【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第6讲 对数与对数函数习题 理

【创新设计】（山东专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第6讲 对数与对数函数习题 理 新人教A 版

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B.奇函数，且在(0，1)上是减函数 C.偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数

解析 法一 函数f (x )的定义域为(－1，1)，任取x ∈(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则f (x )是奇函数.又∵当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2＞0，

∴f (x )在(0，1)上是增函数.综上，选A. 法二 同法一知f (x )是奇函数. 当x ∈(0，1)时，f (x )＝ln

1＋x 1－x ＝ln 2－（1－x ）1－x ＝ln ? ??

??21－x －1.

∵y ＝2

1－x (x ∈(0，1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，

∴f (x )在(0，1)上是增函数.综上，选A. 答案 A

2.若函数y ＝log a x ( a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

解析 由题意y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3

－x

＝? ??

??13x

，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3

，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B

3. (2016·青岛二中模拟)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d

＝10，则下列等式一定成立的是( ) A.d ＝ac

B.a ＝cd

C.c ＝ad

D.d ＝a ＋c

解析 由已知得b ＝5a

，b ＝10c

，5d

＝10，

∴5a

＝10c

，5d

＝10，同时取以10为底的对数可得，

a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1

d

，即a ＝cd .

答案 B

4.(2015·四川卷)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a

＞3b

＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 “3a

＞3b

＞3”等价于“a ＞b ＞1”，

“log a 3＜log b 3”等价于“a ＞b ＞1或0＜a ＜1＜b 或0＜b ＜a ＜1”，从而“3a ＞3b

＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分不必要条件. 答案 B

5.(2016·日照模拟)设f (x )＝lg ? ??

?

?21－x ＋a 是奇函数，

则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A.(－1，0) B.(0，1)

C.(－∞，0)

D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x 1－x 的定义域为(－1，1).

由f (x )<0，可得0<1＋x

1－x <1，∴－1

答案 A 二、填空题

6.(2016·徐州模拟)若f (x )＝a x －

12

，且f (lg a )＝10，则a ＝________.

解析 f (lg a )＝a

lg a －

12

＝a lg a a

＝10，

∴a

lg a

＝(10a )12，两边取常用对数，得(lg a )2

＝12

(1＋lg a )，

∴2(lg a )2

－lg a －1＝0，解得lg a ＝1或lg a ＝－12.

∴a ＝10或a ＝1010

. 答案 10或

1010

7.函数y ＝log 12

(x 2

－2x )的定义域是________；单调递减区间是________.

解析 由x 2

－2x ＞0，得x ＜0或x ＞2，∴函数的定义域为：(－∞，0)∪(2， ＋∞).

∵y ＝x 2

－2x ＝(x －1)2

－1，

∴函数y ＝log 12

(x 2

－2x )的单调递减区间为(2，＋∞).

答案 (－∞，0)∪(2，＋∞) (2，＋∞)

8.(2015·福建卷)若函数f (x )＝?

????－x ＋6，x ≤2，

3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则

实数a 的取值范围是______________.

解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x ) ∈[4， ＋∞)，当x ＞2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a ＞1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞).由题意可知(3＋log a 2，＋∞)?[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2. 答案 (1，2] 三、解答题

9.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；

(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集.

解 (1)要使函数f (x )有意义.则?????x ＋1>0，

1－x >0，

解得－1

－1

(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1

故f (x )为奇函数.

(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－10?x ＋1

1－x

>1，解得

0

所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0

10.已知f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，如果对于任意的x ∈????

??13，2都有|f (x )|≤1成立，求实数a 的取值范围.

解 当a ＞1时，f (x )＝log a x 在??????13，2上单调递增， 要使x ∈????

??13，2都有|f (x )|≤1成立， 则有?????log a 13≥－1，log a 2≤1，解得a ≥3.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a x 在??????13，2上单调递减，要使

x ∈??????13，2都有|f (x )|≤1成立，则有?????log a 13≤1，log a 2≥－1，

解得0＜a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围是? ??

??0，13∪[3，＋∞).

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11. (2016·临沂模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a

＝log 1

2a ，? ????12b ＝log 12

b ，? ????12c

＝log 2

c ，

则( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a C.c ＜a ＜b

D.b ＜a ＜c

解析 ∵a ＞0，∴2a

＞1，∴log 12

a ＞1，∴0＜a ＜12.

又∵b ＞0，∴0＜? ????12b

＜1，∴0＜log 12

b ＜1，∴12＜b ＜1. 又∵? ??

??12c

＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1，

∴0＜a ＜1

2＜b ＜1＜c ，故选A.

答案 A

12.设函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 017)＝8，则f (x 2

1)＋f (x 2

2)＋…＋f (x 2

2 017)的值等于( )

A.4

B.8

C.16

D.2log a 8

解析 由f (x 1x 2…x 2 017)＝8，得log a (x 1x 2…x 2 017)＝8，

所以f (x 2

1)＋f (x 2

2)＋…＋f (x 2

2 017)＝log a x 2

1＋log a x 2

2＋…＋log a x 2

2 017 ＝log a (x 2

1·x 2

2·…x 2

2 017)＝2log a (x 1x 2…x 2 017)＝2×8＝16. 答案 C

13.(2015·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x

1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab

的取值范围是________.

解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b

1－b ＝0，

即ln ?

??

??a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－? ????a －122

＋1

4

，

又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－? ????a －122＋14＜14

.

答案 ?

??

??0，14

14.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .

(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；

(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2

)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围.

解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2

＋2， 因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]， 故函数h (x )的值域为[0，2]. (2)由f (x 2

)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，

令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；

②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t 恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9

t

≥12，当

且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9

t －15的最小值为－3，

综上，k ∈(－∞，－3).