复变函数与积分变换课后习题答案

复变函数与积分变换

（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）——课后习题答案

习题一

1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数

π/43513

;

;(2)(43);711i i e i i i i i

-++++

++.

①解i 4

πππ2222e cos isin i i 442222

-??????=-+-=

+-=- ? ? ? ???

??

?? ②解： ()()()()

35i 17i 35i 1613i

7i 1

1+7i 17i 2525

+-+==-++-

③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13

35=i i i 1i 222

-+-+=-+

2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )

(z a a z a -∈+); 33

31313;;;.22n i i z i ????

-+-- ? ?????

① ：∵设z =x +iy

则

()()()()()()()22

i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y

-++-????+--+-????===+++++++ ∴

()222

2

2

Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++,

()22

2Im z a xy z a x a y

-??

= ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵

()()()()()

()()()3

2

322222222

3223i i i 2i i 22i

33i

z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴

()332

Re 3z x xy =-,

()323Im 3z x y y =-．

③解： ∵

()

()()()(){

}3

3

2

3

2

1i 31i 3113133133288-+??-+?

???==

--?-?+?-?-

? ??????

?

??

??

()1

80i 18

=

+=

∴1i 3Re 12??-+= ? ???, 1i 3Im 02??

-+= ? ???

． ④解：

∵

()

()()

()()2

3

3

2

3

1313

3133i 1i 328

??--?-?-+?-?-

??

??-+??

= ? ???

()1

80i 18

=

+=

∴1i 3Re 12

??

-+= ? ?

?

?

, 1i 3Im 02

??-+= ? ??

?

．

⑤解： ∵()()1,2i 211i,

k

n k

n k k n k ?-=?

=∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；

当

21n k =+时，

()Re i 0

n =，

()()Im i 1k

n =-．

3.求下列复数的模和共轭复数

12;3;(2)(32);

.2

i

i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=．

2i 2i -+=--

②解：33-=

33-=-

③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=．

()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=-

④解：

1i 1i 2

222

++==

()1i 11i

222i ++-??== ???

4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．

证明：若z z =，设i z x y =+，

则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0

∴z =x 为实数．

若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．

命题成立．

5、设z ,w ∈C ，证明： z w z w ++≤

证明∵()()()()

2

z w z w z w z w z w +=+?+=++

(

)()

2

2

2

2

2Re z z z w w z w w

z zw z w w z w

z w =?+?+?+?=++?+=++?

()

22

2

2

2

22z w z w

z w z w z w ++?=++?=+≤

∴z w

z w ++≤

．

6、设z ,w ∈C ，证明下列不等式． ()

2

2

2

2Re z w z z w w +=+?+ ()

2

2

2

2Re z w z z w w -=-?+

(

)22

22

2z w z w z w

++-=+

并给出最后一个等式的几何解释．

证明：()

22

2

2Re z w z z w w +=+?+在上面第五题的证明已经证明了．

下面证()

22

2

2Re z w z z w w -=-?+．

∵()()()()

2

2

2

z w z w z w z w z w z z w w z w

-=-?-=--=-?-?+

()

2

2

2Re z z w w =-?+．从而得证．

∴(

)2

2

22

2z w z w z w

++-=+

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

3

352π2π;;1;8π(13);.cos sin 7199i i i i i +?

?--++ ?+?

? ①解：

()()()()

35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++- 3816i 198i 17e 50255i θ?--=

==?其中8

πarctan 19

θ=-． ②解：e i i θ?=其中π

2θ=．

π2

e i

i =

③解：ππi i 1e e -==

④解：()

2

8π13i 16ππ3

θ-+==-.

∴()

2πi 3

8π13i 16πe

--+=?

⑤解：3

2π2πcos isin 99?

?+ ??

? 解：∵3

2π2πcos isin 199?

?+= ??

?．

∴322π

i π.3i 93

2π2πcos isin 1e e 99???+=?= ??

?

8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 33i +的平方根.

⑴i 的三次根． 解：

()1

33

ππ

2π2πππ22i cos sin cos

isin 0,1,22233

+

+

??=+=+= ??

?k k i k

∴

1ππ31

cos

isin i 6622

=+=+z ．

25531

cos πisin πi 6622=+=-+z

39931cos πisin πi 6622

=+=--z

⑵-1的三次根 解：

()()1

3

32π+π2ππ

1cos πisin πcos

isin 0,1,233

k k k +-=+=+=

∴1ππ13cos isin i 3

3

2

2

=+=+z

2cos πisin π1=+=-z

35513

cos πisin πi 3322

=+=--z

⑶33i +的平方根．

解： π

i 42233i=6i 6e 22??+?+=? ? ???

∴

(

)

()1π12

i 4

4

ππ2π2π4433i 6e

6cos isin 0,122k k k ?

?++ ?+=

?=?+= ???

∴π

1

1i 84

41ππ6cos isin 6e 88?

?=?+=? ??

?z

9

1

1πi 84

42996cos πisin π6e 88?

?=?+=? ??

?z ．

9.设2πe

,2i

n

z n =≥. 证明：110n z z -+++=L

证明：∵2πi e n

z ?= ∴1n z =，即10n z -=．

∴()()1110n z z z --+++=L

又∵n ≥2． ∴z ≠1

从而211+0n z z z -+++=L

11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α

=>=+-令

:Im 0z a L z b β?-???==?? ?

????

, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.

解：如图所示．

因为L β={z : Im z a b -??

???

=0}表示通过点a 且方

向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°

所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件

是α-β=90°．

12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.

(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;

(5)Im 1 2.

z z z z i z z z z ==-<+<>><且

解：

(1)、argz =π．表示负实轴．

(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =

12

．

(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re(z )>Im z ．

解：表示直线y =x 的右下半平面

5、Im z >1，且|z |<2．

解：表示圆盘内的一弓形域。

习题二 1. 求映射

1

w z z =+

下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则

2222

221i i i i i()i x y x y

u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++

=++=++-++++

因为2

2

4x y +=,所以53i 44u iv x y +=

+

所以 54u x =,34v y

=+

53

4

4

,u v x y == 所以(

)

()225344

2

u

v

+

=即(

)

()2

2

225322

1

u v +

=，表示椭圆.

2. 在映射2

w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?

ρ=或i w u v =+. （1）

π

02,4r θ<<=

； （2）

π

02,04r θ<<<<

;

(3) x=a, y=b.(a, b 为实数)

解：设222

i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+

所以

22

,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?

ρ=，则

π

02,4r θ<<=

映射成w 平面内虚

轴上从O 到4i 的一段，即 π

04,.

2ρ?<<=

(2) 记e i w ?

ρ=，则π

0,024r θ<<<<映成了w 平面

上扇形域，即

π

04,0.

2ρ?<<<<

(3) 记w u iv =+，则将直线x=a 映成了

22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b 映成了22,2.u x b v xb =-=

即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物

线如图所示.

3. 求下列极限.

解：令

1

z t =

,则,0z t →∞→.

于是2

22

01lim lim 011z t t z t →∞→==++.

(2) 0Re()lim

z z z →;

解：设z=x+yi ，则Re()i z x

z x y =

+有 000

Re()1

lim

lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==

++

显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim

(1)

z i z i z z →-+；

解：

2lim

(1)z i

z i z z →-+=11

lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-

+-+.

（4） 2122

lim

1z zz z z z →+---.

解：因为2

22(2)(1)2

,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+

所以

21

12223

lim

lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.

4. 讨论下列函数的连续性： (1)

22

,0,()0,0;xy

z x y f z z ?≠?

+=??=?

解：因为

22

(,)(0,0)lim ()lim

z x y xy

f z x y →→=

+,

若令y=kx,则

222(,)(0,0)lim 1x y xy k

x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在

z=0处极限不存在.

从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2)

342

,0,()0,0.

x y

z f z x y z ?≠?

=+??=?

解：因为

3342202

2x y x x y

x y x y ≤≤=

+,

所以342

(,)(0,0)lim 0(0)x y x y

f x y →==+

所以f(z)在整个z 平面连续.

5. 下列函数在何处求导？并求其导数.

(1) 1

()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；

解：因为n 为正整数，所以f(z)在整个z 平面上可导.

1()(1)n f z n z -'=-.

(2)

22

()(1)(1)z f z z z +=

++.

解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在

2

(1)(1)0z z ++=处不可导.

从而f(z)除1,i z z =-=±外可导.

22222

32222

(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''

+++-+++'=

++-+++=

++

(3)

38()57z f z z +=

-.

解：f(z)除7=5

z 外处处可导，且

223(57)(38)561

()(57)(57)z z f z z z --+'=

=-

--.

(4) 222

2()i x y x y

f z x y x y +-=

+++.

解：因为

2

222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i

()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z

++--+--+++=

====+++.

所以f(z)除z=0外处处可导，且

2(1i)()f z z +'=-

.

6. 试判断下列函数的可导性与解析性.

(1) 22

()i f z xy x y =+;

解：

22

(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微. 22,2,2,y

u

v

v y xy xy x x y x

y ????====????

所以要使得

u v x y ??=??， u v

y x ??=-??,

只有当z=0时,

从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

(2) 22

()i f z x y =+.

解：22

(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.

2,0,0,2u

u v v

x y x y x

y ????====????

只有当z=0时,即(0,0)处有u v x y ??=??,u v

y

y ??=-

??. 所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

(3) 33

()23i f z x y =+;

解：33

(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.

226,0,9,0u

u v

v x y x y x

y ????====????

所以只有当23x y =±时，才满足C-R 方程. 从而f(z)在230x y ±=处可导，在全平面不解析. (4)

2

()f z z z =?.

解：设i z x y =+，则

23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-?+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+

22223,2,2,3u

u

v

v

x y xy xy y x x

y

x

y ????=+===+????

所以只有当z=0时才满足C-R 方程.

从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.

7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) ()0f z '

=;

证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ??==??,0

v v

x y ??==??.

所以u,v 为常数，于是f(z)为常数. (2) ()f z 解析.

证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则 ()u v u v

x y x y ??-??=?=-???? ()u v v y x y ?-?-?==+??? ,u v u v

x y

y x ????=-=????

而f(z)为解析函数，所以,

u u

u v x y

y x ????==-????

所以,

,v v v v x

x y y ????=-=-????即0u u v v

x y x y ????====????

从而v 为常数，u 为常数，即f(z)为常数.

(3) Ref(z)=常数.

证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 0u u x y ??==?? 因为f(z)解析，C-R 条件成立。故0u u x y ??==??即u=C2

从而f(z)为常数.

(4) Imf(z)=常数.

证明：与（3）类似，由v=C1得0v v x y ??==??

因为f(z)解析，由C-R 方程得0u u x y ??==??,即u=C2

所以f(z)为常数.

5. |f(z)|=常数.

证明：因为|f(z)|=C ，对C 进行讨论. 若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.

若C ≠0，则f(z) ≠0,但2

()()f z f z C ?=，即u2+v2=C2

则两边对x,y 分别求偏导数，有

220,220

u v u v u v u v x x y y ?????+?=?+?=???? 利用C-R 条件，由于f(z)在D 内解析，有 u v u v x y y x ????==-???? 所以00u

v u v x x u v v u x x ????+?=?????

????-?=???? 所以

0,

0u v

x x ??==??

即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.

(6) argf(z)=常数.

证明：argf(z)=常数，即arctan v C

u ??= ???,

于是

222

222222

()

()(/)01(/)()()v u v u

u u v u u v v u y y x x v u u u v u u v ????-??

-?'

????===+++

得

00v

u u v x x v

u u v y y ????-?=?????????-?=???? C-R 条件→ 00v u u v x x v u u v x x ????-?=?????

????+?=????

解得0u v u v x x y y ????====????，即u,v 为常数，于是f(z)

为常数.

8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值.

解：因为f(z)解析，从而满足C-R 条件. 222,3u u nxy my nx x y ??==+?? 223,2v

v

x ly lxy x

y ??=+=??

u v n l x y ??=?=??

3,3u v

n l m y x ??=-?=-=-??

所以3,3,1n l m =-=-=.

9. 试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数. (1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且

222233,6,6,33u

u

v

v

x y xy xy x y x

y

x

y ????=-=-==-????

所以f(z)在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处

解析.

22222

()i 336i 3(2i)3u v f z x y xy x y xy z x x

??'=+=-+=-+=??.(2) ()e (cos sin )ie (cos sin )x x

f z x y y y y y x y =-++.

证明：

(,)e (cos sin ),

(,)=e (cos sin )

x x u x y x y y y v x y y y x y =-+处处可微，且

e (cos sin )e (cos )e (cos sin cos )x x x u

x y y y y x y y y y x ?=-+=-+?

e (sin sin cos )e (sin sin cos )x x u

x y y y y x y y y y y

?=---=---?e (cos sin )e (sin )e (cos sin sin )x x x v

y y x y y y y x y y x

?=++=++?e (cos (sin )cos )e (cos sin cos )x x v

y y y x y y y y x y y

?=+-+=-+?所以u v x y ??=??, u v y

x ??=-

?? 所以f(z)处处可导，处处解析.

()i e (cos sin cos )i(e (cos sin sin ))e cos ie sin (e cos ie sin )i (e cos ie sin )e e i e e (1)

x x x

x x x x x z z z z u v

f z x y y y y y y x y y x x y y x y y y y y x y z ??'=

+=-++++??=+++++=++=+10. 设

()()

333322

i ,0.0.0.x y x y z f z x y z ?-++≠?

=+??=?

求证：(1) f(z)在z=0处连续．

(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程． (3)f ′(0)不存在． 证明.(1)∵

()()

()()

,0,0lim ()lim ,i ,z x y f z u x y v x y →→=

+

而()()()()()33

22,0,0,0,0lim ,lim x y x y x y u x y x y →→-=+

∵

()3322221x y xy x y x y x y -?

?=-?+ ?++??

∴3322

3

02

x y x y x y --+≤

≤

∴()()33

22,0,0lim 0x y x y x y →-=+ 同理()()33

22

,0,0lim 0x y x y x y →+=+

∴()()

()()

,0,0lim

00x y f z f →==

∴f(z)在z=0处连续．

(2)考察极限()0()0lim

z f z f z →-

当z 沿虚轴趋向于零时，z=iy ，有

()()()3

2

00111i lim i 0lim 1i i i y y y f y f y y y →→--??-=?=+??．

当z 沿实轴趋向于零时，z=x ，有 ()()[]01

lim 01i x f x f x →-=+

它们分别为

i ,i u v v u x x y y ????+?-???? ∴,u v u v x y y

x ????==-

???? ∴满足C-R 条件．

(3)当z 沿y=x 趋向于零时，有

()()()()()33300i 0,01i 1i i lim lim i 21i 1i x y x y f x x f x x x x x =→=→+-+--==+++

∴0lim

z f z →??不存在．即f(z)在z=0处不可导． 11. 设区域D 位于上半平面，D1是D 关于x 轴的对

称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证()

()F z f z =在

区域D1内解析．

证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D 内解析．

所以u(x,y),v(x,y)在D 内可微且满足C-R 方程，即,u v u v x y y x ????==-????．

()()()()()

,iv ,,i ,f z u x y x y x y x y ?ψ=---=+，得

(),u x y x x ??-?=

?? ()(),,u x y u x y y y y ??-?-?==-??? (),v x y x x ψ-?-?=

?? ()(),,v x y v x y y y y ψ?-?-?=+=???

故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R 条件,x y y x ?ψ?ψ????==-????

从而()

f z 在D1内解析

13. 计算下列各值

(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1) (2)

22π2

2

i 3

33

3

3

ππ13e

e e

e cos isin e i 3322i π--????????=?=?-+-=?- ?

? ???????

???? (3)

()()

22

22

22

22

22

i i

22222

2Re e

Re e e

Re e cos isin e

cos x y x y x y x y x y x

x y

x

x y y y x y x y y x y -+-

++++=????????

?= ?-+-??? ? ? ?++???????

?

??=? ?

+??

(4)

()()i 2i 2i i 22i 2e e e e e e x y x y x y x

-+-+---=?=?=

14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez 的极限． 解：令z=rei θ， 对于?θ，z →∞时，r →∞． 故()()()i i e

i isi c n os lim e e lim e e r r r r r r θ

θθθθ→∞

→+∞

+=+=∞

．

所以()lim z f z →∞

=∞

．

15. 计算下列各值． (1)

()()3ln 23i =ln 13iarg 23i ln 13i πarctan 2?

?-++-+=+- ?

??

(2)

()()ππln 33i ln 23iarg 33i ln 23i ln 23i

66??

-=+-=+-=- ???

(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i

(4)

()()π

ln ie ln e iarg ie 1i

2=+=+

16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz 的连续性与可导性．

解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz 除负实轴及原点外处处连续． 设z=x+iy ，

()()

22()||,i ,g z z x y u x y v x y ==+=+

()()22,,,0

u x y x y v x y =+=在复平面内可微．

()1

222

22

22

122

u x u y x y x x y

x y x y -??=+?==??++

00v v x y ??==??

故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．

从而f(x)=|z|+lnz 在复平面上处处不可导． f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续．

17. 计算下列各值． (1)

()()

()()

()1i

π1i ln 2i 2πi 1i

ln 1i 1i ln 1i 4ln 2

ππ

i ln 2ln 22π

44π

ln 22π

4

π

2π4

1i e

e

e

ππ

e i ln 2i 2π44e e

ππe

cos ln 2isin ln 24

4ππ2e

cos ln 2isin ln 24

4k k k k k -??-?++ ?

-+-?+??

??

-++ ???

+++

+====+

-++=???????=?-+- ? ???

????????

????=??-+- ? ???

?????? (2)

()

()

()

()()()()

()()()5

5

ln 3

5ln 35ln 3i π2πi 5ln 35i π2π5i

5ln 3

53e e

e e

e

cos 21π

5isin 21π53cos 21π5isin 21π5k k k k k k -?-?+?++?+?-=====+++=?+?++ (3)

(

)

()

i

i ln1iln1i ln1i 02πi

i 2πi 2π

1e e e e e k k k ----?+?+-?=====

()()()1i

1i 1i 1i

ln 1i ln 22ππ1i ln1i 2πi 1i 2πi i 44πππ

π

i 2π2πi i 2π2π4444

π

2π4

π

2π41i e e

2e e

e e

e

ππe

cos isin 442(2)i 224e k k k k k k k k +--+????+ ? ?

??

??

??????+?+-++- ? ?

?

??????

?

?---+

- ???

---??== ???

====?????=?+- ? ?

???

???=?- ?

??

18. 计算下列各值

(1)

()()()

()i π5i i π5i i π5i π5

555555e e e e cos π5i 22

e e 1e e e e ch5

222+-+--+---+++==

-+---+===-=-

(2)

()(

)

(

)

()()i 15i i 15i i 5i 5

555555e e e e sin 15i 2i 2i

e cos1isin1e cos1isin12i

e e e e sin1i cos1

22---+--------==

+-?-=

++=?-? (3)

()()()()()

()()()

i 3i i 3i

i 3i i 3i 22e e sin 3i sin 6isin 2

2i tan 3i cos 3i e e 2ch 1sin 32i

----------===

-+-(4)

()()()2

2

2

i i 2222222222221sin e e sin ch i cos sh 2i

sin ch cos sh sin ch sh cos sin sh sin sh y x y x z x y x y

x y x y

x y y x x y x y

-+-=?-=?+?=?+?=?-++?=+(5)

()()

()()()2arcsin i i ln i 1i i ln 12i ln 21i2π0,1,i ln 21i π2πk k k =-+-=-±???-++???==±????--++???L

(6)

()()()i 1i 12i i 21arctan 12i ln ln i 21i 12i 2551i

πarctan 2ln 5

24k ++??

+=-=-?-+ ?

-+??=++?

19. 求解下列方程

(1) sinz=2． 解：

()()()()1

arcsin 2ln 2i 3i ln 23i i

1i ln 232πi 212πi ln 23,0,1,2z k k k ??==±=-±??

???

?=-±++ ???

???

??

?=+±+=± ???L

(2)e 13i 0z

--=

解：e 13i z

=+ 即

()π

ln 13i ln 2i 2πi 3

1ln 22πi

3z k k =+=++?

?=++ ??

?

(3) πln i 2z =

解：

πln i

2z =

即π

i 2e i z ==

(4)()ln 1i 0z -+= 解

：

20. 若z=x+iy ，求证

(1) sinz=sinxchy+icosx ?shy 证明：

()()()i i i i i i i e e e e sin 2i 2i 1

.e e 2i

sin ch i cos .sh x y x y i

z z y x y x z x y x y +-+?--+---==

=-=?+ (2)cosz=cosx ?chy-isinx ?shy 证明：

()

()()

()()()()i i i i i i i i e e 1cos e e 221

e e 21

e cos isin e .cos isin 2

e e e e .cos isin .22cos .ch isin .sh z z x y x y y x y x y y y y y y z x x x x x x x y x y -+-+-+----+==?+=+=?++-??

+-+=-????=-

(3)|sinz|2=sin2x+sh2y

证明： ()i

i 1sin e e sin ch icos sh 2i y x y x z x y x y -+-=

-=?+?

()()2

22222222222

2

sin sin ch cos .sh sin ch sh cos sin sh sin sh z x y x y

x y y x x y x y =+=-++=+

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y

证明：cos cos ch isin sh z x y x y =-

()()2

222222222222cos cos .ch sin .sh cos ch sh cos sin .sh cos sh z x y x y

x y y x x y x y

=+=-++=+

21. 证明当y →∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大． 证明： ()()i i i

i 11sin e e e e 2i 2i z z y x y x z --+-=

-=?-

∴i i

i i 1

sin e 2e e e e y x y x y x y y x y z e -+--+--=?-== 而

()()i

i 11sin e e e e 22y x y x y y z

-+---=-≥

当y →+∞时，e-y →0，ey →+∞有|sinz|→∞．

当y →-∞时，e-y →+∞，ey →0有|sinz|→∞．

同理得()()

i i 11

cos i e e e e 22y x y x y y x y -+--+=+-≥ 所以当y →∞时有|cosz|→∞． 习题三

1. 计算积分2

()d C x y ix z

-+?,其中C 为从原点到点1+i

的直线段.

解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+.

01x ≤≤

故

()()1

22

1

23

1

0()1

1

(1)(1)(1)3

33C

x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=??

?

2. 计算积分(1)d C

z z

-?，其中积分路径C 为

(1) 从点0到点1+i 的直线段;

(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤

()()1

11()C

z dz x ix d x ix i

-=-++=??

(2)设2

z x ix =+. 01x ≤≤

()()1

22

211()3

C

i

z dz x ix d x ix -=-++=??

3. 计算积分d C

z

z ?，其中积分路径C 为

(1) 从点-i 到点i 的直线段;

(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤

11

1

1

C

z dz ydiy i ydy i

--===???

(2)设i z e θ

=. θ从32π到2π

22

332

2

12i i C

z dz de i de i

ππ

θ

θππ===???

(3) 设i z e θ

=. θ从32π到2π

232

12i C

z dz de i

π

θ

π==??

6. 计算积分()sin z

C

z e z dz -???,其中C

为0

z a =>.

解 ()sin sin z z

C C C

z e z dz z dz e zdz -?=-????蜒?

∵sin z

e z ?在z a

=所围的区域内解析

∴

sin 0z

C

e zdz ?=??

从而

()20

22

sin 0

z

i C

C

i z e z dz z dz adae a i e d π

θ

π

θθ-?====????蜒

故()sin 0z

C

z e z dz -?=??

7. 计算积分2

1

(1)

C

dz

z z

+??,其中积分路径C

为

（1）11:2

C z =

（2）

23

:2

C z =

（3）

31:2

C z i +=

（4）

43:2

C z i -=

解：（1）在1

2

z =

所围的区域内，

21

(1)z z +只有一个奇点0z =.

1

2

1

11111

()2002(1)

22C

C dz dz i i z z

z z i z i

ππ=

-?-?=--=+-+??

蜒（2）在2

C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.

故

22

1

11111

()20(1)

22C

C dz dz i i i z z

z z i z i

πππ=

-?-?=--=+-+??

蜒（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故

32

1

11111

()00(1)

22C

C dz dz i i

z z

z z i z i ππ=

-?-?=--=-+-+??蜒（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,

故

42

1

11111

()2(1)

22C

C dz dz i i i

z z

z z i z i πππ=

-?-?=-=+-+??蜒

10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) 20

cos 2i z dz

π+?

(2)

z i

e dz

π

--? (3) 2

1(2)i

iz dz

+?

(4) 1ln(1)

1i

z dz z ++? (5)

1

0sin z zdz ?? (6) 211tan cos i

z

dz

z +?

解 (1)

220

1cos sin

21

222

i

i

z z dz ch ππ++==?

(2)

2

z

z

i

i

e

dz e ππ----=-=-?

(3) 22311

111111(2)(2)(2)(2)333i

i i

i iz dz iz d iz iz i i +=

++=?+=-+?

?

(4)

222111

ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284i

i i

z dz z d z z z π+=++=+=-++?? (5)

1

11

100

sin cos cos cos sin1cos1

z zdz zd z z z zdz ?=-=-+=-?

??

(6)

22211

2111

2

21tan 1sec sec tan tan cos 2

111tan1tan 1t 122i

i i i

i

z dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+??=-+++ ??????11. 计算积分21z

C e dz z +??,其中C 为

(1)

1

z i -= (2)

1

z i += (3)

2

z =

解 (1)

221()()z

z z

i

z i

C C e e e dz dz i e z z i z i z i

ππ==

=?=++-+??蜒

(2) 221()()z z z

i

z i

C C e e e dz dz i e z z i z i z i

ππ-=-=

=?=-++--??蜒

(3)

122222sin1111z

z z i i

C C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=

+=-=+++???蜒?

16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z|=1.

(1) 5z C e dz z ??

(2)

3cos C z dz z ?

? (3) 020tan

1

2,()

2C z

dz z z z <-?? 解 (1)

(4)

5

2()4!

12z z z C e i i

dz e z ππ===

??

(2)

(2)

3

cos 2(cos )2!

z C z i dz z i

z ππ===-??

(3)

'

2

2

0tan

22(tan )sec ()2z z C z

z dz i z i z z ππ===-??

17. 计算积分331

(1)(1)C dz

z z -+??,其中积分路径C 为 (1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周 (2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周

解：(1)

C

内包含了奇点1z =

∴

(2)

133

3121

3()(1)(1)2!(1)8z C i i

dz z z z ππ===

-++??

(2)

C

内包含了奇点1z =-,

∴(2)

1333

1213()(1)(1)

2!(1)8z C

i i dz z z z ππ=-==-

-+-??

19. 验证下列函数为调和函数.

3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x x x x y xy y y i y ωω=--+=+++

解(1) 设w u i υ=

+,3

223

632u x

x y xy y

=--+ 0υ=

∴

223123u x xy y

x ?=--? 22666u x xy y y ?=--+?

22

612u x y x ?=-? 22612u x y y ?=-+?

从而有

2222

0u u

x y ??+=??,w 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.

(2)

设

w u i υ

=+,

cos 1x u e y =?+

sin 1x e y υ=?+

∴cos x u e y

x ?=?? sin x u e y y ?=-??

22

cos x u e y x ?=?? 2

2cos x u e y y ?=-??

从而有

2222

0u u

x y ??+=??,u 满足拉普拉斯方程,从而是调和函

数.

sin x e y

x υ?=?? cos x e y y υ?=??

22sin x e y x υ?=?? 22

sin x y e y υ?=-??

2222

0x y υυ

??+=??,υ满足拉普拉斯方程,从而是调和函

数.

20.证明:函数22

u x y =-,

22x

x y υ=

+都是调和函

数,但()f z u i υ=+不是解析函数 证明:

2u x x ?=? 2u y y ?=-? 22

2u x ?=? 222u y ?=-?

∴22220u u

x y ??+=??,从而u 是调和函数.

22

222()y x x x y υ?-=

?+ 2222()xy y x y υ?-=?+

223222362()xy x x x y υ?-+=?+ 223

222362()xy x y x y υ?-=?+

∴222

20x y υυ

??+=??,从而υ是调和函数. 但∵u x y υ??≠?? u y

x υ??≠-

?? ∴不满足C-R 方程,从而()f z u i υ=+不是解析函数.

22.由下列各已知调和函数,求解析函数

()f z u i υ=+

(1)

22

u x y xy =-+ (2)22

,(1)0y

u f x y =

=+

解 (1)因为 2u x y x

y υ

??=+=

?? 2u y x y x υ??=-+=-?? 所以

2

2

(,)

(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222

u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y x

x y

xy C υ??=-

++=-+++=-+++??????=-

+++2222

()i(2)

22x y f z x y xy xy C =-++-+++

令y=0,上式变为

2

2

()i()

2x f x x C =-+

从而

2

2

()i i 2z f z z C

=-?+

(2)222

2()u xy x x y ?=-?+

22

2

22()u x y y x y ?-=?+ 用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有

2

(,)

4222(1,0)12222

2()0()1110x y x u u x y y

dx dy C dx x dy C

y x x x y x x y C x x y x y υ??=-

++=-+???+=-+=-+++?

?2222

()i(1)y x

f z C x y x y =

+-+++

由(1)0.f =，得C=0

()11f i z z ??

∴=- ?

??

23.设

12()()()()

n p z z a z a z a =---L ,其中

(1,2,,)i a i n =L 各不相同，闭路C 不通过

12,,,n

a a a L ,证明积分

1()

d 2π()

C p z z i p z '??

等于位于C 内的p(z)的零点的个数.

证明: 不妨设闭路C 内()P z 的零点的个数为k, 其零点分别为

12,,...k

a a a

1

1

1

2

3

12121()()()...()...()1()1

2πi ()2πi ()()...()

111111

...2πi 2πi

2πi 111

1

11...1...2πi 2πi

n

n k

k

n k k C C

n C C

C n

C C

k n

k z a z a z a z a z a

P z dz dz

P z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=

+++---=++++++--∏∏??

??

???

14243蜒蜒?蜒个

z k

=24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设

f(z)在闭路C 及其外部区域D 内解析，且

lim ()z f z A →∞

=≠∞

，则

(),,1()

d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈?=?∈-??

其中G 为C 所围内部区域.

证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆CR:

R z =，将C 与Z 包含在内

则f(z)在以C 及R

C 为边界的区域内解析，依柯西积

分公式，有

R 1()()

()[-]2πi C C f f f z d d z z ζζζζζζ=--??蜒 因为()

f z z ζζ-- 在R

ζ>上解析，且

()1

lim lim ()lim ()1

1f f f z z ζζζζζζζζζ

→∞

→∞

→∞=?==--

g

所以，当Z 在C 外部时，有

1()

()2πi C f f z A d z ζζζ=-

-??

即1()

()2πi C f d f z A z ζζζ=-+-??

设Z 在C 内，则f(z)=0，即

R 1()()0[]2πi C C f f d d z z ζζζζζζ=

---??蜒

故有：1()2πi C f d A z ζζζ=-??

习题四

1. 复级数1

n n a ∞=∑与1

n n b ∞

=∑都发散,则级数1

()

n n n a b ∞

=±∑和

1

n n n a b ∞

=∑发散.这个命题是否成立?为什么?

答.不一定．反例:

2211111111

i ,i n n n n n n a b n n n n ∞

∞

∞∞

=====+=-+∑∑∑∑发散 但21

1

2

()i n n n n a b n

∞∞

==+=?

∑∑收敛 112

()n n n n a b n ∞

∞

==-=∑∑发散 2

4

1

1

1

1[()]n n n n a b n

n ∞∞

===-+

∑∑收敛.

2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

(1)2111i n n n +∞

=+∑ (2)115i (

)2n

n ∞=+∑ (3) π

1

e i n n n ∞=∑ (4) 1i ln n n n

∞

=∑ (5) 0cosi 2n n n

∞=∑

解

(1)

211111i 1(1)i 1(1)i n n n

n n n n n n

n +∞

∞∞===++-?-==+?∑∑∑ 因为11n n

∞

=∑发散,所以21

11i n n n +∞=+∑发散

(2)11

15i 26()22n

n

n n ∞

∞

==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222n n

n n →∞

→∞+=+≠ 所以1

15i

()2n

n ∞

=+∑发散 (3)

πi 1

1e 1

n

n n n n

∞

∞

===∑

∑发散,又因为

π111

ππ

cos isin e 1ππ(cos isin )i n

n n n n n n n n n n ∞

∞

∞

===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛. (4)

1

1i 1

ln ln n n n n n

∞

∞

===∑

∑ 因为11

ln 1

n n >- 所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k 时, 级数化为

1

(1)ln 2k k k

∞

=-∑

收敛

当n=2k+1时, 级数化为1

(1)ln(21)k

k k ∞

=-+∑也收敛 所以原级数条件收敛

(5)

00

00cosi 1e e 1e 11()()2222222n n n n

n

n n n n n n e -∞

∞∞∞====+=?=+∑∑∑∑ 其中0e ()2

n

n ∞

=∑ 发散,01()2n n e ∞

=∑收敛

所以原级数发散.

3.证明:若Re()0n a ≥,且1n n a ∞

=∑和21

n n a ∞

=∑收敛,则级数

21

n

n a

∞

=∑绝对收敛.

证明:设

2222

i ,(i )2i n n n n n n n n n n a x y a x y x y x y =+=+=-+

因为1

n

n a ∞=∑和21

n n a ∞

=∑收敛

所以2

1

1

1

1

,,(),n n n n n n n n n n x y x y x y ∞∞∞

∞====-∑∑∑∑收敛

又因为Re()0n a ≥,

所以0n x ≥且2

lim lim 0n n n n x x →∞→∞

== 当n 充分大时, 2

n n x x <

所以21

n

n x

∞

=∑收敛

2

22222

2()n n n n n n a x y x x y =+=-- 而

2

1

2n

n x

∞

=∑收敛，

221

()n n n x

y ∞

=-∑收敛

所以

21

n

n a

∞

=∑收敛，从而级数

21

n

n a

∞

=∑绝对收敛.

4.讨论级数1

()n n

n z

z ∞

+=-∑的敛散性

解 因为部分和1

1

()1n

k k

n n k s z

z z

++==-=-∑，所以，

1,1n z s <→-当时

1,0n z s =→当时，1,n z s =-当时不存在.

当i e z θ

=而0θ≠时（即1,1z z =≠），cosn θ和sinn θ都没有极限,所以也不收敛．

,n z s →∞当>1时.

故当1z =和1z <时,

1

()n n n z

z ∞

+=-∑收敛.

5.幂级数0

(2)

n

n

n C z ∞

=-∑能否在z=0处收敛而在z=3

处发散.

解： 设1lim n n n

C C ρ+→∞=，则当12z ρ-<时，级数收

敛，1

2z ρ->

时发散.

若在z=0处收敛,则

12ρ

>

若在z=3处发散, 则

1

1ρ

<

显然矛盾,所以幂级数

(2)

n

n

n C z ∞

=-∑不能在z=0处

收敛而在z=3处发散

6.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. (2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.

(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.

7.若0n

n n C z ∞

=∑的收敛半径为R,求0

n

n n n C z b ∞

=∑

的收敛半径。

解： 因为1

11111lim lim n n n n n n n

n

C C b C C b R b b +++→∞→∞=?= 所以 R R b '=? 8.证明：若幂级数

n

n n a z

∞

=∑的 系数满足

lim n n n a ρ→∞

=，则

(1)当0ρ<<+∞时, 1

R ρ

=

(2) 当0ρ=时, R =+∞ (3) 当ρ=+∞时, 0R = 证明：考虑正项级数

2120

......n

n n

n n a z

a z a z a z ∞

==++++∑

由于lim lim n

n n n n n n

n n a z a z z ρ→∞→∞

=?=?，若

0ρ<<+∞，由正项级数的根值判别法知，当

1z ρ?<时，即1

z ρ

<

时，

n

n

n a z

∞

=∑收敛。当

1z ρ?>时，即1

z ρ

>

时，2

n

n a z 不能趋于

零,lim 1n

n

n n a z →∞

>级数发散.故收敛半径1

R ρ=.

当0ρ=时, 1z ρ?<,级数收敛且R =+∞. 若ρ=+∞,对0,z ?≠当充分大时,必有2

n n a z 不能

趋于零,级数发散.且0R =

9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。

(1) 0(i)

n

p n z n

∞

=-∑ (2)

0p

n

n n

z ∞

=?∑

(3) 121021(i)2n n n n z n ∞

--=--?

?∑

(4) (1)0i ()(1)n n n n z n ∞

+=?-∑

解: (１)

11

1

lim

lim()lim(1)1

(1)11

1

p p p p n n n n n n n n R →∞

→∞→∞==-=+++∴=收敛圆周

i 1z -<

(2)

(1)lim 11

p p n n n R →∞+==

所以收敛圆周

1z <

(3) 记 1

21

21()(i)2

n n n

n n f z z ---=-?? 由比值法,有

21

2

12121(21)2()1lim lim ()2(21)2n n n n n n n n n z f z z f z n z ++-+→∞→∞+??==-??

要级数收敛,则

2z <

级数绝对收敛,收敛半径为

2R =

所以收敛圆周

2

z <

(4) 记 (1)i ()()(1)n

n n n

f z z n +=?-

1

(1)

1

,

1

1(1)lim ()lim lim n n n n n

n n n n n z z f z n n

++0, Z-1≤∞Z-1>→∞

→∞

→∞--==={若若

所以

11z -≤时绝对收敛,收敛半径1R =

收敛圆周

11z -<

10.求下列级数的和函数. (1)

1

1

(1)

n n

n nz ∞

-=-?∑ (2) 20

(1)(2)!n

n

n z n ∞

=-?

∑ 解: (1)

11

lim

lim 1n n n n

C n C n +→∞

→∞+==

故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：

-1

1

1

(1)(1)1z n

n n n n n z

nz dz z z ∞

∞

==-=-=

+∑∑?

所以

-1

2

11(1)(),11(1)n n n z nz z z z ∞

='-?==<++∑

于是有：

112

1

1

(1)(1)1

(1)n n n n n n z

nz z n z z z ∞∞

--==-?=--?=-

<+∑∑

(2) 令：

20

()(1)(2)!n

n

n z s z n ∞

==-?

∑ 11

lim

lim 0.(21)(22)n n n n C C n n +→∞

→∞==++Q

故R=∞, 由逐项求导性质

21

1

()(1)(21)!n n

n z

s z n -∞='=-?

-∑ 2222+11

00

()(1)(1)(1)(1)(22)!(2)!(2)!n m

n

n m n n m n z z z s z m n n m n -∞

∞

∞

===''=-?

=-?=-=--?

-∑∑∑由此得到()()

s z s z ''=-

即有微分方程()()0s z s z ''+=

故有：()cos sin s z A z B z =+， A, B 待定。

200

(0)[(1)]11(2)!n

n

z n z A A n ∞

====-?=?=∑由S

21

01

(0)sin cos [(1)]00(21)!n n

z n z s z B z B n -∞

=='=-+=-?=?=-∑

所以

20

(1)cos .(2)!n

n n z

z R n ∞

=-?

==+∞∑

11.设级数0

n n C ∞

=∑收敛，而0

n n C ∞

=∑发散，证明0

n n n C z ∞

=∑的

收敛半径为1 证明：因为级数0

n

n C

∞

=∑收敛

设

1

1lim .n n n n n C Z z C Z λ++→∞=

若

n

n

n C z

∞

=∑的收敛半径为1

则1

z λ=

现用反证法证明1λ= 若01λ<<则1z >，有1lim

1

n n n

C C λ+→∞=<，即0

n n C ∞

=∑收敛，与条件矛盾。 若1λ>则1z <，从而

n

n

n C z

∞

=∑在单位圆上等于

n

n C

∞

=∑，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。

综上述可知，必有1λ=，所以

1

1R λ

=

=

12.若0

n

n

n C z

∞

=∑在0z 点处发散，证明级数对于所有满

足0z z >点z 都发散.

证明：不妨设当10z z >时，0n

n n C z ∞

=∑在1z 处收敛

则对1

z z ?>，0

n

n

n C z

∞

=∑绝对收敛，则0

n

n

n C z

∞

=∑在

点0z 处收敛 所以矛盾,从而0n

n

n C z

∞

=∑在0z z >处发散.

13.用直接法将函数

ln(1e )z

-+在0z =点处展开为泰勒级数,(到4

z 项),并指出其收敛半径.

解:因为1e ln(1e )ln()

e z

z

z -++=

奇点为(21)πi(0,1,...)

k z k k =+=±

所以πR = 又

ln(1e )

ln 2

z z -=+=

e 1[ln(1e )]1e 2

z

z

z z

--=-'+=-

=-+

22

e 1[ln(1e )](1e )2z

z

z z --=-''+=-

=-

+ 20

3

e e [ln(1e )]0(1e )z z

z

z z ---=--+'''+=

=+

2(4)0

4

3e (14e e

)

1[ln(1e )](1e )2z z z

z z z ----=--++=

=-

+

于是，有展开式

24

23111ln(1e )ln 2...,π

22!24!2z z z z R -+=-+-+=

14.用直接法将函数21

1z +在12z -<点处展开

为泰勒级数,(到4

(1)z -项)

解：i z =±为21

1z +的奇点，所以收敛半径

2R =

又

211(),(1)12f z f z =

=+ 2221

(),(1)(1)2z f z f z -''=

=-

+

223261

(),(1)(1)2z f z f z -+''''==

+

3

24

2424(),(1)0(1)

z z f z f z -''''''==+ 24(4)

(4)

25

24240120(),(1)0(1)z z f

z f z -+==+

于是，()f z 在1z =处的泰勒级数为

242

11113

(1)(1)(1)...,212244!z z z R z =--+---+=+ 15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其

收敛性.

(1) 1

23z -分别在0z =和1z =处

(2)

3sin z 在0z =处 (3) arctan z 在0z =处 (4) (1)(2)z

z z ++在2z =处

(5) ln(1)z +在0z =处 解 （1）

01111123

(),223323332

13

n n z z z z z ∞==-=-?=-?<---∑ 0

11111

2(1),1232212(1)112(1)2n n n z z z z z z ∞

====-=---<-------∑ (2) 35

210

(1)sin ...(21)!3!5!n n n z z z z z n ∞

+=-==-+++∑ 23

210331sin (1),4(21)!

n n n n z z z n ∞+=-=-?<∞+∑

(3) 2

01

arctan 1i 1

z

z dz z z R =+∴=±∴=?

Q 为奇点，

2212000011arctan (1)(1),1121z

z n n

n n n n z dz z dz z z z n ∞∞+====-=-??<++∑∑?

? (4)

00110

11111111122

(1)(2)122324341134

1212(1)()(1)()334411

(1)()(2),23

34n n n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z ∞∞==∞

++==-=-=?-?

--++++-+-+++--=-?--?=-?---<∑∑∑

(5)因为从1z =-沿负实轴ln(1)z +不解析 所以,收敛半径为R=1

1

[ln(1)](1)1n n n z z z ∞

='+==-?+∑

10001ln(1)(1)(1),1z n

n

n n n n z z dz z z n ∞

∞

+==+=-?=-??<∑∑?

16.为什么区域z R <内解析且在区间(,)R R -取实

数值的函数()f z 展开成z 的幂级数时，展开式的系

数都是实数？ 答：因为当

z 取实数值时，()f z 与()f x 的泰勒级

数展开式是完全一致的，而在x R <内，()f x 的展开式系数都是实数。所以在z R <内，()f z 的幂级数展开式的系数是实数.

17.求221

()2z f z z z +=+-的以

0z =为中心的各个圆

环域内的罗朗级数.

解:函数()f z 有奇点11z =与22z =-,有三个以

0z =为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：

2

010

21111z 1()=(1)()212221

((1)1)2

n

n n n n n n n n z z f z z z z z z z ∞

∞==∞

+=+<=

+=-+-+--+=-?

-∑∑∑在内，

19.在1z <<+∞内将11()e z

f z -=展开成罗朗级

数. 解:令1

,1t z =

-则

23

11()e 1...2!3!

t f z t t t ==++

?+?+ 而1

1t z =-在

1z <<+∞内展开式为 2111111(1...)111z z z z z

z

-=?=-?+++-- 所以,代入可得

2222345

1111111

()1(1...)(1...)...

2!1111191...

2624120f z z z z z z z

z z z z z =-?++++?++++=---+++

20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果

23...1z

z z z z

=+++- 211

1...1z z z z

=+++- 因为011z z

z z +=--,所以有结果

2332111

...11...0z z z z z z

+++++++++=

你认为正确吗?为什么?

答:不正确,因为23

...1z z z z z

=+++-要求z 1< 而2

111...1z z z z =+++-要求z 1> 所以,在不同区域内

2362111

...11...011z z z z z z z z z z

+≠+++++++++≠-- 21.证明: 1

()cos()f z z z =+用z 的幂表示的罗朗

级数展开式中的系数为

2π

01cos(2cos )cos .0,1,...2π

n C n d n θθθ=

=±? 证明:因为0z =和z =∞是1

cos()z z +的奇点，所以在0z <<∞内，1cos()z z

+的罗朗级数为 1

cos()n n

n n z C z z =∞

=-∞+=∑

其中1

1

cos()

1

,0,1,2,...2πi n n C c d n ζζ

ζζ++=

=±±?

其中C 为0z <<∞内任一条绕原点的简单曲线. i 11i i i i 2π2πi i(1)i 002π

i i 02π0

1

cos()1,(e ,02π)2πi 1cos(e e )1cos(e e )i e 2πi e 2πe 1cos(e e )(cos isin )2π

1cos(2cos )cos .0,1,...2πn n z n n z z C dz z z

d d n n d n d n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+=--+-+==≤≤++===+?-==±?????? 22. 0z =是函数11

()cos()z f z =的孤立奇点吗?为

什么?

解: 因为11

()cos()

z f z =的奇点有0z = 1π1

π(0,1,2,...)π2π2

k z k z k =+?==±±+