常用逻辑用语 学案

1.1.1命题——（沈阳市广全中学）

1.1.1 命题

【学习目标】

1.了解命题的概念和命题的形式.

2.能进行命题的真假判断.

重点:判断命题真假

难点:判断命题是否成立和真假

【自学导航】阅读教材3-4页同时思考回答下列问题：

1.在数学中,我们把用、、或表达的，可以的叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题.

练习：下列语句中：

（1）若直线//

a b，则直线a和直线b无公共点；

（2）247

+=；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）若21

x=，则1

x=；

（5）两个全等三角形的面积相等；

（6）3能被2整除.

其中真命题有，假命题有

2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的 .

【典型例题】

例1.下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数a是质数，则a是奇数；

（3）指数函数是增函数吗？

（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；

（52；

（6）15

x>.

命题有，真命题有假命题有 .

例2.指出下列命题中的条件p和结论q：

（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；

（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.

解：（1）条件p：

结论q：

（2）条件p：

结论q：

1.1.1 命 题——（沈阳市广全中学）

变式：将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假： （1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）负数的立方是负数； （3）对顶角相等.

【巩固训练】

1.判断下列命题的真假：

（1）能被6整除的整数一定能被3整除；

（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形； （3）二次函数的图象是一条抛物线；

（4）两个内角等于45?的三角形是等腰直角三角形.

2.把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断它们的真假. （1）等腰三角形两腰的中线相等； （2）偶函数的图象关于y 轴对称；

（3）垂直于同一个平面的两个平面平行.

小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假. 【课后巩固】

1.下列语句中不是命题的是（ ）.

A.20x >

B.正弦函数是周期函数

C.{1,2,3,4,5}x ∈

D.125>

2.设M 、N 是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）.

A.如果M N ?，那么M N M ?=

B.如果M N N ?=，那么M N ?

C.如果M N ?，那么M N M ?=

D.M N N ?=，那么N M ? 3.下面命题已写成“若p ，则q ”的形式的是（ ）. A.能被5整除的数的末位是5

B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式

D.圆心到圆的切线的距离等于半径

4.下列语句中：（1）22）1002是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是

5.将“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则q ”的形式，则p ： ，q ：

1.1.2 量 词——（沈阳市广全中学）

1.1.2 量 词

【学习目标】

1.理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.

2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题. 重点：全称命题，存在性命题的理解.

难点：全称命题，存在性命题的理解及否定.

【自学导航】阅读教材4-6页同时思考回答下列问题： 思考：1.下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ （1）3x >；

（2）21x +是整数；

（3）对所有的,3x R x ∈>；

（4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数. 2. 下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ （1）213x +=； （2）x 能被2和3整除； （3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除. 新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，

含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ?∈，读作：

2. 短语“ ”“ ” “ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“ ”表示，含有 的命题，叫做存在性命题. 其基本形式,()x M q x ?∈，读作：_______________________

练习：判断下列命题是不是全称命题或者存在性命题：

（1）中国所有的江河都流入大海； （2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （3）每一个非零向量都有方向； （4）存在一个实数不能作除数. 【典型例题】

例1.判断下列命题的真假：

（1）所有的质数都是奇数； （2）x R ?∈，211x +≥；

（3）(5,8)x ?∈，2()420f x x x =--> （4）(3,)x ?∈+∞，2()420f x x x =--> 小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可. 例2.判断下列命题的真假：

（1）有一个实数0x ，使200230x x ++=； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数； （4）2,32a Z a a ?∈=-； （5）3a ?≥，232a a =-.

小结：要判定存在性命题“00,()x M p x ?∈” 是真命题，只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()

p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题是假命题.

1.1.2 量 词——（沈阳市广全中学）

【巩固训练】

1.判断下列全称命题的真假：

（1）每个指数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）{|x x x ?∈是无理数}，2x 是无理数. 2.判定下列存在性命题的真假：

（1）0x R ?∈，00x ≤； （2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；

（3）0{|x x x ?∈是无理数}，20x 是无理数. 3.下列命题中假命题的个数（ ）.

（1）x R ?∈，211x +≥； （2）x R ?∈，213x +=； （3）x Z ?∈，x 能被2和3整除； （4）x R ?∈，2230x x ++=. A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 4.下列命题中：

（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是 存在性命题是 .

3.用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题： （1）实数的平方大于等于0： .

（2）存在一对实数使2330x y ++<成立：_____________________. 【课后巩固】

1.判断下列命题是存在性命题还是全称命题 ，并判断真假：

（1）任意末位是0的整数可以被5整除；（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等；（3）所有负数的平方是正数；（4）任意梯形的对角线相等； (5)有些实数是无限不循环小数；（6）有些三角形不是等腰三角形；（7）有的菱形是正方形. 2.用量词符号“?”“?”表示下列命题: （1）实数都能写成小数形式；（2）存在凸n 边形，它的内角和等于2π；（3）任意一个实数乘以1-都等于它的相反数；（4）存在实数x ，有3

2

x x >；（5）对任意角α，都有2

2

sin cos 1αα+= 3.判断下列命题的真假：

（1）x R ?∈，2

10x x ++>；（2）x Q ?∈，

211

132

x x ++是有理数；（3）,R αβ?∈，sin()sin sin αβαβ+=+；（4）,x y Z ?∈，3210x y -=；（5）,a b R ?∈，方程0

ax b +=恰有一个解.

1.2基本逻辑联结词“且”“或”“非”——（沈阳市广全中学）

1.2 基本逻辑联结词“且”“或”“非”

【学习目标】

1.掌握逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，并能正确的应用它们解决问题.

2.掌握真值表并会应用真值表解决问题.

重点：且，或，非的含义

难点：复合命题真假判断

【自学导航】阅读教材10-16页同时思考回答下列问题：

探究一：“且”的意义

思考：下列三个命题有什么关系?

(1)12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.

新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.A B=_____________.

（1）12是48且是36的约数；（2）矩形的对角线互相垂直且平分.

∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.

反思：p q

探究二：“或”的意义

思考：下列三个命题有什么关系?

（1）27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.

新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“”，读作“”，A B=__________.

1.2 基本逻辑联结词“且”“或”“非”——（沈阳市广全中学）

试试：判断下列命题的真假：

（1）47是7的倍数或49是7的倍数； （2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.

反思：p q ∨的真假性的判断，关键在于p 与q 的真假的判断. 探究三：“非”的意义

思考：下列两个命题有什么关系?

(1) 35能被5整除； （2）35不能被5整除； 新知：1.一般地,对命题p 加以否定，记作“ ”，读作“ ”或“ ” u C p =_______.

3. 全称性命题q ：x A ?∈，()q x .它的否定是_________________. 试试：写出下列命题的否定,并判断他们的真假：

（1）p ：2+2=5； （2）q ：3是方程290x -=的根； （3）r 1=-

反思：p ?的真假性的判断，关键在于p 的真假的判断. 【典型例题】

例1：将下列命题分别用“且”和“或”联结成新命题并判断他们的真假： （1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等； （2）p ：cos y x =是周期函数，q ：cos y x =是偶函数； （3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数

（4）p ：10=10，q ：10<10

思考：如果p q ∧为真命题，那么p q ∨一定是真命题吗？反之，p q ∨为真命题，那么p q ∧一

定是真命题吗？

例2 .写出下列命题的非，并判断其真假：

（1）p ：sin y x =是周期函数； （2）q ：32< ； （3）r ：空集是集合A 的子集.

1.2 基本逻辑联结词“且”“或”“非”——（沈阳市广全中学）

【课后巩固】

1.写出下列存在性命题的否定： （1）

p ：x R ?∈，2220x x ++≤； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有些偶数是质数； （4）

p ：某些偶数是质数；

（5）p ：存在,x y Z ∈24y +=

2.命题p ：0不是自然数，命题q ：π是无理数，命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”中假命题是__________________________，真命题是_____________________________.

3.已知p ：2||6x x -≥，q ：,,x Z p q q ∈∧?都是假命题，则x 的值组成的集合为

4.写出下列命题，并判断他们的真假：

（1）p q ∨，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈； （2）p q ∧，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈； (3) p q ∨，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数； (4) p q ∧，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数.

5.判断下列命题的真假：

（1）52>且73> （2）78≥ （3）34>或34<

1.3.1 推出与充分条件、必要条件——（沈阳市广全中学）

1.3.1 推出与充分条件、必要条件

【学习目标】

1.理解充分条件、必要条件和充要条件的意义，能正确地判断、论证

2.并能正确运用它们解决问题. 重点：充分条件，必要条件的理解. 难点：充分条件，必要条件的理解.

【自学导航】阅读教材19-21页，同时思考回答下列问题： 探究：充分条件和必要条件的概念

思考1.命题“如果x y =-，则22x y =” （1）判断该命题的真假；

（2）改写成“若p ，则q ”的形式，则 P ： q ： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读作： 新知.一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,

记作p q ?,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 试试.用符号“?”与“”填空：

（1）22x y = x y =； （2）内错角相等 两直线平行； （3）整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数； （4）ac bc = a b =.

思考2.已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q 又

是p 的什么条件?

新知.如果p q ?，那么p 与q 互为______________.

例1 .下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x =，则2430x x -+=；

（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；

（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.

例2 .下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若x y =，则22x y =；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a b >，则ac bc >

1.3.1 推出与充分条件、必要条件——（沈阳市广全中学）

小结：判断命题的真假是解题的关键.

例3 .下列各题中哪些p 是q 的充要条件?

(1) p :0,0x y >>，q :0xy > (2) p :a b >，q :a c b c +>+

练1. 判断下列命题的真假.

（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.

练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？

（1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；

（3）p ：2x =，q ：3x -

（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.

小结：判断是否充要条件两种方法： （1）p q ?且q p ?；

（2）原命题、逆命题均为真命题； （3）用逆否命题转化. 【巩固训练】

1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等

C.四边形的对角线互相平分

D.四边形的对角线垂直

2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）. A.0x y += B.220x y +>

C.0x y -=

D.330x y +≠

3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ B.存在一条直线,,//a a a αβ?

C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα??

D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα??

4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.

5.p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.

1.3.1 推出与充分条件、必要条件——（沈阳市广全中学）

6. 判断下列命题的真假

（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件； （2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件.

7. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q . （1）如果A B ?，那么p 是q 的什么条件? （2）如果B A ?，那么p 是q 的什么条件? 【课后巩固】

1.在下列各题中, p 是q 的充要条件?

（1）p :234x x =+ ，q :x =（2）p : 30x -=，q :(3)(4)0x x --=

（3）p : 240(0)b ac a -≥≠，q :20(0)ax bx c a ++=≠ （4）p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根，q :0a b c ++= 2. 下列各题中p 是q 的什么条件？

（1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ；

（3）p ：2x =，q ：3x -；

（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形. 3. 下列命题为真命题的是（ ）. A.a b >是22a b >的充分条件 B.||||a b >是22a b >的充要条件

C.21x =是1x =的充分条件

D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件

4.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 5.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：

关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 6.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）.

A.132x -<<

B.1

02

x -<<

C.1

32

x -<< D.16x -<<

7. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.

（1）3x >是5x >的 （2）3x =是2230x x --=的 （3）两个三角形全等是两个三角形相似的

1.3.2 命题的四种形式——（沈阳市广全中学）

1.3.2 命题的四种形式

【学习目标】

1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念.

2.掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假. 重点：四种命题的关系

难点：互为逆否命题的应用

【自学导航】阅读教材22-23页同时思考回答下列问题：

试一试.下列四个命题：

（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数； （2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数； （4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为

通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：

例1：试写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假： （1）,x y R ?∈，如果0xy =，则0x =； （2）设a ，b 为向量，如果a b ⊥，则0a b ?=.

1.3.2 命题的四种形式——（沈阳市广全中学）

练习.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断其真假： （1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；

（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （3）奇函数的图像关于原点对称.

例2.以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判

断这些命题的真假并总结其规律性.

（1） . （2） . 练习.判断下列命题的真假.

（1）命题“在ABC ?中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题； （2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题； （3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题； （4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”的逆命题.

反思.如何判断命题的真假？

1.3.2 命题的四种形式——（沈阳市广全中学）

（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. 【巩固训练】

1.判断命题“若220x y +=，则0x y ==”是真命题还是假命题？

2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ） A.如果22x a b <+，那么2x ab < B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+ C.如果2x ab <，那么22x a b <+ D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <

3.命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）.

A.若0,0x y ≤≤，则0xy ≤

B.若0,0x y >>，则0xy ≤

C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <

D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤ 4.命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）. A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.等价命题

5 ）.

A. B.

C. D.

6.若1x >，则21x >的逆命题是 ，否命题是

7.命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为 __________________ .

8.若,,a b c R ∈，写出命题“若0ac <，则2

0a x b x c ++

=有两个不相等的实数根”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这三个命题的真假.

9.（易错题）“若,x y R ∈且2

2

0x y +=，则,x y 全为0”的否命题是（ ） A.若,x y R ∈且2

2

0x y +≠，则,x y 全不为0 B. 若,x y R ∈且2

2

0x y +≠，则,x y 不全为0 C.若,x y R ∈且2

20x y +=，则,x y 不全为0 D. 若,x y R ∈且2

2

0x y +=，则,x y 全不为0

2.1 曲线与方程——（沈阳市广全中学）

2.1 曲线与方程

【学习目标】

1.结合已经学过的曲线用其方程的实例.

2.了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法. 重点:了解曲线的方程 难点：画图象

【自学导航】阅读教材22-23页同时思考回答下列问题：

1.画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．

2.画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

新知.曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：

1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；

2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 试一试：

1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．

2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 新知.根据已知条件，求出表示曲线的方程．

例1 .证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．

2.1曲线与方程——（沈阳市广全中学）变式.到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50

y-=吗？

例2.设,A B两点的坐标分别是(1,1)

--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．

小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用(,)

M x y表示曲线上的任意一点的坐标；

②写出适合条件P的点M的集合{|()}

P M p M

=；

③用坐标表示条件P，列出方程(,)0

f x y=；

④将方程(,)0

f x y=化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

【巩固训练】

1下列方程的曲线分别是什么？

(1)

2

x

y

x

= (2)

2

2

2

x

y

x x

-

=

-

(3) log a x

y a

=

2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

2.1 曲线与方程——（沈阳市广全中学）

【课后巩固】

1.与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．

A ．2

x y x

= B ．y ．y ．2log 2x y =

2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ．

A ．射线

B ．直线

C ．圆

D ．线段 3.(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）． A ．10x y -+= B ．10x y -+=(01)x ≤≤ C ．10x y +-= D ．10x y -+=(01)x ≤≤

4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5

(0,)3

A 和点(1,1)

B ，则a = ，b = ．

5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足1

2

PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．

6.点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？

7.求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．