带电粒子在匀强磁场中的运动问题分析策略

带电粒子在匀强磁场中的运动问题分析策略

河南省卢氏县第一高级中学徐建强

带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据这一特点该问题的解决方法一般为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。其中圆心的确定最为关键，一般方法为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。

以上方法简单明了，但具体求解时，学生对其轨迹的变化想象不出来，从而导致错解习题。如从以上方法出发，再借助圆规或硬币从“动态圆”角度分析，便可快而准的解决问题。此类试题可分为旋转圆、缩放圆和平移圆三大类型，下面以2010年高考试题为例进行分析。

一、旋转圆

模型特征

带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图1。解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。

典例解析

例1（2010·全国1）如图2，在0≤x≤a区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0°～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上P（a，a）点离开磁场。求：

（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；

（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；

（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间

动态分析

由题知沿y轴正方向发射的粒子从磁场边界上P(a，a)点离开磁场，利用圆规或硬币可作出其轨迹图像如图3，由于粒子速度方向在0°～180°范围内，其它方向的轨迹可以通过旋转第一个圆得到（O点为旋转点），如图4。从图中可明显发现第2问第3问所涉及的粒子轨迹所在位置，利用几何关系便可解答此题。

解析：（1）初速度与y轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图5中的弧

所示，其圆心为C。由题给条件可以得出∠OCP＝①

此粒子飞出磁场所用的时间为t0＝②设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得③由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有④

⑤，联立②③④⑤式，得⑥

(2)依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧上，如图所示。

设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为v P、v M、v N。由对称性可知v P 与OP、v M与OM、v N与ON的夹角均为π/3。设v M、v N与y轴正向的夹角分别为θM、θN，

由几何关系有θM＝θN＝⑧，对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度

与y轴正方向所成的夹角θ应满足⑨

(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图6所示。由几何关系可知，⑩，由对称性可知，?，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间t m＝2t0 ?

跟踪练习

1．（2010·新课标）如图7所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

（1）速度的大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

答案：

二、缩放圆

模型特征

带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或质量改变）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大（速度或质量逐渐增大时）或缩小（速度或质量逐渐减小时）的运动圆，如图8。解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。

典例解析

例2（2010·广东）如图10（a）所示，左为某同学设想的粒子速度选择装置，由水平转轴及两个薄盘N1、N2构成，两盘面平行且与转轴垂直，相距为L，盘上各开一

狭缝，两狭缝夹角θ可调(如图10（b）；右为水平放置的长为d的感光板，板的正上方有一匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度为B。一小束速度不同、带正电的粒子

沿水平方向射入N1，能通过N2的粒子经O点垂直进入磁场。O到感光板的距离为，粒子电荷量为q，质量为m，不计重力。

（1）若两狭缝平行且盘静止，如图9（c），某一粒子进入磁场后，竖直向下打在感光板中心点M上，求该粒子在磁场中运动的时间t；

（2）若两狭缝夹角为θ0，盘匀速转动，转动方向如图9（b）。要使穿过N1、N2的粒子均打到感光板P1P2连线上，试分析盘转动角速度ω的取值范围（设通过N1的所有粒子在盘旋转一圈的时间内都能到达N2）。

动态分析

通过审题可知，此题是通过粒子轨迹的变化求粒子速度范围进而求圆盘角速度范围。粒子以不同的速率沿水平方向从O点射入磁场，做半径不同的匀速圆周运动，由左手定则确定这些圆的圆心都在OP1连线上，且以O点为切点，利用圆规任画一个圆，设想半径不断变大，很容易发现可以打在感光板上的粒子轨迹，找到两个边界轨迹，从而解答题目。

解析

（1）粒子运动半径为R＝①，由牛顿第二定律qvB＝m②，匀速圆周运

动周期T＝③，粒子在磁场中运动时间

（2）如图11，设粒子运动临界半径分别为R1和R2，

⑥，设粒子临界速度分别为v1和v2，由②⑤⑥式，得若粒子通过两转盘，由题设可知，联立⑦⑧⑨，得对应转盘的转速分别为：，。所以粒子要打在感光板上，需满足条件：。

跟踪练习

2.（2010·全国2）图12中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里，图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域，不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点(图中未画出)穿出磁场，且GI长

为a，求离子乙的质量。

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。

思路点拨

此题是通过改变粒子质量实现轨迹的变化,求解粒子运动过程中的临界条件。

答案：

三、平移圆

模型特征

带电粒子在两个或更多个并列匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，根据左手定则得粒子旋转方向相反，轨迹在交界处必外切，轨迹可认为是圆的平移所得，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度

大小变化，根据洛伦兹力提供向心力得粒子运动半径改变，轨迹在交界处必内切，轨迹可认为两个半径不同的圆通过交替平移所得。如图13所示。

典例解析

例3（2010·浙江）有一个放射源水平放射出α、β和γ三种射线，垂直射入如图14所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感应强度大小B相等，方向相反(粒子运动不考虑相对论效应)。

（1）若要筛选出速率大于v1的β粒子进入区域Ⅱ，求磁场宽度d与B和v1的关系。

（2）若B＝0.0034 T，v1＝0.1c（c是光速），则可得d；α粒子的速率为0.001c，计算α和γ射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除α和γ射线的方法。

（3）当d满足第(1)小题所给关系时，请给出速率在v1＜v＜v2区间的β粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向。

（4）请设计一种方案，能使离开区域Ⅱ的β粒子束在右侧聚焦且水平出射。

已知：电子质量m e＝9.1×10－31 kg，α粒子质量mα＝6.7×10－27 kg，电子电荷量q＝1.6×10－19C，。

动态分析

此题是缩放圆和平移圆的结合应用。根据洛伦兹力提供向心力，β粒子顺时针旋转，当速度逐渐增大，轨迹半径在Ⅰ区域不断变大，当与交界处相切时，速度再增大则进入Ⅱ区域，由于两区域仅磁场方向相反，所以轨迹在两区域交界处外切，可通过圆的平移得到粒子运动轨迹，如图15所示。

解析：

（1）根据带电粒子在磁场中受洛伦兹力作用后做圆周运动的规律：①由临界条件得d、B和v1的关系为：②

（2）由①式可得α粒子的回旋半径：由

②式得：，竖直方向的距离为：

。可见通过区域Ⅰ的磁场难以将α射线与γ射线分离．可用薄纸挡去α射线，须用厚铅板挡掉γ射线。

（3）在上述磁场条件下，要求速率在v1＜v＜v2区间的β粒子离开区域Ⅱ时的位置

和方向，先求出速度为v2的β粒子所对应的圆周运动半径：，该β粒子从区

域Ⅰ磁场射出时，垂直方向偏离的距离为：；同理可得从区域Ⅱ射出时，垂直方向偏离的距离为：；同理

可得，与速度为v1对应的β粒子垂直方向偏离的距离为：。速率在v1＜v ＜v2区间射出的β粒子束宽为Y1－Y2，方向水平向右。

（4）由对称性可以设计出如图18所示的磁场区域，最后形成聚焦，且方向水平向右。

小结

从以上分析可知，利用圆规、硬币从动态圆角度可快捷的解决复杂的带电粒子在匀强磁场中运动的相关问题，如临界值、多解等常见问题。这种方法简单易学，学生也能容易掌握规律。教学中发现学生对这种借助简单的道具解决问题的方法不仅充满了好奇心，解决问题的过程中充满新鲜感，而且在解决完问题后又一片惊叹：原来问题可以这样来解决！寓教于乐，给人以深刻的思维启迪。