3-3(高阶导数)

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数 公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般 是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一 般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，

然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v = )( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []' ')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a = （3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d ) (2 根据导数的定义可知：''0()() ()lim x f x x f x f x x →+-''=V V V 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d .

第四单元 复合函数求导与高阶导数

经济数学基础 第二章 导数与微分 第四单元 复合函数求导与高阶导数 第一节 复合函数与隐函数求导法则 一、学习目标 在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分. 二、内容讲解 （一）复合函数求导 1.复合函数求导问题： （1）2)32(+=x y ，求?='y ；（2）100 )32(+=x y ，则?='y 解：第一个问题2 )32(+=x y ，求导数没有直接公式可用. 方法1：将函数展开 9124)32(2 2++=+=x x x y ，利用加法法则有128+='x y 方法2：将函数写成两个因式乘积的形式 )32)(32()32(2 ++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y 第二个问题100 )32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦. 写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦. 在这节课我们将介绍复合函数求导法则. 讨论100 )32(+=x y ，引进中间变量32+=x u 9999)32(2002100d d d d d d +=?=== 'x u x u u y x y y

经济数学基础 第二章 导数与微分 2.复合函数求导法则 定理 设y=f (u ),u=?(x ),且u =?(x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=?(x )处可导，则复合函数y=f (?(x ))在点x 处可导，且 ) ()(x u f y x φ''='或 x u x u y y '?'=' 3.复合函数求导步骤 （1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量； （2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导. 4.多层复合的函数求导数 对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φ?===， 则)()()(x v u f y φ?'''=' 或x v u x v u y y '?'?'=' 注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导. （二）隐函数求导 1.隐函数求导问题: 求由方程 12 2=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？ 解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和2 1x y --= 分别求导 21x x y --= '和 21x x y -= '，将21x y -=和2 1x y --=分别代入， 得 y x y - ='，01232=+--y x x （1） 由（1）解得 )13(212 +-= x x y ， 0e e =-+x xy y （2） 在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y = 2.隐函数求导方法步骤

第四节 多元复合函数的求导法则

第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．

高阶导数和高阶微分 泰勒公式

§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式 1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数 )(x y y =的n 阶导数就是 h x y h x y x y x y n n h n n ) ()(lim ])([)()1()1(0) 1() (--→--+='= (0)()()y x y x =???? 而n 阶微分就是 n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量) 因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成 n n x x y d )(d 或简记成 n n x y d d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中. 例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有 ()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ==== 例34 对于函数x y sin =，则 cos sin , sin sin 2,22 2y x x y x x '??πππ?? ???? '''==+=+=?+ ? ? ????? ?????? 一般地， ()sin 2n n y x π??=+ ???； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π??==+ ??? ),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有 ()cos 2n n y x π??=+ ???； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π?? ==+ ??? ),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则 2 23 112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''= =-=-+++ 一般地， （n 阶导数）() 1 (1)! (1)(1,2,)(1)n n n n y n x --=-=+ （n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1) n n n n n n n y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e (0),(0)0x f x x f - =≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n . 证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义， 然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []'')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a =

（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d )(2 根据导数的定义可知：''0()()()lim x f x x f x f x x →+-''= 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. （2）二阶及二阶以上的导数y '' y ''' y (4) ?? y (n )统称高阶导数. 3.常见初等函数的高阶导数 例1 已知3y x = 求()n y （一级） 解: ()()423;6;6;0;,0.n y x y x y y y ''''''===== 课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2 sin(cos π+=='x x y , )2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,

求高阶导数

高阶导数 一般来讲，首先看它是不是常见的那几个函数（指数函数，三角函数）什么的，如果是，直接套公式； 其次：如果不是，则看能不能写成上面几个函数的和式或者乘积表达式，如果是和式，直接用求导法则，如果是乘积，用莱布尼兹法则写出通项后求和即可 再次：观察可不可以对函数求出几阶导数之后变成上面的两种情况； 最后，实在不行，看看能不能用数学归纳法求解。 上面的方法没有前后顺序，呵呵，关键看你的数学感觉。 1、一般来说，当然就是一次一次地求导，要几次导数给几次； 2、上面的方法比较沉闷，而且容易出错，通常根据被求导的函数，求几次导数后， 根据结果，找到规律，然后用归纳法，证明结果正确； 3、在解答麦克劳林级数、泰勒级数时，经常要求高阶导数，找规律是非常需要技巧的，很多情况下，递推公式(Redunction)是很难找到。 实在找不到时，只能写一个抽象的表达式。 步骤： 第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R. 第二步：求f(x)的导数f′(x). 第三步：求方程f′(x)＝0的根. 第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格. 第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性. 第六步：明确规范地表述结论. 第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 这个公式是说，对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候，可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。 那个C是组合符号， C(i,n)=n!/(i!(n-i)!) 莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。展开的形式我就不多说了。 一般来说，f(x)和g(x)中有一个是多项式，因为n次多项式求n+1次导数就变成0了，可以给计算带来方便。 就本题： y的100阶导数=（x的0阶导数*shx的100阶导数）+100（x的1阶导数*shx的99阶导数）+99*100/2(x的2阶导数*shx的98阶导数)+...... 如前所说，x的2阶以上导数都是0,所以上式只有前两项， 所以：y的100阶导数=xshx+100chx 1.把常用初等函数的导数公式记清楚； 2.求导时要小心谨慎，尤其是关于复合函数的导数。

复合函数的求导法则高阶导数

[11] 复合函数的求导法则·高阶导数 ◇ 一、求下列函数的导数： 1．)1ln(2 x y +=． 2．x x y sin 2sin 2ln -+=． 3．)12sin(3+=-x e y x ． 4．)]cos(ln )[sin(ln x x x y +=． 5．)1ln(2x x e e y ++=． 6．x x y +=1arcsin ． [解] 1．x x y 2112?+='2 12x x +=． 2．])sin 2ln()sin 2[ln('--+='x x y )sin 2(sin 21)sin 2(sin 21'-?--'+?+= x x x x x x x x sin 2cos sin 2cos ---+=x x 2sin 4cos 4-=． 3．])12[sin()12sin()(33'+++'='--x e x e y x x )12cos(2)12sin(333+++-=--x e x e x x )]12sin(3)12cos(2[3+-+=-x x e x ． 4．])cos(ln )[sin(ln )cos(ln )sin(ln '+++='x x x x x y ]1)sin(ln 1)[cos(ln )cos(ln )sin(ln x x x x x x x ?-?++=)cos(ln 2x =． 5．)1(1122'++?++='x x x x e e e e y )2121(11222x x x x x e e e e e ?++?++=x x e e 21+=． 6．)1(111 '+?+-='x x x x y )1(1211'+?+?+=x x x x x 2)1(11211x x x x +?+?+=)1(21x x +=． ◇ 二、将幂指函数)()(x v x u 变形成)(ln )(x u x v e 后求导数： 1．x x e x y 2=． 2．x x y ln ) (sin =． [解] 1． )2(ln 2ln 2+=?==x x x x x x x e e e e x y ，于是 ])2(ln [')2(ln '+=+x x e y x x ]1)2[(ln 2x x x e x x x ?++=)3(ln 2+=x e x x x . 2．)(sin ln ln '='?x x e y )cot ln sin ln (sin ln ln x x x x e x x +=? ).cot ln sin ln ()(sin ln x x x x x x += ◇ 三、设)(x f 可导，求函数)(sin )(sin 22+=x f x f y 的导数． [解] x x f x f x x x f y 2)()(cos cos sin 2)(sin 222?'?+??'=' )(cos )(22sin )(sin 222x f x f x x x f '+'=. ◇ 四、设f (x ) 和g (x ) 可导且0≠+22)()(x g x f ，试求)()(x g x f y 22+=的导数．

第十二讲高阶导数习题

第十二讲 高阶导数习题 一、选择题 1. 设x e x f 2)(=，则(0)f '''=【 】 A. 8 B. 2 C. 0 D. 1 2. 设x x x f cos )(=，则()f x ''=【 】 A. x x sin cos + B. x x x sin cos - C. x x x sin 2cos -- D. x x x sin 2cos + 3. 设y=sinx ，则y (10)|x=0=【 】 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2n 4. 已知ln ,=y x x 则()6y =【 】 A. 5 1x - B. 51x C. 54!x D. 54!x - 二、填空题 1. 设函数)(x f 有任意阶导数且)()('2 x f x f =，则()f x '''= 。 2. 已知函数2x y e =，则y '''=_____________. 3. 设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导，且)()(x f e x f ='，1)2(=f ，则=''')2(f _____________. 4. 设函数)(y f x =的反函数)(1x f y -=及)]([1x f f -'、)]([1x f f -''均存在，且 0)]([1≠'-x f f ，则=-212dx )x (f d _____________. 5. 设x x x f +-=11)(，则=)x (f )n (_____________. 6. 设x x y 44cos sin -=，则=) n (y ____________. 7. 184、设x x x y cos sin sin 3+=，则=) n (y ____________.

复合函数n阶导数推导

The Formula of FAA Di Bruno Author(s): Steven Roman Reviewed work(s): Source: The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 10 (Dec., 1980), pp. 805-809 Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at . https://www.360docs.net/doc/3715178722.html,/page/info/about/policies/terms.jsp . JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range of content in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new forms of scholarship. For more information about JSTOR, please contact support@https://www.360docs.net/doc/3715178722.html,. . Mathematical Association of America is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to The American Mathematical Monthly. https://www.360docs.net/doc/3715178722.html,

求高阶导数常见方法

求函数的高阶导数常用方法 （一）逐阶整理法 例1、 求()sin x f x e x =的n 阶导数（解略） （二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式 （1）()()(1)(1)n n x n x ααααα?=??+" （2）()()(ln )x n x n a a a =， ()(e )e x n x = （3）()(sin())sin ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ?， ()(cos())cos ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ? （4）()11(1)!n n n n x x +???=????， ()1 1(1)!()n n n n n a ax b ax b +????=??++?? （5）1()(1)(1)!(ln )n n n n x x ???=， 1()(1)(1)!(ln())()n n n n n a ax b ax b ????+=+ 例2、求下列函数的n 阶导数 （1）1()(1) f x x x =? （2）()1n x f x x =? （3）2221()f x a b x =? （4）()cos cos2f x x x =? （三）利用莱布尼茨公式 例3、求函数ln ()x f x x =的n 阶导数 例4、求函数2()(1)n f x x =?的n 阶导数 （提示：()(1)(1)n n f x x x =??+） （四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式

例5 、设arctan y x =，求() 0n x y = 解：由211y x ′=+， 得 2(1)1y x ′?+= 对上式两边求n 阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得 (1)2()(1)(1)(1)2202 n n n n n y x n y x y +???++??+ ??= 即 2(1)()(1)(1)2(1)0n n n x y nxy n n y +?+?++?= （高阶导数的递推公式） 令0x =，得 (1) (1)00(1)n n x x y n n y +?===?? 又由(0)0y =，(0)1y ′=，故 () 0 0 , 2(1)(2)!, 21n k x n k y k n k ==?=???=+?当当 例6 、设arcsin y x =，求() 0n x y = 解：由y ′= ，32221(1)x x y y x x ′??′′′===???，则 2(1)y x y x ′′′??=? 对上式两边求n 阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得 (2)2(1)()(1)()(1)(1)(2)(2)12 n n n n n n n y x n y x y y x n y +++???+???+ ???=?+?? 整理，得 2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++??+?= 令0x =，得 (2)2()n n y n y += （高阶导数的递推公式）

高阶导数的计算

高阶导数的计算 一、 高阶导数定义 定义（二阶导数） 若函数f 的导函数'f 在点0x 可导，则称'f 在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，即 )('') (')('lim 00 00 x f x x x f x f x x =--→， 此时称f 在点0x 二阶可导。 如果f 在区间I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I 上的二阶可导函数，记作)(''x f ， I x ∈，或记作''f ，''y ，2 2dx y d 。 函数)(x f y =的二阶导数)(''x f 一般仍旧是x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话， 称之为函数)(x f y =的三阶导数，记为'''y ，)('''x f ，或33dx y d 。 函数)(x f y =的1-n 阶导数的导数称为函数)(x f y =的n 阶导数，记为) (n y ，) (n f ，或n n dx y d 。 相应地，)(x f y =在0x 的n 阶导数记为： 0 ) (x x n y =，)(0) (x f n ，0 x x n n dx y d =。 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 1． )()() (] [n n n v u v u ±=±。 2． +++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(v u C v u C v u uv n n n n n n )()() 1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++--- ∑=-= N K k k n k n v u C )()(， （Leibniz 公式） 其中u u =) 0(，v v =)0(。 注 将Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： n o k k n k n n n n n v u v u C v u C v u v u ++++=+-- 1110)(。 （这里 100==v u ），在形式上二者有相似之处。