数学奥赛--高斯函数
数学奥赛辅导 第五讲高斯函数
知识、方法、技能
这一讲介绍重要的数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.
定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==
由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：
（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.
（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；
}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.
图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2
（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*
∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n
i i
i
n i i
R x
x x y x y x x y x y x 1
1
],[][
};{}{}{{];[][][；特别地，
].[][
b
a n
b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n
i i
i
n i i
R x
x x 1
1
],[][
；特别地，
*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.
（8）]]
[[
][n
x n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略.
（8）令Z m m n
x ∈=,][，则1+≤≤
m n
x
m ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]]
[[,1][m n
x m n x m =+<≤故
证毕.
取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.
定理一：*
∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][n
x 个是n 的倍数.
【证明】因n n x
x n n x n x n x n
x ?+<≤?+<≤
)1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这n
x ]
[个：
.][,,2,n n
x
n n ?
定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是
.][][][)!(32 +++=p
n
p n p n n p
【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][p n
个p 的倍数，有][
2p
n 个p 2
的倍数，…，所以.][
][)!(2
++=p n
p n n p 此定理说明：M p n n p ?=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于]7
2000
[]72000[)!2000(72+= +…=285+40+5=330，则2000！=7330·M ，其中7 M .
定理三：（厄米特恒等式）][]1
[]2[]1
[][,,nx n
n x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈ 则 【证法1】引入辅助函数
].1[]2[]2[]1[][][)(n n x n n x n x n x x nx x f -+--+--+-+--= 因=+)1
(n
x f …
)(x f =对一切R x ∈成立，所以)(x f 是一个以n 1为周期的周期函数，而当]1
,0[n
x ∈时，
直接计算知0)(=x f ，故任意R x ∈，厄米特恒等式成立.
【证法2】等式等价于}].{[][]1}[{]1}[{}][{][x n x n n
n x n x x x n +=-++++
++ 消去][x n 后得到与原等式一样的等式，只不过是对)1,0[∈x ，则一定存在一个k 使得n k x n k <≤-1，
即k n x k <≤-)1(，故原式右端.1][-==k nx 另一方面，由n
k x n k <≤-1知，n n k x n n k n i k x n i k n k n x n k n k n x n k 12,,1,,221,11-+<≤-+++<≤++<+≤++<+≤ ，
在这批不等式的右端总有一个等于1，设
k n t n t k -==+即,1. 这时，==+= ]1
[][n
x x 0][=-+n k n x ，而1]1[]1[=-+==+-+n n x n k n x ，因此原式的左端是1-k 个1之
和，即左端.1-=k 故左=右.
【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为)1,0[的问题；第二步对)1,0[分段讨论.
高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理. 定理四：设函数],[)(b a x f y 在=上连续而且非负，那么和式
∑≤ t a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平面区域)(0,x f y b x a ≤<≤<内的格点个数.特别地，有 （1）位于三角形：d x c b ax y ≤<>+=,0内的格点个数等于∑≤<+d x c x b ax 且]([为整 数）； （2）1),(=q p ，矩形域]2 ,0;2,0[p q 内的格点数等于 .2121][][ 2 /02/0∑ ∑<<<<-?-=+q x p y q p y p q x q p （3）0>r ，圆域2 2 2 r y x ≤+内的格点个数等于 ∑ ≤<--++2 /0222]2 [ 4][8 ][41r x r x r r . （4）0>n ，区域：n xy y x ≤>>,0,0内的格点个数等于 ∑<<-n x n x n 02][][2 . 这些结论通过画图即可得到. 赛题精讲 例1：求证：,2!2 11 --=?k n n n 其中k 为某一自然数. （1985年第17届加拿大数学竞赛试题） [证明]2为质数，n!中含2的方次数为 ∑∞ ==1].2 [ )!(2t t n n 若∑∑∞ =-=--------=-=++++====1 1 1 12211 1 1122221]2[]2 [)!(2,2 t k t k k t k t k k n n n 则 故!.|21 n n - 反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222 [(21 p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++ 由于1 2,2)!(22!,2]2[,22 1----≤-=-< s n n n p 则的方次数中含故 则n !.这与已 知矛盾，故必要性得证. 例2：对任意的∑∞ =+* +=∈0 1].22[,K k k n S N n 计算和 （第10届IMO 试题） 【解】因]212[]22[ 11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此，].2[]22[]212[1 11+++-?=+k k k n n n 又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2 ([,0]2[,1201n n n S n n K k k k k ==-==<∑∞ =+ 故从而 例3：计算和式.]503305[502 的值∑== n n S （1986年东北三省数学竞赛试题） 【解】显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则 503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503 305n 都不会是整数，但503 305n +,305503 ) 503(305=-n 可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[ 503305n ]+.304]503 ) 503(305[ =-n 故 ∑∑===?=-+==251 1 502 1.76304251304]),503) 503(305[]503305([]503305[n n n n n S 例4：设M 为一正整数，问方程2 22}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？ （1982年瑞典数学竞赛试题） 【解】显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解. 设x 是方程的解.将2 22}{}{}{2][x x x x x +?+=代入原方程，化简得=}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数. . 1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--?=-+++-≤≤+-== ∈=M M M M M M M M m m m m m k m k x N m x 例5：求方程.051][4042 的实数解=+-x x （第36届美国数学竞赛题） 【解】.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x ???? ? ? ???≤≥>?????????≤≥ ?≤-->--?????≤+->+-+∴.217][, 23][,211][;217][,23][,25][. 07][2)(3][2(. 0)11][2)(5][2(. 051][4][4,051][40)1]([42 2 x x x x x x x x x x x x x x 或 . 2269 ,02694; 2229 ,02294; 2189 ,01894;229 ,0294:,876][2][2222==-==-==-= =-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得 经检验知，这四个值都是原方程的解. 例6：.][3]3[2]2[1][][:,,n nx x x x nx N n R x ++++≥ ∈+∈* 证明 （第10届美国数学竞赛试题） 这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】.,2,1,] [2]2[][ =+++ =k k kx x x A k 令 由于.,1],[1命题成立时则==n x A . ,,,],[] [][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([] []2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,] [,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-= --≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA k kx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k 例7：对自然数n 及一切自然数x ，求证： )].([]1 []2[]1[][苏联数学竞赛题nx n n x n x n x x =-+++++++ 【证明】则},{][x x x += ]1 []2[]1[][n n x n x n x x -+++++++ ]. []1 []2[]1[][}].{[]1 }[{]2}[{]1}[{}][{.}]{[.1}{,}{11 }{1}{. ]1 }[{]}[{]1}[{]2}[{]1}[{}][{,11 }{,1}{,1,. }]{[]1 }[{]2}[{]1}[{}][{}],{[][}]{][[][]. 1 }[{]2}[{]1}[{}][{][], 1 }[{][]2}[{][]1}[{][}][{][] 1 }{][[]2}{][[]1}{][[}]{][[nx n n x n x n x x x n n n x n x n x x k n x n k n x n k n x n n k x n k x k n n n x n k x n k x n x n x x n k x n k x n k k x n n n x n x n x x x n x n x n x n nx n n x n x n x x x n n n x x n x x n x x x x n n x x n x x n x x x x =-+++++++=-+++++++-=+-<-≥<-+≥+-=-+++++-+++++++<-+≥+≤≤=-++++++++=+=-++++++++=-+++++++++++=-+++++++++++= 从而有 知 故知且知及由则 而使设存在即可故只要证明 例8：求出]3 1010[100 20000 +的个位数字.（第47届美国普特南数学竞赛试题） 【解】先找出3101010020000 +的整数部分与分数部分. 3 1010100 20000+=31033103)10(100200100200 200100+++- .3 108110310910310310]31010[, 131093103. 310310,3)10(|310310|3)10(,)3(])10[(3)10(100 502000010010020000100200200010020000100100 100200100200 2000022100100200200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知 又知 其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3. 目录 1.高斯数学 (2) 2.高斯的特色 (3) 2.1我们最专业 (3) 2.2我们最适合 (4) 2.3我们最有趣 (6) 2.4我们最易懂 (8) 2.5我们最便捷 (8) 3.高斯的课程 (8) 高斯数学 高斯数学是国内领先的创新思维数学课程，由人大附中（中国人民大学附属中学）、仁华学校教研室（人大附中创办的培养尖端学生的基地）、北大数学系组成的教研团队研发而成，历经十五年课堂实践，数百万中小学生学习体验，已成为数学尖子生的必修课。 高斯的特色 我们最专业 我们有最专业的教研团队，为孩子的数学学习保驾护航。团队中： 7位高考状元 50%曾被保送北大清华等一流名校 60%获得高中省级以上竞赛一等奖 70%都是北京大学、清华大学毕业生 80%在中学阶段有省级竞赛获奖经历 100%有竞赛获奖经历+985/211名校背景 我们有最权威的数学教材，让您的孩子享受北京最优质的教学资源。 历经15年历史沉淀，2008年由华东师范大学出版社公开出版，8年来3次改版，华杯赛唯一官方指定教材。 高斯数学将小学阶段6个年级，258讲知识，按7条主线绘制成7棵知识树，每棵知识树的树叶代表一讲内容，每讲知识有条理的上下贯穿，前后顺序展示知识衔接关系，非常清晰。 我们最适合 孩子在上数学课时，跟不上或者“吃不饱”都是课程不适合的问题，为了满足不同水平学生的需求，我们研发了三套不同的课程体系： 进步可视化体系 每堂课都有进门考、当堂练、课后作业，通过微信第一时间将学生情况反馈给家长，学习进步有迹可循，家长也心中有数。 我们最有趣 传统的数学学习十分枯燥，学生提不起兴趣来。高斯数学在课件中加入了丰富的内容： 趣味视频 生动教学，翻转课堂，主动思考 漫画引入 活跃课堂，让教师轻松成为段子王 高中数学竞赛讲座28 28高斯函数 数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地， ].[][b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 11],[][；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]][[][n x n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 例题讲解 1．求证：,2!211--=?k n n n 其中k 为某一自然数. 2．对任意的∑∞ =+*+=∈01].22[,K k k n S N n 计算和 3．计算和式.]503 305[5020的值∑== n n S 4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？ 5．求方程.051][4042的实数解=+-x x 高中数学竞赛介绍，尖子生请收好！ 首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件： ?高考数学可以轻松应对； ?对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛； ?具备自主学习能力； ?高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。 数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。 与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。 因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。 此外，数学竞赛学到一定深度后就会发现，数学竞赛不再是由知识结构和解题方法组成，而是对思维能力的培养和运用，而思维能力的价值是远超过数学本身的，这将会对学生以后对问题的思考与对事物的判断等产生不可估量的影响。当然，这是后话。 说归说，高中数学竞赛指的究竟是什么？我想说的是，绝不仅仅是高联（全国高中数学联赛）这么简单。下面，我就带着大家理一理高中阶段可能会遇到的竞赛。 1. 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛旨在选拔在数学方面有突出特长的同学，让他们进入全国知名高等学府，而且选拔成绩比较优异的同学进入更高级别的竞赛，直至国际数学奥林匹克（IMO）。并且通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的 兴趣，让学生们爱好数学，学习数学，激发学生们的钻研精神，独立思考精神以及合作精神。 2.中国数学奥林匹克（CMO） CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍，为符合中国人的认知习惯），6个题满分为126分。颁奖与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的约前60名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad,简称IMO）的中国国家集训队。 3.国际数学奥林匹克（IMO） 国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。 正如专家们指出：IMO的重大意义之一是促进创造性的思维训练，对于科学技术迅速发展的今天，这种训练尤为重要。数学不仅要教会学生运算技巧，更重要的是培养学生有严密的思维逻辑，有灵活的分析和解决问题的方法。 根据我的感觉，如果高考的数学难度有两星，那么高联的一试难度大概有三颗星，二试难度大概有四颗星；而CMO和IMO的难度大概在五颗星左右。因此，参加高中竞赛的确 全国高中数学竞赛专题三角函数精编W O R D 版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重 合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原 点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余 切函数cot α= y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α= α sec 1 ； 商数关系：tan α= α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 第3讲枚举法一 内容概述 掌握枚举的一般方法，学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决整数分拆的问题。学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。 典型例题 兴趣篇 9．有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？ 10．张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒，张奶奶一共有儿种不同的装法？ 拓展篇 3-3，小高画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？ 2，小高把8块绿豆糕摆成如图3-4所示的图形，让墨莫挑两块挨在一起的绿豆糕请问： 墨莫一共有多少种不同的挑法？ 图3-4 3．要沿着如图3-5所示的道路从A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共 有多少种不同的走法？ 图3-5 4．小高、萱萱、卡莉娅三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票，他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？ 5．小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元，他今天一共卖出了5个木偶，小李今天一共可能卖了多少钱？ 6．(1)老师给小高14个相同的作业本，如果小高把这些本子全都分给墨莫和卡莉娅，有多少种不同的分法？(可以只分给一个人) (2)老师给小高14个相同的作业本，如果小高只需要把这些本子分成2堆，又有多少种不同的分法？ 7．盘子里一共有20颗花生，小高和墨莫一起吃，每人一口吃2颗，两个人一起把花生吃完(每人至少吃一口)，请列举出他们吃花生数量的所有情况 8．如图3-6，有7个按键，上面分别写着：1~7这7个数字，请问： (1)从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？ (2)从中选出2个按键，使它们上面数字的和大于9，一共有多少种选法？ 图36 9．小高、墨莫、卡莉娅三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本，小高、墨莫、卡莉分别有几本课外书？请写出全部可能的情况。 10．小王有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个，小王一共有多少种不同的放法？过了儿天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上，每层最少要放5个，这时有多少种不同的放法？ 11(1)小明买回来一袋糖豆，他数了一下，一共有10个，现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法？ (2)如果小明有两袋糖豆，每袋10个，要把这两袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5个，一共有多少种不同的分法？ 12、B、C、D、E这五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了，所有可能的回答情况一共有多少种？ 集合函数专题 1、（2000一试1）设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2 2 10-x =x 10},则B A 是 （ ） (A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ? 2、（2001一试1）已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2 +2=0,x ∈R}的子集的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 5、（2002一试5）已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有( ) (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 7、（2006一试5）设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是 ()()0f a f b +≥的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8、（2007一试6）已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 9、（2008一试1）函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 10、(2008一试2) 设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为（ ）。 （A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3) 11、（2001一试11）函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________． 数学竞赛辅导讲座：高斯函数 知识、方法、技能 函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][ };{}{}{{];[][][ ；特别地， ].[][ b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][ ；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]] [[ ][n x n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略. （8）令Z m m n x ∈=,][，则1+≤≤ m n x m ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]] [[,1][m n x m n x m =+<≤故 证毕. 取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论. 定理一：* ∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][n x 个是n 的倍数. 【证明】因n n x x n n x n x n x n x ?+<≤?+<≤ )1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这n x ] [个： .][,,2,n n x n n ? 定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是 .][][][)!(32 +++=p n p n p n n p 【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][p n 个p 的倍数，有][ 2p n 个p 2 的倍数，…，所以.][ ][)!(2 ++=p n p n n p 此定理说明：M p n n p ?=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于 初中数学竞赛专题选讲 函数的图象 一、内容提要 1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵 坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线 ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y= x k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)； ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题 例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)， 试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－ a b 2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. 例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5. 试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求： 第3讲方程解应用题 内容概述 掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法．能从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解。 典型问题 兴趣篇 1. 解下列方程：;5 2 221)1(+-=-- x x x ;65)521(31)2(x x =-??=+-3 12311)3(x x 2．在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张．如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张，请问：甲得了多少张选票？． 3．有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26个．问：有多少名学生上体育课？ 4．唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片．已知大班人数是小班的 ?5 3 ，小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数． 5．明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人数为一班女生的2倍．如果两班合在一起，则男生所占的比例为60%．请问：二班有多少名女生？ 6．甲、乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，在A 、B 之间不断往返行驶．甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A 、B 两地相距多少千米？ 7．解下面的方程组： ? ? ?=+=+;80717, 2224)1(y x y x ???=-=+.24812,14474)2(x y y x 8．冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元．小悦买了2千克苹果和3千克梨，共花了18.2元，你能算出1千克苹果多少元，1千克梨多少元吗？ 9.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的 10 3 ，8个蟹将和10个虾兵就能把龙官全部打扫完．如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？ 10.如图3-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 拓展篇 1．解下列方程： ;11276143)1(+=-+++ x x x x ;32 27]2)141(32[23)2(x x =-++?? ;251453)3(=++x x .5)2()7)(1)(4(2++=++x x x 2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是5 1 ，那么原来的分数是多少？ 西南民族大学学报·自然科学版第33卷第2期 Journal of Southwest University for Nationalities ?Natural Science Edition Apr. 2007___________________________________________________________________ ___________________________ 收稿日期：2006-11-25 作者简介：付萍(1984-), 四川师范大学数学与软件科学学院2006级硕士研究生, 廖群英(1974-), 女, 河南师范大学副教授. 基金项目：四川省教育厅青年基金(2005B024)项目资助. 文章编号：1003-2843(2007)02-0295-04 高斯函数的一个重要性质 付萍1, 廖群英2, 李莎2 (1. 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066；2. 河南师范大学数学与信息科学学院, 河南新乡 453002) 摘 要： 从素数与合数两方面入手, 研究阶乘、整除及高斯函数三者间的关系, 归纳出高斯函数的一个重要性质：若n 是一个正整数, 则()()1!1n n n ?????+?? 是偶数. 关键词: 高斯函数; 素数; 合数 中图分类号: O156.1 文献标识码: A 1 引言 设x 为任一实数, 用[x ]表示不超过x 的最大整数, 称[x ]为高斯函数. 由定义立刻得到下列性质[1]： (1) [][]1x x x ≤<+, []1x x x ?<≤. (2) [][]n x n x +=+, n 是整数. (3) [][][]x y x y +≤+. (4) 当x 不是整数时, [][]1x x ?=??；当x 是整数时, [][]x x ?=?. (5) 若,a b 是任意两个正整数, 则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ?????? . 1957年闵嗣鹤教授、严士健教授在文[1]中利用以上的性质(3)和(5)已解决了!n 的分解、组合数是整数等问 题. 2000年殷堰工老师[2]将!n 的标准分解式、 组合数是整数等结论很好地运用到数学竞赛中, 提供了解含阶乘整除问题的一种有效的方法. 本文进一步从素数与合数两方面入手, 对阶乘、整除及高斯函数三者间的关系进行分析, 最终得出高斯函数的一个重要性质, 即如下定理： 定理 设n 是一个大于零的整数, 则??????+?)1()!1(n n n 是偶数. 2 预备知识 为完成定理的证明, 先做以下的准备工作. 引理2.1[3](Wilson 定理) 设p 是素数, 则()()1!10mod p p ?+≡. 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法； 全国高中数学竞赛专题三 角函数 This manuscript was revised on November 28, 2020 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴 重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到 原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α =x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α =α sec 1； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α （奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间????? ? +-22,22ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ????++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 Chartered Accountants Canadian Institute of Actuaries Great West Life and London Life Sybase i Anywhere Solutions c 2004 permitted. the contest booklet on your 5.Scoring: 6.Diagrams 7.When your Please see on publications Scoring:There is no penalty for an incorrect answer. Each unanswered question is worth 2,to a maximum of 10unanswered questions. Part A:Each correct answer is worth 5. 1.The value of 3×4 6is (A)1(B)2(C)3(D)4(E)6 2.0.8?0.07equals (A)0.1(B)0.71(C)0.793(D)0.01(E)0.73 3.Contestants on “Gauss Reality TV”are rated by an applause metre.In the diagram,the arrow for one of the con-testants is pointing to a rating that is closest to (A)9.4(B)9.3(C)9. 7(D)9.9(E)9.54.Twelve million added to twelve thousand equals (A)12012000(B)12120000(C)120120000 (D)12000012000(E)12012000000 5.The largest number in the set {0.109,0.2,0.111,0.114,0.19}is (A)0.109(B)0.2(C)0.11(D)0.114(E)0.19 6.At a class party,each student randomly selects a wrapped prize from a bag.The prizes include books and calculators.There are 27prizes in the bag.Meghan is the ?rst to choose a prize.If the probability of Meghan choosing a book for her prize is 23,how many books are in the bag? (A)15(B)9(C)21(D)7(E)18 7.Karen has just been chosen the new “Math Idol”.A total of 1480000votes were cast and Karen received 83%of them.How many people voted for her? (A)830000(B)1228400(C)1100000(D)251600(E)1783132 8.In the diagram,the size of ∠ACB is (A)57?(B)37?(C)47?(D)60?(E)17? D C B A 93o 130o 9.A movie theatre has eleven rows of seats.The rows are numbered from 1to 11.Odd- numbered rows have 15seats and even-numbered rows have 16seats.How many seats are there in the theatre? (A)176(B)186(C)165(D)170(E)171 高中数学竞赛专题一函数与方程思想 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路． 和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。 一、考点回顾 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的． 如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的 在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用 第2讲比例解应用题 内容概述 涉及两个或多个量之闻比例的应用题．熟练掌握比的转化和运算；对条件较多的应用题，学会通过列表的方法逐步分析求解；了解正比例与反比例的概念，掌握行程问题和工程问题中的正反比例关系． 典型问题 兴趣篇 1．圆珠笔和铅笔的价格比是4:3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元．问：圆珠笔的单价是每支多少元？ 2．一段路程分为上坡和下坡两段，这两段的长度之比是4：3．已知阿奇在上坡时每小时走3千米，下坡时每小时走4.5千米．如果阿奇走完全程用了半小时．请问：这段路程一共有多少千米？ 3．加工一个零件，甲要2分钟，乙要3分钟，丙要4分钟，现有1170个零件，甲、乙、丙三人各加工几个零件，才能使得他们同时完成任务？ 4．有两块重量相同的铜锌合金．第一块合金中铜与锌的重量比是2:5，第二块合金中铜与锌的重量比是1：3．现在把这两块合金合铸成一块大的．求合铸所成的合金中铜与锌的重量之比． 5．已知甲、乙、丙三个班总人数的比为3:4:2，甲班男、女生的比为5:4，丙班男、女生的比为2:1，而且三个班所有男生和所有女生的比为13:14.请问： (1)乙班男、女生人数的比是多少？ (2)如果甲班男生比乙班女生少12人，那么甲、乙、丙三个班各有多少人？ 6．甲、乙两包糖的重量比是5:3，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：5．请问：这两包糖重量的总和是多少克？ 7．小明从甲地到乙地，去时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，来回共用了4小时．问：小明去时用了多长时间？ 8．冬冬从家去学校，平时总是7:50到校，有一天他起晚了，结果晚出发了10分钟，为了不至于迟到，他将速度提高了五分之一，跑步前往学校，最后在7:55到校，请问：冬冬这天是几点出发的？ 9．一项工程，由若干台机器在规定时间内完成．如果增加2台机器，只需用规定时间的8 7就可完成；如果减少2台机器，就要推迟 3 2 小时才能完成．请问： (1)在规定时间内完成需几台机器？(2)由1台机器去完成这工程，需要多少小时？ 10.康师傅加工一批零件，加工720个之后，他的工作效率提高了20%，结果提前4天完成任务；如果康师傅从一开始就把工作效率提高12.5%，那么也可以提前4天完成任务．这批零件共有多少个？ 拓展篇 1．学校组织体检，收费标准如下：老师每人3元，女生每人2元，男生每人1元，已知老师和女生的人数比为2:9，女生和男生的人数比为3:7，共收体检费945元．那么老师、女生和男生各有多少人？ 2．徐福记的巧克力糖每6块包成一小袋，水果糖每15块包成一大袋．现有巧克力糖和水果糖各若干袋，而且巧克力糖比水果糖多30袋．如果巧克力糖的总块数与水果糖的总块数之比为7:10，那么它们各有多少块？ 3．甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问： (1)甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ (2)这台电视机售价多少钱？ 4．一把小刀售价3元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如 高斯函数[x] 程乐根 1 一、定义 ,[][]R x R x x y x Z ∈=1、定义：设用表示不超过的最大整数。 通常称函数为取整函数，也叫高斯函数。显然，其定义域是，值域是。 {}=[]{}R [0,1)x x x y x x -=2、进一步，记则称函数为小数部分函数，它表示的是的小数部分， 显然，其定义域是，值域是。 2 二、高斯函数y=[x]的性质 121212121212**,1[]. [],,,[][]. ,[][],().,,[][][].,[][],(). [] ,[][],(). x R x x x y x x x R x x x x m Z m x m x x R x x R x x x x n N nx n x x R x x n N x R n n ?∈-<≤=?∈≤≤∈+=+∈∈+≥+∈≥∈∈=∈性质1：性质2：函数是不减的函数，即若则性质3：若则有其中性质4：若则性质5：若则其中性质6：若则其中3 二、高斯函数y=[x]的性质 **23,[1,][],![][][]... n N x x x n n n N n n n n p p p p ∈∈+++定理1：若是正实数，则在区间中内， 恰有个整数是的倍数。 定理2：：若则在的质因数分解式中， 质数的指数是4 三、函数y={x}的性质 *{}0. ,{}{},().,,, 0,{}{}. x x Z m Z m x x x R m aq r m Z a N m r r a a a =∈∈+=∈=+∈∈≤<=性质1：的充要条件是性质2：若则有其中性质3：若则53[] 3.(20) x x -=例1：解方程：第届莫斯科数学竞赛题6 初中数学竞赛辅导 专题六:取整函数 一、 基础知识 定义：设x R ∈，用[]x 表示不大于x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数； 任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，这里，[]x 为x 的整数部分，记{}[]x x x =-为x 的小数部分。 性质： 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （2）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （3）显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[。 从函数的图象可以看出，][x y =的图象由成阶梯形的等长平行线段组成，函数不减，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －1； }{x y =的图象由端点位于x 轴上整点的无数条与(011)y x =<≤平行的线段组成，I －2. 图Ⅰ—1 图Ⅰ—2 （4）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中,x R n Z ∈∈. （5）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][ };{}{}{{];[][][；特别地， ].[][ b a n b na ≥ （6）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][ ；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （7）[][][]1(x x x x x ?--?-=?-??不是整数）（ 是整数） （8）若n N +∈，则[]x x n n ???? =? ????? ??；当1n =时，[][]x x ??=?? ； （9）若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ??=???? ； （9）x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ?????? 个； （10）设 p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有： ()()12!m m m n n n p n p n p p p p +???? ?? =++ +≤(完整)高斯简介
28(高中竞赛讲座)高斯函数
高中数学竞赛介绍,尖子生请收好
全国高中数学竞赛专题三角函数定稿版
高斯竞赛数学导引 三年级 第3讲 枚举法一
全国高中数学联赛真题之集合函数专题
数学竞赛辅导讲座：高斯函数Word版
初中数学竞赛专题辅导--函数图像
六年级高斯学校竞赛数学方程解应用题含答案
高斯函数的一个重要性质
高中数学竞赛讲义
全国高中数学竞赛专题三角函数
Gauss滑铁卢高斯初中数学竞赛(Grade 7)-数学Mathematics-2005-试题 exam
高中数学竞赛专题一 函数与方程思想
六年级高斯学校竞赛数学比例解应用题含答案
高斯函数
奥数-取整函数-竞赛专题