沪教版数学九年级上第二十七章圆与正多边形27.2圆心角、弧、弦、弦心距的关系练习一和参考答案

沪教版数学九年级上第二十七章圆与正多边形27.2圆心角、弧、弦、弦心距的关系练习一和参考答案
沪教版数学九年级上第二十七章圆与正多边形27.2圆心角、弧、弦、弦心距的关系练习一和参考答案

数学九年级下 第二十七章 圆与正多边形

27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(1)

一、选择题

1. 下列说法正确的是 ( )

A .弦是直径

B .弦是半圆

C .半圆是弧

D .过圆心的线段是直径

2. 下列命题中正确的是 ( )

A .直径是最长的弦

B .半圆是最长的弧

C .弧比弦大

D .弦是圆上两点间的部分

3. 等于5

3圆周的弧叫做 ( ) A .圆 B .半圆 C .劣弧 D .优弧

4. 如图,点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在同一条直线上,图中弦的条数是 ( )

A. 2条

B. 3条

C. 4条

D. 5条

5. 在同圆中,两条弦长分别为a 和b ,圆心到两弦的距离分别为c 和d ,若c>d ,则 ( )

A .a>b

B .a

C .a=b

D .无法确定

6. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为8cm ,最短的弦长为4cm ,则OM 的长为 ( )

A .4cm

B .3cm

C .2cm

D .32cm

二、填空题

7、已知:弦AB 把圆周分成1:5的两部分,这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。

8、如图:在⊙O 中,∠AOB 的度数为1200,则的长是圆周长的 。

9、已知:⊙O 中的半径为4cm ,弦AB 所对的劣弧为圆的

31,则弦AB 的长为 cm ,AB 的弦心距为 cm 。

10、如图,在⊙O 中,AB ∥CD ,的所对的圆心角度数为450,则∠COD 的度数为 。

第8题 第10题 第11题 第13题

11. 如图,⊙O 中的直径是 ,弦是 ,劣弧有 。

12. 在同一个圆中,当圆心角不超过180°时,圆心角越大,所对的弧 ,所对的弦 ,所对弦的弦心距 。

13. 如图,AB 、CD 是⊙O 的两条弦,OE ⊥AB 于E ,OF ⊥CD 于F.

(1)如果AB=CD ,那么 、 、 ;

(2)如果,那么、、;

(3)如果∠AOB=∠COD,那么、、;(4)如果OE=OF,那么、、;

14. 在半径为5cm的⊙O中有一点P,OP=4cm,则过P的最短弦长为,最长弦长为。

6cm的弦,则这条弦所对圆心角的度数是,这条弦15. 直径为12cm的圆中,有一条长为3

的弦心距是。

三、解答题

16、已知:在直径是16cm的⊙O中,所对的圆心角的度数是60°,求弦AB的长和弦心距。

17、已知:如图,⊙O中,AB是直径,CO⊥AB,D是CO的中点,DE∥AB,

求证:

18. 如图,AB为⊙O的弦,C、D为弦AB上的两点,且OC=OD,延长OC、OD交⊙O于点E、F,试证明:

19. 如图:在⊙O 中,弦AB 所对的劣弧为圆的

4

1,圆的半径是为4,求圆心角∠AOB 的度数,弦AB 的长及弦心距OC 的长。

20. 如图,AB 是⊙O 的直径,点E 、F 分别是OA 、OB 的中点,且EC ⊥AB ,FD ⊥AB ,EC 、FD 交⊙O 于C 、D 两点。求证:

21. 如图,弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ,且∠OPB=∠OPD ,求证:

(1)

(2)PA=PC

正多边形和圆教案

正多边形和圆(一)教案 教材分析 学生在前面已经学习了正多边形的概念,了解正多边形的各边相等、各内角相等以及多边形内角和的运算公式。在本册中学习了圆及圆的有关性质,理解圆中弧与弦的关系,从而为本节课研究正多边形与圆的关系打下了良好的基础,本节课先通过观察美丽的图案,让学生感受到数学来源于生活。接下来研究正多边形和圆的关系,按由特殊到一般的规律,以正五边形为例进行探索和证明,并将结论推广到正n边形。让学生体会到化归思想在研究问题中的重要性。培养学生观察、比较、分析问题的能力,发展了学生合情推理能力和演绎推理能力。 教学目标 知识技能:了解正多边形与圆的关系,了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 数学思考;通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。 解决问题:进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想,体会化归思想在研究问题中的重要性,能综合运用所学知识和技能解决问题。 情感态度:学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体会到事物之间是相互联系,相互作用的。 重点难点 教学重点:探索正多边形与圆的关系,了解正多边形的有关概念,并能进行计算。 教学难点:探索正多边形与圆的关系。 教学过程: 一、观察图案,提出问题 (设计说明:学生通过观看美丽的图案,欣赏生活中正多边形形状的物体,让学生感受到数学来源于生活,从中感受到数学美,并提出本节课所要研究的问题。) 问题l:观看教科书图24。3-1,这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的,利用正多边形得到的物体。你能从这些图案中找出正多边形来吗? 教师引导学生回忆、理解正多边形的概念。 问题2:菱形,矩形,正方形是正多边形吗? 问题3:通过观察图案,你们知道正多边形和圆有什么关系吗? 问题4:给你一个圆,怎样就能做出一个正多边形来? (教师引导学生观察、思考,学生分组讨论、交流,发表各自见解) 此问题比较抽象,是本节课的难点。教师要求学生观察教材图案,会发现正多边形的边数多给人一种接近圆的印象。教师展示课件:在圆中依次出现几条相等的弦,学生会想到弧相等,教师迸一步引导学生明确只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形。

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知:AB交圆O于C、D,且AC=BD.你认为OA=OB吗?为什么? 2. 如图所示,是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=600mm,求油面的最大深度。 600 3. 如图所示,AB是圆O的直径,以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段?为什么? A D B O C E 4.如图所示,OA是圆O的半径,弦CD⊥OA于点P,已知OC=5,OP=3,则弦CD=____________________。 5. 如图所示,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AB=9,BE=1,则CD=_________________。

C A P O D C E O A D B 7. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为________________。 8. 如图所示,四边形ABCD内接于圆O,∠BCD=120°,则∠BOD=____________度。 9.如图所示,圆O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是() A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3<OM<5 D. 4<OM<5 10.下列说法中,正确的是() A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1:3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于() A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示,A、B、C三点在圆O上,∠AOC=100°,则∠ABC 等于() A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础) 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念; 2.理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3.掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它 两组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3.推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征; (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形: (1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.

(2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角).5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等。 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图,在⊙O中,,求∠A的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的圆周角相等,所对的 弦也相等. 举一反三: 【变式】如图所示,中弦AB=CD,求证:AD=BC. 【答案】 证法1:∵AB=CD,∴(在同圆中,相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴ ∴AD=BC(在同圆中,相等的弧所对的弦也相等) 证法2:如图,连接OA,OD,OB,OC,

正多边形与圆一对一辅导讲义

1、了解正多边形的概念,探究正多边形与圆的关系; 2、经历探索正多边形与圆的关系,理解正多边形的性质; 第一课时正多边形与圆知识点梳理 课前检测 1.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴,正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________. 5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 知识梳理 正多边形的定义: 各角相等,各边相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的相关概念: ⑴正多边形的中心角;⑵正多边形的中心;⑶正多边形的半径;⑷正多边形的边心距 正多边形的性质:

⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形; ⑵正多边形都是轴对称图形,正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴; ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形,也是中心对称图形,其中心就是对称中心. 正多边形的有关计算 ⑴正n 边形的每个内角都等于 ()2180n n -??; ⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等,等于 360n ? ; ⑶设正n 边形的边长为n a ,半径为R ,边心距为n r ,周长为n P ,面积为n S , 则222180180111 2sin cos 422 n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ??===+==??=?,,,, 正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正n边形,可以用圆规和直尺作图. 第二课时 正多边形与圆典型例题 题型一、正多边形的概念 例1.填写下列表中的空格 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 23 4 1 6 2 变1.(1)若正n 边形的一个外角是一个内角的 3 2 时,此时该正n 边形有_________条对称轴. 典型例题

弧、弦、圆心角

2020-2021学年九年级上学期《24.1.3 弧、弦、圆心角》一.选择题(共25小题) 1.下列说法正确的是() A.相等的圆心角所对的弧相等 B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等 C.在同圆中,相等的弦所对的弧相等 D.相等的弦所对的弧相等 【分析】根据圆心角,弧,弦之间的关系一一判断即可. 【解答】解:A、错误.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,本选项不符合题意. B、正确. C、错误.弦所对的弧有两个,不一定相等,本选项不符合题意. D、错误.相等的弦所对的弧不一定相等. 故选:B. 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 2.如图,在⊙O中,=2,则以下数量关系正确的是() A.AB=AC B.AC=2AB C.AC<2AB D.AC>2AB 【分析】如图连接BC,首先证明AB=BC,利用三角形的三边关系即可解决问题.【解答】解:如图.连接BC. ∵=2, ∴=,

∴AB=BC, ∴AB+BC>AC, ∴2AB>AC, 故选:C. 【点评】本题考查圆心角,弧,弦之间的关系,三角形的三边关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 3.如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置,其中=180°,且=,=.若阿超在上取一点P,在上取一点Q,使得∠APQ=130°,则下列叙述何者正确? () A.Q点在上,且>B.Q点在上,且< C.Q点在上,且>D.Q点在上,且< 【分析】连接AD,OB,OC,根据题意得到∠BOC=∠DOC=45°,在圆周上取一点E 连接AE,CE,由圆周角定理得到∠E=AOC=67.5°,求得∠ABC=122.5°<130°,取的中点F,连接OF,得到∠ABF=123.25°<130°,于是得到结论. 【解答】解:连接AD,OB,OC, ∵=180°,且=,=, ∴∠BOC=∠DOC=45°, 在圆周上取一点E连接AE,CE, ∴∠E=AOC=67.5°, ∴∠ABC=112.5°<130°, 取的中点F,连接OF, 则∠AOF=∠AOB+∠BOF=90°+22.5°=112.5°,

正多边形的概念及正多边形与圆的关系

24.6 正多边形与圆 第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系 [学习目标] 1.理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念; 2.理解并掌握正多边形的有关概念; 3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形. [学法指导] 本节课的学习重点是理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念,并能进行计算,学习难点是探索正多边形和圆的关系. [学习流程] 一、导学自习 1. 如果一个多边形的顶点都在圆上,这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的 . 2.各边,各角也的多边形叫做正多边形. 思考: 正多边形的定义中“各边,各角”是正多边形的两个特征,缺一不可. 3.举例说出生活中常见的正多边形. 二、研习展评 活动1:思考:(1)你知道正多边形和圆有什么关系吗?你能借助圆做出一个正多边形吗? (2)将一个圆五等分,依次连接各分点得到一个五边形,这五边形一定是正五边形吗?如果是请你证明这个结论. 证明:如图1,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE. ?????, AB BC CD DE EA ==== Q ______________________, ∴ (3)如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这n边形一定是正n边形吗? (4)结论:正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成的一些弧,就可以作出这个圆的,这个圆就是这个正多边形的 . 活动2:阅读教材,思考:如何利用等分圆弧的方法来作正n边形? 方法一、任何正n边形的作法:用量角器作一个等于的圆心角,再等分圆; 方法二、特殊正多边形的作法:正六边形和正方形等的尺规作法. (在此基础上,还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形) 做一做:在右图2中,用尺规作图画出圆O的内接正三角形. [当堂达标] 1.如图5所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠ADB的度数是() A、60° B、45° C、30° D、22.5° 2.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分,然后连接五等分点 E A C D B O (图1) O (图2) (图5)

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(提高)

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(提高) 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图,在⊙O 中,若圆心角∠AOB=100°,C 是上一点,则∠ACB 等于( ). A .80° B .100° C .130° D .140° 2.已知,如图, AB 为⊙O 的直径,AB =AC ,BC 交⊙O 于点D ,AC 交⊙O 于点E ,∠BAC =45°。给出以下 五个结论:①∠EBC =22.5°;②BD =DC ;③AE =2EC ;④劣弧?AE 是劣弧?DE 的2倍;⑤AE =BC 。其中正确的有( )个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图,设⊙O 的半径为r ,弦的长为a ,弦与圆心的距离为d ,弦的中点到所对劣弧中点的距离为h ,下面说法或等式:①r d h =+ ②2 2 2 44r d a =+ ③已知r 、a 、d 、h 中任意两个,可求其它两个。其中正确结论的序号是( ) A .仅① B .②③ C .①②③ D .①③ 4.如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA 的3倍,C 为?AB 中点,AB 、OC 交于点P ,则四边形OACB 是( ) A .平行四边形 B .矩形 C .菱形 D .正方形 5.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD=DE ,AE 与BD 交于点C ,则图中与∠BCE 相等的角有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 第4题图 第5题图 第6题图 6.如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,∠CDB =30°,⊙O 3cm ,则弦CD 的长为( ). A . 3 2 cm B .3cm C .23.9cm 二、填空题

201X版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.1 正多边形与圆教案 (新版)沪科版

2019版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.1 正多边形与圆教案(新版)沪科版 课题24.6.1正多边形与圆 教学 目标 1.使学生理解正多边形概念 2.使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形;过圆的n等分点作圆的 切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形. 3.通过正多边形定义教学培养学生归纳能力; 4.通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力. 教 材 分 析 重点n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形. 难点对正n边形中泛指“n”的理解. 教具电脑、投影仪 教 学 过 程 (一)、新课引入 1.同学们还记得怎样画五角星吗?(让一学生回答)这节课我们就来研究这样画的道理。 2.思考以下问题:1.等边三角形、正方形的边、角各有什么性质?等边三角形与正方形的边、角 性质有什么共同点?. 各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.正多边形与圆有什么样的关系?这就是我们今天学习的内容(板书课题) (二)、新课讲解: 1.多边形和圆的关系的定理 定理:把圆分成n(n≥3)等份: (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 我们以n=5的情况进行证明.

已知:⊙O中,AB =BC =CD =DE =EA ,TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线. 求证:(1)五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形; (2)五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. (1)思路分析:要证五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,就要证明这五边形的五条边相等五个角相等,利用在同圆中,弧等弦再证角相等。证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的.如果n等分圆周,(n≥3)、n=6,n=8……是否也正确呢? 因为在同圆中,弧等弦等,n等分圆就得到n条弦等,也就是n边形的各边都相等.又n边形的每个内角对圆的(n-2)条弧,而每一内角所对的弧都相等,根据弧等、圆周角相等,证明了n边形的各角都相等,因此圆内接正五边形的证明具有代表性. (2)思路分析:由弧等推得弦等、弦切角等说明五边形PQRST的各角都相等各边都相等?前面同学的证明,说明“经过圆的五等分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形.”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n等分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的n个等腰三角形全等,从而证明了这个圆的以它n等分点为切点的外切n边形是正n边形. 证明:(见课本) 说明:(1)要判定一个多边形是不是正多边形,除根据定义来判定外,还可以根据这个定理来判定,即:①依次连结圆的n(n≥3)等分点,所得的多边形是正多迫形;②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线,相邻切线相交成的多边形是正多边形. (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件. (3)此定理被称为正多边形的判定定理,我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形. 正多边形在生产实践中有广泛的应用性,因此,正多边形的知识对学生进一步学习和参加定理(2)中少“相邻”两字行不行?少“相邻”两字会出现什么现象? 2.等分圆周的方法画正多边形 (1)用量角器等分圆: 依据:等圆中相等的圆心角所对应的弧相等. 操作:两种情况:其一是依次画出相等的圆心角来等分圆,这种方法比较准确,但是麻烦;其二是先用量角器画一个圆心角,然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧,于是得到圆的等

九年级圆垂径定理弦弧圆心角圆周角提高练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角提高练习 一、选择题 A1.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( ) A .4个 B .3个 C . 2个 D . 1个 A2如图,△ ABC 内接于⊙O ,D 为线段AB 的中点,延长OD 交⊙O 于点E ,连接AE ,BE ,则下列五 个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ,⑤ , 正确结论的个数是( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3.如图,点B 、C 在⊙O 上,且BO=BC ,则圆周角BAC ∠等于( ) A .60? B .50? C .40? D .30? A4.如图,⊙O 的直径CD ⊥AB ,∠AOC =50°,则∠B 大小为 ( ) A .25° B .35° C .45° D .65° 5. 下列说法中,正确的是( ) A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 A6、如图,AB 是⊙O 的弦,半径OA=2, 120=∠AOB ,则弦AB 的长是 ( ) (A )22 (B )32 (C )5 (D )23 B7.如图2,△ABC 内接于⊙O ,若∠OA B=28°,则∠C 的大小是( ) A .62° B .56° C .28° D .32° B8. 如图,点A 、B 、P 在⊙O 上,且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点,要使△ABM 为等腰三角形,则所有符合条件的点M 有 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 (第2题图) (第3题图) (第4题图)

正多边形和圆及圆的有关计算

正多边形和圆及圆的有关计算 一、知识梳理: 1、正多边形和圆 各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。 定理:把圆分成n (n >3)等分: (l )依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。 定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。 正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径,内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。 正n 边形的每个中心角等于n 360 正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心。 若n 为偶数,则正n 边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相似,所以周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平方的比。 2、正多边形的有关计算 正n 边形的每个内角都等于n n 180)2(- 定理:正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 3、画正多边形 (1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆 正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形)。 正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长 (1)圆周长C =2πR ;(2)弧长180R n L π= 5、圆扇形,弓形的面积 (l )圆面积:2R S π=; (2)扇形面积:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R 的圆中,圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为:3602R n S π=扇形 注意:因为扇形的弧长180 R n L π=。所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形 (3)弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。 弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧,则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧,则弓形面积等于扇形面积加上三

正多边形与圆教案

正多边形和圆 一、学习目标: 1知识与技能: (1)了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 (2)能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 2过程与方法: (1)学生在探讨正多边形有关计算过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力。 (2)在探索正多边形有关过程中,学生体会化归思想在解决问题中的重要性,能综合运用所学的知识和技能解决问题。 3情感、态度与价值观: ' (1)学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体会到事物之间是相互联系,相互作用的。 (2)运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验,建立学习自信心。 二、教学重难点: 教学重点:理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系,并能进行有关计算。 教学难点:理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题。 三、教学方法:引导学生采用自主合作探究的方式进行学习 四、教学准备:PPT课件、圆规、直尺 五、教学过程: 导入: 前面我们学习了许多图形与圆的关系,如:点和圆、直线和圆、四边形和圆以及圆与圆的关系,还有什么图形我们没有与圆联系上呢(多边形)那么今天我就和同学们一起来探讨正多边形与圆。看看它们之间有怎样的联系,又给我们带来什么样的知识。 / (一)自习交流: 1.带着以下问题自主预习教材105页至106页的内容,勾画你认为重要的地方和有 疑问的地方。 ①什么是多边形多边形的内角和与外角怎么计算的 ②正多边形和圆有什么关系 ③结合图形说说正多边形的中心、中心角、边心距、半径,并结合以前的知 识说说它们的特点 ④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、边心距、半径、周长和面 积 2.师生交流重要知识点: (1)正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 如正五边形:AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E (

(名师整理)最新中考数学专题复习《弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系》精品教案

中考数学人教版专题复习:弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 一、教学内容 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1.圆心角、圆周角的概念. 2.弧、弦、圆心角之间的关系. 3.圆周角定理及推论. 二、知识要点 1.弧、弦、圆心角 (1)我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. (2)弧、弦、圆心角之间的关系: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等. ︵︵︵︵如图所示,(1)若∠AOB=∠COD,则AB=CD,AB=CD;(2)若AB=CD, ︵︵ 则∠AOB=∠COD,AB=CD;(3)若AB=CD,则∠AOB=∠COD,AB=CD. 1

90 A B O C D 2. 圆周角 (1 )顶点在圆上,并且两边与圆都相交的角叫做圆周角. (2)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等 于这条弧所对的圆心角的一半. C C C O 1 2 O O A ① B A ② D B E A ③ B (3)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角, °的圆周角所对的弦 是直径. 三、重点难点 本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的 旋转不变性出发,得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明. 【典型例题】 例 1. 在⊙O 中,如图所示,∠AOB =∠DOC ,试说明: ︵ ︵ (1)DB =AC ; (2)BD =AC . 2

最新人教版初中九年级上册数学《正多边形和圆》教案

24.3正多边形和圆 【知识与技能】 了解正多边形和圆的关系,了解正多边形半径和边长,边心距,中心,中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形. 【过程与方法】 结合生活中的正多边形形状的图案,发现正多边形和圆的关系,然后学会用圆的有关知识,解决正多边形的问题. 【情感态度】 学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活、又服务于生活,体现事物之间是相互联系,相互作用的. 【教学重点】 正多边形与圆的相关概念及其之间的运算. 【教学难点】 探索正多边形和圆的关系,正多边形半径,中心角、弦心距,边长之间的关系. 一、情境导入,初步认识 观察这些美丽的图案,都是在日常生活中,我们经常能看到的利用正多边形得到的物体. (1)你能从图案中找出多边形吗? (2)你知道正多边形和圆有什么关系吗?怎样就能作出一个正多边形来? 【教学说明】学生通过观察美丽的图案,欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活,并从中感受到数学美.问题(2)的提出是为了创设一个问题情境,激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来,激发学生积极探索、研究的

热情,并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上. 二、思考探究,获取新知 1.正多边形和圆的关系 问题1将一个圆分成5等份,依次连接各分点得到一个五边形,这五边形一定是正五边形吗?如果是,请你证明这个结论. 教师引导学生根据题意画图,并写出已知和求证. 已知:如图,在⊙O中,A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形. 问:五边形ABCDE是正五边形吗?如果是,请证明你的结论. 答案:五边形ABCDE是正五边形. ====,∴AB=BC=CD=DE=EA,证明:在⊙O中,∵AB BC CD DE EA ==,∴∠A=∠B;同理∠B=∠C=∠D=∠E,∴五边形ABCDE是正五BCE CDA AB 3 边形. 【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明,即证明多边形各边都相等,各角都相等;引导学生观察、分析,教师带领学生完成证明过程. 问题2如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这个n边形一定是正n 边形吗? 答案:这个n边形一定是正n边形. 【教学说明】在这个问题中,教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般,这符合学生的认知规律,并教导学生一种研究问题的方法,由特殊到一般. 问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形是正多边形吗?如果是,说明理由;如果不是,举出反例. 答案:各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为:各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如:矩形. 【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识,使学生明确判定圆内接多边形

正多边形与圆教案

正多边形与圆教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

24.3 正多边形和圆 一、学习目标: 1知识与技能: (1)了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 (2)能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 2过程与方法: (1)学生在探讨正多边形有关计算过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力。 (2)在探索正多边形有关过程中,学生体会化归思想在解决问题中的重要性,能综合运用所学的知识和技能解决问题。 3情感、态度与价值观: (1)学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体会到事物之间是相互联系,相互作用的。 (2)运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验,建立学习自信心。 二、教学重难点: 教学重点:理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系,并能进行有关计算。 教学难点:理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题。 三、教学方法:引导学生采用自主合作探究的方式进行学习 四、教学准备:PPT课件、圆规、直尺

五、教学过程: 导入: 前面我们学习了许多图形与圆的关系,如:点和圆、直线和圆、四边形 和圆以及圆与圆的关系,还有什么图形我们没有与圆联系上呢( 多边形)那么今天我就和同学们一起来探讨正多边形与圆。看看它们之 间有怎样的联系,又给我们带来什么样的知识。 (一)自习交流: 1.带着以下问题自主预习教材105页至106页的内容,勾画你认为重要的地 方和有 疑问的地方。 ①什么是多边形多边形的内角和与外角怎么计算的 ②正多边形和圆有什么关系? ③结合图形说说正多边形的中心、中心角、边心距、半径,并 结合以前的知识说说它们的特点? ④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、边心距、半 径、周长和面积? 2.师生交流重要知识点: (1)正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 如正五边形: AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E

圆心角圆周角练习题

知识点三:弧、弦、圆心角与圆周角 1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角 2. 在同圆或等圆中,弧、弦、圆心角之间的关系: 两个圆心角相等 圆心角所对的弧(都是优弧或都是劣弧)相等 圆心角所对的弦相等3、一个角是圆周角必须满足两个条件: (1)角的顶点在________;(2)角的两边都是与圆有除顶点外的交点。 4. 同一条弧所对的圆周角有__________个 5.圆周角定理: 1 = 2 圆周角圆心角 6.圆周角定理推论: (1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)半圆或直径所对的圆周角相等 (3)90°的圆周角所对的弦是直径。 注意:“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类,它们是相等或互补关系。 7. 圆内接四边形: 定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。 性质:圆内接四边形的对角

夯实基础 1.如果两个圆心角相等,那么( ) A .这两个圆心角所对的弦相等; B .这两个圆心角所对的弧相等 C .这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D .以上说法都不对 2.下列语句中不正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对 3. 在同圆或等圆中,下列说法错误的是( ) A .相等弦所对的弧相等 B .相等弦所对的圆心角相等 C .相等圆心角所对的弧相等 D .相等圆心角所对的弦相等 4、如图,在⊙O 中, AB AC ,∠B =70°,则∠A 等于 . 5、如图,在⊙O 中,若C 是 BD 的中点,则图中与∠BAC 相等的角有( ) A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 6、如图,若AB 是⊙O 的直径,AB=10cm ,∠CAB=30°,则BC= cm . 7、如图,已知OA ,OB 均为⊙O 上一点,若∠AOB=80°,则∠ACB=( )

正多边形和圆教学反思

正多边形和圆教学反思 儋州市西联中学邓高春 正多边形和圆,下面对这节课教学进行如下反思: 一、成功之处: 1、本节课的教学从生活实际出发(观看美丽图案),引导学生得出定义。这一做法渗透了数学来源于实践,反过来又作用于实践的辨证唯物主义思想。对定义的教学,不是简单地由教师告诉学生,而是由学生自己观察、猜想、探究得出结论,让学生体验知识的产生过程。 2、学生走上讲台,拉近了师生之间的距离。教师不是高高在上,而是与学生处在同等位置上,培养了学生能力。 3、备课仔细,对课堂上可能出现的问题作了充分地考虑。如在探究正多边形的定义的时候,对学生可能得出的结论作了充分的准备。反映了教师的基本功扎实。 4、整堂课都体现了对学生动手能力的培养。在探究正多边形和圆的关系时,让学生自己动手操作,画圆,实验并进行猜想,这正是新大纲教改思路的体现。 5、注重学生间的合作交流。表现形式有同位或小组讨论。实验表明学生之间的知识交流比师生间交流更利于学生的知识掌握。同时,这种形式也培养了学生将来走向社会后能够充分地表达自己的见解,听取别人的意见。 6、注重学法指导。在进行正多边形和圆关系的第二个结论时,指导学生自学,教给学生学习的方法,“授学生以渔”,为学生将来的终身教育打下基础。

7、小结的形式。 8、本节课一个突破性的地方就是在课堂上让学生质疑,让学生对本节课不明白的地方或是与老师意见不一致的地方敢于提出自己的见解。尽管在这方面做得不是很到位,但是已跨出大胆的一步。 二、不足之处: 1、在讨论时应该放得更开一些,可以采用多种形式,如:下位找自己熟悉的同学讨论,或是不局限有于一个小组,而进行多组合作,或是与老师(甚至是听课老师)讨论。 2、应注意多媒体板演的示范作用,投影应适时。

九年级上册数学《圆》正多边形和圆_知识点整理

正多边形和圆 一、本节学习指导 本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质,在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题,部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。 二、知识要点 1、正多边形 (1)、正多边形的定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。如:正六边形,表示六条边都相等,六个角也相等。 (2)、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 (3)、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 (4)、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 (5)、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 (6)、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 2、正多边形的对称性 (1)、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。 (2)、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。 (3)、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。

24.3正多边形和圆 一、填空题 1. 在一个圆中,如果?60的弧长是π,那么这个圆的半径r=_________. 2. 正n 边形的中心角的度数是_______. 3. 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________. 4. 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________. 二、选择题 5.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是( ). (A ) 两角互余 (B )两角互补 (C )两角互余或互补 (D )不能确定 6.圆内接正三角形的边心距与半径的比是( ). (A )2:1 (B )1:2 (C )4:3 (D )2:3 7.正六边形的内切圆与外接圆面积之比是( ) (A )43 (B )23 (C )21 (D )4 1 8.在四个命题:(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形;(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形;(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形;(4)各角相等的圆外切多边形是正多边形,其中正确的个数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 9.已知:如图48-1,ABCD 为正方形,边长为a ,以B 为圆心,以BA 为半径画弧,则阴影 部分面积为( ). (A )(1-π)a 2 (B )1-π (C ) 44π- (D )4 4π-a 2 1. 3; 2. n o 360;3. ∏2;4. 2:3; DBABD

圆与圆、圆与正多边形的关系

专题七 圆 第三讲 圆与圆、圆与正多边形的关系 考点互动考点一 圆与圆的位置关系 【必记必背】 圆与圆的位置关系:当两个圆的圆心之间的距离大于两圆半径之和的时候,两圆外离;当两个圆的圆心之间的距离等于两圆半径之和的时候,两圆外切.当两个圆的圆心之间的距离 大于 大圆半径与小圆半径之差,并且,小于两圆半径之和的时候,两圆相交.当两个圆的圆心之间的距离等于大圆半径与小圆半径之差的时候,两圆内切.当两个圆的圆心之间的距离小于大圆半径与小圆半径之差的时候,两圆内含. 【活学活用】 两圆的位置关系的判定关键是计算两半径的和与差,用计算的结果和圆心距相比较,根据圆与圆的数量关系来判定位置关系.一般常出的题目是判断相交.内切或外切. 例1 (2013,云南八地)已知⊙O 1的半径是3cm ,⊙2的半径是2cm ,O 1O 2=cm ,则两圆的位置关系是( ) A . 相离 B . 外切 C . 相交 D . 内切 【考点】 圆与圆的位置关系;估算无理数的大小 【解析】 由⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 、2cm ,且圆心距O 1O 2=cm ,根据两圆位置关系与圆心距d ,两圆半径R ,r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系. 解:∵⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 、2cm ,且圆心距O 1O 2=cm , 又∵3+2=5> ,3﹣2=1 , ∴两圆的位置关系是相交. 故选C . 【命题立意】 此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ,两圆半径R ,r 的数量关系间的联系. 练习1 (2011,云南保山)如图,已知⊙B 与△ABD 的边AD 相切于点C ,AC=4,⊙B 的半径为3,当⊙A 与⊙B 相切时,⊙A 的半径是( ) A 、2 B 、7 C 、2或5 D 、2或8 【考点】圆与圆的位置关系;勾股定理。 【专题】分类讨论。 【解析】根据切线的性质可以求得BC 的长,然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可. 解:∵⊙B 与△ABD 的边AD 相切于点C ,AC=4, ∴BC=3,AB=5, ∵⊙A 与⊙B 相切, ∴当两圆外切时,⊙A 的半径=5﹣3=2, 当两圆内切时,⊙A 的半径=5+3=8. 故选D . 【命题立意】本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识,解题的关键是分类讨论,小心将另外一种情况漏掉.

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高) 【学习目标】 1、了解圆心角、圆周角的概念; 2、理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3、掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两 组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1、圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3、推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要就是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征、 (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提、 要点二、圆周角 1、圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3、圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角就是直角,90°的圆周角所对的弦就是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都与圆相交、 (2)圆周角定理成立的前提条件就是在同圆或等圆中、 4、圆内接四边形:

(1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角). 5、弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间就是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)、 *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等、 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1、已知:如图所示,⊙O中弦AB=CD.求证:AD=BC. 【思路点拨】 本题主要就是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD=BC,只需证??AD BC =或 证∠AOD=∠BOC即可. 【答案与解析】 证法一:如图①,∵AB=CD,∴??AB CD =. ∴???? AB BD CD BD -=-,即?? AD BC =, ∴AD=BC. 证法二:如图②,连OA、OB、OC、OD, ∵AB=CD,∴∠AOB=∠COD. ∴∠AOB-∠DOB=∠COD-∠DOB, 即∠AOD=∠BOC,∴AD=BC. 【总结升华】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法就是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而图中没有已知的等弧与等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理. 举一反三: 【变式】如图所示,已知AB就是⊙O的直径,M、N分别就是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB. 求证:??AC BD =.

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