系统工程导论第三章

第三章系统分析与系统建模

1、系统分析的基本概念和作用

系统分析就是为了给决策者提供直接判断和决定最优系统方案所需的信息和资料，为研究人员使用科学的分析工具和方法，对系统的目的、功能、环境、费用、效益等进行充分的调查，并收集分析和处理有关的资料和数据，所以建立若干替代方案和必要评价，最后整理成完整、正确与可行的综合资料，作为决策者选择最优方案的主要依据。系统分析是有目的、有步骤地探索和分析过程。

系统分析的目的：通过分析比较各种替代方案的费用、效益、功能和可靠性等各项技术经济指标，得出决策者所必需的资料和信息，以便获得最优方案。

系统分析的主要工具：电子计算机

系统分析的主要方法：系统建模、最优化方法

系统分析在整个系统建立过程中处于非常关键的地位。

系统建立过程的三个阶段：

①系统规划阶段. 主要任务是定义系统的概念，明确建立系统应具备的环境条件及估计系统

所需的各种制约条件，最后制定系统开发计划书。

②系统设计阶段. 首先对系统进行概要设计，其内容包括各种替代方案的建立。然后进行系

统分析，分析项目包括：目的、替代方案、费用和效益、模型及评价基准等，在分析的基础

上确定系统设计方案，并进行详细设计。

③系统制造和运行阶段. 首先是对系统中一些关键项目进行试验和试制，然后进行工艺设计、

制造、调试和投入运行，当然运行前应制定运行、维护方法。

在这三个阶段中系统分析起着承上启下的作用。它的任务首先是要分析和确定系统规划阶段的有关项目，如对系统概念的定义、分析和确定以及系统目标的分析和确定。然后对概要设计中的有关替代方案进行分析，根据分析结果来确定方案，进行详细设计。

系统建立过程图：

2、系统分析的要素、原则和步骤[1]

系统分析的要素：

①目的：建立系统的目的和要求，是建立系统的根据，也是系统分析的出发点。

只有充分理解和掌握系统的目的和要求，才能进一步分析系统的目的和要求是否确切、完善和合理，才能为系统分析奠定良好的基础。

②替代方案（可行方案）

③费用和效益

④模型：即描述实体系统的映像

⑤评价基准，而指确定各种替代方案优先选用顺序的标准

系统分析的原则：

①内部因素与外部因素相结合

内部因素往往是可控的，外部因素往往是不可控的。

②当前利益与长远利益相结合

③局部效益与总体效益相结合

④定性分析与定量分析相结合

系统分析的步骤：

①系统目的分析和确定

②模型化 ③系统最优化 ④系统评价

3、系统分析的方法

系统分析没有一套特定的普遍适用的技术方法。一般说来，系统分析的各种情况可分为定性和定量的两大类。

定量方法适用于系统结构清楚、收集到的信息准确，可建立数学模型的情况。如：投入产出分析法、效益成本分析法等。

定性方法适用于要解决的问题涉及的系统结构不清楚、收集到的信息不太准确，或是由于评价者的偏好不一，对于所提方案评价不一致等，难以形成常规的数学模型。如：目标-手段分析法、因果分析法、KJ 法等。

①目标-手段分析法：就是将要达到的目标和所需的手段按照系统展开，一级手段等于二级目标，二级手段等于三级目标，依此类推，便产生了层次分明，相互联系又逐渐具体化的分层目标系统。

在分解过程中，要注意使分解的分目标与总目标保持一致，分目标的集合一定要保证总目标的实现。分解过程中，分目标之间可能一致，也可能不一致，甚至是矛盾的，这就需要不断调整，使之在总体上保持协调。

将总目标分解为若干个阶层的分目标，需要有很大的创造性掌握丰富的科学技术知识与实践经验。

目标-手段分析法实质是运用效能原理不断进行分析的过程。例如：

②因果分析法：是利用因果分析图来分析影响系统的因素，并从中找出产生某种结果的主要原因的一种定性分析方法。

系统某一行为（结果）的发生，绝非是一种或两种原因所造成，而往往是由于多种复杂的因素影响所致。为了分析影响系统的重要因素，找出产生某种结果的主要原因，系统分析人员广泛使用——因果分析法。这种方法是在图上用箭头表示原因与结果之间的关系，形象简单，一目了

发展能源

发展能源生产 开发新能源 节能

资源勘探

基地建设

运输

太阳能

生物能

潮汐能

核能

综合利用

节能设备

目标

目标

目标

手段 手段

然。

③KJ法川喜田二郎（Kauakida Jir）开发的直观的定性分析方法。

KJ法是从很多具体信息中归纳出问题整体含义的一种分析方法。

基本原理：把一个个信息做成卡片，将这些卡片摊在桌子上观察其全部，把有“亲近性”的卡片集中起来合成子问题，依次做下去，最后求得问题整体的构成。

这种方法把人们对图形的思考功能与直觉的综合能力很好地结合起来，不需要特别的手段和知识。是分析复杂问题的一种有效的方法。（例：到警判案）

KJ法的实施步骤：

①尽量广泛的收集与问题可能有关的信息，并用关键的语句简明的表达出来。

②一个信息做一张卡片，卡片上的标题记载要简明易懂。

③把卡片摊在桌子上通观全局，充分调动人的直觉能力，把有“亲近性”的卡片集中到

一起作为一个小组。

④给小组取个新名称，其注意事项同步骤①

⑤重复步骤③和④，分别形成小组、中组和大组，但对难以编组的卡片不要勉强地编组，

可把它们单独放在一边。

⑥把小组（卡片）放在桌子上进行移动，根据小组间的类似关系、对应关系、从属关系

和因果关系等进行排列。

⑦将排列结果画成图表，即把小组按大小用粗细线框起来，把一个个有关系的框用“有

向枝”连接起来，构成一目了然的整体结构图。

⑧观察结构图，分析它的含义，取得对整个问题的明确认识。

4、系统分析应用举例：阿拉斯加原油输送方案的系统分析[1]

(由阿拉斯加东北部的普拉德霍湾油田向美国本土运输原油)

（1）任务和环境

要求每天输送200万桶。油田处在北极圈内，海湾常年处于冰封状态，陆地更是常年冷冻，最低气温达零下50℃

（2）提出竞争方案

方案竞争的第一阶段，提出了两个方案：

方案I：由海路用油轮运输；

方案II：用带加温系统的油管输送。

方案I的优点是每天仅需四至五艘超级油轮就可满足输送量的要求，似乎比铺设油管省钱，问题是：①要破冰船引航；②起点和终点都要建造大型油库，考虑到海运可能受到海上风暴的影响，油库的储量应在油田日产量的十倍以上。归纳：不安全，费用大，无保证。

方案II的优点：可以利用成熟的管道输油技术，存在的问题：①要在沿途设加温站，管理复杂，运送燃料困难；②加温后的输油管不能简单的铺在冻土里，否则会造成变形断裂，故要铺设支撑架和保温处理，费用高出铺设地下油管高比三倍。

（3）决策人员的处理策略

①考虑到安全和供油的稳定性，暂把方案II作为参考方案做进一步的细致研究，为规划做准备;

②继续拨出经费，广泛邀请系统分析人员提出竞争的新方案。

（4）提出了竞争方案III

其原理：把含10%~20%氯化钠的海水加到原油中去，使在低温下的原油成乳状液，仍能畅流，这样就可以用普通的输油管道运送了。

（5）提出竞争方案IV

该方案提出者对石油的生成和变化有丰实的知识，他们注意到埋在地下的石油原来是油气合一的，这时它们的熔点是很低的，经过漫长的年代以后，油气才逐渐分离。他们提出将天然气转换为甲醇以后再加到原油中去，以降低原油的熔点，增加流动性，从而普通的管道就可以同时输送原油和天然气。

（6）通过实际分析最后选择了IV方案，达到了巨大收益。

这个例子说明了系统分析人员的工作性质和应该具有的知识结构，以及系统分析工作与专业工程技术工作之间相辅相成的关系。

建立系统模型是系统分析的工具和基础。借助模型可以对系统进行定量的、或者定量与定性相结合的分析。

5、系统模型的定义与特征

系统模型：是一个系统某一方面本质属性的描述。它以某种确定的形式（文字、符号、图表、实物、数学公式等）提供关于该系统的知识。

系统模型一般不是系统对象本身，而是现实系统的描述或抽象。系统模型是对系统某一方面本质属性的描述，本质属性的选取完全取决系统工程研究的目的。研究的目的不同，可以建立不同的系统模型。

系统模型反映着实际系统的主要特征，但它大多高于实际系统而具有同类问题的共性。因此，一个实用的系统模型应该具有如下三个特征：

①它是实际系统的抽象或模仿；

②它是由反映系统本质或特征的主要因素构成的；

③它集中体现了这些主要因素之间的关系。

6、使用系统模型的必要性

人类认识和改造客观世界的研究方法：

①实验法：通过对客观事物本身直接进行科学实验来进行研究。（局限性比较大）

②抽象法：把现实系统抽象为一般的理论概念，然后进行推理和判断。（缺乏实体感，过于概念

化）

③模型法：在对现实系统进行抽象的基础上，把它们再现为某种事物的、图画的或数学的模型，

然后通过模型来对系统进行分析、对比和研究，最终寻出结论。

可见模型法既避免了实验法的局限性，又避免了抽象法的过于概念化，是人类认识世界和改造世界的基本方法。

在工程系统中，广泛使用系统模型的必要性体现在5个方面：

①系统开发的需要。在开发一个新系统时，由于系统尚不存在，只能通过建造系统模型来对系统

的性能进行预测，以实现对系统的分析、优化和评价

②经济上的需要。对大型复杂系统直接进行实验，成本十分昂贵。

③安全上的考虑。如大型系统（航天飞机、核电站）

④时间上的考虑。如社会、经济、生态系统。

⑤系统模型容易操作，分析结果易于理解。

7、系统模型的分类

系统种类繁多 系统模型的多样性

在系统分析中，一般将系统模型分为物理模型、文字模型和数学模型三大类。

①物理模型. 又可分为实体模型、比例模型、相似模型

☆实体模型，即系统本身，当系统的大小刚好适合研究而又不存在危险时，就可以把系统本身作为模型。实体模型包含抽样模型，样本就是实体模型。 ☆比例模型，是放大或缩小的系统，使之适合于研究。

☆相似模型，根据相似原理，利用一种系统去替代另一种系统。

②文字模型. 如技术报告、说明书等。在物理模型和数学模型都很难建立时，有时不得不用它描述研究结果。

③数学模型. 又可分为网络模型、图表模型、逻辑模型、解析模型等。 ☆网络模型 用网络图来描述系统的组成元素以及元素之间的相互关系。

☆图表模型 用图像和表格描述的模型，它们相互转化，这里说的图像是指坐标系统的曲线、曲面和点等几何图形。

☆逻辑模型 表示逻辑关系的模型，如方框图、程序单、模拟机排题图等。 ☆解析模型 用数学方程式表示的模型。

系统工程中最常用的模型是数学模型，其原因为：①它是定量分析的基础；②它是系统预测和决策的工具；③它适应性强，分析问题解决问题快，省时省钱，而且便于计算机计算

8、系统模型建模方法

系统建模既是一种技术，又是一种艺术。

系统建模的要求：①现实性。系统模型应有足够的精度，即把一定程度上能够较好地反映系统的客观

实际，应把系统本质的特征和关系反映进去，而把非本质的东西去掉，但又不影响反映本质

的真实程度。

②简明性。在满足现实性要求的基础上，应尽量使系统模型简单明了，以节约建模的费用和时间。

③标准化。在建立某系统的模型时，如果已有某种标准模型可供借鉴，则应尽量采用标准化模型，或者对标准化模型加以某些修改，使之适合对象系统。

处理以上三要求矛盾的一般原则是：

力求达到现实性，在现实性的基础上到简明性，然后尽可能满足标准化。

按建模材料不同 按与实体的关系 按模型表征信息的程度 按模型的构造方法 按模型的功能 按与时间的依赖关系 按是否描述系统内部特征 按模型的应用场合

抽象模型、实物模型

形象模型、类似模型、数学模型 观念性模型、数学模型、物理模型 理论模型、经验模型、混合模型

结构模型、性能模型、评价模型、最优化模型、网络模型 静态模型、动态模型 黑箱模型、白箱模型 通用模型、专用模型

系统模型的一种分类方法

分类原则

模型种类

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

系统建模应遵循的原则：

①切题，模型只应包括与研究目的有关的方面，而不是对象系统的所有方面。

②清晰，一个大型复杂系统是由很多联系密切的子系统组成的，因此对应的系统模型也是由许多子模型（或模块）组成的。在子模型与子模型之间，除了保留研究目的所必要的信息联系外，其他的耦合关系要尽可能减少，以保证模型结构尽可能清晰。

③精度要求适当，建立系统模型，应该视研究目的和使用环境不同，选择适当的精度等级，以保证模型切题、实用，而又不致花费太多。

④尽量使用标准模型，在建立一个实际系统的模型时，应该首先大量调阅模型库中的标准模型，如能满足要求，就应该使用标准模型，或者尽可能向标准模型靠拢。

系统建模的主要方法：

①推理法：对于内部结构和特性已经清楚的系统，即所谓的“白箱”，可以利用已知的定律和定理，经过一定的分析和推理，得到系统模型。

②实验法：对于那些内部结构和特性不清楚和不很清楚的系统，即所谓的“黑箱”或“灰箱”系统，如果允许进行实验性观察，则可以通过实验方法测量其输入和输出，然后按照一定的辨识方法，得到系统模型。

③统计分析法：对于那些属于“黑箱”，但又不允许直接进行实验观察的系统（如非工程系统多数属于此类），可以采用数据收集和统计分析的方法来建造系统模型。 ④混合法：大部分系统模型的建造往往是上述几种方法综合运用的结果。

⑤类似法：即建造原系统的类似模型。有的系统，其结构和性质已经清楚，但其模型的数量描述和求解却不好办，这时如果有另一种系统其结构和性质与之相同，因而建造出的模型也类似，但是该模型的建立及处理要简单得多，我们就可以把后一种系统模型看成是系统的类似模型。

真正解决系统建模问题必须充分开发人的创造力，综合运用各种科学知识，针对不同的系统对象，或者建造新模型，或者巧妙地利用已有的模型，或者改造已有的模型，这样才能创造出更加适用的系统模型。而不可能有现成的模式可以照搬。

9、结构模型化技术

结构模型，就是应用有向连接图来描述各要素间的关系，以表示一个作为要素集合体的系统的模型。

结构模型的基本性质：

①结构模型是一种几何模型。它是由节点和有向边构成的图或树图来描述一个系统的结构。图中，节点用来表示系统的要素，而有向边则表示要素间所存在的关系，这种关系随着系统的不同和分析问题的不同，可以理解为“影响”、“取决于”、“先于”、“需要”、“导致”或其它的含义。

S 1

S 4

有向图

S 4 S 5

S 6 S 7

树图

②结构模型是一种以定性分析为主的模型。通过结构模型，可以分析系统的要素选择是否合理，还可以分析系统要素及其相互关系变化时对系统总体的影响等问题。

③结构模型除了可以用有向连接图描述外，还可以用矩阵形式来描述。可以利用矩阵的逻辑演算来研究各要素之间的关系，可以通过矩阵的演算，使定性分析和定量分析相结合。

④结构模型作为对系统进行描述的一种形式，正好处在自然科学领域所用的数学模型形式和社会科学领域所用的以文章表现的逻辑分析形式之间。因此，它适合用来处理处于社会科学为对象的复杂系统中和比较简单的以自然科学为对象的系统中存在的问题，即可以处理宏观或微观、定性或定量、抽象或具体等较广泛的系统的有关问题。

结构模型是“确定变量之间是否有联结以及其联结的相对重要性，建立严格的数学关系以及精确的确定其系数。这样，在确定组成系统变量间的联结关系时，可使用预先选好的简单的函数形式。所以，结构模型法关心的是趋势及平衡状态下的辨识，而不是量的精确性。

结构模型化技术已有许多方法可供应用，其中解释结构模型法（interpretative structural madding ）最为常用：

（1）概念：建设结构模型需要图论方面的知识

①有向连接图 就是只由若干节点和有

向边连接而成的图象。

将节点的集合记为S ，有向边的集合记为E ，

则有向边连接图可表示为

{}E ,S G =

其中

{}5,4,3,2,1i |S S i ==

[][][][][][][]{}45354352324121S ,S ,S ,S ,S ,S ,S ,S ,S ,S ,S ,S ,S ,S E =

脚本法

结构模型化技术

专家调查法 发想法 集团启发法

关联树法

工作设计 交叉影响分析

凯恩仿真模型（KSIM ） 快速仿真模型（QSIM ） 静态结构化技术

动态结构化技术

结构决定技术

问题发掘技术

系统动力学

解释结构模型（ISM ）

系统开发激化程度（PPDS ） 决策试验与评价试验室（DEMA TEL ）

5

②回路，在有向连接图的两个节点之间的边多于一条时，则该两节点的边就构成了回路，如S 2,S 3

③环，一个节点的有向边若直接与该节点相连接，则就构成了一个环，例如S 2

④树，当图

中只有一个源点或只有一个汇点的图，称为

树。树中两个相邻节点间只有一条通路与之相连，不允许有回路或环存在。

⑤关联树，指在节点上带有加权值w ，而在边上有关联值r 的树称为关联树。

（2）图的矩阵表示法

①邻接矩阵（相邻矩阵）（adjacency matrix ）{}ij a A =

W=0.3×0.4

=0.12 W=0.3×0.6 =0.18 W=0.5×0.7 =0.35 W=0.5×0.7 =0.35

S 13

??

?=没有关系

与表示节点有关系

与表示节点j i j i ij

S S S S a 0 1 例如 图所示

其邻接矩阵

6

5432165 4 3 2 1s s s s s s 00

1000001110100000000000011100000

s s s s s s ?????????????

????

?=A 邻接矩阵的性质：⒈矩阵A 的元素全为零的行所对应的节点称做汇点。（如S 1）

⒉矩阵A 的元素全为零的列的对应的节点称做源点。（如S 4）

⒊对应每一节点的行中，其元素值为1的数量，就是离开该节点的有向边数。 ⒋对应每一节点的列中，其元素值为1的数量，就是进入该节点的有向边数。

②可达矩阵（reachability matrix ），可达矩阵R 是指用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间，经过一定长度的通路后可以到达的程度。

可达矩阵R 有一个重要特性，即推移特性。当i s 经过长度为1的通路直接到达S k ，而S k 经过长度为1的通路直接到达S j 则S i 经过长度为2的通路可达到S j 。

故 可达矩阵可以应用邻接矩阵加上单位矩阵1并经过一定的演算后求得 例：就上例中的A ，有

6

i

s

()????????

????

???

???=

??????????????????+????????????

?

??

?

?

?=+=10

010100

011111000000000

0011111000110

010000

00100000000000010

001000100

0010000011101000000000000

11100000I A A 1 矩阵A ，描述了各节点间经过长度不大于1的通路后的可达程度。

()()????????

?????

????

?==?=?=?=?=+=+=+=++=10

10100011111110000000001

11111001

111010100011111001100I A A 2

2

，，，，定义 矩阵A 2描述了各节点间经过长度不大于2的通路后的可达程度。 一般地，通过依次运算后

1n A A ...A A A 1-321-≤≠≠≠≠≠γγγ

n 为矩阵A 阶数 则 ()

R I A A 1

1-=+=-γγ

矩阵R 称为可达矩阵。它表明各节点间经过长度不大于（n-1）的通路可以到达的程度。对

于节点数为n 的图，最长的通路其长度不超过（n-1）。

本例中

????????

?????

????

?=10

10100011111110000000001

111

1

1001

A 3

32A A =

故 2A R =

在A 2中。节点S 2, S 3的相应的行和列，元素值分别完全相同，说明S 2,S 3是一个回路集。从而可以减缩可达矩阵 即

5

43215

43

21S S S S S S S S S S 10

1010011111

100000

01101R ?????????????

?

??='

（3）（解释结构模型法）ISM 的工作程序

①组织实施ISM 的小组。 ②设定问题。

③选择构成系统的要素。

④根据要素明细表作构思模型，并建立邻接矩阵和可达性矩阵。

⑤对可达矩阵进行分解后建立结构模型。 ⑥根据结构模型建立解释结构模型。

（4）ISM 建模步骤（着重从建立邻接矩阵及可达矩阵来讨论步骤）

①有关专家与系统分析人员一起讨论，选择确定有关元素，建立邻接矩阵，对系统结构有一个大体或模糊的认识之后就可以建立一个构思模型。从而选定元素{}i s 。

接下来就要回答S i 与S j 有无关系。所谓有无关系，是指S i 是否影响S j ，S i 是否取决于S j ，S i 是否导致S j ，S i 是否先于S j 等等。可得四种结果：

无关

与有关，而与　即无关与有关，而与　即互无关系

与　即互为关系与　即j i i j j i i j j i j i j i j i j i j i S S S S ,S S S S S S ,S S S S ,S o S S S ,S S ∨∧?

ISM 工作程序图

例：

根据7个要素来建立其邻接矩阵。 解：建立要素之间关系的三角关系阵

由此可得邻接矩阵 ??????????

????????????=00

1

00010000000000000010001100000

000000010000A

②建立可达矩阵。对于一个有n 个要素的系统来说，要构造一个n 阶的可达矩阵，有两种方法。

一种是利用邻接矩阵A 和单位矩阵I 演算得到。 在上例中3

2

)I A ()I A ()I A (+=+≠+ 故

2

)I A (R +=

即

5 6 7

??????????

??????

???

?

??=10

01101110000010000000011001

1001

000110000110001R

另一种方法是通过分析可达矩阵推移特性，直接有效的得出可达矩阵。具体做法是：首先S i

对S j 本身必定可达，有n 个要素的关系为已知，然后，从全体要素中选出一个能承上启下的要素，即选择一个既有有向输入，也有有向边输出的要素S i ，S i 与余下的其他要素的关系有四种：

⒈ A(S i )—设有回路的上位集，指S i 与A(S i )中的要素有关，而A(S i )中的要素与S i 无关。

⒉ B(S i )—有回路的上位集，指S i 与B(S i )间的要素具有回路的要素集合。 ⒊ C(S i )—无关集，指既不属A(S i )，也不属于B(S i )的集合。 ⒋ D(S i )—下位集，即下位集D(S i )的要素与S i 有关反之则无关。 则 R 中的元素r ij ?

??=j i j

i ij s s s s r R 0 R 1

③可达矩阵的推断

根据上面的分析，要素有A(S i )，B(S i )，C(S i )，D(S i )四种，则可将邻接矩阵可达矩阵R ，做适当的排列，获得分块矩阵如图。

a) A(S i )与 C(S i )及 D(S i )不会有关系；同样 B(S i )与 C(S i )及D(S i )也不会有关系。因此，R AC 、R AD 、R BC 、R BD 四块中的元素全为零。

b) 由于A(S i )与B(S i )无关，因此R AB 块中的元素为零。

c) 由于B(S i )中的要素与 s i 有关，s i 又与A(S i )有关，所以 B(S i )中要素与 A(S i )有关，因此

R AA R AB 0 0 0 R AC R AD R BA R BB R BC R BD 111 111 000 000 R CA R CB R CC R CD R DD

R DC

R DB

R DA

1 1 1

0 0 0 1 1 1

A(s i )

B(s i ) s i

C(s i ) D(s i ) A(s i ) B(s i ) s i C(s i ) D(s i )

1

可达矩阵

R BA 、R BB 中的元素全为1。

d) 由于C(S i ) 中的要素与B(S i ) 无关，故R CB 中的元素为零。 e) 由于C(S i ) 中的要素与D(S i ) 无关，故R CD 中的元素为零。 f) 由于D(S i ) 与S i 有关，而S i 又与A(S i ) 及B(S i ) 有关，所以 D(S i ) 与A(S i ) 及B(S i ) 有关，故R DA 、R DB 中的元素全为1。

另外，R AA 、R BB 、R CC 、 R DD 是降3阶的可达矩阵，可按上述方法继续求其值。而R DC 、R CA 则是相互作用矩阵，需要进一步求解。

④划分

定义：要素n i 的可达集合)(i n R

(){}1m |N n n R ij j i =∈=

可见，R(n i ）是由可达矩阵第ni 行中所有矩阵元素为

1的列所对应的要素集合而成；N 为所

有节点的集合；m ij 为i 节点到j 节点的关联（可达）值，m ij =1表示i 关联j 。则R(n i )表示的集合即为要素n i 的上位集合

定义：要素n i 的先行集)(i n A

(){}1m |N n n A ij j i =∈=

即将要达到要素n i 的要素集合

可见，A(n i )是由矩阵中第n i 列中所有矩阵元素为1的行所对应的要素组成。而且，A(n i )表示的集合即为元素n i 的下位集。

定义：共同集合T

()()(){}i i i i n A n A n R |N n T =?∈=

可见R(n i )≥A(n i ),即要素n i 可达的要素一定多于或等于先行的要素，且先行集合中的要素一定为可达集中的要素（源的集合）

划分的步骤：

a) 区域划分（π1），即把要素之间的关系分为可达与不可达，并且判断哪些要素是连通的，即把系统分为有关系的几个部分或子部分。

首先，根据可达矩阵得到各个要素的R(n i )与A(n i )，并计算R(n i )∩A(n i )。 例☆

接着，求出共同集T ，例☆，T={3,7}即求出低层要素的集合。

然后，我们可以从这些要素考虑起，找出与它们在同一部分的要求。如果两要素n i ,n j 在同一部分内，则它们的可达集有共同的单元，即

()()?≠?j

i n

R n R

否则，它们分别属于两个连通域。

接下来，根据n i ,n j 与共同集T 进行连通域划分。

例☆中，T={3,7}，()()?≠?7R 3R ，则系统可分为两个连通域{1，2，7}，{3，4，5，6} b) 级间划分（π2），即将系统中的所有要素，以可达矩阵为准则，划分成不同级（层）次。 注：在一个多极结构中，它的最上级的要素n i 的可达集R(n i )，只能由n i 本身和n i 的强连按要素组。（所谓两要素的强连接是指着两个要素互为可达的）

最高级的先行集也只能由n i 本身和结构中的下一级可能达到的要素以及n i 的强连接元素构成。

故：如果i n 是最上一级单元，它必须满足下述条件：

)()()(i i i n A n R n R ?=

找到最高级元素后，即可将其从可达矩阵中划去相应的行和列，接着，再从剩下的可达矩阵中寻找新的最高级要素。依次类推，即可达到级间划分的目的。

若用L 1，L 2，……L k 表示从上到下的级次，则有k 个级次的系统，集间划分)(n k π可表示为：

()[]k 21k L ,L ,L n ??=π

若定义L 0=?，则求πk (n)的迭代算法。

()()()

{

}i n 1

-k i 1k i 1k 1-k 10i k A n R n R |L -L L N n L ?=??---∈=--

而(){}1m |L -L L N n n R

ij 1-j 10j i 1

-j =??---∈= (){}1m

|L -L L N

n n A

ji

1-j 10j i 1

-j =??---∈=

看例☆， }5,1{1=L 得10N L L --，见下表

要素 1 2 3 4 5 6 7

1 1，

2 3，4，5，6 4，5，6 5 4，5，6 1，2，7

1，2，7 2，7 3 3，4，6 3，4，5，6 3，4，6

7

1 2 3 4，6 5 4，6 7

R(n i ) A(n i ) R(n i )∩A(n i )

可见

}6,4,2{2=L ，由210N L L L ---， 见下表

可见

}7,3{3=L

则为三级系统

},,{321L L L L =

从而可以得到按级间顺序排列的可达矩阵M0 ?

?????????????????????=10

1

1

01001000011010000000001000101

00101001000017364251M 7364251 0

　

c)强连接块划分π3

（双向逆到划分），在同一区域内同级要素相互可达的要素就称为强连通块。如例☆中{4，6}就属于强连通块。

⑤求缩减可达矩阵M ?，由于在要素中存在着强连通块，而且构成它的要素集中互相可达，且互为先行，所以，只要选择其中一个为代表要素即可，从而可得缩减可达矩阵 M ?。

例☆中的M ? ????????

??????????10

1

1

01100000101000000000010

1010001734251734251

⑥求出最少边可达矩阵（骨干阵S ） 是边的个数

e e s M S S }},min{,{2

'

==

要素 3 7

3 7

3 7

R(n i ) A(n i ) R(n i )∩A(n i )

3 7

要素 2 3 4 6 7

2 3，4，6 4，6 4，6 2，7

2，7 3 3，4，6 3，4，6

7

2 3 4，6 4，6 7

R(n i ) A(n i ) R(n i )∩A(n i )

L 1

L 2

L 3

可见，骨干阵S是保持了可达性，得到最少边的矩阵.

⑦做出递阶有向图。经过上面的划分，就可以构成系统的结构模型

就例☆，总结一下：

a)通过π划分，得出最底层要求n3, n7，并由分部划分可知，系统结构可分为两个连通域

{1，2，7}与{3，4，5，6}

b)通过π2划分，n个要素分在三个级别内

L1={1，5} L2={2，4，6} L3={3，7}

c)π3划分，可知，4，6为强连通块。

于是，可比得到该系统的分级递阶结构模型。

3

⑧分析、讨论

然后，在结构模型的要素上，填入相应的要素名称，即为解释结构模型

（5）应用举例：人口控制综合策略

改革开放以来，由于社会保障与保健制度的完善，人民健康水平有了很大提高，使得人们的平均寿命也有了提高，这样，死亡率就相应的降低了。同时，由于国民收入的不断增长，生活水平的不断提高等，导致生育率有所提高。因此，种种因素导致了我国人口的迅速增加。人口的过份增长带来的影响是不利的。为此专门成立了由各方面有关人员参加的研究小组对人口的综合控制问题进行分析研究。

影响人口增长的因素很多，经过小组成员讨论认为，主要的因素有：

①社会保障②老年服务③生育欲望④平均寿命

⑤医疗保健水平⑥生育能力⑦计划生育政策⑧社会思想习惯

⑨营养水平⑩污染⑾国民收入⑿出生率

⒀死亡率⒁总人口

影响人口增长的因素通过分析、讨论，以确定它们之间的关系

建立可达矩阵

?????????????????????

????????????

??????????

?=00

010000000000000100000000000000000000010100000000000101000000000000010000010000000010000100000000000001000000000000000000010100001000000000000001000000000000000000000010000000000000100

A

根据A ，获得各要素j n 的)(j n R 可达集，)(j n A 先行集，见下表

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

（π1不需要）

级间划分，由()()()i i i n R n R n R ?=

最高级1L (汇点)

}14{1=L

得10N L L --见下表

处于L 1后的子集

L 2

}13,12{2=L

由210N L L L --- 得下表

要素 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1,3,12 2,3,12 3,12 4,13 4,5,6,12,13 6,12 7,12 3,8,12 4,9,13 4,6,10,12,13 4,6,11,12,13

12 13

1 2 1,2,3,8 4,5,9,10,11

5 5,6,10,11

7 8 9 10

11

1,2,3,5,6,7,8,10,11,12

4,5,9,10,11,13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

R(n i ) A(n i ) R(n i )∩A(n i )

要素 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1,3,12,14 2,3,12,14 3,12,14 4,13,14 4,5,6,12,13,14 6,12,14 7,12,14 3,8,12,14 4,9,13,14 4,6,10,12,13,14 4,6,11,12,13,14

12,14

13,14 14

1 2 1,2,3,8 4,5,9,10,11

5 5,6,10,11

7 8 9 10

11

1,2,3,5,6,7,8,10,11,12 4,5,9,10,11,13

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

R(n i ) A(n i ) R(n i )∩A(n i )