微分学2
第四讲 导数与微分的概念与计算（续）
微分学的应用
第三讲（续）
(四) 函数局部性态的导数描述 (五) 三大微分中值定理
微分学的应用
(一) 罗比塔法则 (二) 台劳公式
(三) 函数性态的研究及其图形
(四) 一元函数的极值问题 (五) 综合例题
2-5 函数局部性态的导数描述
z 极大、极小点定义： 设f R D →:, 若?()D x N ?0δ0x , 使得:
()0x N x δ∈?, )()(0x f x f ≥ ()()(0x f x f ≤), 则称)(0x f 是f 的一
个极小(大)值, 0x 称为f 的一个极小(大)值点.
z 费马定理: 设f 在点0x 达到极值, 若)(0x f ′存在, 则必有: 0)(0=′x f . z 如果)(0x f ′0=, 则称0x 是函数f 的一个 驻点.
若()x f y =在0x 可导，则它在0x 附近的增减性可以描述如下：
(1) ()x f y =在0x 取极值?)(0x f ′=0 (2) 0)(0>′x f ?
()()()00,,0x f x f x N x ?∈?>?δδ与)(0x x ?同号
(3) 0)(0<′x f ?
()()()00,,0x f x f x N x ?∈?>?δδ与)(0x x ?异号
极值点也是局部的性质. 函数 ()()22sin 1,00,
0x x x f x x ?≠?
=?=??
是极值局部性的一个例子
其图形如右：0x =是该函数的
极小点，但在0x =的任何邻域中,
在该点左，右侧函数都不是
单调的.
2-6 三大微分中值定理
(1) 微分学用应的基本理论：三大中值定理 定理 (洛尔定理) 设)(x f (1) 在闭区间],[b a 连续, (2) 在开区间),(b a 可导, (3) 并且满足)()(b f a f =, 则 存在),(b a ∈ξ,使得0)(=′ξf . 注: 洛尔定理的几何意义.
定理 (拉格朗日定理) 设)(x f 在闭区间],[b a 连续,在开区间),(b a 可导, 则存在),(b a ∈ξ,使得a
b a f b f f ??=
′)
()()(ξ
注1: 拉格朗日定理经常写成如下形式: ))(()()(a b f a f b f ?′=?ξ, 或 x x x f x x f ΔΔ+′=Δ+)()(00θ, 其中10<<θ. 注2: 拉格朗日定理的几何意义是:
z 定理（柯西中值定理）:设函数 )(x f ，)(x g 在],[b a 连续，
在),(b a 可导，并且0)(≠′x g .则存在),(b a ∈ξ，使得
)
()
()()()()(ξξg f a g b g a f b f ′′=??
柯西中值定理是洛尔定理和拉格朗日定理的推广。在柯西中值定理中，取
x x g =)(，就可得到拉格朗日定理。
(2) 微分中值定理的应用举例
微分中值定理包括洛尔定理，拉格朗日定理和柯西定理, 有时侯微分中值定理单指拉格朗日定理。
例9: 若在],[b a 中, 0)(≡′x f , 证明: )(x f 在],[b a 中是常数. 例10: 设)(x f 在),(+∞?∞有二阶导数,并且0)(≡′′x f , 求证)(x f 是一次函数.
证明: 0)())((≡′′=′′x f x f ?存在常数a ,使得a x f =′)(. ()()()0f x a f x a x ′
′?=?≡
?存在b 使得()f x ax b ?=? ()f x ax b =+
例11: 证明)(x f 的任意两个零点之间至少存在)(x f ′的一个零点.
推而广之有：设)(x f 有n 阶导数.如果存在121+<<< )()()()(121+===n n x f x f x f x f , 则存在),(11+∈n x x ξ, 满足0)() (=ξn f . 例12: )(x f 在],[b a 中有1n +个零点 ?)()(x f n 在其上至少有一个零点。 )() (x f k 在],[b a 中无零点 ? )(x f 在其上至多有k 个零点。 例13 设函数)13)(12)(1()(?++=x x x x x g ，试确定方程0)(=′x g 在),(01?内有几个实根。 解： 已知函数)(x g 表达式是因子乘积形式，采用连续函数零点定理及罗尔定理讨论)(x g ′的零点问题，不必求出)(x g ′来讨论其零点. 函数)(x g 在),(+∞?∞上连续且可导，由于)(x g 有4个实根： 01=x ，3 1 ,21,1432=?=?=x x x ， 由罗尔定理，)(x g ′至少有3个零点： ?? ????∈31,01ξ，????????∈21,12ξ，?? ?????∈0,213ξ. 又)(x g ′为3次多项式，最多有3个实根，因此)(x g ′在)0,1(?内恰有2个实根。 例13: 求证方程2 sin cos 0x x x x ??=恰好有二个不同实根. 证：设2 ()sin cos f x x x x x =??, ()2cos f x x x x ′=?. ()()2cos f x x x ′=?0,0,0,0,0,0x x x < ==??>>? . 而 lim ()x f x →±∞ =+∞, (0)10f =?<. 可见()f x 在两个区间上各恰有一个零点. 例14: 证明: 方程2 420x e x x ???=恰好有三个不同实根. 证：设2()42x f x e x x =???,则有 ()0x f x e ′′′=>. 因此，()f x 至多有三个实根. 又因为 lim ()x f x →?∞ =?∞, 2 (2)4820f e ??=?+?>, 2 (2)4820f e =???<, lim ()x f x →+∞ =+∞. 利用连续函数零点定理可知，()f x 在三个区间()()(),2,2,2,2,?∞?+∞内,至少各有一个零点，因此，()f x 至少有三个零点. 综上所述，证明了()f x 恰有三个零点. 例16 设有可微函数R R f →:, 满足条件：0)()(≠+′x f x f , 证明方程0)(=x f 至多有一个根。 证明： 因为 0)(=x f 与0)(=x f e x 有相同的根。 ( )()0)()() (≠′+=′x f x f e x f e x x ?0)(=x f e x 至多有一个根. 例17 R b a f →],[:,在),(b a 二阶可导 , 且0)()(==b f a f , 证明: ],[b a x ∈?, ),(b a ∈?ξ:()()()b x a x f x f ??′′=2 )(ξ。 证明：考虑函数 ()()b t a t M t f t g ???=)()(,确定系数M , 让函数有三个零点: x b a ,,, ),(b a x ∈; 这样必),(b a ∈?ξ, 0)(=′′ξg , 即 02)()(=?′′=′′M f g ξξ?()2 ξf M ′′= ? ()()()02 )()(=??′′?=b x a x f x f x g ξ ?()()()b x a x f x f ??′′=2 )(ξ. 例18 设有函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可微, ()()0f a f b ==. 证明: R λ?∈，存在(),a b ξ∈, 使得()()0f f ξλξ′+=. 证明： 做辅助函数()()x F x e f x λ=, 显然有()()F a F b =, 由罗尔定理可知，(),a b ξ?∈, 使得 ()0F ξ′=, 即 ()()()0e f f λξ ξλξ′+= , 因为0x e λ≠, 从而有 ()()0f f ξλξ′+=. 证毕. 例19: 设()y f x =,在[,]a b 上连续，在),(b a 内可导 , 若A x f a x =′→)(lim _ (有限或无穷), 证明: A a f =′+)(. 证明： ()x a x a x f a x a f x f a f ξ′=??=′++ →→+lim ) ()(lim )(, 其中，x a x <<ξ, + →a x ? +→a x ξ , A a f =′+)( ?()A f a f x a x =′=′+ →+ξlim )(. 此题说明： z 若在一点0x 导函数的极限存在 (或是无穷)，则函数在该点的导数 为其极限值，在有限情形下，导函数在0x 点连续。 z 若函数在某区间可导，则导函数在此区间上的不连续点, 只可能 是第二类间断点。 z 若函数在一点0x 可导, 即0 00) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x ??=′→ 存在，并 不能推出导函数0x 的极限)(lim 0 x f x x ′→也存在。 例20: 若()b a D f ,∈,),(,b a v u ∈?, 0)()(<′?′v f u f , 证明： 方程 0)(=′x f 在),(b a 中必有解。 证明： 0)()(<′?′v f u f ? )()(v f u f ′′和非零异号， 设0)(,0)(<′>′v f u f ?()()),(,b a v N u N ??δδ， ()()v N v u N u v v u u δδ∈∈<>?1111,:,, )()(1u f u f >,)()(1v f v f >。 ? )(x f 在),(v u 内有极大点η: ()0=′ηf 由此得到定义在一个区间上的导函数具有介值性，虽然不一定连续； 还可推出，若)(x f 在区间(),a b 上可导,在其上无零点，则()f x ′必为同号， 从而)(x f 必单调 例21. 设)(x f 是周期为1 的周期函数，在],[10内可导，且,)(01=f 令0)(max ] 1,0[>=∈x f M x ，试证明: 存在()21,∈ξ，使得M f 2≥′)(ξ. 证明: (1) 因)(x f 是周期为1 的周期函数，则只须证明 ()100,∈ξ使得M f 20≥′)(ξ。 (2) 由)(x f 在],[10内可导，则必在],[10内连续，又因 ,)()(001==f f 存在),(10∈M x 使得 )(max )(] ,[x f M x f x M 10∈==。 （最大最小值不都在端点取得） (3)对区间),(M x 0： 1()(0)()M M f x f M f x ξ′?==，()M x ,01∈ξ， 对区间),(1M x ： 2()(1)()(1)M M f x f M f x ξ′?==?,()12,M x ∈ξ 存在()100,∈ξ:{} )(,)(max )(210ξ′ξ′=ξ′f f f ， ))(()(M M x f x f M ?ξ′+ξ′=1221 ()0()1M M f x x ξ′≤+?()0 f ξ′=. 因此, ()011,2ξξ?=+∈，使得M f 2≥′)(ξ. 例22(引理1): 若)(x f 在0x 点n 阶可导，且() n k x f k ,,1,0,0)(0"==, 则( )n x x o x f ) ()(0?= . 例23(引理2): 若)(x f 在区间(),a b 点1n +阶可导,()0,x a b ∈， 且() n k x f k ,,1,0,0)(0"==,(1)0()0n f x +≠, 则 ()00,01x x x ξθθ?=+?<<,(1)10() ()()(1)! n n f f x x x n ξ++=?+. (一) 罗比塔(L’Hospitale)法则--无穷小阶的分析 (1) 不定型的极限： 假定在自变量的同一个变化过程中 z 00, ∞ ∞, 0 0, ∞?∞, 0?∞, 0∞, ∞1, 型不定式. z 基本的是 00和∞∞, 其它各种不定式,可以经过变形转化为00和 ∞ ∞ 型不定式 洛比塔法则对于求不定式极限提供了一个简便有效的方法。 (2) 罗比塔法则求 型的极限： z 若: (1) 在a 某去心邻域中, )(x f 与)(x g 可导, 0)(≠′x g ; (2) 0)(lim )(lim ==→→a g a f a x a x ; (3) ∞=′′→或A x g x f a x ) () (lim . 则 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ′′=→→. z 若: (1) 在),(∞+a 中,)(x f 与)(x g 可导, 0)(≠′x g ; (2) 0)(lim )(lim ==+∞ →+∞ →x g x f x x ; (3) ∞=′′+∞ →或A x g x f x ) () (lim . 则 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ′′=+∞→+∞ →. (3) 罗比塔法则求 ∞ ∞ 型的极限： 定理3: 若: (1) 在),(b a 内,)(x f 与)(x g 可导, 0)(≠′x g ; (2); ∞=+ →)(lim x g a x ; (3) A x g x f a x =′′+ →) () (lim (有限或无穷). 则 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ′′=+ + →→ (4) 罗比塔法则应用举例 例1: 求极限3 sin lim x x x x ?→.=203031 cos lim )()(sin lim x x x x x x x ?=′′?→→= =616sin lim )3()1(cos lim 020?=?=′′?→→x x x x x x 例2: 求极限0 sin lim cos x x x x x x →?? 解1: 00sin (sin )lim lim cos (cos )x x x x x x x x x x x x →→′ ??=′ ?? 01cos lim 1cos sin x x x x x →?=?+0(1cos )lim (1cos sin )x x x x x →′ ?=′?+ 0sin lim 2sin cos x x x x x →=+ 0(sin )lim (2sin cos )x x x x x →′ =′ + 0cos lim 3cos sin x x x x x →=? lim cos 1lim3cos lim sin 3 x x x x x x x →→→= =? 解2: ()30 0sin (sin )lim lim 1cos (2)x x x x x x x x x →→′ ??=′ ? 201cos 1 lim 323 x x x →?== 例3: 若)(x f 在),(+∞a 可微，且A x f x =′+∞ →)(lim , 求?) (lim =+∞ →x x f x 解：A x f x x f x x =′=+∞→+∞→)(lim ) (lim . 例4: 求极限)cot 1(lim 2 20x x x ?→, 这是一个∞?∞型不定式极限问题. 解1：x x x x x x x x x 2222202 20sin cos sin lim )cot 1(lim ?=?→→ 22240sin cos lim x x x x x →?=22401(1)cos lim x x x x →?+= 22302(1)cos sin 2cos lim 4x x x x x x x →+?= 23 01(1)sin cos lim 2x x x x x x →+?= 2201(1)cos 2sin cos sin lim 23x x x x x x x x x →++?+= 01cos 3sin lim 23x x x x x →+=112 1233??=+=????. 原式=323sin lim 2cos sin lim 2203 0==?→→x x x x x x x x x 解2：x x x x x x x x x 2222202 20sin cos sin lim )cot 1(lim ?=?→→ x x x x x x x x x x sin cos sin sin cos sin lim 20??+=→ 300sin cos sin cos lim lim x x x x x x x x x x →→+?=? 20sin 22lim 33 x x x x →==. 原式=32 3sin lim 2cos sin lim 2203 0==?→→x x x x x x x x x 注: 由这个极限的运算过程可以看出,求不定式极限不一定仅仅运用洛比塔法则, 综合运用洛比塔法则与极限,可以数运算过程得到简化. 例5: 求极限x x x x cos 11 0)sin ( lim ?→ 解: 这是∞1型不定式极限. 因 x x x cos 11 )sin (?)sin ln(cos 11 x x x e ?=, 而()x x x x cos 1ln sin ln lim 0??→ =x x x x x x 20sin sin cos lim ?→ = 31 ? 即，x x x x cos 11 0sin ( lim ?→31 ?=e . 说明：运用洛比塔法则时需要注意的问题 (I) 在洛比塔法则中, 若)()(lim x g x f ′′不存在，不能说明) () (lim x g x f 也不存在. 因此是充分而非必要的条件条件。 例如：1cos sin lim =?++∞ →x x x x x , 但是)cos ()sin (lim cos sin lim ′?′ +=?++∞→+∞→x x x x x x x x x x = ="x x x x x x x x x cos sin lim )sin 1()cos 1(lim sin 1cos 1lim ?=′+′ +=+++∞→+∞→+∞→ (II) 只有满足条件的不定式极限才能够运用洛比塔法则. 例: 11cos lim 0=?→x x x ,不是0 0型不定式,以下是错误的： 01 sin lim )1()(cos lim 1cos lim 000=??=′?′=?→→→x x x x x x x x (III) 在求极限的过程中,罗比塔法则应与其他方法配合使用， 以求简便：. 例如: 求x x x e x x sin )sin 1ln(tan )1(lim 22 20???→ 如果直接运用洛比塔法则求这个极限,求得数是非常复杂的.但是运用等价无穷小量的代替方法,则十分简单:注意到当 0→x 时,sin ~x x , 21~2x e x ?, 22tan ~x x , 2 2 2 ln(1sin )~sin ~x x x ???, 所以 2)(2lim sin )sin 1ln(tan )1(lim 22 02220?=???=???→→x x x x x x x e x x x . 例6(引理1): 若)(x f 在0x 点n 阶可导，且() n k x f k ,,1,0,0)(0"==, 则( )n x x o x f ) ()(0?= . 证明：00000()()() lim lim ()()n n x x x x f x f x f x x x x x →→?=?? 0010()()lim ()n x x f x f x n x x ?→′′?=? 0 (1)(1)00()()1 lim !()n n x x f x f x n x x ??→?==?"()01()0!n f x n ==. 例7(引理2): 若)(x f 在区间(),a b 点1n +阶可导,()0,x a b ∈， 且() n k x f k ,,1,0,0)(0"==,(1)0()0n f x +≠, 则 ()00,01x x x ξθθ?=+?<<,(1)10() ()()(1)! n n f f x x x n ξ++=?+. 证明： 011100()()()()()0n n n f x f x f x x x x x +++?=??? 1010()()(1)()n f f x n x ξξ′′?=+? ()()00()()1(1)!() n n n n f f x n x ξξ?==+?"(1)1()(1)!n f n ξ+=+. (二) 台劳(Taylor)公式 (1) n 次多项式()n P x 的两种重要表示形式: 对n 次多项式 1110()n n n n n P x a x a x a x a ??=++++" z 若己知其n 个根(包括复根和重根): 12,,,n x x x ". 则它可写成: 120 ()()()()n k n k n n k P x a x a x x x x x x ===???∑". z 若己知()n P x 在0x 点的函数值及1阶至n 阶的导数值: ()()0000(),(),,(),,()k n n n n n P x P x P x P x ′"". 则()n P x 可写成: ()00000() ()()()()()! n n n n n n P x P x P x P x x x x x n ′=+?++?" ()000 () ()!k n k n k P x x x k ==?∑ 例如，23 3()1P x x x x =+++, 选01x =?. 3 (1)0P ?=, () 2 31 (1)1232x P x x =?′?=++=, ()31(1)264x P x =?′′?=+=?,3(1)6P ′′′?=, 233()1P x x x x =+++2346 02(1)(1)(1)2!3! x x x ?=+++ +++. 即有 231x x x +++232(1)2(1)(1)x x x =+?+++. (2) 如果函数)(x f 在0x 点的0阶至n 阶导数值为： ()()n k x f k ,,1,0,0"=, 其中()()00)0(x f x f =. 今用这些导数值可构成一个n 次的多项式: ()n T x = ()()()∑ =?n k k k x x k x f 0 00! 称为)(x f 在点0x 的n 阶台劳多项式. 利用引理1, 引理2,可得到台劳多项式()n T x 与函数)(x f 之间的关系,这就是所谓的台劳公式. (3) 台劳(Taylor)公式: 定理:(带有皮亚诺余项的台劳公式)假定函数)(x f 在点0x 存在1到n 阶的各阶导数,则有: ()() ()()() ∑ =?+?= n k n k k x x o x x k x f x f 0 000! )(. 此式称为带有皮亚诺(Piano)余项的台劳公式, 其中])[(0n x x o ?称为当0x x →时的皮亚诺余项. 证明：设误差()()()n n R x f x T x =?, 则有 ()()()()000()()0k k k n n R x f x T x =?=,0,1,,k n =", 定理(带有拉格朗日余项的台劳公式)设函数)(x f 在包含点0x 的某个区间),(b a 上存在1+n 阶的导数，则对于任意的),(b a x ∈有 ()()()()()()∑ =++?++?=n k n n k k x x n f x x k x f x f 0 10100)!1(! )(ξ, 其中ξ介于x 与0x 之间．此式称为带有拉格朗日余项的台劳公式, 其中 10)1()()! 1() (++?+n n x x n f ξ为拉格朗日余项. 证明：设误差()()()n n R x f x T x =?, 则有 ()()()()000()()0k k k n n R x f x T x =?=,0,1,,k n =", ()()()()11(1) (1)()()n n n k n n R x f x T x f x ++++=?=. (4)一些常见函数的台劳公式 五个基本函数在00=x 点的Taylor公式： (i) )(! 10n n k k x x o x k e += ∑=; ()10!1! 1+=++=∑n n k k x x n e x k e ξ (ii) ()()()n n k k k x o x k x 21121! 121sin +??=∑ =??; ()()∑=????=n k k k x k x 1121! 121sin +n x n n 2)sin()!2(1 πξ+ (iii)()()()12021! 21cos +=?+?=∑n n k k k x o x k x ; ()()∑=??=n k k k x k x 021! 21cos +12)212cos()!12(1++++n x n n πξ (iv) ()())(! 11ln 11n n k k k x o x k x +?=+∑ =? ()()∑ =??=+n k k k x k x 1 1! 11ln + 1 1 ) 1)(1( )1(++++?n n n n x ξ (v) ()()())(! ) 1(1111n n k k x o x k n x ++??+ =+∑ =αααα " ()()()++??+ =+∑ =n k k x k n x 1 ! ) 1(111αααα " + 11)1()! 1() 1)...(1(+??+++??n n x n n αξααα 特别是： 1?=α, ())(1110 n n k k k x o x x +?=+∑=; 21=α, () ()())(!!2!!32121121n n k k k x o x k k x x +??++=+∑=?; 21?=α, ()()())(!!2!!12121112n n k k k x o x k k x x +??+?=+∑=; 例: 分别写出函数???=≠=0, 00 ,ln )(3x x x x x f 在点0=x 与1=x 的2阶和 3阶台劳公式. 解(i) ???=≠=0,, 00 ,ln )(3x x x x x f 在点1=x 的3阶台劳公式. 0)1(,ln )(3 ==f x x x f 1)1(,ln 3)(2 2=′+=′f x x x x f 5)1(,5ln 6)(=′′+=′′f x x x x f 11)1(,11ln 6)(=′′′+=′′′f x x f ξ ξ 6 )(,6 )()4() 4(= = x f x f x x x f ln )(3 =在点1=x 带有皮亚诺余项的三阶台劳公式为: 3323)1()1(! 311 )1(!25)1(ln )(?+?+?+ ?==x o x x x x x x f x x x f ln )(3 =在点1=x 带有拉格朗日余项的三阶台劳公式为 4323)1(6!41)1(!311)1(! 25 )1(ln )(?+?+?+ ?==x x x x x x x f ξ (ii) 求???=≠=0, 00 ,ln )(3x x x x x f 在点0=x 的2阶台劳公式. 0)0(=f 0)0(,0, 00 ,ln 3)(22=′???=≠+=′f x x x x x x f 0)0(,0, 00 ,5ln 6)(=′′???=≠+=′′f x x x x x x f )0(,11ln 6)(f x x f ′′+=′′′ 该函数在0点的1阶台劳公式: x x x f ln )(3 ==2)(!21)0()0(x f x f f ?′′+ ?′+ξ=2)5ln 6(2x +ξξ 该函数在0点,只能写出带皮亚诺余项的2阶台劳公式: x x x f ln )(3 ==)()()0(! 21 )0()0(222x o x o x f x f f =+?′′+ ?′+ 试研究：1)(2 3 +?=x x x f , 在点00=x 的阶台劳公式。 (5) 台劳公式的应用 下面举例说明台劳公式在近似计算和求不定型极限方面的应用. 例8: 求函数x x f 2 sin )(=的5阶台劳多项式,并用其作为2 2 1 (sin 的近似值. 解: x x f 2 sin )(=的5阶台劳多项式为 4242531!48!22)(x x x x x P ?=?= 22 1 (sin ≈48 11 48141)21(31)2 1(42 =?=? 例9:用台劳公式求极限 x e x x x x x tan )12()1(11lim 3 20 ????+→ 解: 注意到当0→x 时12?x 2ln ~x ,x tan x ~, 用等价无穷小量代换将原极限变成 x e x x x x x tan )12()1(11lim 3 20????+→=23 20) 1(11lim 2ln 1x e x x x x ???+→ )(2 1122 x o x x e x ++ +=; )(3 11)1(122 3 123 2x o x x x ++ =+ =+ 23 20)1(11lim 2ln 1x e x x x x ???+→=222220)) (21 ()(31lim 2ln 1x x o x x x x o x x ++?+→= = 2ln 61) (61lim 2ln 1 2 22 ?=+? →x x o x x . 例10 求极限 () 2 22 02 cos lim ?1x x x e x x e ?→?=? 解一： () 222 2 cos lim 1x x x e x x e ?→??2 222 cos lim x x e x x x ?→?=? =()2 2 232 012cos 22sin 2lim lim 46x x x x x e x xe x x x ??→→???+=?* =()2 3 462sin 2lim 12x x x x e x x ?→?+?= 6 1 ** 不能如此： 22 33002sin 222lim lim 44x x x x xe x xe x x x ??→→?+?+== =( )2 1 42lim 412lim 3 2 3 02 = ?=?→?→x x x x e x x x x 解二：() 2 22 2 cos lim 1x x x e x x e ?→??2 222 0cos lim x x e x x x ?→?=? = ()() 4 2 4424420242121lim x x o x x x o x x x ????????++??????????++?→ = () () 4 2 44424420124121lim x x o x x x x o x x x ????????+++??????????++?→ 例 11 设)(x f 二阶连续导，0)1()0(==f f , [] (){}0,1max x M f x ∈′′=.证明 (I) []0,1max ()2 x M f x ∈′≤ . (II) []0,1max ()4 x M f x ∈≤ . 证明：(I) ]1,0[∈?a ， 将)(x f 在a x =处展开为 ()()()()()2 2 1)(a x f a x a f a f x f ?′′+ ?′+=ξ，（ξ在x a ,之间） 分别令1=x 和0=x 得到 ()()()()()2 11211)(10a f a a f a f f ?′′+ ?′+==ξ，)1,(1a ∈ξ ()()()()()2 221)(00a f a a f a f f ξ′′+?′+==。 ),0(2a ∈ξ 两式相减并移项整理 ()()()() 222 1121)(a f a f a f ξξ′′??′′? =′， ()()()222 112 1)(a f a f a f ξξ′′+?′′≤′. 则对任何[]0,1a ∈， ()()()2 21()12f a f a a ξ′′′≤ ?+() () 2 212 M a a ≤?+. 所以, )({max 21 )(] 1,0[x f x f x ′′≤′∈. (II) 证明：设x a =是()f x 在[]0,1上的最大值点, 记()m f a =, 则有()0f a ′=, [0,1]x ?∈, 将()f x 在a 点展一阶台劳公式: ()()() 2()2 f f x f a x a ξ′′=+ ?. ()()()02 002 f f f a a ξ′′=+=, ()()022f f a a ξ′′=?. ()()()121(1)02f f f a a ξ′′=+ ?=,()() 12(1)2 f f a a ξ′′=??. ()()()012 22(1)2 2 f f f a a a ξξ′′′′= + ? ()2 2(1)2 M a a ≤ +?. 因为[] ()2 2 0,1 max (1)1a a a ∈+?=. 所以, [] 0,1max ()4 x M f x ∈≤ . 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα ● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→ 第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 000 ()() ()lim x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + ++→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - --→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 常微分学习心得 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 常微分学习心得 常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。 例如：求解方程dy dx =y x +tan y x 解：令μ=y x ，及dy dx =x ｄμｄｘ +μ代入，则原方程变为 x ｄμｄｘ +μ=μ+tan μ，即ｄμｄｘ =tan μx 将上式变量分离即有cot μd μ=dx x ， 两边积分得㏑｜sin μ｜=㏑｜x ｜+c 这里c 为任意常数 整理后得：sin μ=±e c ，令±e c =c 得到sin μ=c x 此外，方程还有解tan μ=0，sin μ=0. 如果在sin μ=c x 中允许c=0，则sin μ=0也就包括在sin μ=c x 中，这就是方程ｄμｄｘ =tan μx 的通解为sin μ=c x 代回原方程得通解sin y x =c x 。 一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。 在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。 至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。 由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。、 第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。 数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。 一元函数微分学习题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 微分学的基本定理 【费马（Fermat）定理】 若(i)函数)(x f 在0x 点得某一邻域),(0δx O 内有定义，并且在此邻域内恒有 )(x f )(0x f ≤， 或者)(x f )(0x f ≥； （ii）函数)(x f 在0x 点可导， 则有 0)(0='x f 证明我们对)(x f 的情形给出假设证明.由于假设)(0x f '存在，按定义，也就是 +'f （0x ）=-'f （0x ）=f '(0x ), 另一方面，由于)(x f )(0x f ≤，所以对（δ+00,x x ）内的各点x ，有 ≤--0 0)()(x f x f 0；而对（00,x x δ-）内的各点x ，有 0)()(0 0≥--x f x f .再由极限性质得 )(0x f '=+'f （0x ）=lim 0+→o x x ≤--00)()(x x x f x f 0，)(0x f '=-'f （0x ）=lim 0 -→o x x 0)()(00≥--x x x f x f .而)(0x f '是一个定数，因此它必须等于零，即)(0x f '=0. 对于)(x f )(0x f ≥的情形，也可相仿证明. 这个定理的几何意义是：如果曲线)(x f y =在0x 点具有极大值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不小于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值）或者曲线)(x f y =在0x 点具有极小值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不大于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值），并且曲线 )(x f y =在0x 点具有切线l ,那么，费马定理就表明了切线l 必为水平线. 【拉格朗日（Lagrange）中值定理】 这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理. 若函数)(x f 满足 （i） 在[]b a ,连续；（ii）在（b a ,）可导， 则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使 )(ξf '=a b a f b f --)()(.这个定理从几何图形上看是很明显的.画出[]b a ,上的一条曲线)(x f y =，连接A,B 两点，作弦AB，它的斜率是 = ?tan a b a f b f --)()(.下面对此定理给以证明. 证明不妨假设)(x f 在[]b a ,上不恒为常数.因为如果)(x f 恒为常数，则0)(='x f 在(b a ,)上处处成立，这时定理的结论是明显的. 由于)(x f 在[]b a ,连续，由闭区间连续函数的性质，)(x f 必在[]b a ,上达到其最大值M 和最小值m，我们分两种情形来证明. (1)考虑特殊情形，)()(b f a f =.由于)(x f 不恒为常数，所以此时必有M >m,且M 和m 中至少有一个不等式.这时根据闭区间上连续函数的性质，在（b a ,）内至少有一点ξ，使得))(()(m f M f ==ξξ或者，于是对（b a ,）内任一点x ，必有 )) ()()(()(ξξf x f f x f ≥≤或于是由费马定理，即得 0)(='ξf . 而此时0)()(=-a f b f ，这就证明了定理成立. 对于这样特殊情况的中值定理，也叫【罗尔（Rolle）定理】. (2)考虑一般情形，)()(b f a f ≠.此时，作辅助函数[] 1 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ 第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。） 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 第二章一元函数微分学 导数的概念 定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)?f(xo),若果极限 点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。处不可导. 下面是两种等价形式： f'(Xo)= __________________ = ___________________ ? 当 Xo =0,W: r (0)= _____________ , 如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—. f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= ? 注意：f'(xo)工［f(x°)y ■.? /(兀0 +山)一/(旺) 如果y=f(x)在点X 。及其左侧邻域内有定义，当hm —T — 存在时，则称该极值为f(x)在点X 。处的 ______ 记为—.同理，定义右导数 性质 函数y=f(x)在点x 0处可导 ________ 左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_? 可导函数与连续性的关系 函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式). 导数的运算 3.1基本初等函数的导数公式 c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________ (e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________ (sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________ (cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________ 存在,则称此极限值为函数沪f(x)在 2. 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数 的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 22 22,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 《高等数学》课程学习指导与讨论题 第五章多元函数微分学及其应用 在理论研究和实际应用中，经常遇到具有两个或两个以上自变量取值为数量或向量的函数，就是多元数量值函数与多元向量值函数，统称为多元函数，本章研究多元函数微分学的基本概念、理论和方法以及它们的应用，包括多元函数的极限与连续性。导数(方向导数，偏导数与梯度)与全微分等基本概念，多元函数微分法、极值问题以及多元函数微分学的一些几何应用。多元函数微分学中的基本概念、理论和方法是一元函数相应概念、理论和方法的推广和发展，因此它们之间既有相同之处，又有许多本质上的不同，同学们在学习这部分内容的时候，既要注意它们的相同点和互相联系，更要注意它们之间的不同点，善于将它们进行比较，研究推广到多元函数之后出现的新情况和新问题以及为什么会出现这些差异，有能力的同学还应注意推广的方法，以提高自己分析和解决问题的能力。 本章教学实施方案(总计30学时) 讲课：24学时分 1.n维Enclid空间中点集的初步知识（2学时）2.多元函数的极限与连续性(2学时) 3.多元数量值函数的导数与微分(7学时) 4．多元函数的Taylor公式与极值问题(4学时)；5．多元向量值函数的导数与微分(3学时)；6．多元函数微分学的几何应用(3学时) 7.空间曲线的曲率与挠率（3学时）。 习题课：4学时 1.多元函数极限、连续、偏导数与全微分（2学时）；2.多元函数的极值与多元微分在几何中的应用（2学时）。 讨论课：2学时多元函数极限、连续、偏导数、方向导数、梯度、全微分的概念及联系；；多元函数在极值问题中与几何方面的应用。 第一节 n维Enclid空间中点集的初步知识 一、教学内容与重点 n R中点列的极限与点集的初步知识。 二、教学要求 1. 理解n维欧氏空间n R中点列极限的概念及性质，了解它们与一维空间中 高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y 1、单项选择题（每小题3分） 1）二重极限22 4 00 lim x x xy x y →→+的值为（ D ） A 、0 B 、1 C 、12 D 、不存在 提示：沿路径2x ky =接近点()0,0 2）二元函数(),f x y 在点()00,x y 的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 都存在，则 (),f x y （ D ） A 、在该点可微 B 、在该点连续可微 C 、在该点任意方向的方向导数都存在 D 、以上都不对 3）函数()()2 2 ,0f x y x ay a =->在()0,0处（ A ） A 、不取极值 B 、取极小值 C 、取极大值 D 、是否取极值依赖于a 4）在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ B ） A 、只有1条 B 、恰有2条 C 、至少有3条 D 、不存在 5）设(),z f u v =，其中,x u e v x y -==+，下面运算中（ B ） 2 2 2 :,: x z f f z f I e II x u v x y v -?????=-+ = ?????? A 、,I II 都不正确 B 、I 正确，II 不正确 C 、I 不正确，II 正确 D 、,I II 都正确 2、填空题（每小题3分） 1） 已知理想气体状态方程P V R T =，则P V T V T P ???? ? =???1-。 2） 设ln arctan x y z x y +=-，则dz = ()()2 2 1x y dx x y dy x y -++???? +。 3） 函数u = 在点()1,1的梯度为{}1,1-。 4） 已知 x y z z ??? = ??? ，其中?为可微函数，则z z x y x y ??+=??z 。 5） 已知曲面z xy =上的点P 处的法线l 平行于直线16321: 2 1 2 x y z l ---==-，则该法线多元函数微分学知识点梳理
一元函数微分学典型例题
一元函数微分学教案
第二章 一元函数微分学
一元函数微分学习题
常微分学习心得
多元函数微分学及其应用
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
一元函数微分学习题
微分学的基本定理
一元函数微分学综合练习题
多元函数微分学及其应用归纳总结
一元函数微分学练习题(答案)
第二章-一元函数微分学.docx
一元函数微分学知识点
(整理)多元函数微分学及其应用归纳总结.
多元函数微分学及其应用
多元函数微分学复习(精简版)
多元函数微分学2(含答案)