一元二次方程的概念及解法

一、考点突破

1. 理解一元二次方程的定义、解，02=++c bx ax （0≠a ），a 、b 、c 均为常数，尤其

a 不为零要切记。 2. 熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。

二、重难点提示

熟练掌握一元二次方程的几种解法。

一、知识结构

二、解题策略与方法

解一元二次方程的基本策略是：降次。降次的主要方法是因式分解法和开平方法。

1. 一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一般形式：02=++c bx ax （c b a ,,是常数，且0≠a ）．

2. 一元二次方程的解法

（1）直接开平方法

形如r n mx =+2)()0(≥r 的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法．

（2）配方法

把一元二次方程通过配方化成r n mx =+2

)()0(≥r 的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．

用配方法解一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数a ；② 移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③ 配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④ 化原方程为n m x =+2)(的形式；⑤ 如果n ≥0就可通过两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．

（3）公式法

通过配方法可求得一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的求根公式：a

ac b b x 242-±-=，用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

一元二次方程02=++c bx ax （c b a ,,是常数，且0≠a ）的根的判别式是ac b 42-．利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式，求方程中的参数的值或取值范围；通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。

用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 化方程为一元二次方程的一般形式；② 确定c b a ,,的值；③ 求出ac b 42-的值；④若042≥-ac b ，则代入求根公式求方程的解；若042<-ac b ，则方程无解．

（4）因式分解法

如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于0，这两个因式至少有一个为0，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．

因式分解法的步骤是：① 将方程右边化为0；② 将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根．

能力提升类

例1 方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（ ）

A. m ≠1 B . m ≠0 C. |m |≠1 D. m ＝±1

一点通：该方程为关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程的定义中0≠a 的条件可求。

答案：C

评析：根据一元二次方程中二次项的系数不为0这一条件可确定二次项系数中所含字母的取值范围.

例2 解关于x 的方程：)0(02≠=+a c ax ．

一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行分类讨论．

解：因为0≠a ，所以a

c x -=2。 当c ＝0时，x 1＝x 2＝0；

当),(0异号时即c a ac <，a

c x -±=2,1； 当),(0同号时即c a ac >，方程无实数根．

评析：本题主要考查分类讨论思想。

例3 解关于x 的方程：

03)12()1(2=-+-+-m x m x m ．

一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行讨论．讨论m ，由于二次项系数含有m ，所以首先要分01=-m 与01≠-m 两种情况（不能认为方程一定是一元二次方程）；当01≠-m 时，再分0>?，0=?，0

解：分类讨论．

（1）当1=m 时，原方程变为一元一次方程02=-x ，所以2=x ．

（2）当1≠m 时，原方程为一元二次方程．

1112)3)(1(4)12(2-=----=?m m m m ． 当12

11>m ，且1≠m 时，0>?，方程有两个不相等的实数根， )

1(21112212,1--±-=m m m x ； 当12

11=m 时，0=?，方程有两个相等的实数根， 5)

1(22121=--==m m x x ； 当12

11

综合运用类

例4 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角

形的周长为（ ）

A. 14

B. 12

C. 12或14

D. 以上都不对

一点通：解这个方程得15x =，27x =。结合三角形三边关系，第三边的范围是17x <<，所以27x =不合题意，舍去。这个三角形的三边分别为3、4、5，故周长为12．

答案：B

评析：这道题将构成三角形的条件与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想。

例5 解方程：2340x x --=

一点通：本题含绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．

解法1：显然0x ≠．当0x >时，2340x x --=，所以14x =,21x =-（舍去）．

当0x <时，2340x x +-=，所以34x =-,41x =（舍去）．

所以原方程的根为4-、4．

解法2：由于22x x =，所以2

340x x --= 所以(4)(1)0x x -+= 所以4x =,1x =-（舍去）．

所以14x =,24x =-．

评析：本题主要考查含绝对值符号的方程的解法。

例6 解方程：04)1(5)1(222=+---x x

一点通：本题为四次方程，教材上没出现过，该怎么解呢？无论题目如何变化，解决高次方程问题的策略是不变的，那就是降次，因此观察式子的结构特点，根据特点找关系进行降次是解决问题的关键。

解：为解方程04)1(5)1(222=+---x x ，我们可将12-x 视为一个整体，然后设

y x =-12，则222)1(y x =-，原方程化为0452=+-y y ，解得11=y ，42=y ．

当1=y 时，112=-x ，得2±=x ；

当4=y 时，412=-x ，得5±=x 。 故原方程的解为21-=x ；22=x ；53-=x ；54=x 。

评析：本题主要考查通过换元进行降次，进而解高次方程的解法。在解方程的过程中，我们将12-x 用y 替换，先解出关于y 的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫作“换元法”，和解二元一次方程组时的消元、解一元二次方程时的降次一样，都体现了转化的数学思想。有些与一元二次方程相关的问题，常常不是去解这个方程，而是通过变形降次、整体代入等技巧方法，促使问题得以解决。

思维拓展类

例7 解方程(2)(1)(4)(7)19x x x x -+++=。

一点通：本题也是四次方程，但其式子中隐含的结构特点更加隐蔽，不管特点有多么隐蔽，只要紧紧抓住解高次方程的基本策略——降次，认真观察探寻式子中的结构特点，问题均可迎刃而解。

解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 22(514)(54)19x x x x +-++= 设222(514)(54)552

x x x x y x x +-+++==+- ※ 则(9)(9)19y y -+=，

即28119y -=。

解得1,210y =±。将1y ，2y 的值代入※式得1,25852x -±=，3,4552

x -±= 评析：在解此题时，要仔细观察方程中系数之间的特殊关系，用换元法解之．

例8 解方程：01256895612234=+-+-x x x x

一点通：观察该方程中的系数，可发现系数有以下特点：4x 的系数与常数项相同，3x 的系数与x 的系数相同，像这样的方程我们称之为倒数方程．利用倒数之积等于1进行恒等变形是解这类题的主要方法。

解：由于0≠x ，方程两边同乘以21x

得 012568956122

2=+-

+-x x x x 089)1(56)1(1222=++-+x

x x x 065)1(56)1(122=++-+x

x x x 设y x

x =+1，则06556122=+-y y ， 所以251=y ，6132=y 。

由251=

y ，得2

51=+x x ，所以21=x ，212=x 。 由6132=y ，得6131=+x x ，所以323=x ，2

34=x 。 因此，原方程的根为21=x ，212=x ，323=x ，234=x 。

例9 解方程：5)2

2(22=++x x x 。 一点通：方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式． 解：52

22)22(22222=+??++++??-x x x x x x x x x 52

4)22(2

2=+?++-x x x x x ， 所以

052

4)2(2

22=-+?++x x x x ， 0)12

)(52(2

2=-+++x x x x 052

2=++x x 或0122

=-+x x 当052

2

=++x x 时，得01052=++x x ，这个方程无实数解； 当012

2

=-+x x 时，得022=--x x ，所以11-=x ，22=x ； 经检验，11-=x ，22=x 是原方程的根．

1. 正确理解一元二次方程的意义，对于方程各项及其系数的确立必须将方程化为一般形式，另外，不要忽略各项及其系数的符号。

2. 运用公式法解一元二次方程时，常常忽略将方程化为一般形式或没有注意各项系数的符号。

3. 在已知根的情况下求方程中字母系数的取值时，常忽略一元二次方程二次项系数必须不为零0条件。

问题：解方程：x x

x x =-+-111 一点通：高次方程求解需降次，根式方程求解需要通过平方去掉根号。

解：由题意可知 1>x 原式即x

x x x 111--=-

平方，整理得01)1(2)1(=+---x x x x 配方得0]1)1([2=--x x 开方01)1(=--x x 移项1)1(=-x x

再平方1)1(=-x x

整理012=--x x 解之，得2

51±=x 取不小于1的根，得251+=

x 经检验，2

51+=x 是原方程的解。 点评：无论是高次方程还是根式方程，我们看到主要的解题策略都是通过适当的转化手段，变成我们常见的一元一次方程或者一元二次方程来求解。

（答题时间：45分钟）

1. 若方程3x 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为__________。

2. 已知：关于x 的方程2x 2＋2（a －c ）x ＋（a －b ）2＋（b －c ）2＝0有两相等实数根． 求证：a ＋c ＝2b ．（a ，b ，c 是实数）

3. 解方程：(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-

4. 解方程：82)1()3(44=+++x x

5. 已知二次方程23(25)310x a x a ----=有一个根为2，求另一个根，并确定a 的值．

6. 设a ，b ，c 为ABC ?的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公

因式，求证：ABC ?一定是直角三角形．

1. )3)(1(3+-x x

2. 证明：

∵一元二次方程有两个相等实数根，

∴Δ＝0，即[2（a －c ）]2－4×2·[（a －b ）2＋（b －c ）2]＝0

（a －c ）2－2（a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2）＝0

a 2＋4

b 2＋

c 2＋2ac －4ab －4bc ＝0

（a ＋c ）2－4b （a ＋c ）＋4b 2＝0

（a ＋c －2b ）2＝0

∴a ＋c －2b ＝0 即a ＋c ＝2b ．

3. 解：0)1)(14()1)(13(=-+---x x x x

(1)[(31)(41)]0x x x ---+= (1)(2)0x x -+= 所以1

1x =,22x =- 4. 解：设

22)1()3(+=+++=x x x y ，

于是原方程变为

82)1()1(44=-++y y ，

整理得

040624=-+y y

解这个方程，得2±=y ，即

22±=+x

解得原方程的根为41-=x ，02=x 。

5. 解：由方程根的定义知，当2x =时方程成立，所以

232(25)2310a a ?--?--=

故3a =．原方程为23100x x --=，即(2)(35)0x x -+=， 所以另一个根为53

x =-。 6. 证明：因为题目中的两个二次三项式有一个公因式，所以二次方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=必有公共根，设公共根为0x ，则

220020x ax b ++=， ①

220020x cx b +-=。 ②

两式相加得

20022()0x a c x ++=，

00[()]0x x a c ++=

若00x =，代入①式得0b =，这与b 为ABC ?的边不符，所以公共根0()x a c =-+。

把0()x a c =-+代入①式得22()2()0a c a a c b +-++=，

整理得222a b c =+

所以ABC ?一定是直角三角形．