2016届福建省泉州五校高三上学期12月联考 数学理试题
2016届福建省泉州五校高三上学期12月联考 数学理试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．
第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． ２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}， 则右图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{2}
B ．{4，6}
C ．{1，3，5}
D ．{4，6，7，8} 2．已知R a ∈，且i
i
a -+-1为纯虚数，则a 等于（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
3．已知函数()f x 是定义在[5,5]-上的偶函数，()f x 在[0,5]上是单调函数，且(3)(1)f f -<，则下列不
等式中一定成立的是（ ）
A. (1)(3)f f -<-
B. (2)(3)f f <
C. (1)(0)f f <
D. (3)(5)f f -<
4．已知{}n a 是首项为1的等比数列，且48a =，则数列?
??
???n a 1的前5项和为（ ） A. 31 B.
1631 C.11 D. 1116
5．已知角α顶点在原点，始边为x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点()m ， 则sin 2α= ( )
A ．4±
B ．4
C ．2±
D ．2
6. 已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝4
3
，则S 9等于 ( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．7 7. 设α、β是两个不同的平面，m l 、为两条不同的直线. 命题p ：若平面βα//，α?l ，β?m ，则m l //；
命题q ：α//l ，l m ⊥，β?m ，则αβ⊥，则下列命题为真命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．p ?或q D ．p 且q ?
8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A ．3
4cm
B ．3
6cm
C ．3
163
cm D ．
3
203
cm
9. 函数)sin()(?ω+=x A x f （其中)2
,0π
?<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，
则只要将)(x f 的图象
A ．向左平移12π个单位长度
B ．向右平移12π
个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6
π个单位长度 10．若点M 是ABC ?所在平面内一点，且满足AM =34AB
+14
AC ，则ABM ?与ABC ?的面积之比等
于（ ） A ．
3
B ．1
C ．1
D ．1
A ．
B ．
C ．
D ．
12. 已知函数2
1
()(0)2
x
f x x e
x =+-<
与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的
取值范围是（
） A ．(-∞ B ．(-∞ C ．( D ．( 第II 卷（非选择题，共90分）
注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；
2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 1
3. 幂函数()f x x α
=过点(2,4)，则定积分
1
()1f x dx -?＝ ．
14.已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b
，则tan α等于
15. 变量,x y 满足约束条件4y x x y y k
≤??
+≤??≥?
，且2z x y =+得最小值为6
-，则k = .
16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21x x f x -=+，且2(2)f a -=，2014(2)f a -=2015S =__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分12分)已知向量(sin ,cos )a x x = , (sin ,sin )b x x = ， (1,0)c =-
.
（Ⅰ）若3
x π
=
，求向量a ，c 的夹角θ；
（II ）求函数()f x a b =?
的最大值．
18．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若5S =70，且2272,,a a a 成等比数列.
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列?
??
??
?n S 1的前n 项和为n T ．
19．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长
为3，且BD=2，sin B =
． （Ⅰ）求sin ∠BAD 的值；
（Ⅱ）求cos ADC ∠及AC 边的长．
20．(本小题满分12分)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底
A 1
B 1
C 1
D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （Ⅰ）求证：B 1B ∥平面D 1AC ；
（Ⅱ）求平面B 1AD 1与平面CAD 1夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处的切线与x 轴平行.
（Ⅰ）当3b =-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求b 的值.
请考生从22、23、24题中任选一题作答． 选修4-1：几何证明选讲
22．如图，已知AD ，BE ，CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交
△ABC 的外接圆于点G ．求证：DH=DG ．
选修4-4：坐标系与参数方程
23． 已知曲线C 1
的参数方程为x a t
y =+???=??
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρ=．
（Ⅰ）求曲线C 1、C 2的普通方程；
（Ⅱ）若曲线C 1、C 2有公共点，求a 的取值范围．
选修4-5：不等式选讲
24． 已知定义在R 上的函数()12f x x x =-++的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若m ，n 是正实数，且m n a +=，求
12
m n
+的最小值．
参考答案及评分标准
一、选择题
1--5． BDCBD 6--10．ACCA D 11--12．AB 二、填空题
13..
32 14. 1
2
-. 15. π. 16. 4030 三、解答题：
17.解：（1）当3x π
=
时，12a ?
=????
，
所以，2cos 11
2||||a c a c θ?===-?? ，因而56πθ=；…………….6分
（2）2()(sin sin cos )(1cos2sin 2)f x x x x x x =+=-+，
1)14
x π
=+-≤所以函数()f x
的最大值是118．解：（Ⅰ）由题知????==22227
570a a a S ，即???
++=+=+)21)(()6(70105112
11d a d a d a d a ， ------2分 解得4,61==d a 或0,141==d a （舍去）， -----------4分 所以数列的通项公式为24+=n a n ． -------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S n 422+= ， 则
)2
1
1(21)2(211+-=+=n n n n S n -----9分 则1111111111(1)232435112
n T n n n n =
-+-+-++-+--++ 11113111(1)()22128412
n n n n =
+--=-+++++ - ---12分
19.考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（1）由BD ，sinB ，AD 的值，利用正弦定理求出sin ∠BAD 的值即可；
（2）由sinB 的值求出cosB 的值，由sin ∠BAD 的值求出cos ∠BAD 的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos ∠ADC 的值，在三角形ACD 中，利用余弦定理即可求出AC 的长．
解答： 解：（1）在△ABD 中，BD=2，sinB=，AD=3，
∴由正弦定理=，得sin ∠BAD===；…………….5分
（2）∵sinB=，∴cosB=
，
∵sin ∠BAD=
，∴cos ∠BAD=
，
∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=×﹣×=﹣，…………….9分
∵D为BC中点，∴DC=BD=2，
∴在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD?DCcos∠ADC=9+4+3=16，
∴AC=4．…………….12分
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
20.考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．
专题：综合题；空间角．
分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明，可得B1B∥D1E，利用线面平行的判定，可得B1B
∥平面D1AC；
（II）求得平面B1AD1、平面D1AC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz，如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）
设AC∩BD=E，连接D1E，则有E（1，1，0），=（1，1，﹣2），所以B1B∥D1E，
∵B1B?平面D1AC，D1E?平面D1AC
∴B1B∥平面D1AC；…（6分）
（II）解：
设为平面B1AD1的法向量，则，即，
于是可取…（8分）
同理可以求得平面D1AC的一个法向量，…（10分）
∴cos＜＞==
∴平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值为．…（12分）
点评：本题考查了线面平行的判定，考查二面角平面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．
21.解：（1）因为
2
()ln ,f x x ax bx =++所以1
()2f x ax b x '=
++………………2分
因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处切线与x 轴平行
(1)120f a b '=++=………………3分 当3b =-时，1a =,2231
()x x f x x
-+'=，
'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间为1
(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2
………………6分
(2)因为222(1)1(21)(1)
()ax a x ax x f x x x
-++--'==
令()0f x '=,121
1,2x x a
==
………………6分 1
02a
<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-,所以3b =………………8分 当0a >，21
02x a
=
> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，
1
(,1)2a
上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在1
2x a
=
或e x =处取得 而2111111(
)ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a
=+-+=--<
所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1
e 2a =
-，
2
e
b e -=-……………10分 当1
1e 2a
≤
<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a 上单调递增
所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =
-，与21
1e 2x a
<=
<矛盾………………11分 当21
e 2x a
=
≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾 综上所述，. 3b = 或
2
e b e -=
- ………………12分 请考生从22、23、24题中任选一题作答．选修4-1：几何证明选讲
22．如图，已知AD ，BE ，CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交
△ABC 的外接圆于点G ．求证：DH=DG ．
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 连结CG ，利用同角的余角相等证出∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC ．根据同弧所对 的圆周角相等，证出∠GCB=∠FCB ，从而得出∠GCB=∠FCB ，得△CHG 是以HG 为底边的等腰三角形，利用“三线合一”证出DH=DG ． 解答： 解：连结CG ，
∵AD ⊥BC ，∴∠ABC+∠GAB=90°
同理可得∠ABC+∠FCB=90°，从而得到∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC 又∵∠GAB 与∠GCB 同对弧BG ，
∴∠GAB=∠GCB ，可得∠GCB=∠FCB ， ∵CD ⊥GH ，即CD 是△GCH 的高线
∴△CHG 是以HG 为底边的等腰三角形，可得DH=DG ．
点评：本题给出圆内接三角形的垂心，求证线段相等．着重考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质等知识，属于基础题．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．
（1）求曲线C1、C2的普通方程；
（2）若曲线C1、C2有公共点，求a的取值范围．
考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）由参数方程和普通方程的关系易得曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；（2）由直线和圆的位置关系可得圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，由距离公式可得d的不等式，解不等式可得．
解答：解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t可得x+y﹣a=0，
又曲线C2的极坐标方程为ρ=2，
∴=2，平方可得x2+y2=4，
∴曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；
（2）若曲线C1、C2有公共点，
则圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，
∴≤2，解得﹣≤a≤
∴a的取值范围为：[﹣，]
点评：本题考查直线和圆的参数方程，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．
选修4-5：不等式选讲
24．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；带绝对值的函数．
专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和可知a=3；
（2）+=+=1++≥1+2=1+．利用基本不等式．
解答：解：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和，
如图：
则x在[﹣2，1]上时，函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|取得最小值a=3．
即a=3．
（2）由题意，m+n=3，
则+=+
=+++=1++≥1+2=1+．说明:字母有误,请老师们注意看（当且仅当=时，等号成立）．
即+的最小值为1+．
点评：本题考查了绝对值函数的最值与基本不等式的应用，属于基础题．