2017届二轮复习 高考大题分层练 7解析几何、函数与导数(C组)专题卷 (全国通用)
高考大题分层练
7.解析几何、函数与导数(C组)
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1.椭圆Γ：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为
B.已知=.
(1)求椭圆的离心率.
(2)过点M(-2a，0)的直线交椭圆Γ于P，Q(不同于左、右顶点)两点，且
+=.当△PQF1面积最大时，求直线PQ的方程.
【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0).由=，可得a2+b2=7c2.
又b2=a2-c2，则=，所以椭圆的离心率e=.
(2)椭圆的离心率是，所以b2=a2，所以椭圆方程可写为3x2+4y2=3a2.
设直线PQ的方程为x=my-2a，联立直线和椭圆方程，消去x得
(3m2+4)y2-12may+9a2=0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则y1+y2=，y1y2=.依题意，该方程的判别式Δ>0，
即m2-4>0，
由焦半径公式得=，=.
因此+=可化为=. ①
将y1+y2=，y1y2=代入①式得，=，解得a=32.
所以=·=·. ②
令t=(t>0)，则②式可化为
=·≤·=192.
当且仅当t2=时，“=”成立，此时m=〒.
所以直线PQ的方程为x=y-64或x=-y-64.
2.已知函数f(x)=ln+x2-ax(a为常数，a>0).
(1)求证：当0 (2)若对任意的a∈(1，2)，总存在x0∈，使不等式f(x0)>m(1-a2)成立，求实数m的取值范围. 【解析】(1)f′(x)==. 得f′(x)≥0， 所以f(x)在上单调递增. (2)1 所以存在x0∈，不等式f(x0)>m(1-a2)成立，得f(x)max>m(1-a2)， 即f(1)=ln+1-a>m(1-a2)，a∈(1，2). 令g(a)=ln+1-a+m(a2-1)，a∈(1，2)，g(1)=0. g′(a)=·-1+2ma=-1+2ma==， 导函数的零点a=， 当m≤0时，g′(a)<0，则g(a) 当≤1，且m>0时，即m≥，g′(a)>0，g(a)在a∈(1，2)上单调递增，故g(a)>g(1)=0， 当1<<2时，即 当≥2时，即m≤，g(a)在(1，2)上单调递减，不合题意. 综上，实数m的取值范围是. 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而 2021届高三高考数学文科一轮复习知识点 专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值 【考情分析】 1.了解函数的单调性与导数的关系； 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。 3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 4.会用导数求函数的极大值、极小值； 5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。 【重点知识梳理】 知识点一函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 知识点二函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 知识点三函数的极值与导数 f′(x0)＝0 条件 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰形如山谷 极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值 极值点 x 0为极大值点 x 0为极小值点 知识点四 函数的最值与导数 (1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件 如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值； ②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【特别提醒】 1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】 高频考点一 求函数的单调区间 例1.【2019·天津卷】设函数()e cos , ()x f x x g x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。 【解析】由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ? ?∈π+ π+ ?? ? ()k ∈Z 时，有sin cos x x >， 得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ? ?∈π-π+ ?? ?()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ?? π- π+∈???? Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ? ? π+ π+∈???? Z ． 【答案】()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ? ?-+∈????Z 的单调递减区间为 函数与导数高考真题 1．2log 510＋log 50.25＝ A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 2．2 2 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 3．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ） 132 （Ｄ）213 75．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．2- B ．1 C ．4 D ．10 6．设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a ab a 211 1lim （ ） A ．0 B ． 41 C ．21 D ．1 7．已知函数y =13x x -++的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为 (A)14 (B)12 (C)22 (D)32 8．已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 9．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3] m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．158(,)33 B ．15(,7)3 C ．48(,)33 D ．4(,7)3 10．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与 ()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ． (0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ． (,0)-∞ 2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=， 当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +， 第三课时函数与导数的应用 1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 2.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系 式为y ＝－13 x 3 ＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 3：由直线x ＝－π3，x ＝π 3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 2 D.3 4．若函数 y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成 立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．af (a )>bf (b ) B ．af (a ) 2019高考数学函数与导数复习指导 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中，函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分。一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题，而且常考常新。 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在： 1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。 2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。 3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素 养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练 工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 8.求极值，函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合。 （Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-?，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>． 联立212y x y x ax =-??'=-+-? 消去y 得：2(1)10x a x +-+=， 由题意得：2(1)40a -=-=△， 解得：3a =或1-； （Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'， 1(0,)e x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4 t <≤-时， min 111)ln )444 ()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e t -<<时， min e ()1e )(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min 1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--???-<<≥?=?????； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立， 又两次最值不能同时取到， 故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e x x x x >-成立． ∴()0g x '>， ∴函数()g x 在定义域内为增函数， ∴(1)(0)g g >，即12 e (1)(0) f f >，亦即(1) f > 故选：A ． 2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥， ∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数， 又∵()sin ()f x x x f x -=--=-， ∴()sin f x x x =+为奇函数， ∴2222222222(23)(41)0(23)(41) (23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤?-+≤--+?-+≤-+-?-+≤-+-?-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ?-+-≤?≥? 可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1 y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1 y x +的取值范围为13,44?????? ． 3．解析：依题意，可得右图：()2f x = 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 题型练8 大题专项(六)函数与导数综合问题1.(2018北京,理18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 2.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}= (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围; (2)①求F(x)的最小值m(a); ②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a). 3.已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R). (1)试讨论f(x)的单调性; (2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪,求c的值. 4.已知a>0,函数f(x)=e ax sin x(x∈[0,+∞)).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明: (1)数列{f(x n)}是等比数列; (2)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立. 5.(2018天津,理20)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1. (1)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间; (2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明 x1+g(x2)=-; (3)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. 6.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,b∈R,且a≠0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=a e(x-1). (1)求b的值; (2)若对任意x∈,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围. 高考导数压轴题题型 李远敬整理 2018.4.11 一．求函数的单调区间，函数的单调性 1.【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足12 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； 【解析】 （1）12 11()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211 ()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：21 ()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ 2.【2013新课标2】21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； 【解析】 (1)f ′(x )＝1 e x x m - +. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1 e 1 x x -+. 函数f ′(x )＝1 e 1 x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 3.【2014新课标2】21. 已知函数()f x =2x x e e x --- （1）讨论()f x 的单调性； 【解析】 （1）+ -2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f （x ）在（—∞，+∞）单调递 增 【2015新课标2】21. 设函数 f (x )=e mx +x 2-mx 。 （1）证明： f (x )在 (-￥,0)单调递减，在 (0,+￥)单调递增； （2）若对于任意 x 1,x 2?[-1,1]，都有 |f (x 1)-f (x 2)|￡e -1，求m 的取值范围。 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ??? 的单调递减区间是,.2t t ? ?- ??? （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ? ? ??? 内的单调递减，在,2t ?? +∞ ??? 内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22 t t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 高考函数与导数复习 方法解析： 纵观浙江近四年的函数与导数试题，不难发现对函数的考查力度较大，约有3-4题，并且题型涉及选择、填空与解答，难度也有易有难，难度较大的大题主要是与导数、不等式相结合的综合题。对函数的考查主要体现在以下几个方面： 1． 直接考查函数的基本概念（定义域、值域及其相关的问题）和运算，如（2004，13与分段函数有关 的不等式的解集计算），（2005，3与分段函数有关的复合函数求值问题），（2006，3对对数函数值大小的比较问题），（2007，10已知分段函数的值域求定义域问题，此时要充分理解二次函数的定义，当然，此题也可以利用数形结合求解）。（2006，12新概念函数的最值问题）。 2． 函数的重要性质（单调性和奇偶性）的考查，单独没有出题，主要是在各种题型中的渗透，如利用 性质求函数的最值等。 3． 反函数在高考中主要考反函数的求法及原函数与反函数的自变量和应变量之间的关系等问题，如 （2005，11求分式函数的反函数） 4． 函数的图象是函数的一种重要的表示方法，也是高考的热点问题之一。特别是与向量的结合，使图 象的平移更直观，和与导数的结合，主要是考查导数的数学意义，（如2004，11及2007，8）二次函数、指数、对数函数是中学数学的重要函数模型，因而也是高考重点考查的重要对象，每年必考，如2004年12题，它以抽象函数为背景考查了二次函数方程是否有解的问题。2005年16题，它以二次函数为背景考查了函数图像的对称性及含绝对值的不等式的解法。（2006年16它二次函数为背景考查了函数的性质与不等式的应用，求证参数的取值范围和方程根的分布问题。2007年理10题考查了二次函数概念的内涵，文22以二次函数为背景考查了函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识。 5． 导数的概念及其运算是导数应用的基础，要深入把握，浙江主要考查导数的数学意义，结合图形。 6． 利用导数来研究解决函数的单调性和最值问题已成为新的热点内容，对它的考查主要以大题且以压 轴题的形态出现，因此难度一般较大，备考时要重点关注。如2004年20题考查了曲线上一点切线的求法及切线与坐标轴围成的三角形的面积最值问题，难度中等。2007年22题考查了利用导数求函数的单调区间及不等式恒成立问题的求解问题，难度较大，是区分优等生的考题。 真题训练： 1．（2004，11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的 是（ C ） (A) (B) (C) (D) 【分析】本题主要考查了导函数的符号与函数单调性的关系。属导数的简单应用。 2．（2004，12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则 )]([x f g 不可能．．． 是 （ B ） 函数与导数（理科数学） 1、对于R 上的可导函数()f x ，若满足/(1)()0x f x -≥，则必有（C ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +> 2、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/ ()()0xf x f x -≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C ) A.()()af a f b ≤ B.()()bf b f a ≤ C.()()af b bf a ≤ D.()()bf a af b ≤ 3、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/()()0xf x f x +≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C ) A 、()()af a f b ≤ B 、()()bf b f a ≤ C 、()()af b bf a ≤ D 、()()bf a af b ≤ 4、记{}???>≤=q p q q p p q p 当当.,,min ．若函数? ?????+=x x x f 241log ,log 3min )(， 则函数)(x f 的解析式_______________.2)( 函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案) 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零 点。 （2）当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ?? ??? 内单调递减，在,12t ?? ???内单调递增，若3 3177(0,1],10.244t f t t t ??∈=-+-≤-< ??? 2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+> 所以(),12t f x ?? ??? 在内存在零点。 若()3377(1,2),110.244t t f t t t ??∈=-+-<-+< ??? (0)10f t =-> 所以()0,2 t f x ?? ???在内存在零点。 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在 零点。 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在 零点。 2. 已知函数21 ()32 f x x =+，()h x =． （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x ) 的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证 明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+． 令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）． 当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<， 故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为 减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=． （Ⅱ）方法一：原方程可化为 422 33log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=---， 即为4222log (1)log log log x -==，且,14,x a x ， 此时3x ==±∵1x a <<， 此时方程仅有一解3x = ②当4a >时，14x <<，由14a x x x --=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ?=-+=-， 若45a <<，则0?> ，方程有两解3x =± 若5a =时，则0?=，方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >，原方程无解． 方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-， 即222 1log (1)log log 2x -+， 函数与导数二轮复习建议 金陵中学 朱骏 函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用． 下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考 基本题型一：函数性质的研究 例1（2019年江西理改）若f (x )＝ 1log(2x ＋1) ，则f (x )的定义域为____________． 【解析】由???2x ＋1＞0log(2x ＋1)＞0 ，解得?????x ＞－12x ＜0 ，故－12＜x ＜0，答案为（－1 2，0）． 说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质． 例2（2019年江苏）设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )（x ∈R ）是偶函数，则实数a ＝_______． 【解析】 由g (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，得g (0)＝0，解得a =－1；也可以由奇函数的定义解得． 说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f (0)＝0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法． 变式：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2 x （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值是_______． 答案：±1． 例3 设a (0＜a ＜1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f (1 2 )＝0，f (log a t )＞0，则t 的取值范围是________． 【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图． 由图得－12＜log a t ＜0或log a t ＞12，解得t (0，a ) ∪(1，a a )． 说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体 性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查． 2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现． 例4（2019年江苏卷）已知函数f (x )＝???x 2 ＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2 )＞f (2x ) 的x 的范围是 ． 【解析】画出函数f (x )的图象，根据单调性，得???1－x 2 ＞2x ， 1－x 2 ＞0． ，解得 x ∈(－1，2－1)． 说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f (1－x 2 )＞f (2x )具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用． 变式：设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________________________． 答案：f (a ＋1)＞f (b ＋2)． 例5（2019年江苏）设a 为实数，函数f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a , +∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以，－a ＞0，即a ＜0．由a 2 ≥1，得a ≤－1． （2）记f (x )的最小值为g (a )， f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |＝? ????3(x － a 3)2＋2a 2 3，x ＞a ， ①(x ＋a )2－2a 2 ， x ≤a ， ② （ⅰ）当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2 ，由①②知f (x )≥－2a 2 ，此时，g (a )＝－2a 2 ． （ⅱ）当a ＜0时，f (a 3)＝23a 2．若x ＞a ，则由①知f (x )≥23 a 2 ；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a ＜0，由②知f (x )≥2a 2 ＞23a 2．此时，g (a )＝23 a 2．高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值【含答案】
函数与导数历年高考真题
2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总
高三二轮复习函数与导数
高考数学函数与导数复习指导
高三数学-理科函数与导数-专题练习(含答案与解析)
高考理科数学全国卷三导数压轴题解析
函数与导数经典例题高考压轴题含答案
2019年最新高考数学二轮复习 题型练8 大题专项(六)函数与导数综合问题 理(考试专用)
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