四边形证明讲义

四边形证明讲义
四边形证明讲义

四边形证明初步讲义

板块一:平行四边形 1. 平行四边形的性质

(1)两组对边分别平行且相等; (2)对角相等,邻角互补; (3)对角线互相平分 2. 平行四边形的判定

(1) 两组对边分别平行的四边形; (2) 两组对边分别相等的四边形; (3) 一组对边平行且相等的四边形; (4) 两条对角线互相平分的四边形;

板块一之例题精讲:

例1【教材6题】已知平行四边形ABCD 中,过点B 的直线顺次与AC ,AD 及CD 的延长线相交于E 、F 、G .若BE =5,EF =2,则FG 的长为__________

E

F D

A C

B

G

A

B

C

D

E

P

例2【教材13题】在直角三角形ABC 中,∠C =90°,AB =5,AC =4,分别以△ABC 三边为边作等边三角形(如图所示),求四边形DCEF 的面积.

E

F

B

A

C

D

板块二:特殊的平行四边形 常考知识点: (1) 菱形:

性质:四条边都相等;对角线互相垂直; 每一条对角线平分一组对角.

判定:有一组邻边相等的平行四边形;四条边都相等的四边形;对角线互相垂直的

平行四边形.

(2) 矩形:

性质:对角线相等;四个角都是直角.

判定:有一个内角是直角的平行四边形;对角线相等的平行四边形.

(3) 正方形:

性质:四条边都相等;四个角都是直角;两条对角线相等且互相垂直. 判定:有一个内角是直角的菱形;有一组邻边相等的矩形.

板块二之例题精讲

例1【教材10题】如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为( ) A.23 B. 26 C.3 D.

6

例2【教材15题】如图,在矩形ABCD 中,延长BC 到E ,使BE =BD ,F 为DE 的中点,连接AF 、CF ,求证AF ⊥CF .

F

D A

B

C E

例3【教材17题】如图,△ABC 中,点O 是边AC 上一个动点,过O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F . (1)探究:线段OE 与OF 的数量关系并加以证明;

(2)当点O 在边AC 上运动时,四边形BCFE 会是菱形吗?若是,请证明;若不是,请说明理由;

(3)当点O 运动到何处,且△ABC 满足什么条件时,四边形AECF 是正方形?

D

M

N

F

E

B

A

C

O

板块三:梯形 常考知识点:

(1) 常用辅助线的添加方法; (2) 中位线:(上底+下底)÷2 (3) 面积:①(上底+下底)×高÷2

② 中位线长×高

板块三之例题精讲:

例1【教案第7题】如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ⊥BD ,AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,设AD =a ,BC =b ,则四边形AEFD 的周长是( )

O

E F

D

A

B

C

例2【补充】:已知在四边形ABCD 中,AD ∥BC , ∠B =60°,AB =BC ,E 是AB 上的一点,且∠DEC =60°,求证:AD +AE =AB .

A

B

D

E C

测试题

【作业1题】如图,在平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,∠EAF =45°,且AE +AF =22,则平行四边形ABCD 的周长是 。

F

E D

A C

B

【作业2题】 如图,在等腰三角形ABCD 中,AD ∥BC ,BC =4AD =42,∠B =45°,直角三角板含45°角的顶点E 在边 BC 上移动,一直角边始终经过点A ,斜边与CD 交于点F ,若△为等腰三角形,则CF 的长为 。

F

C

D A

E

B

【作业6题】 四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE ,CG . (1) 求证:AE =CG

(2) 观察图形,猜想AE 与CG 之间的位置关系,并证明你的猜想。

N

M E

F

B

C

A D G

八年级 四边形经典证明题

1. 已知:如图,点E 、G 在平行四边形ABCD 的边AD 上,EG =ED ,延长CE 到点F ,使得EF =EC 。求证:AF ∥BG 。 2. 如图所示,平行四边形ABCD 内有一点E ,满足ED ⊥AD 于D ,∠EBC =∠EDC ,∠ECB =45°。请找出与BE 相等的一条线段,并给予证明。 A B C D E 3. 如图,在△ABC 中,AB =BC =12cm ,∠ABC =80°,BD 是∠ABC 的平分线,点E 是AB 边的中点。 (1)求∠EDB 的度数;(2)求DE 的长。

4. 已知:如图,等边△ABC 的边长为a ,D 为AC 边上的一个动点,延长AB 至E ,使BE =CD ,连接DE ,交BC 于点P 。 (1)求证:DP =PE ; (2)若D 为AC 的中点,求BP 的长。 5. 如图,在平行四边形ABCD 中,∠BAD =32°。分别以BC 、CD 为边向外作△BCE 和△DCF ,使BE =BC ,DF =DC ,∠EBC =∠CDF ,延长AB 交边EC 于点G ,点G 在E 、C 两点之间,连接AE 、AF 。 (1)求证:△ABE ≌△FDA ; (2)当AE ⊥AF 时,求∠EBG 的度数。 6. 如图所示,在△ABC 中,AC =4cm ,把△ABC 沿AC 方向平移1cm 到△A'B'C'的位置,则四边形ABB'C'的面积是△ABC 面积的多少倍? A C'

7. 已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF =ED ,EF ⊥ED 。求证:AE 平分∠BAD 。 8 如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 为边BC 上一点,以AB ,BD 为邻边作平行四边形ABDE ,连接AD ,EC 。 (1)求证:△ADC ≌△ECD ; (2)若BD =CD ,求证:四边形ADCE 是矩形。 E C B A 9. 如图,以△ABC 的三边为边,在BC 的同侧分别另作三个等边三角形,即△ABD ,△BCE ,△ACF 。 (1)求证:四边形ADEF 是平行四边形; (2)在△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是矩形; (3)对于任意△ABC ,四边形ADEF 是否总存在?

平行四边形的证明题

平行四边形的证明题 一.解答题(共30小题) 1.如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F. (1)求证:BE=DF; (2)若M、N分别为边AD、BC上的点,且DM=BN,试判断四边形MENF的形状(不必说明理由). — 2.如图所示,?AECF的对角线相交于点O,DB经过点O,分别与AE,CF交于B,D. 求证:四边形ABCD是平行四边形. $ 3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO. #

4.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD.求证:EF=AD. ~ 5.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系,并加以证明. : 6.如图,已知,?ABCD中,AE=CF,M、N分别是DE、BF的中点. 求证:四边形MFNE是平行四边形. ! 7.如图,平行四边形ABCD,E、F两点在对角线BD上,且BE=DF,连接AE,EC,CF,FA. 求证:四边形AECF是平行四边形.

8.在?ABCD中,分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE、DF.求证:四边形BEDF是平行四边形. ! 9.如图所示,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点,求证:BC=DE. 10.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,直线PQ截梯形为两个四边形.问当P,Q同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形? ; 11.如图:已知D、E、F分别是△ABC各边的中点,

特殊四边形的证明经典必考题

H G F E D C B A H G F E D C B A 特殊的平行四边形复习 探究一:中点四边形 1、探究证明: (1)如图,四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ,且AC=BD ,点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点,猜想四边形EFGH 是什么样的图形,并证明; (2)如图,四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ,且AC ⊥BD ,点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点,猜想四边形EFGH 是什么的图形,并证明;

探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图,把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点C D ,分别落在C D '',的位置上,EC '交AD 于点G .已知58EFG ∠=°,那么BEG ∠= °. 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠,BC 、BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF .若CD =6,则AF 等于 ( ) (A )34 (B )33(C )2 4 (D )8 三、求图形面积 例4、如图,将长为20cm ,宽为2cm 的长方形白纸条,折成右图并在其一面着色,则着色部分的面积为( ) A .234cm B .236cm C .238cm D .240cm 【折叠问题练习】 1.如图,四边形ABCD 为矩形纸片,把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF 。若CD=6,则AF=( ). A . B . C . D .8 A B C D E F

中考数学四边形经典证明题含答案

1.如图,正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形,则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中. (1)四边形OECF 的面积如何变化. (2)若正方形ABCD 的面积是4,求四边形OECF 的面积. 解:在梯形ABCD 中由题设易得到: △ABD 是等腰三角形,且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°. 过点D 作DE ⊥BC ,则DE=1 2BD=23,BE=6 .过点A 作AF ⊥BD 于F ,则AB=AD=4. 故S 梯形ABCD =12+43. 2.如图,ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,EF ⊥AC 交CD 于E ,交AB 于F ,问四边形AFCE 是菱形吗?请说明理由. 解:四边形AFCE 是菱形. ∵四边形ABCD 是平行四边形. ∴OA=OC ,CE ∥AF . ∴∠ECO=∠FAO ,∠AFO=∠CEO . ∴△EOC ≌△FOA ,∴CE=AF . 而CE ∥AF ,∴四边形AFCE 是平行四边形. 又∵EF 是垂直平分线,∴ AE=CE .∴四边形AFCE 是菱形. 3.如图,在△ABC 中,∠B=∠C ,D 是BC 的中点,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,?垂足分别为E 、F .求证:(1)△BDE ≌CDF .(2)△ABC 是直角三角形时,四边形AEDF 是正方形.

19.证明:(1),90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF . (2)由∠A=90°,DE ⊥AB ,DF ⊥AC 知: AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形.4.如图,ABCD 中,E 、F 为对角线AC 上两点,且AE=CF ,问:四边形EBFD 是平行四边形吗?为什么? 解:四边形EBFD 是平行四边形.在 ABCD 中,连结BD 交AC 于点O , 则OB=OD ,OA=OC .又∵AE=CF ,∴OE=OF . ∴四边形EBFD 是平行四边形.5.如图,矩形纸片ABCD 中,AB =3 cm ,BC =4 cm .现将A ,C 重合,使纸片 折叠压平,设折痕为EF ,试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积. 【提示】把AF 取作△AEF 的底,AF 边上的高等于AB =3. 由折叠过程知,EF 经过矩形的对称中心,FD =BE ,AE =CE =AF .由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ,即求得AF 的长. 【答案】如图,连结AC ,交EF 于点O , 由折叠过程可知,OA =OC , ∴O 点为矩形的对称中心.E 、F 关于O 点对称,B 、D 也关于O 点对称. ∴BE =FD ,EC =AF ,

特殊四边形的证明 必考题

H G F E D C B A H G F E D C B A 图 特殊的平行四边形复习 探究一:中点四边形 1、探究证明: (1)如图,四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ,且AC=BD ,点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点,猜想四边形EFGH 是什么样的图形,并证明; (2)如图,四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ,且AC ⊥BD ,点 E 、 F 、 G 、 H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点,猜想四边形EFGH 是什么的图形,并证明; 探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图,把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点C D ,分别落在C D '',的位置上,EC '交AD 于点G .已知58EFG ∠=°,那么BEG ∠= °. 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠,BC 、BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF .若CD =6,则AF 等于 ( ) (A )34 (B )33(C )2 4 (D )8 三、求图形面积 例4、如图,将长为20cm ,宽为2cm 的长方形白纸条,折成右图并在其一面着色,则着色部分的面积为( ) A .234cm B .236cm C .238cm D .240cm 【折叠问题练习】 1.如图,四边形ABCD 为矩形纸片,把纸片 ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF 。若CD=6,则AF=( ). A B D E F

平行四边形常见证明题

1.在□ABCD中,E、F是对角线AC上两点,且AE=CF,四边形DEBF是平行四边形吗?请说明理由. 2.如图,?ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且ED=BF,EF与AC相交于点O,求证:OA=OC. 3、如图,延长平行四边形ABCD的边BC至F、DA至E,使CF=AE,EF与BD交于O. 试说明EF与BD互相平分 4.如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,DF∥BE, 求证:(1)△ADF≌△CBE;(2)四边形ABCD是平行四边形. 5.如图, 在ABCD中,∠ABC=70 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数. A E D B F A B C D F E

6.已知如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线交AD于E,且CE⊥BE。求证:BC=2CD 7.如图,平行四边形ABCD中,AB AC ⊥,1 AB=,.对角线AC BD ,相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC AD ,于点E F ,. (1)证明:当旋转角为90o时,四边形ABEF是平行四边形; (2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等; 8、如图,四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形. 试说明△ABE≌△CDF C 9. 已知:如图, 在ABCD中,E、F分别是AB和CD上的点,AE=CF, M、N分别是DE和BF的中点,求证.四边形ENFM是平行四边形. 10. 已知:如图, 在ABCD中,E、F分别是CD和AB上的点,AE//CF, BE交CF于点H,DF交AE于点G.求证.EG=FH. A B C D O F E

特殊的四边形有关的计算与证明.doc

特殊的四边形有关的计算与证明: 学习目标: 1.掌握矩形,菱形,正方形的判定及性质; 2.综合运用菱形,矩形知识解决实际问题能力; 热身训练 1. . 如图,四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8 ㎝,D B=6 ㎝,D H⊥AB与H. 求D H的 长. D C A O H B A 模拟练习2.(2017 海淀一模)如图,在□ABCD中,过 D 点A作AE ⊥BC F 于点E ,AF ⊥DC 于点F ,AE AF . (1)求证:四边形ABCD是菱形;B C E (2)若EAF 60°,CF 2,求AF 的长.

3.如图,在已知平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,与BC相交于点 E,EF//AB,与AD相交于点 F. 求证: 四边形ABEF是菱形. 拓展提高: 4.(西城2017 一模)如图,在□ABCD 中,对角线BD 平分∠ABC,过点 A 作AE∥BD,交 CD 的延长线于点E,过点 E 作EF⊥BC,交BC 延长线于点 F. (1)求证:四边形ABCD 是菱形; E (2)若∠ABC=45°,BC= 2,求E F 的长. A D B F C

1. 如图,已知AD平分∠BAC,DE// AC ,DF// AB ,试说明EF与AD互相垂直平分 A E F B C D 2. 已知:在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点 E 是AD 的中点;过点 A 作AF∥BC 交 A F BE 的延长线于F,连接CF. E (1)求证:四边形ADC F 是平行四边形; D C (2)填空: B ①如果AB =AC,四边形ADCF 是形; ②如果∠BAC =90°,四边形ADCF 是形;. 3.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=4cm ,BC=8cm 、点P 从点 D 出发向点 A 运动, 同时点Q 从点B 出发向点 C 运动,点P、Q 的速度都是1cm/s. (1)在运动过程中,四边形AQCP 可能是菱形吗? 如果可能,那么经过多少秒后,四边形AQCP 是菱形? (2)分别求出菱形AQCP 的周长、面积.

四边形的证明与计算

热点 四边形的证明与计算 (时间:100分钟 总分:100分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1.下列命题正确的是( ) A .对角线互相平分的四边形是菱形; B .对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C .对角线互相垂直且相等的四边形是菱形; D .对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 2.平行四边形ABCD 中,∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是( ) A .1:2:3:4 B .2:3:2:3 C .2:2:3:3 D .1:2:2:3 3.如果菱形的边长是a ,一个内角是60°,那么菱形较短的对角线长等于( ) A . 12a B a C .a D 4.用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是( ) A .任意三角形 B .任意四边形 C .正五边形 D .正四边形 5.已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长,?则这个等腰梯形中的较小的角的度数为( ) A .30° B .60° C .45° D .75° 6.已知四边形ABCD 中,在①AB ∥CD ;②AD=BC ;③AB=CD ;④∠A=∠C 四个条件中,不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是( ). A .①② B .①③ C .①④ D .②③ 7.如图1,ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,如果AC=12,BD=10,则AB 的长m?取值范围是( ) A .1

四边形证明习题

四边形证明习题 1.如图,在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点,过O 点作OE ⊥AB ,垂足为E . (1) 求∠ABD 的度数; (2)求线段BE 的长. 2.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点,连接EF 、OE 、OF .求证:四边形AEOF 是菱形. 3. 在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED . (1)求证:△BEC ≌△DEC ; (2)延长BE 交AD 于F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数. 4. 已知:如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 和CD 上,AE = AF . (1)求证:BE = DF ; (2)连接AC 交EF 于点O ,延长OC 至点M ,使OM = OA ,连接EM 、FM .判断四边形AEMF 是什么特殊四边形?并证明你的结论. A F D B E O A D B E F O C

5.如图,四边形ABCD 是边长为a 的正方形,点G ,E 分别是边AB ,BC 的中点,∠AEF =90o ,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F . (1)证明:∠BAE =∠FEC ; (2)证明:△AGE ≌△ECF ; (3)求△AEF 的面积. 6. 已知梯形ABCD 中,BC AD //,AD AB = (如图所示).BAD ∠的平分线AE 交BC 于点E ,联结DE . (1) 在图中,用尺规作BAD ∠的平分线AE (保留作 图痕迹,不写作法),并证明四边形ABED 是菱形; (2) 若?=∠60ABC ,BE EC 2=,求证:DC ED ⊥. 7. 如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、边上的点,且.AE BF =求证.AF DE ⊥ 8. 如图,将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,点D 落在点G 处,EF 为折痕. (1)求证:FGC EBC △≌△; (2)若84AB AD ==,,求四边形ECGF (阴影部分)的面积. A B C D D C F B E A

特殊四边形证明题(正方形)

特殊四边形证明题(正方形) 1.如图,四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点,DE ⊥AG 于点E ,BF ⊥AG 于点F . 求证:DE -BF = EF . 2.如图 ,ABCD 是正方形.G 是 BC 上的一点,DE ⊥AG 于 E ,BF ⊥AG 于 F . (1)求证:ABF DAE △≌△; (2)求证:DE EF FB =+. 3.如图,在正方形ABCD 中,CE DF ⊥.若10cm CE =,求DF 的长. 4.正方形ABCD 中,MN ⊥GH ,求证:MN=HG 。 5.在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ,延长BC 到F ,使CF=CE , 求证:BE ⊥DF 6.在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ,在CG 上向原正方形外作正方形GCEF , 求证:DE ⊥BG ,DE=BG 。 F C B E A _ D _ C _ B _ A _ M _ N _ G _ H A D E F C G B _ C _ D _ A _ B _ F _ E _ F _ G _ C _ D _ A _ B _ E _ H

7.已知如图,四边形ABCD 是正方形,F 、E 分别为BC 、CD 上的点,且EF=BF+DE ,AM ⊥EF ,垂足为M ,求证:(1)AM=AB ;(2)连AF ,连AE ,求∠FAE . 8.正方形ABCD 中,∠EAF=45?.求证:BE+DF=EF 。 9.若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边,在三角形外作正方形ABDE 、ACFG , 求证:BG=EC ,BG ⊥EC 。 10.若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边 向三角形外作正方形ABDE 、ACFG , 求证:S AEG ?=S ABC ?。 11.若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向 三角形外作正方形ABDE 、BCFG ,N 为AC 中点,求证:DG=2BN ,BM ⊥DG 。 12.正方形ABCD 的边AD 上有一点E ,满足BE=ED+DC ,如果M 是AD 的中点, 求证:∠EBC=2∠ABM , M E F B C A D _ H _ F _ G _ E _ D _ A _ B _ C _ F _ G _ E _ D _ A _ B _ C _ F _ G _ D _ E _ B _ A _ C _ N _ M _ C _ D _ A _B _ E _ F _ C _ D _ A _ B _ E _ M

四边形的性质及证明

儒洋教育学科教师辅导讲义 教学目标 综合运用平行四边形、特殊的平行四边形和三角形的有关知识进行四边形或多边形的有关证明 重点、难点 考点及考试要求 教学容 : 一、多边形 多边形的角和: 多边形角和等于0 180)2n (- 多边形的外角和: 多边形外角和等于360 过n 边形的一个顶点共有(n -3)条对角线,n 边形共有2 ) 3(-n n 条对角线. 过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n -2)个三角形. 二、平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,平行四边形的定义要抓住两点,即“四边形”和“两组对边分别平行”. 2.两条平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做两条平行线间的距离. 两条平行线间的距离是一个定值,不随垂线段位置改变而改变,两条平行线间的距离处处相等. 3.平行四边形的性质: 文字表达:①平行四边形的两组对边分别平行; ②平行四边形的两组对边分别相等; ③平行四边形的两组对角分别相等; ④平行四边形的对角线互相平分. 符号语言表达: 四边形ABCD 是平行四边形 O D

4.平行四边形的判定: 文字表达: ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.④两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言表达: AB∥CD,BC∥AD?四边形ABCD是平行四边形 AB=CD,BC=AD?四边形ABCD是平行四边形. AB平行且相等CD或BC平行且相等AD?四边形ABCD是平行四边形. OA=OC,OB=OD?四边形ABCD是平行四边形. ∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB?四边形ABCD是平行四边形. 三、矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质:①菱形的四条边都相等.②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.③ 具有平行四边形所有性质. 2.菱形的判定:①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.②一组邻边相等的平行四边形是菱形. ③四条边都相等的四边形是菱形. 3.矩形的性质:①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质. 4.矩形的判定:①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②对角线相等的平行四边形是矩形.③有三个角是直角的四边形是矩形. 5.正方形的性质:①正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 6.正方形的判定:①有一个角是直角的柳是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线互相垂直的矩形是正方形. 四、梯形 1.定义:一组对边平行,另一组对进不平行的四边形叫梯形.两腰相等的梯形叫等腰梯形.一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形. 2、等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等.

特殊平行四边形:证明题[1]

特殊平行四边形之证明题 题型一:菱形的证明 1、如图,在三角形ABC 中,AB >AC ,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,△ADE 沿线段DE 翻折,使点A 落在边BC 上,记为A '.若四边形ADA E '是菱形,则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2.已知:如图,在ABCD 中,AE 是BC 边上的高,将ABE △沿BC 方向平移,使点E 与点C 重合,得GFC △. (1)求证:BE DG =; (2)若60B ∠=°,当AB 与BC 满足什么数量关系时,四边形ABFG 是菱形?证明你的结论. 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠,使点C 与A 重合,点D 落到D ′ 处,折痕为EF . (1)求证:△ABE ≌△AD ′F ; (2)连接CF ,判断四边形AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论. A B C D E A ' A D G C B F E A B C D E F D ′

4.如图,△ABC 中,AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ,交AC 于点O ,CE ∥AB 交MN 于E ,连结AE 、CD . (1)求证:AD =CE ; (2)填空:四边形ADCE 的形状是 . 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置,AB BF =,求证:四边形BNDM 为菱形. 6.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,连结AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连结BE ,CE . (1)求证:△ABE ≌△ ACE (2)当AE 与AD 满足什么数量关系时,四边形ABEC 是菱形?并说明理由. 7.如图,将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开,再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△. (1)证明A AD CC B '''△≌△; (2)若30ACB ∠=°,试问当点C '在线段AC 上的什么位置时,四边形ABC D ''是菱 形,并请说明理由. C D E M A B F N D A E N M O C B A D A ' C ' (第19题) D '

四边形证明

第九讲 平行四边形 【考点聚焦】 1.平行四边形的性质 2.平行四边形的判定 3.三角形的中位线定理 4.平行四边形综合 【基础知识】 1.两组对边互相平行的四边形是________________,此四边形________(是或不是) 轴对称图形. 2.平行四边形的一边长时5cm ,它的周长为28cm ,则平行四边形的另一边长为______cm 3.在 ABCD 中,160A C ∠+∠=,则A ∠=_____________,B ∠=_____________ 4.如图,O 是ABCD 的对角线交点,AC=38cm ,BD=24cm ,AD=14cm , 那么△BOC 的周长等于_________cm 5.在四边形ABCD 中,已知AB=7cm ,BC=5cm ,CD=7cm , 当AD=______cm 时,四边形ABCD 是平行四边形 6.在四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O ,若AC=12cm ,BD=10cm ,那么当AO=______cm ,OD=______cm 时,四边形ABCD 是平行四边形 7.已知,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=50°,则当∠B=______时,四边形ABCD 为平行 四边形 8.下列条件①∠A=∠B ,∠C=∠D ;②AB ∥CD ,AD ∥BC ;③AB ∥CD ,AB=CD ;④AB=AD ,BC=CD ;⑤AB=CD ,AD=BC 能判定四边形ABCD 是平行四边形的有_____________________ 9.在△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 的中点,若BC=10cm ,∠B=50°,则 DE=_________cm ,∠ADE=________ 10.如图,△ABC 中,D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, (1)则图中平行四边形有________个 (2)若AC=b ,AB=c ,BC=a ,则△DEF 的周长为________ 【巩固提高】 例1.已知,如图在平行四边形ABCD 中,∠BCD 的平分线CE 交AD 于E 点,∠ABC 的平分线 BG 交CE 于F 点,交AD 于G 点,求证:AE=DG 例2.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 边上一点,且AB=AE F E D C B A O D C B A G F E D C B A

八年级四边形几何证明提高题经典

几何证明提高题 1、如图,在△ABC 中,BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高。G 、F 分别是BC 、DE 的中点,试证明FG ⊥DE 。 2、如图,在四边形ABCD 中,AB=AD ,CB=CD ,E 是CD 上一点,BE 交AC 于F ,连接DF . (1)若AB ∥CD ,试证明四边形ABCD 是菱形; (2)在(2)的条件下,试确定E 点的位置,使得∠EFD=∠BCD ,并说明理由. 3、已知:如图平行四边形ABCD ,DE ⊥AC ,AM ⊥BD ,BN ⊥AC ,CF ⊥BD 求证:MN ∥EF 4、已知:如图菱形ABCD ,E 是BC 上一点,AE 、BD 交于F ,若AE=AB ,∠DAE=2∠BAE 求证:BE=AF A B E

5、已知:如图正方形ABCD ,P 、Q 分别是BC 、DC 上的点,若∠1=∠2 求证:PB+QD=PA 6、已知:如图正方形ABCD ,AC 、BD 交于点O ,E 、F 分别是BC 、OD 的中点 求证:AF ⊥EF 7、已知:如图,,AB=BC ,D 、E 分别是AB 、BC 上一点,DM AE ⊥交AC 于M , BN AE ⊥交AC 于N ,若BD BE =求证:MN NC =。 8、已知:如图,//AB CD ,AE ED =,BF FC =,//EM AF 交DC 于M , 求证:FM AE =。 21C A P F O A D

10、已知:如图,⊿ABC 中,E 、F 分别是AB 、BC 中点,M 、N 是AC 上两点,EM 、FN 交于D ,若AM=MN=NC ,求证:四边形ABCD 是平行四边形。 11、已知:如图,12∠=∠,3AB AC =,BE AD ⊥,求证:AD DE =。 12、已知:如图,//AB CD ,090D ∠=,BE EC DC ==,求证:3AEC BAE ∠=∠。 13、已知:如图,AD BC ⊥,2B C ∠=∠,BE EC =,求证:1 2 DE AB = 。

特殊四边形的证明与计算

特殊四边形的证明与计算 1.如图,△ABC 是等边三角形,点E 在线段AC 上,连接BE ,以BE 为边作等边三角形BEF ,将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°,得到线段CD ,连接AF 、AD 、ED . (1)求证:△BCE ≌△ACD ; (2)求证:四边形ADEF 是平行四边形. 第1题图 证明:(1)∵△ABC 是等边三角形, ∴BC =AC ,∠BCE =60°, 由题意得CE =CD ,∠ECD =60°. 在△BCE 和△ACD 中, ?????BC =AC ∠BCE =∠ACD =60° CE =CD , ∴△BCE ≌△ACD (SAS); (2)∵△BCE ≌△ACD , ∴AD =BE ,∠DAE =∠CBE , ∵△BEF 是等边三角形,

∴BE=EF=BF,∠EBF=60°, ∴AD=EF, ∵△ABC与△BEF均是等边三角形, ∴∠BCE=∠BEF=60°, ∵∠BCE+∠CBE=∠BEF+∠AEF, ∴∠CBE=∠AEF, ∴∠DAE=∠AEF,∴AD∥EF, ∴四边形ADEF是平行四边形. 2.如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE 平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC. (1)求证:四边形BDEF是平行四边形; (2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论. 第2题图 (1)证明:如解图,延长CE交AB于点G, 第2题解图

∵AE ⊥CE , ∴∠AEG =∠AEC =90°, ∵AE 平分∠BAC , ∴∠GAE =∠CAE , 在△AGE 和△ACE 中, ?????∠GAE =∠CAE AE =AE ∠AEG =∠AEC , ∴△AGE ≌△ACE (ASA), ∴GE =EC . ∵点D 是边BC 的中点, ∴BD =CD ,DE 为△CGB 的中位线, ∴DE ∥BF . 又∵EF ∥BC , ∴四边形BDEF 是平行四边形; (2)解:BF =12(AB -AC ). 理由如下: 由(1)可知,△AGE ≌△ACE ,四边形BDEF 是平行四边形, ∴AG =AC ,BF =DE =12BG , ∴BF =12BG =12(AB -AG )=12(AB -AC ).

平行四边形证明资料讲解

平行四边形证明

1、已知:如图BD是平行四边形ABCD的对角线,E、F在BD 上,且BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形. 2、已知:如图,ABCD中,AC是对角线,AE=CF,AM=CN. 求证:MFNE是平行四边形. 3、已知:如图,四边形ACED是平行四边形,B是EC延长线上一点,且BC=CE,求证:四边形ABCD是平形四边形. 4、已知:如图,平形四边形ABCD中,AC是对角线,E,F是AC 上的点,且AE=CF,点M、N在AB、CD上,且AM=CN,求证:MFNE是平行四边形. 5、已知:如图DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF,∠ADB=∠DBC,

求证:四边形ABCD 是平行四边形. 6.在□ABCD 中,点M 、N 在对角线AC 上,且AM =CN ,四边形BMDN 是平行四边形吗?为什么? 7.如图,□ABCD 中,E 、F 分别在BA 、DC 的延长线上,且 AE =21 AB ,CF =2 1CD ,AF 和CE 的关系如何?说明理由. 8.如图,D 、E 是△ABC 的边AB 和AC 中点,延长DE 到F ,使EF =DE ,连结CF .四边形BCFD 是平行四边形吗?为什么? 9、.如图,□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ,EF 过点O 交AD 于E ,交BC 于F ,G 是OA 的中点,H 是OC 的中点,四边形EGFH 是平行四边形,说明理由.

10.如图,平行四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗?为什么? 11、如图,BD是ABCD的对角线,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,求证:四边形AECF为平行四边形. 12、如图,在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上,分别取点K、L、M、N,使AK=CM、BL=DN,则四边形KLMN为平行四边形吗? 14、已知如图:在ABCD中,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF,则线段AC与EF是否互相平分?说明理由.

四边形证明题经典25道

四边形证明题经典25道 1、已知:如图,ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证:OE =OF ,AE=CF ,BE=DF . 2、公园有一片绿地,它的形状是平行四边形,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB =15cm ,AD =12cm ,AC ⊥BC ,求小路BC ,CD ,OC 的长,并算出绿地的面积. 3、在平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,若AE=4,AF=6, 平行四边形的周长为40, 4、在ABCD 中,AB 比AD 大2,∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ,∠ABC 的角平分线BF 交CD 于F ,若平行四边形ABCD 的周长为24,求CE 、FD 、EF 的长. 5.已知:如图,ABCD 中,E 、F 分别是AC 上两点,且BE ⊥AC 于E ,DF ⊥AC 于F .求证: E C

四边形BEDF是平行四边形. 6.如图,□ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交AD于E,交BC于F,G是OA 的中点,H是OC的中点,四边形EGFH是平行四边形,说明理由. 7.如图,平行四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗?为什么?

8.如图,△ABC 为等边三角形,D 、F 分别是BC 、AB 上的点,且CD=BF ,以AD?为边作等边△ADE . (1)求证:△ACD ≌△CBF ; (2)当D 在线段BC 上何处时,四边形CDEF 为平行四边形,且∠DEF=30°??证明你的结论. 9、已知:如图,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证:四边形EFGH 是平行四边形. 10、如图,点P 是□ABCD 的对角线BD 上任意一点,过P 作EF ∥BC ,分别交AB 、CD 于E 、F ,过P 作HG ∥AB ,分别交AD 、BC 于G 、H ,请问四边形AEPG 和PHCF 的面积相等吗?并说明理由. A B C E F G H P

特殊四边形证明题(正方形)

特殊四边形证明题(正方形)

特殊四边形证明题(正方形) 1.如图,四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点,DE ⊥AG 于点E ,BF ⊥AG 于点F . 求证:DE -BF = EF . 2.如图 ,ABCD 是正方形.G 是 BC 上的一点,DE ⊥AG 于 E ,BF ⊥AG 于 F . (1)求证:ABF DAE △≌△; (2 )求证:DE EF FB =+. 3.如图,在正方形ABCD 中,CE DF ⊥.若10cm CE =,求DF 的长. F C B E A A D E F C G B

4.正方形ABCD中,MN⊥GH,求证:MN=HG。5.在正方形ABCD的边CD上任取一点E,延长 CF=CE, 求证:BE⊥DF 6.在正方形ABCD的CD边上取一点G,在 外作正方形GCEF, 求证:DE⊥BG,DE=BG。 _C _B_E

7.已知如图,四边形ABCD 是正方形,F 、E 分别为BC 、 CD 上的点,且EF=BF+DE ,AM ⊥EF ,垂足为 (1)AM=AB ;(2)连AF ,连AE ,求∠FAE . 8.正方形ABCD 中,∠EAF=45?.求证: 9.若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边,在三角形外作正方形ABDE 、ACFG 求证:BG=EC ,BG ⊥EC 。 E F _B _C _ B _E _ F

10.若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边 向三角形外作正方形ABDE 、ACFG , 求证:S AEG ?=S ABC ?。 11.若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向 三角形外作正方形ABDE 、BCFG ,N 为AC 中点,求证:DG=2BN ,BM ⊥DG 。 12.正方形ABCD 的边AD 上有一点E ,满足 果M 是AD 的中点, 求证:∠EBC=2∠ABM , _ B _ C _A _C _N _ C _B

平行四边形及特殊的平行四边形证明习题

平行四边形及特殊的平行四边形 1.已知:如图,四边形ABCD 是菱形,过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ,交AD 于点M ,交CD 的延长线于点F . (1)求证:AM =DM ; (2)若DF =2,求菱形ABCD 的周长. 2. 如图所示,在Rt ABC △中,90ABC =?∠.将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △,点E 在AC 上,再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △.连接 AD . (1)求证:四边形AFCD 是菱形; (2)连接BE 并延长交AD 于G ,连接CG , 请问:四边形ABCG 是什么特殊平行四边形?为什么? 3.(本题满分13分)如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上 任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证:△AMB ≌△ENB ; ⑵ ①当M 点在何处时,AM +CM 的值最小; ②当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由; ⑶ 当AM +BM +CM 的最小值为13+时,求正方形的边长. B A C D F M 第1题图 E 第2题图 A D F C E G B E A D B C N M

4. 如图,ABM ∠为直角,点C 为线段BA 的中点,点D 是射线BM 上的一个动点(不与点B 重合), 连结 AD ,作BE AD ⊥,垂足为E ,连结CE ,过点E 作EF CE ⊥,交BD 于F . (1)求证:BF FD =; (2)A ∠在什么范围内变化时,四边形ACFE 是梯形,并说明理由; (3)A ∠在什么范围内变化时,线段DE 上存在点G ,满足条件1 4 DG DA =,并 说明理由 5. 如图15,平行四边形ABCD 中,AB AC ⊥,1AB =,5BC =.对角线AC BD ,相 交于点O ,将直线AC 绕点O 顺时针旋转,分别交BC AD ,于点E F ,. (1)证明:当旋转角为90时,四边形ABEF 是平行四边形; (2)试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等; (3)在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数. A B C D F E M

四边形证明(讲义及答案)

四边形证明(讲义) >课前预习 1.我们在做儿何证明题时,如果已知条件中有某个特殊的四边形,往往 从其性质着手考虑.而如果要证明某个四边形是特殊的四边形,则需要考虑其判定方法. 例如: 在四边形ABCD中,若AB=CD,要证明四边形ABCD是平行四边形,我们考虑判定方法:对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 2.请结合下列悄景,将你认为可能用到的判定方法填入相应的横线上: ①要证明GBCD是菱形,若条件与边有关,我们可以考虑: 若条件与对角线有关,我们可以考虑: ②要证明四边形ABCD是矩形,若条件与角有关,我们可以 考虑:_________________________________________________ 或?若条件与对角线有关,我们可以考虑: _____________________

矩形 平行四边形 正方形

>精讲精练 I如图,在口4BCD中,BE//DF,且分别交对角线AC于点E, F,连接DE, BF.求证:Z1 = Z2. 2 如图,AE//BF, AC平分ZB4D,且交BF于点C, BD平分ZABC,且交 AE于点D,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.

3 如图,在四边形ABCD中,AD//BC.二90。. AG//CD, 交BC于点G, E, F分别为AG, CD的中点,连接DE, FG, DG. (1)求证:四边形DEGF是平行四边形; ⑵ 当点G是的中点时,求证:四边形ABGD是矩形; 4如图,在△ABC中,AB=AC. AQ是△ABC的角平分线,O 为AB的中点,连接DO并延长至点E使OE=DO,连接AE, BE. ⑴求证:四边形AEBD是矩形; ⑵当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?请说明理山. E

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