【数学】2.3.2《离散型随机变量的方差》教案(新人教A版选修2-3)

2．3．2离散型随机变量的方差

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2

D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教具准备：多媒体、实物投影仪 。

教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2

D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，

并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

授课类型：新授课 课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.

回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[1

2

n

S =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -

叫做这组数据的方差 教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5. 分布列:

ξ

x 1 x 2 … x i …

P P 1

P 2 … P i …

6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)

7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k

n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．

ξ 0

1 … k … n

P

n

n q p C 00

1

11-n n q p C … k

n k k n q p C - …

q p C n n n

8.几何分布： g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．

ξ

1

2

3

…

k … P

p pq

2q p … 1k q p -

…

9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ x 1 x 2 … x n … P

p 1

p 2

…

p n

…

则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．

10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水

平

11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …n

x n 1

)?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 13.若ξ B （n,p ），则E ξ=np

二、讲解新课：

1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,

ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．

2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．

3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）2

2)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )

4.其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值

的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：

例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为

ξ 1

2

3

4

5

6

P

16 16 16 16 16 16

从而

111111

123456 3.5666666

EX =?+?+?+?+?+?=;

2222221111

(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)6666

11

(5 3.5)(6 3.5) 2.92

66

DX =-?+-?+-?+-?

+-?+-?≈

1.71X DX σ=≈.

例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X 1/元

1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P 1 0.4

0.3

0.2

0.1

乙单位不同职位月工资X 2/元

1000 1400 1800 2000 获得相应职位的概率P 2

0.4

0.3

0.2

0.1

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,

DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;

EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,

DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .

因为EX 1 =EX 2, DX 1

例3．设随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2 … n

P

n 1 n 1 …

n

1 求D ξ

解：（略）12n E ξ+=, 2n -1

D 12

ξ=

例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为

1ξ

1 2 3 4 5 6 7

P

71 71 71 71 71 71 7

1 离散型随机变量2ξ的概率分布为

2ξ

3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3

P

71 71 7

1 71 71 71 7

1 求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解：471

77127111=?+???+?+?

=ξE ； 471

)47(71)42(71)41(2221=?-+???+?-+?-=ξD ；211==ξσξD

47

1

3.4718.3717.32=?+???+?+?=ξE ；

2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .

点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．

1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10

的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：180.290.6100.29E ξ=?+?+?=

221(89)0.2(99)0.6D ξ=-?+-?+（10-9）4.02.02=?；

同理有8.0,922==ξξD E

由上可知，21ξξE E =，12D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所

得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

A 机床

B 机床 次品数ξ1 0

1

2

3 次品数ξ1 0

1

2

3

概率P

0.7 0.2 0.06 0.04

概率P

0.8 0.06 0.04 0.10

问哪一台机床加工质量较好

解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差

D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）

2

×0.06+（3-0.44）2

×0.04=0.6064,

D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2

×0.04+（3-0.44）2

×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：

1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）

A ．1000.08和；

B ．200.4和；

C ．100.2和；

D ．100.8和 答案：1.D

2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．

解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3

当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P （ξ=0）=

43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=

449119123=? 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=

220

9109112123=?? 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）

=

220

199101112123=??? 所以，E ξ=10

3

22013220924491430=?+?+?

+? 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次

品数为ξ，求E ξ，D ξ

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ B （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ B （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.98

4. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p

则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2

×p=p(1-p) 4

12)p 1(p 2

=??? ??-+≤

5. 有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下： ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P

0.1

0.2

0.4

0.1

0.2

P

0.1 0.2 0.4 0.1 0.2

其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低

于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好

分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性

解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为

E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.

所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为

D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2

×0.2=50，

D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2

×0.2=165.

所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好

6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用

解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题 意，可得ξ的分布列为

ξ 0 5 25 100

P

400391 50

1 5001

2000

1

2.02000

1

10050012550154003910E =?+?+?+?=ξ

答：一张彩票的合理价格是0．2元．

五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和

2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,2

1.设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p

解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）

∴???=-=4)1(12p np np ∴??

???==3218

p n

2.已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，3

1

) 解：p(ξ=2)=c 62

(

31)2(3

2)4

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和

η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）

试分析甲、乙技术状况

解：由0.1+0.6+a+1?a=0.3 0.3+0.3+b=1?a=0.4 ∴E ξ=2.3 , E η=2.0 D ξ=0.81 , D η=0.6

七、板书设计（略）

八、教学反思：

⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；

④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

ξ

1 2 3 p

a

0.1

0.6

η

1 2 3 p

0.3

b

0.3