第五讲 定积分及其应用

第五讲 定积分及其应用

Ⅰ.考试要求

1．理解定积分的概念．

2．掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．

4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式． 5．了解反常积分的概念，会计算反常积分． 注：

(1) 数一、数二要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．

(2) 数三要求：会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．

Ⅱ.考试内容

一、定积分的概念与性质

1．定义

∑?=→??n

i i i b

a x f dx x f 1

)(lim )(ξλ； 注: （1）积分与所用变量的符号无关.

（2）规定：

()()b a

a

b f x dx f x dx =-??,

()0a a

f x dx =?

.

(3)几何意义

(4) 设)(x f 在[,]a b 上可积，则101

1lim ()()n n k b a b a

f a k f x dx n n n →∞=--+=∑?

特别地， ?∑==∞→101)()(1lim dx x f n

k

f n n k n ．

【例1】求和式极限（1）222121lim[]n n n n n

→∞-+++ （2）2

22222lim[]12n n n n

n n n n

→∞++++++ （3

）1

lim n n

→∞ （4

）n →∞

2．可积的条件

(1) 可积的必要条件：若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界． (2) 可积的充分条件：

若)(x f 在],[b a 上连续或仅有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； 3．定积分的性质

假设各性质中所列出的定积分都是存在的． (1) ???±=±b

a

b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα．

(2)

???+=b

c

c a

b

a

dx x f dx x f dx x f )()()(．

注：分段函数的积分

(3) 若在],[b a 上()()f x g x ≤，则

()()b b

a

a

f x dx

g x dx ≤?

?．

|()||()|()b

b

a

a

f x dx f x dx b a ≤>??．

(4) 设M 与m 分别是)(x f 在],[b a 上最大值与最小值，则

)()()(a b M dx x f a b m b

a

-≤≤-?．

(5) 积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则存在],[b a ∈ξ，使得

)()()(ξf a b dx x f b

a -=?.

注: ① ξ可以在区间内部取到.

② 若)(x f 在],[b a 上连续，()g x 在],[b a 上可积且定号,则],[b a ∈ξ，使得

()()()()b b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=?

?.

【例2】（11304）设?

=4

sin ln πxdx I ,?=40

cot ln πxdx J ,?=40

cos ln πxdx K ,则I ,J ,K

的大小关系是[ ]．

)(A K J I <<. )(B J K I <<. )(C K I J <<. )(D I J K <<.

【例3】设函数)(x f y =在区间]1,0[上可导, 且?

=2

/10

)(2)1(dx x xf f , 则存在(0,1)ξ∈,

使得0)()(=+'ξξξf f

二、奇偶函数与周期函数的积分性质

1．若)(x f 在],[a a -上可积，则

????

?=??-为偶函数若为奇函数若)(,)(2)(,0

)(0

x f dx x f x f dx x f a a

a

． 2．若)(x f 在],[a a -上可积，则

??

??为偶函数

若奇函数为奇函数

若偶函数为)(,)(,)(0

x f x f dt t f x

． 注: 若)(x f 为奇函数，则)(x f 的原函数均为偶函数．

若)(x f 为偶函数，则原函数中只有一个原函数是奇函数． 3．设)(x f 是以T 为周期的可积函数，则任意周期上的积分相等.

?

??-+==2

/2

/0)()()(T T T T a a

dx x f dx x f dx x f ，

?

?=T nT

dx x f n dx x f 0

0)()(．

4．设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则)(x f 的原函数以T 为周期的充分必要 条件是

0)(0

=?T

dx x f ．

【例4】积分=+?-

22

2

23cos )sin (π

πxdt x x ________．

【例5】设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，“N M ?”表示M 的充要条件 是N ，则必有 [ ]．

(A) )(x F 是偶函数 ?)(x f 是奇函数． (B) )(x F 是奇函数 ?)(x f 是偶函数．

(C) )(x F 是周期函数 ?)(x f 是周期函数． (D) )(x F 是单调函数 ?)(x f 是单调函数． 【例6】设函数?

=

x

dt t x S 0

cos )(，

(1) 当n 为正整数，且ππ)1(+≤≤n x n 时，证明：)1(2)(2+<≤n x S n ；

(2) 求x

x S x )

(lim +∞→.

三、计算定积分

1．微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式）：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是

)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则

)()()(a F b F dx x f b

a -=?．

2．换元积分法与分部积分法

注: 换元要换限 【例7】计算?--2

ln 0

21dx e x 。

【例8】计算

?

-1

2/34)1(dx x x .

四、反常积分

1．无穷区间的反常积分

（1）设)(x f 在),[∞+a 上连续，若极限?

+∞→t

a

t dx x f )(lim 存在，则称?

∞+a

dx x f )(收敛，

记作

?∞

+a

dx x f )( =?+∞→t

a

t dx x f )(lim

，否则称?

∞+a

dx x f )(发散；

若)()(x f x F ='，则

()()()a

f x dx F F a +∞=+∞-?

．

(2) 设)(x f 在],(b -∞上连续，若极限?

-∞→b

t

t dx x f )(lim 存在，则称?

∞

-b dx x f )(收敛，

记作

?∞

-b

dx x f )( =?-∞→b

t

t dx x f )(lim

，否则称?

∞

-b dx x f )(发散；

若)()(x f x F ='，则

()()()()b b

f x dx F x F b F -∞-∞

==--∞?

．

(3) 设)(x f 在),(∞+-∞上连续，若?∞

+c

dx x f )(与?

∞

-c dx x f )(都收敛，

则称

?∞

+∞-dx x f )(收敛，记作 ?∞

+∞-dx x f )( = ?∞-c

dx x f )( + ?∞

+c dx x f )(，

否则称

?∞

+∞-dx x f )(发散；

若)()(x f x F ='，则()()()()f x dx F x F F +∞+∞

-∞-∞

==+∞--∞?

．

2．无界函数的反常积分

(1) 设)(x f 在],(b a 上连续，点a 为)(x f 的瑕点，若极限?+

→b

t

a

t dx x f )(lim

存在，

则称

?b

a

dx x f )(收敛，记作

?b

a

dx x f )( =?

+→b

t

a t dx x f )(lim

，否则称?b

a

dx x f )(发散；

若)()(x f x F ='，则

)(lim )()()(x F b F x F dx x f a x b

a b

a

+

→-==?．

(2) 设)(x f 在),[b a 上连续，点b 为)(x f 的瑕点，若极限?-

→t

a b

t dx x f )(lim 存在，

则称

?b

a dx x f )(收敛，记作 ?b

a dx x f )( =?-

→t a

b t dx x f )(lim ，否则称?b

a dx x f )(发散；

若)()(x f x F ='，则

)()(lim )()(a F x F x F dx x f b x b

a b

a

-==-

→?．

(3) 设)(x f 在],(),[b c c a 上连续，点c 为)(x f 的瑕点，若

?c

a dx x f )(与

?b

c

dx x f )(都收敛，则称?b

a dx x f )(收敛，记作

?b

a

dx x f )(=?c

a

dx x f )(+?b c

dx x f )(，

否则称

?b

a dx x f )(发散；

若)()(x f x F ='，则

b

c c a b

a

x F x F dx x f )()()(+=?

)(lim )()()(lim x F b F a F x F c x c x +

-

→→-+-=．

3．几个重要的反常积分 (1)

???>≤>?∞

+)0(1,1,a dx x dx a λλλ发散收敛； (2)

???>≤>?∞

+)1(1

,1,ln a dx x x dx a

λλλ

发散收敛； (3)

?

??≥<-?1,1,)(λλλ发散收敛b

a dx a x dx

； (4)

2

2

π

=?

∞+-dx e x ．

【例9】（11212）设函数???≤>=-0

,00

,)(x x e x f x λλ,0>λ，则?+∞∞

-=dx x xf )( .

【例10】计算

?∞

+-+22

)7(x x dx

．

【例11】计算

2

22

1

11

[

]ln (1)dx x x x --?

．

五、定积分的应用

㈠ 平面图形的面积

1．在直角坐标系下

(1) 区间],[b a 上由曲线)(x f y =与x 轴所围成的平面图形的面积为

?=b

a

dx x f S |)(|．

(2) 区间],[b a 上由曲线)(x f y =与)(x g y =所围成的平面图形的面积为

|()()|b

a

S f x g x dx =-?．

(3) 区间],[d c 上（y 轴）由曲线)(y x ?=与y 轴所围成的平面图形的面积为

?=d

c

dy y S |)(|?．

(4) 区间],[d c 上（y 轴）由曲线)(y x ?=与)(y x ψ=所围成的平面图形的面积为

|()()|d

c

S y y dy φψ=-?．

2．在极坐标系下

平面图形：)}()(,|),{(21θθβθαθr r r r ≤≤≤≤的面积为

?-=

βα

θθθd r r S )]()([21212

2． ㈡ 空间立体的体积

1．平行截面面积为已知的立体的体积

设过x 轴上的任意点x 垂直于x 轴的平面与立体相截所得的截面面积为

)(x A )(b x a ≤≤，则该立体的体积为 ?=b

a

dx x A V )(．

2．旋转体的体积（以坐标轴为旋转轴）

(1) 区间],[b a 上由曲线)(x f y =与x 轴所围成的平面图形： 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为

?=b

a

x dx x f V )(2π；

绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为

?=b

a

y dx x xf V )(2π（0,0)(≥≥≥a b x f ）．

(2) 区间],[b a 上由曲线)(x f y =与)(x g y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周 所得的旋转体的体积为

?-=b

a

x dx x g x f V )]()([22π（0)()(≥≥x g x f ）．

(3) 区间],[d c 上（y 轴）由曲线)(y x ?=与y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转 一周所得的旋转体的体积为

?=b

a

y dy y V )(2?π．

(4) 区间],[d c 上（y 轴）由曲线)(y x ?=与)(y x ψ=所围成的平面图形绕y 轴 旋转一周所得的旋转体的体积为

?-=b

a

y dy y y V )]()([22ψ?π（0)()(≥≥y y ψ?）．

3．以平行于坐标轴的直线为旋转轴的旋转体的体积

作垂直于旋转轴的平面与立体相交，所得截面为圆域或圆环域，求出截面的面积， 转化为平行截面面积为已知的立体的体积问题．

六、（数一、数二要求）

1．平面曲线的弧长 平面曲线)()

()

(:βα≤≤??

?==t t y y t x x L 的弧长为?'+'=βα

dt t y t x S )()(22．

2．旋转体的侧面积

平面图形：b x a x f y ≤≤≤≤,)(0绕x 轴旋转一周而成的旋转体的侧面积为

?'+=b

a

dx x f x f S )(1)(22π．

3．变力沿直线作功

设质点M 沿x 轴正向从a x =处运动到b x =处，变力)(x F 的方向与x 轴正向

相同，则变力)(x F 对质点M 所作的功为?=b

a dx x F W )(．

4．液体的静压力

在液面下深为h 处，由液体重量产生的压强为gh ρ，其中ρ为液体的密度． (1) 设有一面积为A 的平薄板水平地放置在深为h 处的均匀静止液体中，则平板一侧 所受的压力为ghA pA F ρ==．

(2) 设有一高为h ，宽为0)(≥x f 的平薄板垂直地放置在均匀静止液体中，平薄板的 上方与液面的距离为a ，则该平薄板所受的侧压力为

?

+=h a a

dx x xf g F )(ρ，这里建立原点在液面上，正向为垂直向下的x 轴．

5．抽水做功

设一敞口容器侧壁由xoy 平面中的曲线段(),()y f x a x b =≤≤绕x 轴旋转所得旋转面构成，液面距容器口距离为a ，容器深度为b ，若将比重为ρ的液体抽出容器，则所做的功

2()b

a

W gxf x dx πρ=?

，这里建立原点在液面上，正向为垂直向下的x 轴．

6．引力

质量分别为21,m m ，相距为r 的两质点间的引力的大小为2

21r

m m k F ?=，

其中k 为引力系数．

7. 函数平均值

1

()b a f x dx b a

-?称为函数)(x f 在区间],[b a 上的平均值．

题型与例题 一．概念与性质

【例1】设函数f x (), g x ()在区间[,]01上连续, 且满足方程组

f x x

g x f x dx ()()()=+-?32

1; g x x f x g x dx ()()()=-+?420

1

, 求f x (),g x ().

二．计算

【例2】设函数f x ()连续, 1)1(=f , 且满足方程20

arctan 2

1

)2(x dt t x tf x

=

-?

, 求定积分

?

2

1

)(dx x f .

【例3】设?????>≤+=-0

,0

,1)(2

x e x x x f x , 求?-31)2(dx x f . 【例4】设????

???

≤≤+<≤-+=.

10,)

1(,

01,232)(22x e xe x x x x f x x

,求函数?

-=

x

dt t f x F 1

)()(的表达式

【例5】曲线C 的方程为)(x f y =, 点)2,3(是它的拐点, 该曲线在点)0,0(与)2,3(处的切线交于点)4,2(, 设函数)(x f 具有三阶连续导数, 计算定积分

?'''+3

2

)()(dx x f x x

.

三．应用

【例6】设

)(x f 在],[b a 连续,0)(,0)(,0)(>''<'>x f x f x f 。令?=b

a

dx x f I )(1，)()(2b f a b I -=，)]()()[(2

1

3b f a f a b I +-=，则

321.I I I A << 312.I I I B ≤< 213.I I I C ≤≤ 213.I I I D ≤≤

【例7】过坐标原点作曲线x y ln =的切线, 该切线与曲线x y ln =与x 轴围成平面图形

D ,

(1) 求D 的面积.

(2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积.

四．中值定理

【例8】设函数)(x f 在[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可微，且(0)(1)0f f ==，

1

()12

f =. （1）证明：存在1(,1)2

ξ∈，使得()f ξξ=；

（2）证明：存在(0,)ηξ∈，使得()()1f f ηηη'=-+.

【例9】设函数)(x f 在]3,0[上连续,在开区间)3,0(内存在二阶导数，且

2

2(0)()d (2)(3)f f x x f f ==+?.

（Ⅰ）证明：存在)2,0(∈η，使得)0()(f f =η； （Ⅱ）证明：存在)3,0(∈ξ，使得0)(=ξ''f .