2016年高考数学一轮复习名师名校精品教案第二章 函数、导数及其应用
函数的极值与导数教案完美版
《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f
函数与导数历年高考真题
函数与导数高考真题 1．2log 510＋log 50.25＝ A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 2．2 2 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 3．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ） 132 （Ｄ）213 75．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．2- B ．1 C ．4 D ．10 6．设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a ab a 211 1lim （ ） A ．0 B ． 41 C ．21 D ．1 7．已知函数y =13x x -++的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为 (A)14 (B)12 (C)22 (D)32 8．已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 9．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3] m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．158(,)33 B ．15(,7)3 C ．48(,)33 D ．4(,7)3 10．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与 ()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ． (0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ． (,0)-∞
函数的最大值与导数教学设计
§函数的最大（小）值与导数 宜宾市四中李斌 一、教学内容分析 1.在教材中的位置： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》人教A版，第三章、第三节“导数在研究函数中的应用” 2.学习的主要工具： 基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。 3.学习本节课的主要目的： 本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后“生活中的优化问题”打好基础。 4.本节课在教材中的地位： 函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。 二、学情分析 学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。 三、课堂设计思想 培养学生学会学习、学会探究、学会合作是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。
四、教学目标 1．知识和技能目标 （1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。 （2）掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的方法和步骤。 2．过程和方法目标 （1）问题驱动，自主探究，合作交流。 （2）培养学生在生活中学习数学的方法。 3．情感和价值目标 （1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．（4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点 重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。 难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系 六、教学方法 发现探究式、启发探究式 本节课教学基本流程：复习检查→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、课后升华、当堂检测→布置作业 七、教学过程设计
三次函数与导数--例题与练习答案
三次函数与导数例题与练习答案 例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()363f x ax x '=++，2 ()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （ⅰ）当a ≥1时，△≤0，则()0f x '≥恒成立，且()0f x '=当且仅当1,1a x ==-，故此时()f x 在R 上是增函数. （ⅱ）当1a <且0a ≠，时0>?，()0f x '= 有两个根：12x x = = ， 若01a <<，则12x x <, 当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在 21(,),(,)x x -∞+∞上是增函数；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在21(,)x x 上是减函数； 若0，故()f x 在),(21x x 上是增函数； （Ⅱ）当0>a 且0>x 时, 0363)(2 >++='x ax x f ,所以 当0a >时，()f x 在区间（1，2）是增函数. 当0a <时， ()f x 在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得5 04 a - ≤<. 综上，a 的取值范围是5 [,0)(0,)4 -+∞U . 例2.(14安徽文数 20)（本小题满分13分） 设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >。（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性； （1） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. （Ⅰ） ()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2 ()123f x a x x '=+-- 令()0f x '=，得121211,33 x x x x --+= =< 所以12()3()()f x x x x x '=--- 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>， 故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞和内单调递减，在12(,)x x 内单调递增 （Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <> （ⅰ）当4a ≥时，21x ≥，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，1]上单调递增， 所以()f x 在 0x =和1x =处分别取得最小值和最大值 （ⅱ）当04a <<时，21x <，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，2x ]上单调递增，在[2x ，1] 上单调递减，因此()f x 在213 x x -+==处取得最大值 又(0)1,(1)f f a ==，所以 当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值； 当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值； 当04a <<时，()f x 在0x =处取得最小值。 例4.（14年天津文科19,满分14分）已知函数232 ()(0),3 f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在 2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ?=，求a 的取值范围 解：（Ⅰ）由已知，有2 ()22(0)f x x ax a '=->
高中导数及其应用教案
教育教师备课手册 教师 姓名 学生姓名填写时间2012.2.1 学科数学年级高三上课时间 10:00-12:00 课时 计划 2小时 教学目标 教学内容中考复习三角形 个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析 教学重点、难点 教学过程 导数及其运用 知识网络 第1讲导数的概念及运算 ★知识梳理★ 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率 x y ? ? .（3）取极限，得导数f'（x0）= lim → ?x x y ? ? . 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值研究 导数的定义 导数的物理及几何意义 导数的运算 导数的四则运算法则及复合函数的导数 导数的应用 最优化问题 计算定积分 定积分与微积分 的基本定理 定积分的应用
3. 几种常见函数的导数 'c =0（c 为常数）；()n x '=1 n nx -（R n ∈）； '(sin )x = ；'(cos )x = ； (ln )x '= 1x ； (log )a x '=1 log a e x ； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a . 解析：cos ;sin ;x x - 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： ' ()u v ±=' ' u v ±；' ()uv = ；' u v ?? = ??? (0)v ≠. 解析：' ' u v uv +； '' 2 u v uv v - ②复合函数的求导法则：'(())x f x ?=''()()f u x ?或x u x u y y '''?= ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.难点：切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题1.比较函数()2x f x =与()3x g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量21x x x ?=- (2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ?=- (3)计算平均增长率: 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- 对于()2x f x =,2111223,21y x ?-==?-又对于()3x g x =,212 233821 y x ?-==?- 故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知2 )2cos 1(x y +=,则='y . 点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致
用导数研究三次函数
用导数研究三次函数 一、知识点解析 1定义: 定义1、形如y =ax3?bx2? CX ?d(a =0)的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把 2 2 =4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 2 3 2 一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ?cχ?d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。 2、对称中心 3 2 三次函数f (x) = ax bx CX d (^?-z 0)是关于点对称，且对称中心为点 b b (—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a y= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 (1)当.?, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 ■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设 (2)当厶=b2 _3ac X i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。 此时： ①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象
高三二轮复习函数与导数
第三课时函数与导数的应用 1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 2.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系 式为y ＝－13 x 3 ＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 3：由直线x ＝－π3，x ＝π 3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 2 D.3 4．若函数 y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成 立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．af (a )>bf (b ) B ．af (a )
【公开课教案】《函数的单调性与导数》教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 【课题】函数的单调性与导数 【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二课中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到 一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】
导数的应用(习题课)优秀教学设计
§1.3 导数的应用（习题课）教学设计 【教材分析】 本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。 【学情分析】 学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题； （2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质； 2、过程与方法： 导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。 3、情感与价值观： 培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。 【教学重点】 利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。 【教学难点】 （1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。 【课时设计】 两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。 【教学策略】 采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。
【教学过程】 一、课堂练习（提前印发给学生） 问题 设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求 求导 求 →→→ 求极值、最值 求问题的解 →→回顾定义，明确方法。 学生自主完成。 2、曲线在处的切线方程为 .x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 . 1ln -=x x y 4、函数的极小值点为( ) x x e y x 2-=A. 1 B. C. D.2-e )2,1(-e ) ,1(e 5、函数的零点个数为( )x xe y =A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a ( ) A. B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ? ? ∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型， 练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、 零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。 学生自主完成，并 总结求解步骤，注意事项。 二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成） 教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。 学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。 设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数 x xe y =x e y x = x e x y = x x y ln =x x y ln = x x y ln = 定义域
高三数学-理科函数与导数-专题练习(含答案与解析)
（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-?，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．
联立212y x y x ax =-??'=-+-? 消去y 得：2(1)10x a x +-+=， 由题意得：2(1)40a -=-=△， 解得：3a =或1-； （Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'， 1(0,)e x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4 t <≤-时， min 111)ln )444 ()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e t -<<时， min e ()1e )(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min 1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--???-<<≥?=?????； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立， 又两次最值不能同时取到， 故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e x x x x >-成立．
∴()0g x '>， ∴函数()g x 在定义域内为增函数， ∴(1)(0)g g >，即12 e (1)(0) f f >，亦即(1) f > 故选：A ． 2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥， ∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数， 又∵()sin ()f x x x f x -=--=-， ∴()sin f x x x =+为奇函数， ∴2222222222(23)(41)0(23)(41) (23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤?-+≤--+?-+≤-+-?-+≤-+-?-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ?-+-≤?≥? 可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1 y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1 y x +的取值范围为13,44?????? ． 3．解析：依题意，可得右图：()2f x =
导数及其应用 复习课 教案
导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老
1.3.1函数的单调性与导数教案
§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A
高中数学导数及其应用电子教案
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
函数与导数经典例题高考压轴题含答案
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与 第07讲（三次函数的导数问题） 【目标导航】 运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。 【例题导读】 例1、若13 x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围． 例2、 已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13 －kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 例3、设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围． 例4、已知函数f (x )＝14 x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ； (3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值． 例5、已知函数f(x)＝?????－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R . (1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间； (2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； 例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=， ① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）； ② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由； 例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >； （3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72 -，求a 的取值范围． 例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值； (2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； (3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． §5函数与导数教案 1、曲线3123y x =- -在点（-1，-53 ）处切线的倾斜角为 2、曲线ln y x x =在点（e,e ）处切线的方程为 3、设曲线1122sin (,),(,)y x P x y P x y =在点处切线分别为12,l l ，若122PP π<，12l l ⊥ 则12,l l 与x 轴所围成的三角形的面积为 4、若曲线1x x y e e -=-在点p 处切线平行于244(3y x x =-+Q 处切线,则PQ 的斜率为 5、函数2()ln 2cos 2 x x f x x =++的单调递增区间是 6、函数2 3()x x f x e =的极大值是 极小值是 7、已知,函数36y x x =-,则当[x ∈时,y 的最大值为 8、已知曲线2x y =在点(,2)()n n P n n N +∈处的切线与x 轴相交于点(,0)()n n Q x n N +∈则 当2n ≥时,1n n x x --= 9、若函数2()2sin()cos 3f x a x a x x π=++ 在R 上是增函数,求a 的取值范围 10、设函数2 ()(1)2ln f x a x x =-+ ①若f(x)没有极值点,求a 的取值范围 ②若f(x)的极大值点为1x ,极小值点为2x ,求2x -1x 的取值范围? 11、已知332,()3,()3(1)11k R f x x x k g x kx k x ∈=-+=-+-函数, (1)若对任意1212,[2,2],()()x x f x g x ∈-≥都有,求k 范围. (2)若存在1212,[2,2],()()x x f x g x ∈-<使得,求k 范围 §1.1.1平均变化率 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这 样的感觉，这是什么原因呢? 3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.5 0.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5 321 -≈-33.418.6 7.4 3432-≈-1.3.1函数的单调性与导数教案
第07讲(三次函数的导数问题)(原卷版)
5函数与导数教案
高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案