戏说代数学概念-精选文档

戏说代数学概念

我们知道，数学是研究客观事物的数量关系和空间形式的科学。而研究数学一定是从数学概念开始，然后才由概念与概念之间的联系形成命题、定理、性质、法则等等。在科学的许多分支中，数学可能要算是一个古老的学科了，它的历史和人类的历史几乎是同样久远。当然，它最初还不过是一些数学知识的萌芽，在以万年为计算单位的漫长时间里，缓慢地逐渐积累着。其中最古老的数学原始概念是世界各国人民世世代代在生活和生产中

要解决的问题，经过长期的观察、归纳、抽象、概括逐步形成和不断的完善。如分配产品、测量土地、修建庙宇、航海贸易、矿山开发、火炮制造等等，不断发现和创造各个数学分支。而知识不能遗传只能通过学习获得，我们的学生作为数学知识的继承者，不可能重新尝试前人几千年来不断的探索和逐步完善的过程，许多数学概念的原始生成过程随着时间的流逝已经不可复原或随数学的发展逐渐丧失了它本来的面貌。这就需要数学教师与时俱进创造符合教材知识的背景，探索数学概念和生活现实的联系，通过合理的想象和合情的推理，尽可能的在数学概念教学中自圆其说，才能使学生感受到数学是自然的合理的，有人情味的。把教科书上的学术形态变成课堂上的教育形态，从感性认识上升到理性认识。在知识爆炸的现代，数学知识不仅深入到自然科学也深入到社会科学的各个领域，数学知识的理解应建立在一个比

较广阔的平台。让学生穿越漫长的时空隧道进行观察、归纳、类比、抽象、概括这些数学原始概念以及由这些原始概念衍生出来的另外一些数学概念。经常涉及的原始数学概念有：自然数、代数式、点、线、面、相交、平行、相等、不等、加、减、集合、映射等。现在戏说这些概念的形成及其衍生的概念，如有不当，请批评指正。

首先，解释一下几个有关词语。观察：就是人们通过感官，或借助于一定的科学仪器，对客观对象在自然条件下，进行有目的、有计划、有步骤地考察和描述的一种方法。归纳：就是通过对某类事物中的若干特殊情况的分析得出一般结论的思维方法。我们所说的归纳是指不完全归纳，不完全归纳尽管带有猜想、想象的成分，所得的结论也不一定真实可靠，但却是发现数学规律、提出猜想的基本方法，对培养学生的探究意识有着不可估量的作用。与归纳这个词有关的还有完全归纳法与数学归纳法，虽然同有归纳二字，但它们与不完全归纳有着本质的区别，不完全归纳是一般性的思维方法，而完全归纳法与数学归纳法仅适用于数学。类比：就是根据两类事物存在的一些相似或相同的属性，猜测其他的一些属性也可能相似或相同的思维方法。抽象：就是在头脑中把同类事物的共同的本质特征抽取出来，并舍弃个别的非本质特性的思维过程。例如，我们从两个苹果、两棵树、两个人中得出2这个量，这个2在数学中不再针对具体的两个东西，

2+3=5，也不停留在2个苹果加3个苹果等于5个苹果这个具体

的事物上。在数学的抽象中首先保留了量的关系和空间形式而舍弃了其它一切，数学本身几乎完全处于抽象概念和它们的相互关系之中，任何一个数学推理和计算都是在抽象对象之间展开的。由于所说的抽象就是由特殊上升到了一般，数学研究也就具有普遍意义，它们所反映的不是某一特定事物或现象的量或形的特征，而是一类事物或现象在量或形方面的共同性质。数学抽象具有无物质性。概括：就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。概括可分为经验概括和理论概括。所谓经验概括就是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍认识。而理论概括则是指在经验概括的基础上由对种的特性的认识上升为对种所属

的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。

我们再来看一下漫长岁月中所形成的一些数学概念：

（1）自然数：两个人、两个苹果、两只羊等，除去他们的物理性质差别外，从数量上看是相同的，经过大量的观察和归纳，我们把这样一个数量归纳为2，以后只要与这样一样的事物统统概括我2。（2）加法：先有2个苹果，又得到3个苹果，共有5个苹果。记作2+3=5，当然，+号与=号是近代才发明使用的，由若干个相同的量相加，出现了乘法，2+2+2+2+2=2*5，乘法不能算是原始概念，只不过是加法的简便运算。（3）减法：从总量中减少一部分，就产生了减法，而除法只不过是等量减法的简便运算而已。如：6个东西每次减少2个，经过几次才能减完，因

为：6-2=4，4-2=2，2-2=0，经过了三次，故简化为：6/2=3。（4）分数：把一堆东西平均分成几份就产生了分数。或认为以一条线段去公度另一条线段产生了分数，我认为在交通不便、信息闭塞的古代，不同的地域产生分数有不同的方法。（5）无理数：古希腊毕达哥拉斯学派的弟子发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，经过曲折漫长的过程产生了无理数。（6）负数:以某一量为标准，比该量多时记作+，比该量少时记作-，于是就产生了负数。至于后来又产生了复数，它们统统是由自然数衍生而来的。（7）代数式：到了十六世纪，伴随着文艺复兴的高潮，科学革命的时代也开始了。和天文学同时，西方近代数学也随之兴起。十六世纪西方数学的最大成就，乃是符号代数学的创立。法国数学家韦达在《分析引论术》中，用辅音字母表示已知数，用元音字母表示未知数，并开始用这些字母间的计算代表具体数值间的计算。而这正是算术和代数之间的显著区别。用字母表示数，这在今天学过代数的人看来是一件稀松平常的事情，如果我们追溯代数学的历史，就不能不感到惊讶，用字母表示数的历史竟是如此漫长。美国数学家和数学史家M.克莱因在批判“新数运动”时曾指出：“从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和多笛卡尔之前，没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数。”由于不知道用字母表示数，数列通项概念在修辞代数里是根本不存在的，所有数列求和的结果只能是针对具体的若干项。当有y个字母x相加时，就产生了单项式xy。

即：x+x+……+x=xy。当然，x*x=x2是属于人为的规定表示方法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。有了单项式、加法、减法就能衍生出多项式。而分式是由分数类比而产生的。方程的产生。（8）在中国东汉初年数学名著《九章算术》和古希腊数学家丢番图及古印度数学家波罗摩笈陀的著作中对解方程都有论述。中国古代解决一次联立方程(线性方程组)问题，用算筹表示一次联立方程组，类似于由方程组各系数构成的矩阵，其解法和现代中学代数中的消元法基本相同。但古希腊和古印度的解法远不如中国的完整。直到十六世纪，欧洲才有了加减消元法。（9）有了代数式、等号、大于号、小于号等符号以后，方程、函数、不等式的研究获得了飞速发展。当n个x相乘的结果为a时，所求的x值就是n次方根，xn=a，x=。至于后来对a、n的细化讨论，就另当别论了。（10）法国数学家笛卡儿（1596―1650）是解析几何的创始人之一，他的中心思想是使代数和几何结合起来。在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想。最初所使用的坐标系中，两个坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且轴并没有明显的出现。至于“坐标”，“坐标系”，“横坐标”，“纵坐标”等名词，也是后来人们逐渐使用的。虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义，它促进了微积分的创立。从此数学进入了变量数学的新时期。（11）由于微积分学的创立而产生的一些分支:微分方程、无穷级数、微分几何学、变分学等等的进一步发展，就成了十八世纪

数学的最重要内容，这些内容构成了今天数学各分支学科中比较重要的一个学科――数学分析。（12）函数：函数的概念，从一开始，就与动点的轨迹与解析几何的产生是分不开的。众所周知，当对动点的轨迹进行描述时，横坐标和纵坐标相互依赖而同时发生各自变化，很自然可以使人们产生变量、因变量的思想，从而也可以很自然地导入函数的概念。至于函数的概念不断发展，反映了近、现代数学的迅速发展，同时也与解析数学、函数论的发展相辅相成。

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