现代数字信号处理_姚天任_第一章
现代数字信号处理Modern (Advanced) Digital signal Processing
绪论
在电子信息与通信工程学科的各专业中，为本科生开出的数字信号处理课程，主要讲授的有：离散时间信号和系统的基本理论，离散付里叶变换及快速算法（DFT、FFT）等，这称为所谓“经典”理论。
作为电气信息类研究生开设的这门学位课，主要内容为：最佳线性滤波（维纳滤波和卡尔曼滤波），自适应信号处理，现代谱估计理论，同态信号处理，阵列信号处理，人工神经网络和小波变换在信号处理中的应用，以及数字信号处理的硬件实现等。它们大多是近十多年来发展迅速和应用广泛的前沿学科领域，其中不少属交叉学科领域。因此，取名为“现代数字信号处理”。
“经典”与“现代”没有严格的界线，因为许多“经典”内容，也曾一度作为新兴前沿学科，而今正在发展的“现代”理论和方法，终有成为“经典”的一天。
本课程总学时数有限，许多内容还要同学们自学，不然的话，在这有限的学时中，很难完成我们的教学内容和学习目的。
本课程也是通信类博士考试的必选专业课。
Chapter 1 基础知识
§1.1 离散随机信号及其数字特征§1.2 相关抵消
§1.3 Gram-Schmidt正交化
§1.4 功率谱和周期图
§1.5 谱分解
§1.1 离散随机信号及其数字特征
一、随机信号
指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。
统计特性：概率分布函数、概率密度函数
统计平均：均值、方差、相关
在时域离散情况下的随机过程——离散随机信号
二、离散随机信号视为随机矢量
常用的数字特征是各种平均特性及相关函数等。
说明：我们考虑的是
①平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。
②各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。
所以只需测量一次样本就是以描述所有样本的随机特性。
T n x x x X )
,,,(10 =Note：各态历经信号一定是平稳随机信号，反之不然。
定义：⒈均值：]
[1
lim
1
n N n n
N x x E x
N
m ==∑?=∞→⒉方差:
]
)[(][1lim 2210
2
x n x n N n N x m x E m x N ?=?=∑?=∞→σ我们讨论的是③零均值的随机信号，即0
][=n x E 0][≠n x E 可重新定义，让零均值。
→?)(n n x E x Note ：也为该信号的交流功率（平均功率）。
][2
2n x x E =σ
⒊相关函数：即在时刻n 、m 的相关性。⑴自相关函数（一个随机信号）⑵互相关函数（两随机信号）自相关函数：]
[1
lim
),(1
m n m n N n N xx x x E x x N
m n R ==∑
?=∞→白噪声信号
)
(][)(2
k x x E k R x n k n xx δσ==+互相关函数：
]
[),(m n xy y x E m n R =⒋自协方差函数:
2),(),(x
xx xx m m n R m n C ?=
三、N 维随机矢量
是由N 个不同随机变量为分量构成：N 维随机矢量X 的均值也是一个N 维矢量：X 的自相关函数：是一个维的正半定对称矩：也称平均互功率矩阵。
用它来描述N 维矢量中任两个元素间的相关程度，X 的自协方差函数也是个的正半定对称矩阵：
且：，类似于（零均值）时，12
(,,,)T
N X x x x = )
(X E m =N N ×)(T
XX E R =()()]
[T
m X m X E ??=∑N N ×T mm R ?=∑2
22
)]([][x E x E X ?=σ0=m R
=∑
§1.2 相关抵消
如果X 、Y 分别是N 维和M 维零均值随机矢量，且它们相关：
][≠=T xy XY E R 现对Y 进行线性变换（让变换后的矢量与X 不相关），得：
HY X =?（H 是维）M N ×构造：，使e 与Y 不相关：
e X X X H Y =?=?
][==T
ey eY
E R 即0
)(][=?=?=YY XY T T eY HR R YY HE XY E R 111
[][]T T XY YY XY YY
H R R E XY E YY R R ???===∴
此式具有三个功能，即：
①最佳线性估计②相关抵消③最佳信号分离
由此构成相关抵消器原理图：H
x
y
HY X
=?HY X X
X e ?=?=?-+
§1.2 相关抵消
2
1X X X +=0
][0][21=≠Y X E Y X E X
X ?1≈此式具有三个功能，即：②由此构成相关抵消器原理图：
HY X X X e HY X
?=?==1
11??1
1?=
yy
y x opt R R H 2
X e ≈X
H
x y
HY =?HY X X
X e ?=?=?-+0
21=dH
dR e e ①最佳线性估计
相关抵消③最佳信号分离
min
][T
1
121==
e e e e E R
§1.3 Gram-Schmidt 正交化
一、基本定义
⒈内积的定义：设u 、v 为线性空间的任二矢量
e X
和?由前面分析可知：
任一矢量x 相对于y 可分为两部分：一部分为：
另一部分为：e 与y 不相关两部分的相关函数：
并且，可以证明相互正交。?x x
e =+?()e x x
=?相关和Y x
?Hy x
=?0
=ey R 0][]?[?====T
eY
T T T x e H R H eY E x e E R 不相关。、说明：x
e ?x e x
e ?,0?,?>=<)(,v u E v u T >=<其内积为：⒉两矢量正交：
x
?二、正交投影定理
定理：矢量x 在线性空间Y 上的正交投影
是Y 中与x 距离最近的一个矢量。定理说明：
][])?[(]||)?[(])[(22222e E y x
E e y x
E y x E +?=+?=? 由 用Y 中随机变量的线性组合来逼近x 时，在最小二乘方的意义上是最佳的。
x
?这是因为：
())?(?,,?|||?|)(2|||?||?|||222
2
2
2
y x e Y y x Y e Y x
e y x e y x e y x e y x
y x ?⊥∴∈?⊥∈+?=>?<++?=+?=?∵
由内积空间中两矢量U 、V 的距离公式：
]
)[(,||2v u E v u v u v u ?=
????=?就可得前面的结论。
三、Gram-Schmidt 正交化
这是一个递归处理过程：其目的是由非正交基底,求出一组正交基底。},,,{2m y y y },,,{21n εεε 处理过程为：
这样构造出的基底是Y 的正交基底。
},,,{21n εεε m
n E y E y E y E E y E y E y E y y i i i i n n i n n ≤≤?=+?=?==??=???∑2 ][][][][][][][][11
1
2
1
222311
1113331
1
11122211εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
设
§1.5 功率谱和周期图
一、定义：功率谱又称功率谱密度定义为自相关函数的付里叶变换。
对于离散时间实平稳随机信号的功率谱定义为：
n x )(z S xx 的双边正变换：
)(k R xx k
xx k xx z k R z S ?∞
?∞
=∑
=
)()(]
[)(n k n xx x x E k R +=式中：
二、说明
⒈若是稳定的，则的收效域包括，令，便为功率谱：
)(k R xx )(z S xx 1||=z jw
e z =()()jw k
xx xx k S w R k e ∞
?=?∞
=
∑
⒉不相关随机信号（白噪声），其自相关函数：)
()(2
k k R x xx δσ=∴其功率谱：
2
)(x
xx w S σ
=⒊两实平稳随机信号][)(n k n xy n n y x E k R y x += ，和根据定义，互功率谱k
xy k xy z k R z S ?∞
?∞
=∑
=)()(且有：
)
()()()(1?=?=z S z S k R k R xy xy xy yx ，
三、周期图
⒈说明：
在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个（N 个）取样值，用表示，可以认为它是分段平稳随机信号中的一段，也可以看成是从平稳随机信号中截取出来的一段数据。
平稳随机信号，无论从何时开始取其中任何一段长为N 的数据，所计算出来的均值或自相关值都是相同的。
)(n Y N
)(n Y N 信号可以看成是用宽为N 的数据窗W (n )从平稳随机信号y (n )中截取出来的，即：
)
,,,()()()(110?==N N y y y n w n y n y 则自相关函数：
取样自相关
，??≤=
+??=∑
1||1)(?|
|10
N k y y N
k R n k n k N n yy )]
(*)([1)(?k y k y N
k R N N yy ?=可看成：
⒉定义：
由此得周期图的定义：取样自相关函数的双边Z 变换：
k yy N N k yy
z
k R z S ????=∑
=)(?)(?1
)
1(
考虑到：时域卷积对应频域相乘
()变换的是 z n y z Y z Y z Y N
z S N yy )()()()(1)(?1?=∴
jw
e z =令21
2|)(|1|)(|1)(?jwn N N n yy e n y N w y N w S ??=∑==∴
上式很适合FFT计算。
⒊讨论
长为N 的数据来计算周期图，能达到的频率分辩率为：
s
f T N 12=
=Δ，πω∵数学频率ω与物理频率f ，有??
?
??==取样频率时域取样间隔T f T f s 1
:2πωN
f f N f f s s =
Δ?=Δ∴==时 时 π
ωπ
ω22,∵∴（物理）频率分辨率：k
s T NT N f f 11===ΔNT T k =其中，
是数据段的持续时间，单位秒。
§1.5 谱分解
零点的位置不影响系统的幅频特性，只影响相频特性（亦不影响因果性和稳定性）。即：
是最小相位序列，则其Z 变换：),,,( If 10M a a a a =)
1()1)(1( )(112110110????????=+++=z z z z z z a z a z a a z A M M
M 式中：零点为最小延时多项式。
()z A M i z i ；,,2,1,1|| =<一、最小相位序列
Z 变换的所有零点都在Z 平面单位圆内的序列——最小相位序列，
现代数字信号处理仿真作业
现代数字信号处理仿真作业 1.仿真题3.17 仿真结果及图形： 图 1 基于FFT的自相关函数计算
图 3 周期图法和BT 法估计信号的功率谱 图 2 基于式3.1.2的自相关函数的计算
图 4 利用LD迭代对16阶AR模型的功率谱估计16阶AR模型的系数为： a1=-0.402637623107952-0.919787323662670i; a2=-0.013530139693503+0.024214641171318i; a3=-0.074241889634714-0.088834852915013i; a4=0.027881022353997-0.040734794506749i; a5=0.042128517350786+0.068932699075038i; a6=-0.0042799971761507 + 0.028686095385146i; a7=-0.048427890183189 - 0.019713457742372i; a8=0.0028768633718672 - 0.047990801912420i a9=0.023971346213842+ 0.046436389191530i; a10=0.026025963987732 + 0.046882756497113i; a11= -0.033929397784767 - 0.0053437929619510i; a12=0.0082735406293574 - 0.016133618316269i; a13=0.031893903622978 - 0.013709547028453i ; a14=0.0099274520678052 + 0.022233240051564i; a15=-0.0064643069578642 + 0.014130696335881i; a16=-0.061704614407581- 0.077423818476583i. 仿真程序（3_17）: clear all clc %% 产生噪声序列 N=32; %基于FFT的样本长度
数字信号处理答案解析
1-1画出下列序列的示意图 (1) (2) (3) (1) (2)
(3) 1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。 图1.41信号x(n)的波形 (1)(2)
(3) (4) (5)(6) (修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期 (1) 解：非周期序列; (2) 解：为周期序列，基本周期N=5; (3)
解：，，取 为周期序列，基本周期。 (4) 解： 其中，为常数 ，取，，取 则为周期序列，基本周期N=40。 1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)非线性移不变系统 (2) 非线性移变系统（修正：线性移变系统） (3) 非线性移不变系统 (4) 线性移不变系统 (5) 线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1) ，其中因果非稳定系统 (2) 非因果稳定系统 (3) 非因果稳定系统 (4) 非因果非稳定系统
(5) 因果稳定系统 1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1) (2) (3) 解：（1） （2） （3）
1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1) (2) (3) 解： (1)采样不失真 (2)采样不失真 (3) ，采样失真 1-8已知,采样信号的采样周期为。 (1) 的截止模拟角频率是多少？ (2)将进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系如何？ (3)若，求的数字截止角频率。 解： (1) (2) (3)
现代数字信号处理复习题
现代数字信号处理复习题 一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始 时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ； （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=； （3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪 声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 离散随机信号f(n)在区间 上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量0 一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m (n)表示，其数学表达式为 x m (n)= x((n-m)) N R N (n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。 ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) “现代数字信号处理”复习思考题 变换 1. 给出DFT的定义和主要性质。 2. DTFT与DFT之间有什么关系？ 3. 写出FT、DTFT、DFT的数学表达式。 离散时间系统分析 1. 说明IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构的主要特点。 2. 全通数字滤波器、最小相位滤波器有何特点？ 3. 线性相位FIR滤波器的h(n)应满足什么条件？其幅度特性如 何？ 4. 简述FIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 5. 简述IIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 采样 1．抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？ 维纳滤波 1．画出Wiener滤波器结构，写出平稳信号下的滤波方程，导出Wiener-Hopf方程。 2．写出最优滤波器的均方误差表示式。 3．试说明最优滤波器满足正交性原理，即输出误差与输入信号正交。4．试说明Wiener-Hopf方程和Yule-Walker方程的主要区别。 5．试说明随机信号的自相关阵与白噪声的自相关阵的主要区别。 6．维纳滤波理论对信号和系统作了哪些假设和限制？ 自适应信号处理 1．如何确定LMS算法的值，值与算法收敛的关系如何？ 2．什么是失调量？它与哪些因素有关？ 3．RLS算法如何实现？它与LMS算法有何区别？ 4．什么是遗忘因子，它在RLS算法中有何作用，取值范围是多少？5．怎样理解参考信号d(n)在自适应信号处理处理中的作用？既然他是滤波器的期望响应，一般在滤波前是不知道的，那么在实际应用中d(n)是怎样获得的，试举两个应用例子来加以说明。 功率谱估计 1. 为什么偏差为零的估计不一定是正确的估计？ 2. 什么叫一致估计？它要满足哪些条件？ 3. 什么叫维拉－辛钦(Wiener-Khinteche)定理？ 4. 功率谱的两种定义。 5. 功率谱有哪些重要性质？ 6. 平稳随机信号通过线形系统时输入和输出之间的关系。 7. AR模型的正则方程(Yule-Walker方程)的导出。 8. 用有限长数据估计自相关函数的估计质量如何？ 9. 周期图法谱估计的缺点是什么？为什么会产生这些缺点？ 10. 改进的周期图法谱估计有哪些方法？它们的根据是什么？ 11. 既然隐含加窗有不利作用，为什么改进周期图法谱估计是还要 引用各种窗？ 1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。 证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为 ()001,w -w w 0, w -w w H w ???? 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w = 输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201 1r 022w w y y w w S w dw S w dw π π π+?-?= =?? 当频率宽度w 0???→时，上式可表示为()()()01 r 00y S w w π =?≥ 由于频率0w 是任意的，所以有()w 0 S ≥ 3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程 )()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H =νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ } )]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --= 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即 1 *11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ ξξ 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n z n z n ∈-=-=--ξξα 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 N N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,() 1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=- 步骤4 新息过程自相关矩阵M M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或 )()()()(1 2n Q n C n P n K H -= 步骤6 状态估计 1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x ∈+=-αξξ 步骤7 状态估计自相关矩阵 N N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或 )()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法： 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= 研究生“现代信号处理”课程大型作业 （以下四个题目任选三题做） 1. 请用多层感知器（MLP ）神经网络误差反向传播（BP ）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]X T =，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。其中，非线性函数采用S 型Logistic 函数。 2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。 3. 根据《现代数字信号处理》（姚天任等，华中理工大学出版社，2001）第四章附录提供的数据(pp.352-353)，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线： 1） Levinson 算法 2） Burg 算法 3） ARMA 模型法 4） MUSIC 算法 4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11), 系统输入是取值为±1的随机序列)(n x ，其均值为零；参考信号)7()(-=n x n d ；信道具有脉冲响应： 1 2(2)[1cos( )]1,2,3()20 n n h n W π-?+=?=???其它 式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2～4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等)，且信道受到均 值为零、方差001.02 =v σ(相当于信噪比为30dB)的高斯白噪声)(n v 的干扰。试比较基 于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线): 1） 横向/格-梯型结构LMS 算法 2） 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。 答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试 成功！！ 电子科技大学微电子与固体电子学钢教授著 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+ 故该系统是线性系统。 2012《现代数字信号处理》课程复习... “现代数字信号处理”复习思考题变换 1. 2. 3. 给出DFT的定义和主要性质。DTFT与DFT 之间有什么关系？写出FT、DTFT、DFT的数学表达式。离散时间系统分析 1. 说明IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构的主要特点。2. 全通数字滤波器、最小相位滤波器有何特点？ 3. 线性相位FIR滤波器的h(n)应满足什么条件？其幅度特性如何？ 4. 简述FIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 5. 简述IIR离散时间系统的Lattice结构的特点。采样1．抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？维纳滤波1．画出Wiener滤波器结构，写出平稳信号下的滤波方程，导出Wiener-Hopf方程。2．写出最优滤波器的均方误差表示式。3．试说明 最优滤波器满足正交性原理，即输出误差与输入信号正交。4．试说明Wiener-Hopf方程和Yule-Walker方程的主要区别。5．试说明随机信号的自相关阵与白噪声的自相关阵的主要区别。6．维纳滤波理论对信号和系统作了哪些假设和限制？自适应信号处理1．如何确定LMS算法的?值，?值与算法收敛的关系如何？2．什么是失调量？它与哪些因素有关？3．RLS 算法如何实现？它与LMS算法有何区别？4．什么是遗忘因子，它在RLS算法中有何作用，取值范围是多少？5．怎样理解参考信号d(n)在自适应信号处理处理中的作用？既然他是滤波器的期望响应，一般在滤波前是不知道的，那么在实际应用中d(n)是怎样获得的，试举两个应用例子来加以说明。功率谱估计 1. 为什么偏差为零的估计不一定是正确的估计？ 2. 什么叫一致估计？它要满足哪些条件？ 3. 什么叫维拉－辛钦 现代数字信号处理实验报告 1、估计随机信号的样本自相关序列。先以白噪声()x n 为例。 (a) 产生零均值单位方差高斯白噪声的1000个样点。 (b)用公式： 999 1?()()()1000x n r k x n x n k ==-∑ 估计()x n 的前100个自相关序列值。与真实的自相关序列()()x r k k δ=相比较，讨论你的估计的精确性。 (c) 将样本数据分成10段，每段100个样点，将所有子段的样本自相关的平均值作为()x n 自相关的估值，即： 999 00 1?()(100)(100) , 0,1,...,991000x m n r k x n m x n k m k ===+-+=∑∑ 与(b)的结果相比，该估计值有什么变化？它更接近真实自相关序列()()x r k k δ=吗？ (d)再将1000点的白噪声()x n 通过滤波器1 1 ()10.9H z z -= -产生1000点的y (n )，试重复(b)的工作，估计y (n )的前100个自相关序列值，并与真实的自相关序列()y r k 相比较，讨论你的估计的精确性。 仿真结果： (a) 图1.1零均值单位方差高斯白噪声的1000个样本点 分析图1.1：这1000个样本点是均值近似为0，方差为1的高斯白噪声。(b) 图1.2() x n的前100个自相关序列值 分析上图可知：当k=0时取得峰值，且峰值大小比较接近于1，而当k≠0时估计的自相关值在0附近有小幅度的波动，这与真实自相关序列r (k)=δ(k) x 比较接近，k≠0时估计值非常接近0，说明了估计的结果是比较精确的。 仿真作业 姓名：李亮 学号：S130101083 4.17程序 clc; clear; for i=1:500 sigma_v1=0.27; b(1)=-0.8458; b(2)=0.9458; a(1)=-(b(1)+b(2)); a(2)=b(1)*b(2); datlen=500; rand('state',sum(100*clock)); s=sqrt(sigma_v1)*randn(datlen,1); x=filter(1,[1,a],s); %% sigma_v2=0.1; u=x+sqrt(sigma_v2)*randn(datlen,1); d=filter(1,[1,-b(1)],s); %% w0=[1;0]; w=w0; M=length(w0); N=length(u); mu=0.005; for n=M:N ui=u(n:-1:n-M+1); y(n)=w'*ui; e(n)=d(n)-y(n); w=w+mu.*conj(e(n)).*ui; w1(n)=w(1); w2(n)=w(2); ee(:,i)=mean(e.^2,2); end end ep=mean(ee'); plot（ep）; xlabel('迭代次数');ylabel('MSE');title('学习曲线'); plot(w1); hold; plot(w2); 仿真结果： 步长0.015仿真结果 0.10.20.30.4 0.50.60.7迭代次数 M S E 学习曲线 步长0.025仿真结果 步长0.005仿真结果 4.18 程序 data_len = 512; %样本序列的长度 trials = 100; %随机试验的次数 A=zeros(data_len,2);EA=zeros(data_len,1); B=zeros(data_len,2);EB=zeros(data_len,1); for m = 1: trials a1 = -0.975; a2 = 0.95; sigma_v_2 =0.0731; v = sqrt(sigma_v_2) * randn(data_len, 1, trials);%产生v(n) u0 = [0 0]; num = 1; den = [1 a1 a2]; Zi = filtic(num, den, u0); %滤波器的初始条件 u = filter(num, den, v, Zi); %产生样本序列u(n) %（2）用LMS滤波器来估计w1和w2 mu1 = 0.05; mu2 = 0.005; w1 = zeros(2, data_len); 数字信号处理习题及答案 ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ) 5 4sin( )8 sin( )4() 51 cos()3() 54sin()2() 8sin( )1(n n n n n πππ π - ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1） A是常数 8ππn 73Acos x(n)???? ? ?-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以3 14 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω=81, 所以ω π 2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0 ?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0 。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 现代数字信号处理期末试题 1.短时Fourier变换、小波变换和Gabor变换都是时频信号分析的（线性变换）或（线性时频）表示，而Wigner-Ville分布则属于时频信号分析的（非线性变换）。 2. 简述小波变换的概念及其优点。 答：小波变换从基函数角度出发，吸取傅里叶变换中的三角基(进行频率分析)与短时傅里叶变换中的时移窗函数的特点，形成振荡、衰减的基函数，因为它的定义域有限，故称为小波。小波基函数是时间t、尺度因子a和时移参数b的函数。 小波变换的优点： ⑴小波分解可以覆盖整个频域（提供了一个数学上完备的描述）。 ⑵小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性。 ⑶小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）。 ⑷小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）。 3. 相对于Mallat塔形算法而言，第二代小波方法的优势在哪里？ 答：1.它不依赖于傅里叶变换，完全在时域中完成对双正交小波的构造，具有结构化设计和自适应构造方面的有点 2.构造方法灵活，可以从一些简单的小波函数，通过提升改善小波函数的特性，从而构造出具有期望特性的小波 3.不再是某一给定小波函数的伸缩和平移，它适合于不等间隔采样问题的小波构造 4.算法简单，运算速度快，占用内存少，执行效率高，可以分析任意长度的信号。4.EMD方法在机械设备故障诊断中的应用有（机车轮对轴承损伤定量识别方法）、（烟气轮机摩擦故障诊断）。 5. 随机信号特点？ 答：随机信号也称随机过程，随机信号在任何时间的取值都是不能先验证确定的随机变量。虽然随机信号取值不能先验证确定，但这些取值却服从某种统计规律，换言之，随机信号或过程可以用概率分布特点（简称统计性能）统计的描述。6. 简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。 答:功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。 7.自适应滤波方法主要是基于几种基本理论再融合递推算法导出来的？ 答：（1）基于维纳滤波理论的方法。基于维纳滤波原理，利用相关的瞬时值通过在工作过程中的逐步调整参数逼近信号的统计特性，实现最优滤波。由此得到一种最常用的算法——最小均方算法，简称LMS算法 （2）基于卡尔曼滤波理论的方法。利用卡尔曼滤波理论的递推求解法导出自适应滤波器更新权矢量得不同递推算法。 数字信号处理试卷及答案 一、 选择题（每题3分，共5题） 1、 )63()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6π =N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使 DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 第一章 ） ，（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为： ）（）（）（）（）。概率密度函数为： ，（服从正态分布，即 、证明：∑ ∑∑∑∑∑ ∑ =-=-===-=? ? ? ???---= -x T x x T T T x x T T T T T x T x N x T T x X x T x x x N x x B B B m N X B B B B m j B B B m j B f f t t t t t t t m j t f X m X m X x p m N X X ~]2 1exp[]2 1exp[ ]2 1exp[21exp 21 ~121121 2 ξξμμμμμμμμξπξ [] 相互独立。 与） （）（）（）（），（的联合概率密度函数为 ，），（的协方差为 ，的协方差为 设、证明： Y X Y p X p Y Y X X Y X R Y X R Y X p Y X Y X E R Y X Cov Y X T X T X Y X M N T XY T XY M N Y X Y X T Y X N N N N ∴=??????--= ??? ?????????????????????-= ∴??? ???? ?===∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ++??2121exp 21 21exp 21 00 ][22 12122 12 ππ 。 且，则，，则要使））（（则，为常量。，其中设、证明： ∑ = =-==∴====+-=----==+=x T x x xx ee x T ee T T x x xx T x x ee T x x x Cov m m R R m x a a a aa R aa m m R a m x a m x E R ee E a a m x ),(?0 0min ] [][?3 现代数字信号处理Advanced Digital Signal Processing 东南大学信息科学与工程学院 杨绿溪 教科书、参考书 ?杨绿溪, 现代数字信号处理, 科学出版社, 2008年12月。?胡广书，数字信号处理----理论、算法与实现，清华大学出版社，1997(或2003)年。 ?皇甫堪等，现代数字信号处理，电子工业出版社，2004年6月。 ?丁玉美等，数字信号处理-----时域离散随机信号处理，西安电子科技大学出版社，2002年12月。 ?金连文，韦岗，现代数字信号处理简明教程，清华大学出版社，2004年1月。 ?何子述等，现代数字信号处理及其应用，清华大学出版社，2009年5月。 ?S.Haykin, Adaptive Filter Theory, Prentice Hall, 2001. 课程基本内容 1.离散时间信号处理基础(本科内容复习) 2.离散随机信号分析基础 –离散时间随机信号基本概念? –基本的正交变换(与信号正交展开、去相关) –基本的参数估计方法 3.线性预测和格型滤波器(语音编码应用)? 4.随机信号的线性建模? 5.功率谱估计(与频率估计、子空间分析)? 6.最优线性滤波: 维纳滤波与卡尔曼滤波? 7.自适应滤波器(线性系统的学习)? 可能选讲或简介的内容 8.多速率数字信号处理和滤波器组 9. 神经智能信息处理；压缩感知等 10. 盲信号处理 11.空时、阵列与MIMO信号处理 12.信号的时频分析 第一章离散时间信号处理基础??本科课程内容复习?? ?数字信号与数字信号处理(DSP)概述 ?滤波器－－简单的数字信号处理系统 ?信号的变换－z变换、DTFT、DFT和FFT ?特殊的序列（和对应的滤波器） –全通序列、最小相位序列、线性相位、半正定序列 Chapter 10 Solutions 10.1 (a) The impulse response is given by h[n] = –0.8h[n –1] + 0.1h[n –2] + δ[n]. The first ten samples are listed in the table. (b) The impulse response contains an infinite number of non-zero terms. 10.3 (a)(i) Without pre-warping, the transfer function for the analog filter is 15708 s 15708) 2500(2s )2500(2s )s (H 1 p 1p += π+π= ω+ω= The bilinear transformation 1 z 1z f 2s S +-=gives 1 1 z 00921.01) z 1(4954.015708 1 z 1z 16000 15708)z (H ---+= ++-= (ii) The analog frequency 2.5 kHz is converted to a digital frequency Ωp1 = 8000/)2500(2π =1.9635 rads. This frequency is pre-warped to the analog frequency 2 tan f 21p S 1p Ω=ω= 23946 rad/sec, which makes the transfer function for the analo g filter 23946 s 23946s )s (H 1 p 1p += ω+ω= After the bilinear transformation, the digital transfer function is obtained: 1 1 z 1989.01) z 1(6.023946 1 z 1z 16000 23946)z (H --++= ++-= (b) The magnitude responses for both filters are shown below. The –3 dB frequency for the pre-warped filter is equal to the specified 2.5 kHz. 10.4 (a) The cut-off frequency for the analog filter is 1500/(2π) = 238.73 Hz. The digital frequency that corresponds to this analog frequency is Ωp1 = 8000/)73.238(2π = 0.1875 rads. The pre-warped analog cut-off frequency is 2 tan f 21p S 1p Ω=ω= 1504.4 rad/sec, to give the transfer function 4 .1504s 4.1504)s (H += . Filter with pre-warping |H(f)| f数字信号处理试题和答案 (1)
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