

(1)()f x x =,ln ()x g x e =; (2)()f x x =

,()u t =

(3)()f x =

,()g x =解：（1）不同。因为函数()f x x =的定义域为R ，而ln ()x g x e =的定义域为(0,)+∞，两个函数的定义域不同。

（2）相同。因为函数()||f x x =

和()u t =R ，且对应关系（即函数关系）也相同，所以两个函数是同一函数。

(3)不同。因为函

数()f x =的定义域为{|12}x x x ≥-<-或，而函

数()g x =的定义域为{|1}x x ≥-，它们的定义域不同。 3.判断下列函数的奇偶性。 (1)(1)2x x a a y a -+=>; (2)11

x x a y a +=-; (3)3

cos y x x =+. 解：（1）由()()2x x a a f x f x -+-==，所以(1)2

x x

a a y a -+=>是定义在R 上的偶函数。 （2）由11()()11x x x x a a f x f x a a --++-===---，所以11

x x a y a +=-是定义在R 上的奇函数。 （3）33()()cos()cos f x x x x x -=-+-=-+，由于()()f x f x -≠，()()f x f x -≠-

所以3cos y x x =+在R 上既不是奇函数又不是偶函数。

4．下列各组函数中哪些能构成复合函数？能构成复合函数的，写出复合函数；不能的说明理由。

（1

）y =，22u v =+，cos v x =；

（2

）y =，sin 2u x =-；

（3）lg y u =，25u x =+。

解：（1

）能，y =

（2）不能，因为sin 21u x =-≤-

，它使得y =

（3）能，2lg(5)y x =+。

5．写出下列函数由哪些函数复合而成。

（1

）y =

（2

）3ln(1y =； （3）2x y e -=； （4）2arccos 1x y a ??=+ ???

。 解：（1

）函数y =32,sin ,1y u u v v x ===-复合而成。

（2

）函数3ln(1y =

由23,ln ,1,1y u u v v w w z x ===+=

=+复合而成。 （3）此函数由2,u y e u x ==-复合而成。

（4）此函数由2arccos ,,1x y u u v v a

===+复合而成。 6．设1,1()0,11,1x f x x x ??

，()x g x e =，求[()]f g x 和[()]g f x 。

解：当x >0时，||1;x e > 当x=0时，||1;x e = 当x

e < 1,0;[()]0,0;1,0.x

f

g x x x ->??∴==???

7．求点P （-3,5,4）到各坐标轴及各坐标平面的距离。

解：点P （-3,5,4）到x

坐标轴的距离x D ==

点P （-3,5,4）到y

坐标轴的距离5,y D ==

点P （-3,5,4）到z 坐标轴的距离z D ==

点P （-3,5,4）到xoy 坐标平面的距离4,xoy D =

点P （-3,5,4）到xoz 坐标平面的距离5,xoz D =

点P （-3,5,4）到yoz 坐标平面的距离 3.yoz D =

8．确定下列函数的定义域。

（1）z = （2）z

=； （3）2ln(48)z y x =-+

（4）

u = (0)r R <<

解：（1）z {(,)|0}D x y xy =≥； （2）z

=的定义域{(,)|0,0}D x y x y x y =+>->且； （3）2ln(48)z y x =-+的定义域2{(,)|480}D x y y x =-+>；

（4）

u =的定义域

22222{(,,)|}D x y z r x y z R =<++≤。

9．求二元函数

z =(0,1)及(2,4)处的函数值。

解：

(0,1)1,z =

= (2,4)5z ===