Weierstrass
奇异值分解定理
奇异值分解定理：设，则存在m 阶正交矩阵U 和n 阶正交矩阵V ，使得 ，其中为矩阵A 的全部非零奇 异值，满足0r 21>≥≥?≥≥，σσσ，前几个值比较大，它们包含了矩阵A 的大部分信息。U 的列向量（左奇异向量）是 的特征向量，V 的列向量（右奇异向量）是的特征 向量。 奇异值分解的性质： 1. 奇异值的稳定性 定理1：假设, A 和 B 的SVD 分别为和 ,其中p =min ( m , n) ,则有。 定理1表明当矩阵A 有微小扰动时,扰动前后矩阵奇异值的变化不会大于扰动矩阵的-2范数。这个性质表明,对于存在灰度变化、噪声干扰等情况的图像,通过SVD 后,图像的特征向量不会出现大的变化。这一性质放宽了对图像预处理的要求, 并使匹配结果的准确性得到了保证。 2. 奇异值的比例不变性 因此，为了消除幅度大小对特征提取的影响，所进行的归一化处理不会从本质改变奇异值的相对大小。 3. 奇异值的旋转不变性 图像奇异值特征向量不但具有正交变换、旋转、位移、镜像映射等代数和几何上的不变性,而且具有良好的稳定性和抗噪性，广泛应用于模式识别与图像分析中。对图像进行奇异值分解的目的是：得到唯一、稳定的特征描述；降低特征空间的维数；提高抵抗干扰和噪声的能力。 欧氏距离（Euclidean distance ）
欧氏距离定义：欧氏距离（Euclidean distance）是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。欧氏距离看作信号的相似程度，距离越近就越相似。 设x，y是M× N 维的两幅图像，那么其在图像空间中可以表示为： 式中为图像x，y的第（k，l）个像素点。则图像的欧氏距离定义为 根据上述定义，一幅M×N 的图像可以看作M×N 维欧氏空间中的一点，每个坐标对应于一个像素的灰度值。 特征匹配算法 采用遍历搜索法，计算特征向量两两间的欧氏距离，确定向量之间的最近邻距离（MD）第二近邻距离（SMD），并计算二者的比值：MD/ SMD。设定阈值s，当MD/ SMD 2012年哈尔滨工业大学数学系硕士研究生入学考试考试科目名称：数学分析考试科目代码：[612] 一、考试要求： 1）要求考生熟练撑握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。 2）要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。 3）要求考生了解数学分析中的基本概念、理论、方法的实际来源和历史背景， 清楚它们的几何意义和物理意义，初步具备应用数学分析解决实际问题能力。 二、考试内容： 1)、极限和连续 a．熟练掌握数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。 b．掌握极限的性质及四则运算性质，特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。 c．熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解相互关系。 d．熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的无穷小量的性质；并理解两者的相互关系。e．熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和Contor定理。 2)、一元函数微分学 a．理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。 b．熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高介导数的运算法则，会求分段函数的导数。 c．熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和平共处Cauchy中值定理以及Taylor公式。 d．能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。 e．掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。 3)、一元函数积分学 a．理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求有理函数、三角有理函数和简单元理函数的积分。 b．掌握定积分的概念，包括Darboux和，上、下积分及可积条件与可积函数类。c．掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。 d．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积，平面贡线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心）。 e．理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理。 4)、无穷级数 a．理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。 b．熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert 判别法与积分判别法。 c．熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。 d．熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass 判别法。Abel判别法和Dirichlet判别法。熟练掌握一致收敛级数的性质。e．掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。 f．熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。了解Weierstrass逼近定理。 g．了解Fourier级数的概念与性质以及敛散性的判别法。 5)、多元函数微分学与积分学 a．理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。 b．掌握隐函数存在定理。 第一部分：预备知识 1.1 矩阵的F-范数与矩阵迹的关系 引理：设m n A R ?∈，令()ij m n A a ?=，则2211 ||||||()()m n T T F ij i j A a tr AA tr A A === ==∑∑；其中，()tr ?定义如下： 令方阵11 12121 22212r r r r rr m m m m m m M m m m ?? ??? ?=???? ?? ，则11221 ()r rr ii i tr M m m m m ==+++=∑ ，即矩阵M 的迹。注意，()tr ?只能作用于方阵。 那么，下面来看下为什么有2211 ||||||()()m n T T F ij i j A a tr AA tr A A === ==∑∑？ 首先，22 11 ||||||m n F ij i j A a === ∑∑这个等式是矩阵F-范数的定义，即一个矩阵的F-范数等于矩阵中每个元素的平方和。 其次，因11121212221 2 ()n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ???????==?? ???? ，则11 2111222212m m T n n mn a a a a a a A a a a ?? ????=?? ? ? ?? ，易得2211 ()()||||||m n T T ij F i j tr AA tr A A a A ==== =∑∑。（T AA 或T A A 的第r 个对角元素等于第r 行或列元素的平方和，所有对角元素之和就是矩阵每个元素的平方和，即有上式成立。）此过程如图1和图2所示。 本科毕业论文 题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用学院： 班级： 姓名： 指导教师：职称： 完成日期：年月日 Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用 摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了[]b C,中的函 a 数()x f可被函数多项式一致逼近.之后又引入切比雪夫多项式的一个多项式核来给出另外一种不同的证明方法.第二部分简单介绍了Weierstrass逼近定理在不同情形下的一些推广.最后一部分则是Weierstrass逼近定理的一些应用. 关键词：Weierstrass逼近定理； Bernstein定理；切比雪夫多项式； 测度收敛 目录 1 Weierstrass逼近定理及其证明 (3) 1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 (3) 1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3) 1.1.2 闭区间[]b a,上的weierstrass逼近定理 (5) 1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 (6) 2 Weierstrass逼近定理的推广 (8) 2.1 Weierstrass第二定理 (8) 2.2 Weierstrass-Stone定理 (9) 2.3 复函数情形下的Weierstrass逼近定理 (9) 2.4 非连续函数的情形 (10) 3 Weierstrass逼近定理的应用 (11) 3.1 复合函数的测度收敛定理 (11) 3.2 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11) 地球物理系反演报告 实验一奇异值分解计算广义逆G+ 专业：地球物理学 姓名： 学号： 指导教师：邵广周 实验一 奇异值分解计算广义逆G + 一、基本原理 对于任意的n m ?方程组：b Ax = 其中??????????=mn m n a a a a A 1 111 ?? ?? ? ?????=n x x x 1 ??????????=m b b b 1 如果n m =，只要n 方阵A 非奇异，就有逆阵1-A ，从而得到解b A x 1-=。然而，对于n m ≠的一般情况，A 是长方阵，就没有通常的逆阵。不过它仍然可以有相应于特定方程类型的几种形式的广义逆矩阵，其中适于任何情况的广义逆叫做Penrose 广义逆，记为+A 。于是，方程的解可以为： b A x += 由奇异值分解（SVD ）可以将A 分解为： T V U A ∑= 其中U ，V 分别为m ,n 阶正交阵 ? ????????? ????? ???? ?=∑00 1 r σσ 这样A 的广义逆+A 可表示为： T U V A 1-+∑= 其中 ??????∑=∑--0001 1 r ????????? ?=∑---1111r r σσ 这样我们可以看出，完成A 的奇异值分解后，求解A 的广义逆就变得很简单，从而可以方便地求出方程组的最小二乘解。下面我们说明对矩阵进行奇异值分解的方法和步骤。 通常情况下我们考虑m>n 时矩阵A 的奇异值分解，因为当m 附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得 )(x P εM ∈t M t f ≤)(； 根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ， §3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法 一、教学目的：讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。 二、教学要求：熟练掌握Picard逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论 及证明思路，会用Picard逼近法求近似解。 三、教学重点：Picard存在唯一性定理及其证明。 四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程dy = dx 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足 01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 一．存在性与唯一性定理： 1、 显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式 1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=， 在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ?= （3.3） 教案 用多项式逼近连续函数 教学内容 介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。 应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。 定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。 设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射 B n : X →Y f (t) B n (f , x) = ∑ = -- n k k n k k n x x n k f ) 1( C ) (， 这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。 关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)； (2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立， 2018年硕士研究生入学612数学分析考试大纲考试科目名称：数学分析考试科目代码：[612] 一、考试要求： 1）要求考生熟练撑握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。 2）要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。 3）要求考生了解数学分析中的基本概念、理论、方法的实际来源和历史背景，清楚它们的几何意义和物理意义，初步具备应用数学分析解决实际问题能力。 二、考试内容： 1) 极限和连续 a．熟练掌握数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。 b．掌握极限的性质及四则运算性质，特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。 c．熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解相互关系。 d．熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的无穷小量的性质；并理解两者的相互关系。e．熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和Contor定理。 2) 一元函数微分学 a．理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。 b．熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高介导数的运算法则，会求分段函数的导数。 c．熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和平共处Cauchy中值定理以及Taylor公式。 d．能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。 e．掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。 3) 一元函数积分学 a．理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求有理函数、三角有理函数和简单元理函数的积分。 b．掌握定积分的概念，包括Darboux和，上、下积分及可积条件与可积函数类。c．掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。 d．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积，平面贡线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心）。 e．理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理。 4) 无穷级数 a．理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。 b．熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert 判别法与积分判别法。 c．熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。 d．熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass 判别法。Abel判别法和Dirichlet判别法。熟练掌握一致收敛级数的性质。e．掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。 f．熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。了解Weierstrass逼近定理。 g．了解Fourier级数的概念与性质以及敛散性的判别法。 5) 多元函数微分学与积分学 a．理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。 §2 矩阵的奇异值分解 定义 设A 是秩为r 的m n ?复矩阵，T A A 的特征值为 1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== . 则称i σ=(1,2,,)i n = 为A 的奇异值. 易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于其秩. 矩阵的奇异值具有如下性质： （1）A 为正规矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值的模； （2）A 为半正定的Hermite 矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值； （3）若存在酉矩阵,m m n n ??∈∈U V C C ，矩阵m n ?∈B C ，使=U A V B ，则称A 和B 酉等价.酉等价的矩阵A 和B 有相同的奇异值. 奇异值分解定理 设A 是秩为r (0)r >的m n ?复矩阵，则存 在m 阶酉矩阵U 与n 阶酉矩阵V ，使得 H ??==? ??? O U A V O O ∑?. ① 其中12diag(,,,)r σσσ= ∑，i σ(1,2,,) i r = 为矩阵A 的全部非零奇 异值. 证明 设Hermite 矩阵H A A 的n 个特征值按大小排列为 1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== . 则存在n 阶酉矩阵V ，使得 12 H H ()n λλ???? ??= =?????? ??? ? O V A A V O O ∑. ② 将V 分块为 12()=V V V ， 其中1V ，2V 分别是V 的前r 列与后n r -列. 并改写②式为 2 H ??=? ??? O A AV V O O ∑. 则有 H 2 H 112==A A V V A A V O ， ∑. ③ 由③的第一式可得 H H 2 H 1111()()r ==V A A V A V A V E ， 或者∑∑∑. 由③的第二式可得 H 222()() ==A V A V O A V O 或者. 令1 11-=U A V ∑ ，则H 11r =U U E ，即1U 的r 个列是两两正交的单位向 量.记作112(,,,)r =U u u u ，因此可将12,,,r u u u 扩充成m C 的标准正交基，记增添的向量为1,,r m +u u ，并构造矩阵21(,,)r m +=U u u ，则 12121(,)(,,,,,,)r r m +==U U U u u u u u 是m 阶酉矩阵,且有 H H 1121 r ==U U E U U O ，. 于是可得 H H H 1121H 2()()???? ===??? ??? ?? O U U AV U AV AV U O O O U ，，∑ ∑. 由①式可得 H H H H 111222r r r σσσ??==+++? ??? O A U V u v u v u v O O ∑ . ④ 最直观形象的SVD分解 SVD分解（奇异值分解），本应是本科生就掌握的方法，然而却经常被忽视。实际上，SVD分解不但很直观，而且极其有用。SVD分解提供了一种方法将一个矩阵拆分成简单的，并且有意义的几块。它的几何解释可以看做将一个空间进行旋转，尺度拉伸，再旋转三步过程。 首先来看一个对角矩阵， 几何上, 我们将一个矩阵理解为对于点(x, y)从一个平面到另一个平面的映: 射 下图显示了这个映射的效果: 平面被横向拉伸了3倍，纵向没有变化。 对于另一个矩阵 它的效果是 这样一个变化并不是很好描述，然而当我们将坐标系旋转45度后，我们可以看出 这时，我们发现这个新的网格上发生的变化和网格在对角阵下发生变化的效果相似。 这是一个对称矩阵的例子，可以看出，对称矩阵经过旋转后，其作用就和对角阵类似了。数学上，对于一个对称矩阵M, 我们可以找到一组正交向量v i从而M v i 相当于v i 上的标量乘积; 也就是 M v i = λ i v i λi是标量，也就是对应对角阵中对角线上的元素. 由于这个性质，我们称v i是M的特征向量; λ i 为特征值. 一个对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的。 对于更广泛的情况，我们看看是否能从一个正交网格转换到另一个正交网格. 考: 虑一个非对称矩阵 这个矩阵的效果形象的称为剃刀（shear）。 这个矩阵将网格在水平方向拉伸了，而垂直方向没有变化。如果我们将网格旋转大约58度，这两个网格就又会都变为正交的了。 奇异值分解： 考虑一个 2 *2 矩阵, 我们可以找到两组网格的对应关系。用向量表示，那就是 当我们选择合适的单位正交向量v 1和v 2 , M v1和M v2也是正交的 . 我们使用u 1 和u 2 代表M v1和M v2的方向. M v1和M v2的长度表示为σ1和σ2，也就是网格在每个方向的拉伸. 这两个拉伸值叫做M的奇异值（sigular value） 和前面类似，我们可以有 M v 1 = σ 1 u 1 M v 2 = σ 2 u 2 大连理工大学2019年硕士研究生入学考试大纲 科目代码：602科目名称：数学分析 试题主要分为两种类型，第一种为计算题，简答题及一些比较简单的证明题等，主要考查考生基本概念、基本定义、基本公式和基本计算方法的掌握程度，约占40%。第二类为证明题、逻辑推理题以及计算题，主要考查考生综合型的计算能力以及分析问题和解决问题的能力，约占60%。具体复习大纲如下： 一、数列极限 1、数列极限的概念，ε-N语言。 2、数列极限的性质和运算法则。 3、数列极限的存在性、求极限的一些方法。 4、基本列的定义，Cauchy原理及其应用。 5、无穷大和无穷小的概念以及无穷大与无穷小的联系。 6、数集的上、下确界，数列的上、下极限。 7、实数的六个等价定理。 8、Stolz定理。 二、函数极限与连续 1、集合的势，可数集与不可数集。 2、函数极限定义，ε—δ语言，函数极限的其他形式。 3、函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系。 4、无穷小与无穷大的级的概念，o与O的运算规则。 5、函数在一点连续的定义及其性质，初等函数的连续性，间断点分类。 6、一致连续的定义，连续与一致连续的区别、一致连续的判别。 7、有界闭区间上连续函数的各种性质及其应用。 8、函数上、下极限的概念与性质。 三、函数的导数及其应用 1、导数的定义，导数的几何意义，导数及高阶导数的运算规则，导数和高阶导数的计算。 2、微分的定义及其运算规则，一阶微分形式的不变性。 3、微分学的中值定理(包括Fermat定理,Rolle中值定理，Lagrange中值定理,Cauchy中 值定理)及其应用。 4、函数的单调性，函数的极值和最值，函数的凹凸性等及利用导数研究函数。 5、L’Hospital法则及应用。 6、Taylor定理、各种余项的Taylor展开（包括积分余项的Taylor展式）以及函数的Maclaurin 展式，Taylor展开的应用。 7、函数作图。 哈尔滨工业大学2018年理学院《数学分析》考试大纲数学分析考试科目代码：[612] 一、考试要求： 1）要求考生熟练撑握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。 2）要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。 3）要求考生了解数学分析中的基本概念、理论、方法的实际来源和历史背景，清楚它们的几何意义和物理意义，初步具备应用数学分析解决实际问题能力。 二、考试内容： 1)极限和连续 a．熟练掌握数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。 b．掌握极限的性质及四则运算性质，特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。 c．熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解相互关系。 d．熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的无穷小量的性质；并理解两者的相互关系。 e．熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和Contor定理。 2)一元函数微分学 a．理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。 b．熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高介导数的运算法则，会求分段函数的导数。 c．熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和平共处Cauchy中值定理以及Taylor公式。 d．能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。 e．掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。 3)一元函数积分学 a．理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求有理函数、三角有理函数和简单元理函数的积分。 b．掌握定积分的概念，包括Darboux和，上、下积分及可积条件与可积函数类。 c．掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。 d．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积，平面贡线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心）。 e．理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理。 4)无穷级数 a．理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。 b．熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert判别法与积分判别 2011年哈尔滨工业大学数学系硕士研究生入学考试 [831] 高等代数考试大纲 考试科目名称：高等代数考试科目代码：[831] 一、考试要求 （一）多项式 1.理解数域,多项式,整除,最大公因式,互素,不可约,k重因式,重因式地概念.了解多项式环,微商,本原多项式,字典排序法,对称多项式,初等对称多项式,齐次多项式,多项式函数等概念. 2.掌握整除地性质,带余除法定理,最大公因式定理,互素多项式地判别与性质,不可约多项式地判别与性质,多项式唯一因式分解定理,余式定理,因式定理、代数基本定理,Vieta定理,高斯引理,Eisenstein判别定理,对称多项式基本定理. 3.掌握 ) (x f无重因式地充要条件,) ( ) (x g x f 地判别条件,Lagrange插值公式,复数域、实数域及 有理数域上多项式因式分解理论,有理多项式地有理根范围. 4.掌握辗转相除法,综合除法.掌握化对称多项式为初等对称多项式地多项式地方法. (二)行列式 1.了解行列式地概念,理解行列式地子式,余子式及代数余子式地概念. 2.掌握行列式地性质,按行、列展开定理,Cramer法则,Laplace定理,行列式乘法公式. 3.会用行列式地性质及展开定理计算行列式,掌握计算行列式地基本方法. （三）线性方程组 1.理解向量线性相关,向量组等价,极大无关组,向量组地秩,矩阵地秩,基础解系,解空间等概念. 2.掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解地结构. 3.掌握用行初等变换求解线性方程组地方法. (四)矩阵 1.理解矩阵地概念、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵地概念及其性质. 2.掌握矩阵地线性运算、乘法、转置,以及它们地运算规律. 3.理解逆矩阵地概念,掌握逆矩阵地性质以及矩阵可逆地充要条件.理解伴随矩阵地概念,掌握伴随矩阵地性质. 4.掌握矩阵地初等变换、掌握初等矩阵地性质,理解矩阵等价地概念,会用初等变换法求矩阵地秩及逆矩阵. 5.理解分块矩阵,掌握分块阵地运算及初等变换. （五）二次型 1.二次型地概念及二次型地矩阵表示,了解二次型秩地概念,掌握二次型地标准形、规范形地概念及慣性定律. 2.掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形地方法. 3.掌握二次型和对应矩阵地正定、半正定、负定、半负定及其判别法. 区间上连续函数用多项式逼近的性态 摘要 在实际的应用中，经常遇到这样的问题：为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量下意义下最小．这就是用多项式来逼近函数问题的研究 本文主要讨论了区间上连续函数用多项式逼近的性态．首先给出了在闭区间上连续函数用多项式逼近的相关结论——Weierstrass逼近定理，是Weierstrass于1885年提出的，这条定理保证了闭区间上的任何连续函数都能用多项式以任意给定的精度去逼近．通过引用Bernstein多项式和切比雪夫多项式给出了相应的证明．其次列出了Bernstein多项式以及由Bernstein算子推广得到的Kantorovich算子它们的概念、一些具体的性质以及推广和应用．最后，引进推广到无穷区间上的S．Bernstein多项式，进一步研究了无穷区间上连续函数用多项式逼近的性态，并得到了相关结论． 关键词：Weierstrass逼近定理；Bernstein多项式；Kantorovich算子；S．Bernstein 多项式；无穷区间 Polynomial approximation of continuous functions on the interval property Abstract：In practical applications，often encounter this problem: to find a polynomial to approximate the more complex function of the analytical formula，and requested the minimum of the error is some kind of metric significance．This is the polynomial approximation function problems． This article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions．Firstly，the conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation - Weierstrass approximation theorem，is weierstrass 1885，which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed interval can use polynomials to approximate any given accuracy．Through quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof．Next has listed the Bernstein multinomial as well as the Kantorovich operator which obtains by the Bernstein operator promotion their concept，some concrete nature as well as the promotion and the application．Finally，the introduction promotes to the infinite sector in the S．Bernstein multinomial，further has studied in the infinite sector the continuous function the condition which approaches with the multinomial，and obtained the related conclusion． Key words：Weierstrass approximation theorem，Bernstein polynomials; Kantorovich operator; S．Bernstein polynomial; infinite interval 我所理解的奇异值分解SVD 1、 奇异值与奇异值分解定理 奇异值定理： 设m n A C ?∈，r=rank(A)，则一定存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V 和对角矩阵1212(,, ,)(1,2,,)r r i diag i r σσσσσσσ∑=≥≥≥=，且，而 ，使得H A U V =∑，称为A 的奇异值分解。 复数域内的奇异值： 设(0)m n H r A C r A A ?∈>，的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥ ≥>=== 则称1,2, ,)i i n σ==为A 的正奇异值；当A 为零矩阵时，它的奇异值都是零。易见，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于rank(A)。 2、 奇异值分解的理解 奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r 大的奇异值来近似描述矩阵。 r r r T r r r T v u v u v u V U V U A σσσ+++=∑=∑= 222111即A 可表示为r 个秩为一的举证的和，这是A 得奇异值分解的紧凑格式。 3、 奇异值分解特征 奇异值分解的第一个特征是可以降维。A 表示 n 个 m 维向量 ,通过奇异值分解可表示成 m + n 个 r 维向量 ,若A 的秩 r 远远小于 m 和 n ,则通过奇异值分解可以大大降低 A 的维数。可以计算出 ,当 r SVD分解 SVD分解（奇异值分解），本应是本科生就掌握的方法，然而却经常被忽视。实际上，SVD分解不但很直观，而且极其有用。SVD分解提供了一种方法将一个矩阵拆分成简单的，并且有意义的几块。它的几何解释可以看做将一个空间进行旋转，尺度拉伸，再旋转三步过程。 首先来看一个对角矩阵， 几何上, 我们将一个矩阵理解为对于点(x, y)从一个平面到另一个平面的映: 射 下图显示了这个映射的效果: 平面被横向拉伸了3倍，纵向没有变化。 对于另一个矩阵 它的效果是 这样一个变化并不是很好描述，然而当我们将坐标系旋转45度后，我们可以看出 这时，我们发现这个新的网格上发生的变化和网格在对角阵下发生变化的效果相似。 这是一个对称矩阵的例子，可以看出，对称矩阵经过旋转后，其作用就和对角阵类似了。数学上，对于一个对称矩阵M, 我们可以找到一组正交向量v i从而M v i 相当于v i 上的标量乘积; 也就是 M v i = λ i v i λi是标量，也就是对应对角阵中对角线上的元素. 由于这个性质，我们称v i是M的特征向量; λ i 为特征值. 一个对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的。 对于更广泛的情况，我们看看是否能从一个正交网格转换到另一个正交网格. 考: 虑一个非对称矩阵 这个矩阵的效果形象的称为剃刀（shear）。 这个矩阵将网格在水平方向拉伸了，而垂直方向没有变化。如果我们将网格旋转大约58度，这两个网格就又会都变为正交的了。 奇异值分解： 考虑一个 2 *2 矩阵, 我们可以找到两组网格的对应关系。用向量表示，那就是 当我们选择合适的单位正交向量v 1和v 2 , M v1和M v2也是正交的 . 我们使用u 1 和u 2 代表M v1和M v2的方向. M v1和M v2的长度表示为σ1和σ2，也就是网格在每个方向的拉伸. 这两个拉伸值叫做M的奇异值（sigular value） 和前面类似，我们可以有 M v 1 = σ 1 u 1 M v 2 = σ 2 u 2[612] 数学分析
奇异值分解的一些特性以及应用小案例
Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用
奇异值分解
10.连续函数的多项式一致逼近
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法
用多项式逼近连续函数
2019年硕士研究生入学612数学分析考试大纲
矩阵的奇异值分解
最直观的奇异值分解意义_作用_SVD分解意义
2019年大连理工大学考研专业课602数学分析考试大纲
哈尔滨工业大学2018年理学院《数学分析》考试大纲
哈工大数学考研大纲
【毕业设计】区间上连续函数用多项式逼近的性态
我所理解的奇异值分解
奇异值分解意义 作用 SVD分解意义