大一微积分复习资料

大学的考试比较简单,主要以书本为主,下面的复习指导可作提引作用。

10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导

第一章 函数

一.本章重点

复合函数及分解,初等函数的概念。 二.复习要求

1、 能熟练地求函数定义域;会求函数的值域。

2、理解函数的简单性质,知道它们的几何特点。

3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式,知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中

⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运

算性质,还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系,能熟练将幂指函数作如下代数运算: ln v

u v u

e =

⑵.对于常用的四个反三角函数,不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质,还要熟记它们在特殊点的函数值.

4、 掌握复合函数,初等函数的概念,能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。

5、 知道分段函数,隐函数的概念。 . 三.例题选解

例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数(基本初等函或基本初等函数的线性函数)复合而成的? ⑴.2

sin x y e =

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⑵.2

1

arctan()1y x

=+ 分析:分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行,每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)。 解:

⑴.2,,sin u y e u v v x

===⑵.21

arctan ,, 1.y u u v x v

==

=+

例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么?cot1arc =? 答:

cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数,根据反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,可知cot y arc x =的定义域是

(,)f D =-∞+∞,值域为(0,)f Z π=.

cot14

arc π

=

四.练习题及参考答案

1. ()arctan f x x =

则f (x )定义域为 ,值域为 f (1) = ;(0)f = .

2.()arcsin f x x =

则f (x )定义域为 ,值域为 f (1) =

;f = .

3.分解下列函数为简单函数的复合: ⑴.3x y e -= ⑵.3

ln(1)y x =- 答案:

1.(-∞ +∞), (,

)2

2

π

π

-

,

,04

π

2. []1,1,,,,2223ππππ

??--????

.3. ⑴.,

3u y e u x ==-

⑵.3ln ,

1.

y u u x ==-

自我复习:习题一.(A )55.⑴、⑵、⑶;

习题一.(B ).11.

第二章 极限与连续

一.本章重点

极限的计算;函数的连续及间断的判定;初等函数

的连续性。

二.复习要求

1.了解变量极限的概念,掌握函数f (x )在x 0点有极限的充要条件是:函数在x 0点的左右极限都存在且相等。

2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系,掌握无穷小量的运算性质,特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如:

1

sin lim sin

0,lim

0x x x

x x

x

→→∞==

3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时,

利用等价无穷小代换可使运算简化,常用的等价无穷小代换有: 当()x α 0时,有:

sin ()x α~()x α; tan ()x α~()x α

()1x e α-~()x α;

ln(1())x α+~()x α

;

1~

()

x n

α

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1cos ()x α-~

2()

2

x α.…….

(参见教材P79)

4.掌握两个重要极限:

(Ⅰ).0sin lim

1x x

x

→=

(Ⅱ).1

01lim(1)lim(1)x

x x x e x x

→∞→+==+

记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限,特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1∞

型未定式极限:

1

0lim(1)lim(1)x k

x x x k e kx x

→∞→+==+ 1

0lim(1)lim(1)x k

x x x k e kx x

-→∞→-==- 5.掌握函数连续的概念, 知道结论:初等函数在其定义区间内都是连续的,分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条是:函数在x 0点极限存在且等于

0()f x ,即:

0lim ()()x x f x f x →=

当分段函数在分段点0x 的左右两边表达式不相同时,函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条件则是:

0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -

+→→==.

6. 掌握函数间断点及类型的判定。

函数的不连续点称为间断点,函数()f x 在

0x 点间断,必至少有下列三种情况之一发生:

⑴、()f x 在0x 点无定义;

⑵、0

lim ()x x f x →不存在;

⑶、存在0

lim ()x x f x →,但0

0lim ()()x x f x f x →≠.

若0x 为()f x 的间断点,当)(lim 0

x f x x +→及

)(lim 0x f x x -

→都存在时,称0x 为()f x 的第一类间断

点,特别)(lim 0

x f x x +→=)(lim 0

x f x x -→时(即0

lim ()

x x f x →存在时),称0x 为()f x 的可去间断点;

)(lim )(lim 0

0x f x f x x x x -+

→→≠时称0x 为()f x 的跳

跃间断点。

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不是第一类间断点的都称为第二类间断点。 7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。

8.能够熟练地利用极限的四则运算性质;无穷小量、无穷大量的关系与性质;等价无穷小代换;教材P69公式(2.6);两个重要极限;初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。

三.例题选解

例1.单项选择题

⑴下列极限中正确的是( ) A.sin lim

1x x

x

→∞= B. 1

sin lim

11

x x x

→∞=

C. 20sin lim 1x x x →=

D. 0tan lim 1x x

x

→=

⑵ 当0x →

1是2

sin x 的

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( )

A.低阶无穷小;

B.高阶无穷小;

C.同阶无穷小,但不是等价无穷小;

D. 等价无穷小; 分析与解: ⑴. A 与 C 显然都不对,对于D, 记tan ()x

f x x

=

, 则tan 0

()tan 0x x x

f x x x x ?>??=?

?

∴0

tan lim ()lim 1x x x

f x x

++

→→==

tan lim ()lim 1x x x

f x x

-

-

→→==--0lim ()x f x +→≠ 即D 也不对,剩下的B 就是正确答案。

⑵. 由于

2

2222000212lim lim lim 1sin x x x x x x

x x →→→===代换 ∴ 应选择D. 例3.求极限:

⑴0lim x →2ln(1)1cos x x

-- ⑵lim x →∞

2(

)5

x

x x --

解: ⑴ 此极限为

00

型 ∵当0x →时,有

2

ln(1)x -~2

()x -, 1cos x -~2

2

x

∴0lim x →2ln(1)

1cos x x -- 220lim 22

x x x

→-==- ⑵ 此极限为1∞

型,可用重要极限()II 。

lim x →∞

2(

)5x x x -- =x

x x )5

31(lim -+

∞→

x x x x x ?-?-∞→-+=5

3

35)5

3

1(lim x x x x x ?--∞→??

????-+=5

3

35

)531(lim

3e =. )35

3lim 53lim

(=-=?-∞→∞→x x x x x x

例2.判断函数229

6

x y x x -=-- 的间断点,并

判断其类型。

解:由于229(3)+3)

6(3)(2)

x x x y x x x x --==

---+( ∴3,

2x x ==-是函数y 无定义的点,因而是

函数y 的间断点。 ∵33(3)(3)36

lim

lim (3)(2)25

x x x x x x x x →→-++==-++

∴ 3x =为函数 y 的可去间断点; ∵22(3)(3)3

lim

lim (3)(2)2

x x x x x x x x →-→--++==∞-++

∴ 2x =-为函数 y 的第二类(无穷型)间断。

例3.函数

2

1cos 2

()00x f x x x x k ?

-??=≠??=??

在点0x =处连续,求常数k .

分析与解:由于分段函数()f x 在分段点0x =的左右两边表达式相同,因此()f x 在0x =连续的充要条件是

lim ()(0).x f x f k →==

2220001cos 82lim ()lim lim x x x x x

f x x x

→→→-==代换

1

.8

=

∴1.

8k =

四.练习题及参考答案

1.填空

⑴.当0x →时,(1)sin2x

e x -与

1)ln(12)x +相比,是

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__________________无穷小;

⑵.21lim(

)23

x

x x x →∞

-=+ __________________;

⑶.220

[cos(3)1]tan 3lim

(1)ln(15)

x

x x

x e x →-=-+______________.

2.单项选择题 ⑴.设2(3)(2)

56

x x y x x +-=

-+,下面说法正确的是

________;

A. 点3,2x x =-=都是可去间断点;

B. 点2x =是跳跃间断点,点3x =是无穷间断

点;

C. 点2x =是可去间断点,点3x =是无穷间断

点;

D. 点2x =是可去间断点,点3x =是跳跃间断

点;

⑵.下面正确的是______________. A.0tan lim

1x x x →= ; B. 01

lim sin 0x x x

→=;

C. 0

tan lim

x x

x

→不存在; D. 0tan lim

1x x x →=. 答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ;⑵.2

e - ;⑶.3

20

-

. 2. ⑴.C; ⑵.B . 自我复习.习题二(A) 11. (4).24. ⑴,(4),⑺.

27.⑴. (4).28.⑴,⑵. 30.⑵.37.⑴,⑶. 习题二(B).14.

第三章 导数与微分

一.本章重点.

导数的概念,导数及微分的计算.

二.复习要求

1.掌握函数()x ?在0x 处可导的定义,并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。 导数是一个逐点概念,()x ?在0x 处的导数的定

义式常用的有如下三种形式:

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-'=?

000()()

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lim h f x h f x h

→+-=

000

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()()lim x x f x f x x x →-=- . 2.知道导数的几何意义,会求()x ?在0x 处的切线方程。

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3.熟记基本求导公式及求导的运算法则,熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数: ⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导; ⑵复合函数求导法; ⑶隐函数求导法; ⑷取对数求导法。

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4.理解高阶导数的概念,能熟练求函数的二阶导数。

5.理解微分的概念,能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。

6.掌握函数可微,可导及连续的关系。

三.例题选解

例1.求下列函数的导数: ⑴.2(1)y f x =+ ,求,.y y ''' ⑵.y

= 求.

y '.

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⑶.设y =tan x

e ,求dy

⑷. 3ln(1)y x =+ ,求y ''

解:⑴、本题为抽象函数求导,由复合函数求导法,得:

221()(1)y f x x '''=++ 2(1)2f x x '=+? 22(1)x f x '=?+ .

222(1)2(1)2y f x xf x x '''''=+++?

2

22

2(1)4(1)f x

x f x

'''=+++ ⑵ 本题为幂指函数求导,必须用取对数求导法。

原方程两边取对数:

ln ln y x =

上式两边对x 求导,视y 为中间变量:

'y y

1ln x x +

1ln 12y x ?'=?+???

1ln 12x ?=?+???

12

ln (

1)2

x

-

=+ 注:本题除此方法外,也可以:

x

x e

y ln 3?=

)1

3ln 3321

(

ln 3x x x x

e

y x

x ?+??='∴?

⑶. ∵tan (tan )x y e x ''=? tan 2sec x

e

x =? . ∴tan 2sec x dy e xdx =?

⑷. 2

3

31x y x '=+

322326(1)33(1)x x x x y x +-?''=+ 332

3(2)

(1)

x x x -=+ 例2. 设()x ?在1x =处可导,且'(1)2?=.

求1(43)lim

1

x x x →---??(1)

分析:将()x ?在1x =处的导数的定义式理解为结构式:

(1)'?=0

(1)(1)

lim

→+-

??

其中 为1-=?x x 或x ?的函数.且当0

→?x

时,0→ 即可. 解:

11(43)lim 1

(1)]lim (3)3(1)3(1)6

x x x x x x f →→-----=?---'=-=-??(1)?[1-3?(1) 例3.求曲线 3333x y axy a +-=在点

()0,a 处的切线方程。

解:显然,点()0,

a 在曲线上,

现求切线的斜率,即(0,)y a ' 曲线方程两边对x 求导:

22

33330x y y ay axy ''+?--=

解得 2

2ay x y y ax

-'=-

∴(0,)y a '=1

切线方程为:y a x -= 即 y x a -=

例4、设2

1()000

x e f x x x

x -?-?

=≠??=?

试讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性。 分析与解:由已知,(0)0f =; (1)讨论()f x 在0x =处的连续性。

∵ 2

00201

lim ()lim lim 0(0).

x x x x e f x x x

f x

-→→→-=-=代换==

∴()f x 在0x =处连续。

(2)讨论()f x 在0x =处的可导性。

分段函数在分段点的导数必须用定义求:

(0)

()lim

x f x f f x →-'=-()0

2

01

0lim 0

x x e x x -→--=-

2

222001lim lim 1x x x e x x

x -→→--===-代换 即存在 () 1.

f '=-0

四.练习题及参考答案

1.单项选择题 .设22

ln(1)0()10

x x x f x x ?-?

≠??

=?

?-=???

下面说法正确的是( ). A.()f x 在0x =不连续;

B. .()f x 在0x =连续,但不可导;

C. ()f x 在0x =可导,且(0)1f '=-;

D. ()f x 在0x =可导,且(0)0f '=.

2.填空题

()f x 在0x x =处可导,且0()1f x '=-,则

(1)000

()()

lim

______h f x h f x h h

→+--=

3.求函数的导数或微分: ⑴

1x

y x

=, 求y '

⑵[]

ln(1)(1)y f x x =-<,

求,

y y '''

⑶.y =dy .

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4.设3

cos()y x xy =+确定y 是x 的函数,求

dy

dx

,并求出函数在点(0,1)的切线方程。 5、证明:(1)若)(x f 是偶函数且可导,那么)(x f '是奇函数,(2)若)(x f 是奇函数且可导,那么

)(x f '是偶函数,

答案:1.D. 2. 2- 3.⑴.12(1ln )x

y x x -'=-

(2).[]1

ln(1)1

y f x x ''=

?-- ; [][]2

2

1

ln(1)(1)1

ln(1)(1)y f x x f x x ''''=

--'-

--

⑶.21

x

dy dx x =

-. 4.2

1sin()3sin()

dy y xy dx y x xy -=+; 切线方程:33y x -=.

自我复习:习题三(A) 13; 21,⑹,⑼; 24.⑴,⑵; 25;26.⑴,⑺; 27.⑸;29.⑵,⑹,⑺; 47.⑴,⑵.54.

习题三(B) 1 ;3;11.

第四章 中值定理与导数的应用

一.本章重点

求未定式极限的洛必达法则;应用导数判定函

数的单调性,求函数的极值和最值;应用导数确定曲线的凹向与拐点;对经济问题作边际分析;

二.复习要求

1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的ξ,掌握拉格朗日定理推论的意义。

2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“0

”型或“

”型未定式的极限,对于其他类型的未定式极限,必须将其转化为“00”型或“∞

”型未定

式才能使用法则。

⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.

⑶.在求未定式极限时,将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用,可使运算更简便。

3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。

4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.

5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值;会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.

6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.

三.例题选解

例1. 求下列极限

(1). 0sin 21

lim ln(1)

x x e x x x x →+--+

(2).

2sin 0

lim x x x +

→ (3). 011

lim ln(1)x x x →??-?

?

+??

解:

(1) 0sin 21

0lim

()ln(1)

x x e x x x x →+--+ 2

0sin 21lim x x e x x x →+--代换

0cos 20

lim ()20

x x e x x

→+-洛

0sin lim ()2

x x e x →-洛

=不是未定式 12

=.

(2) 原式为幂指型不定式(0

0型),利用代数变换:ln v

u v u

e =,得:

02sin 2si ln n 2si 0

li ln n m lim lim x x x x x x

x x

e x e ++

+

→?→→?==

其中 0

lim 2sin ln (0)x x x +

→??∞

x x x ln 2lim 0

?=+

→ (代换) 02l n lim 1x x x

+→= (∞∞

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02

2

lim 1x x x

+

→=-洛

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lim (2)0x x +

→=-=. ∴原式=0

1e = (3) 0

11

lim ln(1)x x x →??-?

?

+??

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()∞-∞型 =0ln(1ln(1)lim

)x x x x x →+-+ 0

0()通分化为型

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=0ln(1)lim

x x x

x x

→+-? (代换)

01

11lim 2x x x

→-+= (洛必达) =01

lim

2(1)2

x x x x →-=-+.

例2.求函数2

1x

y x =+的单调区间和极值,凹凸区

间和拐点。 解:函数2

1x

y x

=

+的定义域为(,)-∞+∞ 22

2222(1)21(1)(1)x x x x y x x +-?-'==++,

222224(2)(1)2(1)2(1)

(1)x x x x x y x -?+-+??-''=+

223

2(3)(1)x x x -=+ 。

令22

(1)(1)

0(1)x x y x -+'=

=+,得驻点1x =-,

1x =;无不可导点。

两驻点分定义域为三个子区间,列表讨论如下:

令23

2(0(1)

x x x y x +''=

=+ 得 0,x x ==y ''不存在的点。曲线的

凹向及拐点列表讨论如下:

由上面的讨论看出: 函数2

1x

y x =

+的单减区间为 (,1)(1,)-∞-?+∞;

单增区间为[1,1]-。极小值是1(1)2

y -=-

极大值是1(1)2

y =

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。 曲线2

1x

y x =+

的凸区间是(,-∞?

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凹区间是()?+∞。

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曲线2

1x y x =

+

的拐点有三个:(4

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-, (0,0)

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,4

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。 例3.证明不等式

2

1(1)ln(1)(0)2

x x x x x ++<

+>

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分析与证:证明不等式的方法很多,利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令

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2

1()(1)ln(1)2

f x x x x x =++-

- 则问题转化为证()0(0)(0)f x f x <=> 即证在0x >时,()f x 单减。

∵1()ln(1)11x

f x x x x

+'=++

--+ ln(1)x x =+- 1()1011x

f x x x

-''=

-=<++ ∴0x >时,()f x '单减,有 ()(0)0f x f ''<=

∴()f x 也单减,有()(0)0f x f <=, 证毕。 例4.证明:对任意1x ≥,有

1arcsin

2

x π

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= 分析: 本题为恒等式的证明。我们设

1()arcsin

F x x

= 由拉格朗日定理的推论,若能证明

()0F x '= 则()F x c ?≡,再确定

2

c π

=

即可。

证:当1x ≥时,

1()()F x '

''=+

2

21

111x x =-+-

0=

-

=

∴ ()F x c ≡

∵2

1arcsin 0arctan )1(π

=

+=F

∴ 2

c π

=

,证毕!

例5求出函数543551y x x x =-++在区间

[2,1]-上的最大、最小值。

解:显然函数543551y x x x =-++在闭区间

[2,1]-上连续,因而必存在最大、最小值。

4322520155(1)(3)y x x x x x x '=-+=--

由0y '=,解得区间(1,2)-内的可疑点为:

120,1x x ==. 比较以下函数值,

(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-

得 max min (1)2,(1)10f f =-=-.

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例 6.某食品加工厂生产x 单位的总成本为2()20040.03C x x x =++,得到的总收益是2()80.02R x x x =-,求出生产该商品x 单位的

边际利润、生产300单位时的边际利润,当生产多少单位时利润最大。 解:⑴.利润函数

2()()()0.014200L x R x C x x x =-=-+-

边际利润函数()0.024L x x '=-+. ⑵.当300x =时,

(300)0.0230042L '=-?+=

⑶.令()0.0240L x x '=-+= 解得:200x =

(200)0.020L ''=-<,

∴产量200x =单位时,可获最大利润。 注:设函数)(x f y =可导,导函数)(x f '也称为边际函数。

四.练习题与参考答案

1. 求极限 (1) 2

1lim (1cos

)x x x

→∞

- ⑵ 0

11lim(

)sin x x x

→- ⑶ 1ln 0

lim (tan )x

x x +

2. 证明. 当1x >时,有: (1)ln 2(1)x x x +>-.

3证明: 2

1cos 1(0)2

x x x >-

>

4 .求3

2

399y x x x =--+单调区间和极值,凹凸区间和拐点。

5. 证明当0x >时,有:

C =,并求出常数C.

参考答案: 1. (1).

1

2

; ⑵.0 ; ⑶.e . 4. 单增区间(,1)(3,)-∞-?+∞;

单减区间(1,1)-;极大值(1)14y -=, 极小值(3)18y =-;

上凹区间(1 +∞);下凹(凸)区间(-∞ 1) ; 拐点(1 , -2). 5. 2

C π

=

.

自我复习:

习题四 (A )

8, 9.⑸,⑻,⑼,⑾ ,⑿; 14.⑴,⑶,⑸; 18.⑴,⑵;19.⑴ ;20.⑴,⑶;32.⑵,⑷;37; 41。

习题四 (B ) 10;12.

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