小学奥数 二年级 07讲：图形的等积变换
第07讲：图形的等积变换第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第07讲：图形的等积变换试题答案
第1题：
正确答案:
第1项:3
答案解析
第2题：
正确答案:A
答案解析
第3题：
正确答案:C
答案解析
第4题：
正确答案:A 答案解析
第5题：
正确答案:A 答案解析
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析
三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高
小学奥数知识点归纳和总结
小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：
两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
小学五年级奥数 等积变形
奥数拓展：等积变形 （一）故事导入： 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗 根据这个问题，你能得出什么结论 结论一：。 （二）即学即练： 1.你有什么方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形 2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么 如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ （三）思维探索： （平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的为什么
（四）即学即练： 1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对 （五）结论总结： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （六）例题梳理 【例 1】等积变形的等分点应用 1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC的面积 结论2：夹在间的一组同底三角形面积相等
小学四年级奥数知识点自己整理综合
小学四年级奥数知识点总复习 1.常用特殊数的乘积 25×4＝100 125×8＝1000625×16＝10000 25×8＝200 125×4＝500 125×3＝375 7×11×13＝1001 37×3=111 2.加减法运算性质： 同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。加、去括号时要注意以下几点：括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。 100+（21+58）=100+21+ 58 100-（21+58）=100-21- 58 3.乘除法运算性质 乘法中性质：（1）乘法交换律（2）乘法结合律（3）乘法分配律（4）乘法性质（5）积的变化规律：一扩一缩法。 除法中性质：当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律。积的变化规律：同扩同缩法。同级运算时，如果有交换数的位置，应该注意符号搬家。加、去括号时注意以下几点：括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号前面是除号，去掉或加上括号要变号。 100×（4×5）=100×4×5 100÷（4÷5）=100÷4÷5 4.最大最小 1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。 2、运用规律。（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。 3、考虑极端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。 5.比较大小 估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。 6.平均数
五年级奥数等积变换
第二十一讲等积变换 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面 积。 直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）× 2 ÷ 2=17（厘米2）。 答：阴影部分的面积是17厘米2。 例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10 厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10 厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10 厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10 厘米 2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10× 8÷2+10=50（厘米2）。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.
例题 3：在右图中， AB=8厘米， CD=4厘米， BC=6厘米，三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18厘米 2 。求 ED 的长。 解：因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘 米 2 三角形都加上四边形 FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB 的面积大 18 厘米 2。 梯形 ABCD 面积 =（8+4）× 6÷2=36（厘米 2）， 三角形 ECB 面积 =36-18=18（厘米 2 ）， EC=18÷6×2=6（厘 米）， ED=6-4=2（厘米）。 答： ED 的长 2 厘米。 例 4：下页上图中， ABCD 是 7× 4 的长方 形， 长方形，求三角形 BCO 与三角形 EFO 的 面积之差。 解法一 ：连结 B ，E （见左下图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 加上三角形 BEO ，则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF 的面积之差。所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。 ：连结 C ，F （见右上图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 CFO ，则原来的问题转化为求三角形 BCF 与三角形 ECF 所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。 答：三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差是 3. 解法二 加上三角形 的面积之
五年级下册数学奥数试题-等积变形(无答案)(人教版)
第3讲等积变形 一、知识点 等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有： 1.等底等高的两个三角形面积相等； 2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等； 3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍； 4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等. 二、例题精讲 例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？ 例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________. 例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.
例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米. 例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米. 例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD 的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积. 例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________. 例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是
小学奥数——三角形的等积变形
小学奥数三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等． 例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D 是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4． DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．
最新小学六年级奥数简便运算(含答案)
1 简便运算（一） 2 3 一、知识要点 4 根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，5 可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。 6 二、精讲精练 7 【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37） 8 【思路导航】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：9 a－b－c = a－（b＋c），使运算过程简便。所以 原式＝4.75+8.25－9.63－1.37 10 11 ＝13－（9.63+1.37） 12 ＝13－11 13 ＝2 14 练习1：计算下面各题。 15 1． 6.73－2 又8/17+（3.27－1又9/17） 2. 7又5/9－（ 3.8+1又5/9）－1又1/5 16 17 3. 1 4.15－（7又7/8－6又17/20）－2.125 18 4. 13又7/13－（4又1/4+3又7/13）－0.75 【例题2】计算333387又1/2×79+790×66661又1/4 19 20 【思路导航】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简21 便。所以：原式＝333387.5×79+790×66661.25 ＝33338.75×790+790×66661.25 22 23 ＝（33338.75+66661.25）×790
＝100000×790 24 25 ＝79000000 26 练习2：计算下面各题： 1. 3.5×1又1/4+125％+1又1/2÷4/5 27 28 2. 975×0.25+9又3/4×76－9.75 29 3. 9又2/5×425+ 4.25÷1/60 30 4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7 31 【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3 32 【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 33 = 1.2×30。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以 34 原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3 35 ＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3） 36 ＝1.2×（32.7+67.3） 37 ＝1.2×100 38 ＝120 39 练习3：计算： 40 1. 45× 2.08+1.5×37.6 41 42 2. 52×11.1+2.6×778 43 44 3. 48×1.08+1.2×56.8
奥数第一讲 巧算分数乘法
1、教材分析 课程名称：巧算分数乘法 教学内容和地位：这一部分内容是在学习了分数乘法及乘法的运算定律的基础上进行学习的。我们知道，分数乘法计算和整数乘法计算一样，既有知识要求， 又有能力要求，计算法则、运算定律是计算的依据，要使计算快速、准确，关 键在于掌握运算技巧。 教学重点： 教学难点： 2、课时规划 课时：3课时 3、教学目标 分析 掌握巧算中经常要用到的一些运算定律,如乘法交换律、结合律、分配律以及除法分配律等变 式定律与性质。 4、教学思路 一、课前复习 二、知识点串讲 三、难点知识剖析 四、能力提升 五、易错点总结 5、教学过程 设计 必讲知识点 一、课前复习 分数的意义、分数的基本性质、带分数假分数互化、约分、通分、分数加减运算。 二、知识点串讲 (一)分数乘法包含两种情况：分数乘整数，分数乘分数，如： 、 (二)分数乘法的计算法则：一个分数乘整数，可以用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘；两个分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；分数乘法中有带分数的，通常先把带分数化成假分数，然后再乘。 如：；；。 (三)分数乘法的运算定律：整数乘法的运算定律对于分数乘法同样适用。
(四)倒数：乘积为1的两个数互为倒数。要弄清哪个数是哪个数的倒数，哪个数与哪个数互为倒数，如：5×0.2=1，则5是0.2的倒数，0.2是5的倒数，5和0.2互为倒数。 求倒数的方法：求一个数(0除外)的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置即可。 1与1相乘的积是1，所以1的倒数是1；0和任何数相乘都得0，所以0没有倒数。 三、难点知识剖析 例1、计算 解析： 21是7的3倍，120是24的5倍，应用乘法结合律分别算。解答： 例2、计算 解析： 为了便于观察与计算，先把分数化成小数，再利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。 解答：
小学六年级奥数简便运算
简便运算（一） 一、知识要点 根据算式的结构和数的特征.灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式.可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简.化难为易。 二、精讲精练 【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37） 【思路导航】先去掉小括号.使4.75和8.25相加凑整.再运用减法的性质：a－b－c = a－（b＋c）.使运算过程简便。所以 原式＝4.75+8.25－9.63－1.37 ＝13－（9.63+1.37） ＝13－11 ＝2 练习1：计算下面各题。 1． 6.73－2 又8/17+（3.27－1又9/17） 2. 7又5/9－（ 3.8+1又5/9）－1又1/5 3. 1 4.15－（7又7/8－6又17/20）－2.125 4. 13又7/13－（4又1/4+3又7/13）－0.75 【例题2】计算333387又1/2×79+790×66661又1/4 【思路导航】可把分数化成小数后.利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所以：原式＝333387.5×79+790×66661.25 ＝33338.75×790+790×66661.25 ＝（33338.75+66661.25）×790 ＝100000×790 ＝79000000 练习2：计算下面各题： 1. 3.5×1又1/4+125％+1又1/2÷4/5 2. 975×0.25+9又3/4×76－9.75 3. 9又2/5×425+ 4.25÷1/60 4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7 【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3 【思路导航】此题表面看没有什么简便算法.仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2×30。这样一转化.就可以运用乘法分配律了。所以
五年级下册奥数讲义试题-第四讲 水面高度变化和等积变换全国通用
第四讲水面高度变化和等积变换 水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。 例题选讲 例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米?、 【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。 解：50厘米一5分米 5÷(25X20)+15 =O．25+15 =15．25(分米) 答：容器中水深15．25分米。 例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米? 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘
米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。 解：25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 =25(厘米) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。 例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。 【分析与解答】将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体，形状虽然变了，但体积和没有发生变化，因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和。然后根据体积除以底面积求出高。 解：(9×7×3+5。)÷20 =314÷20 =15．7(厘米) 答：这个长方体的高是15．7厘米。 练习与思考 1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分 米?2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。 3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。
等积变形习题
六年级奥数解析（七十）形体的等积变形 [ 2013-3-21 2:57:00 | By: spring ] 4 推荐 《奥赛天天练》第42讲《形体的等积变形》。 在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。 本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系：物体在改变形状的过程中体积不变，即形状发生改变前后物体的体积相等。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1 【题目】： 在底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水面上升到9厘米，问这块铁块的体积有多大？ 【解析】： 这块铁块的体积就是圆柱形杯中上升的那部分水的体积（即底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱形体积）： 3.14×102×（9－7）＝628（立方厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2 【题目】： 有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【解析】： 先求出倒入甲容器的水的体积： 3.14×62×10×1/3＝376.8（立方厘米）
再用水的体积除以乙容器的底面积，求出乙容器的水深： 378.6÷（3.14×42）＝7.5（厘米）。 注：此类习题列综合算式，先约分再计算，可以使计算更加简洁。 《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1 【题目】： 把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？ 【解析】： 熔铸成的圆柱形铝块的体积就等于长方体铝块和正方体铝块的体积之和：19×5×3＋73＝628（立方厘米） 用圆柱形铝块的体积除以它的底面积，可以求出它的高为： 628÷[3.14×（31.4÷3.14÷2）2]＝8（厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2 【题目】： 在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降3厘米，求这段钢材的长。 【解析】： 圆柱形钢材的体积就等于水桶里下降的那部分水的体积（即底面半径为20厘米，高为3厘米的圆柱形体积）： 3.14×202×3＝3768（立方厘米） 所求钢材的长为： 3768÷（3.14×102）＝12（厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1 【题目】： 有两个等高的圆柱体，小圆柱体底面积是50平方厘米，大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％，大圆柱体的体积为360立方厘米，求小圆柱体的体积。 【解析】： 要求出小圆柱体的体积，已知小圆柱体的底面积，还需要先求出小圆柱体的高。因为两个圆柱体等高，只求出大圆柱体的高就等于小圆柱体的高。 由“大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％”，可以求出大、小圆柱体底面直径之比为： （1＋20％）：1＝6 ：5 则两个圆柱的底面积比为：62：52＝36 ：25 解法一：又因为小圆柱体底面积是50平方厘米，可以求出大圆柱体的底面积为： 50×36/25＝72（平方厘米）
小学奥数常用数据和规律(2)
奥数常用数据和规律 小学奥数公式 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数 和倍问题的公式 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数) 差倍问题的公式 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数) 植树问题的公式 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题的公式 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题的公式 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题的公式 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题的公式 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题的公式 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 1 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长S面积a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a
五年级奥数-等积变换求面积
等积变换求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道：等底等高的两个三角形面积相等. 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形Ａ １ ＢC与A 2 BC、A 3 BC的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法,常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案.不要盲目地乱动手．本讲中.的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形AＢＣ的面积为1，BＥ= 2AB，BC＝CD，求三角形BDＥ的面积? 例2、如下图，A为△CDＥ的DE边上中点,BC= 3 1 CD，若△ＡBC(阴影部分）面积为5平方厘米,求△ＡBD及△ACＥ的面积. 基本概念 例题分析
例3、２00２年在北京召开了国际数学家大会,大会会标如下图所示,它是由四个相同的直角三角形拼成(直角边长为2和3),问:大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和ＤEF是两个完全相同的直角边长等于９厘米的等腰直角三角形,求阴影部分的面积． 练习提高 1、如图,已知平行四边形AＢCD的面积是６０平方分米，E、Ｆ分别是AB、AＤ边上的中点,图中阴影部分的面积是多少平方分米 ? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米,AF＝BE,图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？
积的变化规律测试题
小学士教育第二次课堂测试 姓名： 成绩： 1、妙笔填空 （2×19＝38分） （1）两个因数分别是14和9，积是（ ），如果把9乘以 4，积是（ ）。 （2）两个因数分别是18和4，积是（ ），如果把18除以2，积是（ ）。 （3） 两个因数分别是15和6，积是（ ），如果把15除以3，6乘以2，积是（ ）。 （4）两个数相乘，积是35，如果一个因数扩大到它的2倍，另一个因数扩大到它的3倍，那么得到的新积是（ ）。 （5）在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘8，积就（ ）；一个因数不变，另一个因数除以9，积就（ ）；一个因数除以4，另一个因数乘以8，积 就（ ）。 （6）在乘法算式12×40，如果一个因数乘以4，另一个因数除以4，积就是（ ）。 （7）两个数相乘，积是36，如果一个因数扩大到它的4倍，另一个因数缩小为它的3 1，那么得到的新积是（ ）。 （8）两个数相乘，积是75，如果一个因数扩大到它的2倍，另一个因数缩小为它的 5 1，那么得到的新积是（ ）。 （9）两个数相乘，积是81，如果一个因数缩小为它的91，另一个因数缩小为它的3 1，那么得到的新积是（ ）。 （10）由8×20＝160可得16×20＝（ ），32×20＝（ ），32×40＝（ ），4×20＝（ ），16×10＝（ ）。 2、对号入座 （3×5＝15分） （1）由25×80＝2000，可得75×80的积是（ ）。 A 、1000 B 、2000 C 、3000 （2）一个因数不变，另一个因数乘以7，积就（ ）。 A 、乘以7 B 、除以7 C 、不变
（3）一个因数不变，要使积扩大为原来的4倍，另一个因数应（）。 A、不变 B、乘以4 C、除以4 （4）两个数相乘，积是230，要使积不变，一个因数乘4，另一个因数应（）。 A、除以4 B、乘以4 C、不变 （5）两个数相乘，积是48，要使积变成96，一个因数不变，另一个因数应（）。 A、除以2 B、乘以2 C、不变 3、找规律填空（3×6＝18分） 12×12＝144 12×24＝12×36＝12×48＝ 12×60＝12×72＝12×84＝ 4、解决问题（共29分） （1）在乘法算式36×6中，如果一个因数除以4，另一个因数除以2，积有什么变化？（5分） （2）在乘法算式36×6中，如果一个因数除以4，另一个因数乘以4，积有什么变化？（6分） （3）两个数相乘，积是66，如果一个因数乘以8，要使积不变，另一个因数应该有什么变化？（6分） （3）芳芳在做一道整数乘法算式题时，在一个因数末尾多写了一个“0”，得到的结果是240，正确的结果应该是多少？（6分） （4）明明在做一道整数乘法算式题时，把其中一个因数末尾的“0”漏写了，得到的结果是240，正确的结果应该是多少？（6分）
四年级奥数讲义-等积变形二 通用版
等积变形（二） 【动手算一算】 ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ (★★) ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求 三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD 的中点。求：三角形DEF的面积。 (★★★) 1
如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB 和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ (★★★) 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三 角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？ (★★★) 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3， AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ (★★★★) 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形 BDE的面积是多少？ (★★★) 2
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长 BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF 的面积。 (★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶 点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和 120，则三角形BDE的面积是多少？ (★★★★★) 【大海点睛】 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底 边CD，那么S△ACD＝S△BCD 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7 3
四年级奥数变化规律的巩固练习
最新小学四年级奥数练习题变化规律的巩固练习 一、和的变化规律：加数+加数=和 1）一个加数加上a，另一个加数加上b，和增加（a+b）; 2）一个加数加上a，另一个加数减少b（a>b）,和增加（a-b）; 3）一个加数加上a，另一个加数减少b（a 三、积的变化规律：因数╳因数 = 积 1）一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，积扩大（a╳b）倍； 2）一个因数扩大a倍，另一个因数缩小b倍（a>b）,积扩大（a÷b）倍； 3）一个因数扩大a倍，另一个因数缩小b倍（a 一、知识点分析 （1）重点、考点： 发现并运用积的变化规律。 （2）难点、易错点： 积的变化规律的探究策略。 （3）教学目标 1、让学生探索并掌握一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题。 2、使学生经历积的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。 二、教学内容：积的变化规律 【知识点梳理】 积的变化规律： 1、两个数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘a，那么积就乘a。 2、两个数相乘，如果一个因数乘a，另一个数乘b，那么积就乘（a×b）。 3、两个数相乘，如果一个因数乘a，另一个因数除以b（b≠0），那么积就是原来的积乘a除以b。 4、两个数相乘，如果一个因数除以a（a≠0）另一个因数除以b（b≠0），那么积就是原来的积除以（a×b）。 【例题详解】 例1在乘法算式250×80中，如果一个因数乘2，另一个因数不变，那么积有什么变化 拓展1在乘法算式250×80中，如果一个因数乘2，另一个因数乘3，那么积的有什么变化 拓展2在乘法算式120×60中，如果一个因数×6，另一个因数除以3，那么积有什么变化 拓展3在乘法算式120×80中，如果一个因数除以4，另一个因数也除以4，那么积有什么变化 例2两个数相乘，积是280，如果一个因数乘4，另一个因数乘2，那么的到的新积是多少 拓展1两个数相乘，积是200，如果一个因数乘4，另一个因数除以2，那么新积是多少 拓展2两个数相乘，积是260，如果一个因数乘4，另一个因数除以8，那么得到的新积是多少 拓展3两个数相乘，积是720，如果一个因数除以3，另一个因数也除以3，那么得到的新积是多少 例3红红在计算一道乘法算式题时，不小心给一个因数乘了5，计算结果是450.原式的结果是多少 【课堂练习】 1、填空四年级奥数积的变化规律