大学物理第四版下册课后题答案要学的

习题11

11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C

10

8.19

1

-

?

=

q，B点上有电荷

C

10

8.49

2

-

?

-

=

q，试求C点的电场强度(设0.04m

BC=，0.03m

AC=)。

解：1q在C点产生的场强：

1

12

4

AC

q

E i

r

πε

=

，

2

q在C点产生的场强：

2

22

4

BC

q

E j

r

πε

=

，

∴C点的电场强度：44

12

2.710 1.810

E E E i j

=+=?+?

；

C 点的合场强：224

12

3.2410V

E E E m

=+=?，

方向如图：

1.8

arctan33.73342'

2.7

α===

。

11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm

50的圆环，两端间空隙为cm

2，电

量为C

10

12

.39-

?的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小

和方向。

解：∵棒长为2 3.12

l r d m

π

=-=，

∴电荷线密度：91

1.010

q C m

l

λ--

==??

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为

0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m

d02

.0

=

长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷

的塑料棒在O点产生的场强。

解法1：利用微元积分：

2

1

cos

4

O x

Rd

dE

R

λθ

θ

πε

=?

，

∴2

000

cos2sin2

444

O

d

E d

R R R

α

α

λλλ

θθαα

πεπεπε

-

==?≈?=

?1

0.72V m-

=?；

解法2：直接利用点电荷场强公式：

由于d r

<<，该小段可看成点电荷：11

2.010

q d C

λ-

'==?，

则圆心处场强：

11

91

22

2.010

9.0100.72

4(0.5)

O

q

E V m

R

πε

-

-

'?

==??=?

。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电

荷线密度为λ，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆

α

j

i

2cm

O

R

x

α

α

心O 点的场强。

解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：

有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-?

???

???

②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强：

有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-????

???

③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：

20

00

2000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π

π

λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=??????=--???

∴总场强：04O x E R λπε=，04O y E R λπε=，得：0()

4O E i j R λ

πε=+ 。

或写成场强：

22024O x O y E E E R λ

πε=+=

，方向45 。

11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。

解：电荷元dq 产生的场为：

204d q

d E R πε=

； 根据对称性有：0

y

d E

=?，则：

20

0sin sin 4x R d E dE d E R π

λθθθπε===???

02R λ

πε=

，

方向沿x 轴正向。即：

02E i R λπε=

。

11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度 为0sin λλ?=，式中0λ为一常数，?为半径R 与x 轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。

解：如图，

02

00sin 44d dl

dE R R λ??λπεπε==， o R X

Y

λ

θ

d θ

dq

E

d x

y

E

cos sin x y dE dE dE dE ??==?????考虑到对称性，有：0=x E ；

∴

200000000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R π

πλ??λλ??

?πεπεε-=====

???

?，

方向沿y 轴负向。

11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。

利用例11-3结论，有：

3

32

22

22

2

0024()

4()x dq rxdl

d E x r x r σππεπε?=

=

++

∴

3222

02cos sin 4[(sin )(cos )]

R R Rd dE R R σπθθθ

πεθθ???=

+，

化简计算得：

2

001sin 2224E d π

σσ

θθεε=

=?

，∴04E i σε= 。

11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，

当2d x ≤时，由

12S E dS E S ?=??? 和2q x S ρ=?∑， 有：

0x E ρε=

； 当2d

x >时，由22S E dS E S ?=???

和2q d S ρ=?∑， 有：

02d E ρε=

。图像见右。 11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)，

平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.

解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。

θ

x

O

r

2d ρε-

x

E

2d

ρε2

d 2

d -

O

【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r ，有2

2R d r +=，

球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS r rd πθθ=? ∴球冠面的面积：

20

cos 2sin 2cos d r

S r rd r θ

θπθθπθ

=

=?=?

22(1)

d

r r π=-】

∵球面面积为：2

4S r π=球面，通过闭合球面的电通量为：

0q

εΦ=

闭合球面，

由：S S Φ=

Φ球冠

球面

球面球冠，∴

22001(1)(1)

22d q q d r R d εεΦ=

-?=-+球冠。

11-9．在半径为R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E ~r 关系曲线。 解：由高斯定律0

1

i

S S E dS q ε?=∑??

内

，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r ，

长为l 的高斯面。

（1）当r R <时，

202r l r l E ρππε?=，有02E r

ρε=

； （2）当r R >时，202R l r l E ρππε?=，则：2

02R r E ρε=；

即：0

2

0()2()2r

r R E R r R r ρερε???；

图见右。

11-10．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。 解：利用高斯定律：

1

i

S

S E dS q ε?=∑??

内

。

（1）1r R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =； （2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：

202l

r l E λπε=

，则：

202E r λ

πε=

；

?d θx

O r sin r θE

r

R

2R ρε

o

（3）2r R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；

即：

11202

0?20E r R E r

R r R r E r R E λπε?=

?=<?

。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离d O O ='，如图所示。求：

（1）在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E ；

（2）在球体内P 点处的电场强度E ，设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为ρ的大球和带有电荷体密度为ρ-的小球的合成。

（1）以O 为圆心，过O '点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有：

1

3043S E d S d ρπε?=?? ?

003d E ρε=，方向从O 指向O '； （2）过P 点以O 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。根据高斯定

理有：

1

3043S E d S d ρπε?=?? ?

103P d E ρε=，方向从O 指向P ， 过P 点以O '为圆心，作一个半径为d 2的高斯面。根据高斯定

理有：

23043S E d S r ρπε?=-?? ?32203P r E d ρε=-，

∴

1

2

320()

34P P r E E E d d ρε=+=-，方向从O 指向P 。

11-12．设真空中静电场E

的分布为E cx i = ，式中c 为常量，求空间电

荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， 有：0S E d S cx S

?=????

由高斯定理：

1

S

S E d S q

ε?=

∑?? 内

，

y

x

z

S

?o

x

设空间电荷的密度为()x ρ，有：

()x x Sd x cx S ρε???=

?

∴0

00

0()x x x d x cd x

ρε=

??，可见()x ρ为常数?0c ρε=。

11-13．如图所示，一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为1R 和2R ，

在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势．(以无穷远处为电势零点)

解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：

t a n

2r x θ

=，环面圆宽：

cos

2d x d l θ

=

22tan 2cos 2d x

dS r d l x θππθ

=?=??

，

利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上0x 处电势的表达式：

22

14q

U r x πε=

?

+环，

有：22

002tan 2cos 12tan 422(tan )2d x

x dU d x x x θσπθ

σθπεεθ

??

=?=?+，

考虑到圆台上底的坐标为：

11cot 2x R θ=，22cot

2x R θ

=， ∴U =

2

1

0tan 22x x d x σθε??

21

cot 2cot 02tan 22R R d x θθσθε=??210

()

2R R σε-=。

11-14．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r R <）P 点的电势。 解：利用高斯定律：

01

S

S E dS q

ε?=∑??

内可求电场的分布。

（1）r R <时，32

304Q r r E R πε=?内；有：3

04Q r

E R πε=内； （2）r R >时，

204Q r E πε=外；有：204Q

E r πε=

外； r

x cos

2

dx dl θ

=

P

r R P

∞

o

离球心r 处（r R <）的电势：R r r R U E dr E dr ∞

=?+???外内，即：

320044R r r

R Q r Q

U d r d r R r

πεπε∞=?+??

?2300388Q Q r R R πεπε=-。

11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面

半径为1R ，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。

解：当1r R <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，

当12R r R <<时，有：

203132

031323)(4)

(3

4r R r r R r E ερπεπρ-=

-=

，

当2r R >时，有：

20313

22

0313

233)(4)

(3

4r R R r R R E ερπεπρ-=

-=

，

以无穷远处为电势零点，有：

2

12

23R R R U E d r E d r ∞=?+??? ??∞-+-=2R dr r R R dr r R r R R 203

132203133)(3)(21ερερ)(221220R R -=ερ。

11-16．电荷以相同的面密度σ 分布在半径为110r cm =和220r cm =的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V 3000=U 。

（1）求电荷面密度σ；

（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度σ'为多少？

（2

12120m N C 1085.8---??=ε）

解：（1）当1r r <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，

当12r r r <<时，利用高斯定理可求得：2

122

0r E r σε=，

当

2r r >时，可求得：2212320()

r r E r σε+=

， ∴

21

2

023r r r U E d r E d r ∞=?+??

?

2

1

2

222

1122200()

r r r r r r d r d r r r σσεε∞+=+??)(210

r r +=εσ

那么：2

93

12210

01085.810303001085.8m

C r r U ---?=???=+=εσ （2）设外球面上放电后电荷密度'σ，则有：

0120'(')/0U r r σσε=+=，∴

1

2

'2r r σσ

σ=-

=-

1

r O

2

r

则应放掉电荷为：

2'2

22

34()42

q r r πσσσπ?=-=?124 3.148.85103000.2-=?????96.6710C -=?。

11-17．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为0r 。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的

电势为零）。 解：（1）以O 点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x 轴，

均匀带电球面在球面外的场强分布为：

2

04q E r πε=

（r R >）。

取细线上的微元：dq dl dr λλ==，有：d F E d q =

，

∴00

20000?44()r l r q ql r F d r x r r l λλπεπε+==+?

（?r 为r 方向上的单位矢量）

（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：

04q

U r πε=

（r R >，∞为电势零点）。

对细线上的微元dq dr λ=，所具有的电势能为：

04q dW d r

r

λπε=

?，

∴00

00

0ln

44r l

r r l q d r

q W r r λλ

πεπε++=

=

?

。

11-18. 一电偶极子的电矩为p ，放在场强为E 的匀强电场中，

p 与E 之间夹角为θ，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p 、E 平

面的轴转 180，外力需作功多少？ 解：由功的表示式：d A Md θ=

考虑到：M p E =?

，有：sin 2cos A pE d pE πθθθθθ+==?。

11-19．如图所示，一个半径为R 的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ(＞0)今有一质量为m ，电荷为q -的粒子(q ＞0)沿圆板轴线(x 轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O （也是x 轴原点）为b 的位置上时，

粒子的速度为0v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。

解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0x 处产生的电势为：

22

000

()2U R x x σε=

+-，那么，

220

()2Ob O b U U U R b R b σ

ε=-=

+-+，

由能量守恒定律，22222000

111()()

2222Ob q m v mv qU mv R b R b σε=--=++-+，

有：)(220

2

0b R b R m q v v +-++

=εσ

思考题11

11-1．两个点电荷分别带电q 和q 2，相距l ，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?

答：由22

00244()qQ qQ

x l x πεπε=-，解得：(21)x l =-，即离点电荷q 的距离

为(21)l -。

11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？

（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；

（B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

（C ）场强方向可由q /F E =定出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力； （D ）以上说法都不正确。 答：（C ）

11-3．真空中一半径为R 的的均匀带电球面,总电量为q (q ＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积S ?(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去S ?后球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知：

204q

R σπε=

，利用补偿法，将挖去部分

看成点电荷， 有：204S

E R σπε?=

，方向指向小面积元。

11-4．三个点电荷1q 、2q 和3q -在一直线上，相距均为R 2，以1q 与2q 的中心O 作一半径为R 2的球面，A 为球面与直线的一个交点，如图。求：

(1)通过该球面的电通量???S E d ； (2)A 点的场强A E 。

解：(1)

12

S

q q

E dS ε+?=??

；(2)

203202

20144)3(4R πεq R πεq R πεq E A -

+=

。

11-5．有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点2/a 处，

有一电荷为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量

为多少？

解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q 围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为：0/q εΦ=闭合，那么，

通过该平面的电场强度通量为：

06q

εΦ=

。

11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？

(A )如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B )如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C )如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D )如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A )

11-7．由真空中静电场的高斯定理

1S

E d S q

ε?=

∑? 可知

(A )闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；

(B )闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；

(C )闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；

(D )闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C )

11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的

r E ~关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。

(A )半径为R 的均匀带电球面； (B )半径为R 的均匀带电球体；

(C )半径为R 、电荷体密度Ar =ρ(A 为常数）的非均匀带电球体； (D )半径为R 、电荷体密度r A /=ρ(A 为常数)的非均匀带电球体。 答：(D )

11-9．如图，在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心、R 为半径的球面上一点P 处作电势零点，则与点电荷q 距离为r 的P'点的电势为

(A )r q

04επ (B )??? ??-πR r q 1140

ε

(C )()R r q

-π04ε (D )?

?? ??-πr R q 1140ε

答：(B )

11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r 、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为12U ．当电势差增加到412U 时，半径为2r 的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？

解：g r πρq d U 31234?=┄①，g

r πρq d U 312)2(34

4?='┄②

∴①②联立有：e q q 42=='。

11-11．设无穷远处电势为零，则半径为R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的0U 和b 皆为常量)：

答：(C )

11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。

大学物理第14章课后习题

14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B

。

解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I I

B R R

μθμπ==

，方向： ； 直导线在O 点的磁感应强度：

0000

20

3[sin 60sin(60)]4cos 602I

I B R R

μμππ=--=

，方向：?；

∴总场强：03

1

(

)23

I

B R

μπ=-，方向?。

14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。

（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；

（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。 解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2

032

22

2()

I R B R z μ=+。

（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2

013222

2[()]2P I R B a

R x μ=

++，

右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2

02

3222

2[()]2

P I R B a

R x μ=

+-， 1P B 和2P B

方向一致，均沿轴线水平向右，

∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=23302

222

22[()][()]2

22I R a a R x R x μ--?

?++++-????

；

（2）因为P B 随x 变化，变化率为

d B

d x

，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。 对B 求一阶导数：

d B d x 255

02222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--??=-++++-+-????

当0x =时，

0d B

d x

=，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。 对B 求二阶导数：

22()d d B d B d x d x d x

==

222

057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ??

+-????--+-????

+++++-+-???? 当0x =时，20

2x d B d x ==222

07222

3[()]2

a R I R a

R μ-+， 可见，当a R >时，202

0x d B

d x =>，O 点的磁感应强度B 有极小值，

当a R <时，

20

20x d B

d x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值，

当a R =时，

20

2

0x d B

d x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀

强磁场。

【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N 匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】

14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。 解：∵a 段对O 点的磁感应强度可用0S

B d l I μ?=∑?

求得，

有：04a I B R μπ=

，∴04a I B j R

μπ=-

b 段的延长线过O 点，0b B =，

c 段产生的磁感应强度为：0044c I I

B R R μμππ=?=，∴04c I B k R μ= 则：O 点的总场强：0044O I I B j k R R

μμπ=-

+，方向如图。

14-4．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 的磁感强度。 解：从O 点引出一根半径线，与水平方向呈θ角，则有水平投影： cos x R θ=，圆环半径：sin r R θ=，取微元dl Rd θ=， 有环形电流：2N I

d I d θπ

=，

利用：B 2

02232

2()I R

R x μ=

+，有：

dB 2022322()r dI

r x μ=

+220222232sin (sin cos )N IR d R R μθθπθθ=+20sin N I d R

μθθπ=， ∴B 0220sin N I d R πμθθπ=?02

01cos 22N I d R π

μθθπ-=?04N I R

μ=。

14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线

平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ，j

的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁感应强度B

。

解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了j ±

的电流，那么， 以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用

0S

B d l I μ?=∑? ，有：2102R B j R πμπ?=， ∴012

j B R μ=?

，

同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：

2202()r B j r πμπ?=-，有：022

j

B r μ=-

?

，

由图示可知：()R r a +-=

那么，12B B B =+

002

2

j j

R r μμ=

?-

? 01

2j a μ=? 。

14-6．在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流A 5=I 自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强度的大小。

解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl R d θ=的长直电流， 有：dl d d I R θ

ππ

=

=，利用0S B d l I μ?=∑? 。 在P 点处的磁感应强度为：00222d I I d dB R R

μμθ

ππ==， ∴02

sin sin 2x I

dB dB d R

μθθθπ==

，而因为对称性，0y B = 那么，005220sin 6.37102x x I I

B B dB d T R R

πμμθθππ-===

==??

?。

14-7．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞<

0S

B d l I μ?=∑?

分段讨论。

（1）当10r R <≤时，有：2102

1

2r I

B r R ππμπ?= ∴012

1

2I r

B R μπ=

； （2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ?=，

∴

'O ?

??'O O P

O

P

a

R

r

022I

B r

μπ=

； （3）当23R r R ≤≤时，有：22

2

3022

32

2()r R B r I I R R πππμππ-?=--， ∴22

32

0322

32I B R r R r

R μπ--=?； （4）当3r R >时，有：402()B r I I πμ?=-，∴40B =。

则：02

1

011222323223230(0)()()0

()222r R R r R B R r R r R I r

R I

r

R r r I R R μπμπμπ?<≤???≤≤??=??-??≤≤-??

>??

14-8．一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为σ。

（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B

的大

小；

（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v

及它所产生的

磁场B 和电场E 之间满足下述关系：2

1B v E c =?

（式中0

01με=c ）。 解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ，考虑到橡皮带上等效电流密度为：i v σ=，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据

安培环路定理有：

0abcd

B dl L i μ?=?

?02B L L v μσ?=，

∴磁感应强度B 的大小：02

v

B μσ=；

（2）非相对论情形下：

匀速运动的点电荷产生的磁场为：02

?4qv r

B r μπ?=? ，

点电荷产生的电场为：201?4q E r r

πε=

? ， ∴000222

0?11?44q qv r v E v r B c r r μεμπεπ??=?

?=?= ， 即为结论：21B v E c =? （式中0

01

με=c ）。

14-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为ρ， 半径为R 。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为ω， 求：（1）圆柱体内距轴线r 处的磁感应强度的大小；

a b

c d

L

（2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）考察圆柱体内距轴线r 处到半径R 的圆环等效电流。

∵2d q rLd r d I Lr d r t T ρπρω?=

==，∴221

()2

R r I L r dr L R r ρωρω==-?，

选环路a b c d 如图所示，

由安培环路定理：0S

B d l I μ?=∑?

，

有：2201

()2

B L L R r μρω?=?-

∴220()2

B R r μρω

=

-

（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：2

04

R B μρω=

端面中心。

14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I ，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S ，两圆柱轴线间的距离d O O =21，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。

解：因为一个阴影的横截面积为S ，那么面电流密度为：

I

i S =，利用补偿法，将真空部分看成通有电流i ±，设 其中一个阴影在真空部分某点P 处产生的磁场为1B ，距离

为1r ，另一个为2B 、2r

，有：12r r d -= 。

利用安培环路定理可得：

201011122I r I r S B r S μπμπ==，202022222I r I r

S B r S μπμπ==

， 则：0111?2I r B r S μ⊥= ，0222?2I r B r S

μ⊥

=

， ∴00121122???()22I I d B B B r r r r d S S

μμ⊥⊥⊥=+=

+= 。 即空腔处磁感应强度大小为02I d

B S

μ=，方向向上。

14-11．无限长直线电流1I 与直线电流2I 共面，几何位置如图所示， 试求直线电流2I 受到电流1I 磁场的作用力。 解：在直线电流2I 上任意取一个小电流元dl I 2， 此电流元到长直线的距离为x ，无限长直线电流1I 在小电流元处产生的磁感应强度为：

012I B x

μπ=

?，

再利用d F I Bdl =，考虑到0

cos60d x

dl =，有：01202cos 60I I d x d F x μπ=?，

r

a b d c

L

L

?

?

d

P

1

O 2

O 2

r

1

r 2?r ⊥

1?r ⊥

?d ⊥

∴0120120

ln 2cos 60b a

I I I I d x

b F x a

μμππ=

?=?

。

14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为55.510B T -=?，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过20cm 时将偏转多远？

解：（1）根据f q v B =?

可判断出电子束将偏向东。 （2）利用22

1mv E =，有：m E v 2=，

而ma qvB f ==，∴1141028.62-??===s m m E

m

qB m qvB a

（3）2211()322L

y at a mm v

===。

14-13．一半径为R 的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I 等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。

解：设半圆柱面导体的线电流分布为1

I i R

π=

， 如图，由安培环路定理，i 电流在O 点处产生的磁感应强度为：

02i d B Rd R

μθπ=?，

可求得：001

20sin 2O y iR I B d B d R R

πμμθθππ==

?=?

?； 又∵d F I dl B =?

，

故012

22

O I I d F B I dl dl R

μπ==， 有：012

2I I d F f dl R

μπ==，而21I I =， 所以：202I

d F f dl R

μπ=

=。

14-14．如图14-55所示，一个带有电荷q (0q >)的粒子， 以速度v 平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷 密度为λ（0λ>），并载有传导电流I 。试问粒子要以多大 的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为d 的平行线上？

解：由安培环路定律0l

B d l I μ?=? 知：

电流I 在q 处产生的磁感应强度为：02I

B d

μπ=，方向?；

运动电荷q 受到的洛仑兹力方向向左，大小：02q v I F q v B d

μπ==

洛，

同时由于导线带有线电荷密度为λ，在q 处产生的电场强度可用高斯定律求得为：

B

电子束方向

-南

北

θ

?

?

O

y

dB

02E d λπε=

，q 受到的静电场力方向向右，大小：02q F d λ

πε=电；

欲使粒子保持在一条与导线距离为d 的平行线，需F F =洛电，

即：02q v I d μπ02q d

λπε=

，可得00v I λμε=。

14-15．截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴O O '转动，如图14-53所示。导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度θ而平衡，求磁感应强度。 解：设正方形的边长为a ，质量为m ，aS m ρ=。 平衡时重力矩等于磁力矩：

由m M p B =? ，磁力矩的大小：202

sin (90)cos M BI a BI a θθ=-=；

重力矩为：sin 2sin 2sin 2

a

M mga mg mga θθθ=+?=

平衡时：2cos 2sin BI a mga θθ=，∴22tan tan mg gS

B I a I

ρθθ==。

14-16．有一个U 形导线，质量为m ，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为B 的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时，U 导线就会从水银槽中 跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电荷量q 。

解：接通电流时有F BIl =?dv m

BIl dt =，而d q I dt =， 则：mdv Bl dq =，积分有：0v m mv

q dv Bl Bl

==?； 又由机械能守恒：mgh mv =2

2

1，有：gh v 2=，∴2mv m q gh Bl Bl =

=。

14-17．半径为R 的半圆形闭合线圈，载有电流I ，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。求：

（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；

（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少？

解：（1）线圈的磁矩为：m p I Sn = 2

2

I R n π=

， 由m M p B =?

，此时线圈所受力矩的大小为：

21

sin 22m M p B R I B ππ==；

磁力矩的方向由B p m

?确定，为垂直于B 的方向向上，如图；

（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：

()

21m m m A I I =?Φ=Φ-Φ22

1(0)22

B R I I B R ππ=?-=。

B

R

I

B

S

M

o

【或：2

20

1sin 2A Md R I B d πθπθθ==

??

21

2

R I B π=】

思考题

14-1．在图（a ）和（b ）中各有一半径相同的圆形回路1L 、2L ，圆周内有电流1I 、2I ，其分布相同，且均在真空中，但在（b ）图中2L 回路外有电流3I ，1P 、2P 为两圆形回路上的对应点，则：

121

2

()d d P P L L A ?=?=??B l B l B B ，；121

2

()d d P P L L B ?≠?=??B l B l B B ，

； 121

2

()d d P P L L C ?=?≠??B l B l B B ，；121

2

()d d P P L L D ?≠?≠??B l B l B B ，

。

答：B 的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强

度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C ）对。

14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ）

答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度2

3

2

2

20)

(2x R IR

B +=

μ

∴0=x 时，R

I

B 20μ=

（x R >>），2

03

2IR B x μ≈

。

根据上述两式可判断（C ）图对。

14-3．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：

(A)回路L 内的

∑I 不变，L 上各点的B 不变；

(B)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 改变； (C)回路L 内的∑I 改变，L 上各点的B 不变； (D)回路L 内的 ∑I 改变，L 上各点的B 改变.

答：（B ）对。

14-4．一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管

(r R 2=)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足：

()2R r A B B =；()R r B B B =；()2R r C B B =；()4R r D B B =.

答：对于长直螺线管：nI B 0μ=，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B ）对。

14-5．均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为多少？ 答：2

B r πΦ=。

14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，

在磁场作用下，线圈向什么方向转动？ 答：ab 受力方向垂直纸面向里，cd 受力外，

在力偶矩的作用下，ab 垂直纸面向里运动，cd 垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋转。

14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则

（A ） 两粒子的电荷必然同号；

（B ） 粒子的电荷可以同号也可以异号； （C ） 两粒子的动量大小必然不同； （D ） 两粒子的运动周期必然不同。 答：选（B ）

大学物理第16章课后习题

16-1．如图所示，金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B

的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v

在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。 解：（1）由法拉第电磁感应定律i d dt

εΦ

=-，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感应电动势0i ε=； （2）利用：()a

ab b

v B dl ε=

???

，有：22ab Bv R Bv R ε=?=。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

16-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=，在与其相距cm 5.0=d 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ，宽cm 0.2=a 。 不计线圈自感，若线圈以速度cm /s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。