含参不等式恒成立问题的求解策略教学案

《含参不等式恒成立问题的求解策略》教（学）案

教学目标：

知识与技能：理解不等式恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能．

过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想． 教学重点：

重 点：理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌握不等式恒成立问题的基本技能． 教学难点：

难 点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题．

教学过程：

一、设置情境，感受生活

用不等式的知识怎样概括表达？可以归结为什么类型的问题？ 二、了解高考，把握热点

简单的生活问题，概括为“不等式恒成立”的数学问题，它不但在近几年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大题为主。

三、感悟高考 明确考向 若对任意x >0，x x 2

＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是____________．)∞+???,5

1

三、回归课本 提炼方法 例1 已知函数3

1()43

f x x ax -+=

在区间[0,3]上的导数()0f x '≤，则实数a 的取值范围是 [)∞+,13

归纳总结，概括方法

从例1可以看出，解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法： （1）转化为求原函数的最值

()0f x >恒成立?min ()0f x >，()0f x <恒成立?max ()0f x <

变式1不等式2

313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞ C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞

变式2设1

122n n S -??

=- ?

??

，对于n ?∈*

N ，总有n S 4

3

m ->

成立，整数m 的最大值为 ． ()7,∞-

变式3设函数()ln f x x ax =-，当0a >恒有f (x )≤－1，求实数a 的取值范围．

[)∞+,1

设计意图：越是高考最后的阶段越需要回过头来研读课本，近几年来恒成立问题的试题主要是基

本初等函数的组合为主，在课本中都有原型。所以引用课本例题进行改编和变式，从简单的函数入手掌握解题方法，然后进行巩固、辨析、加深。

三、 化隐为显 突出重围

例2设函数()(0)kx f x xe k =≠，若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.

从例2可以看出，解决恒成立的不等式问题，还可以考虑如下方法： （2）变量分离法（转化为求新函数最值）

()()f x g a >（a 为参数）恒成立?min ()()f x g a >

()()f x g a <（a 为参数）恒成立?max ()()f x g a <

变式4若命题“2,2390x R x ax ?∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为 。

设计意图：学生在解决恒成立问题时首先是被题目中隐性恒成立问题所迷惑，不知道是关于恒成立问题；其次，当发现是恒成立的问题后又无法选取正确的、简便的方法去解决问题。

四、变形求解 提升思维

例3 设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2，若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．

变式5设函数()x x

f x e e -=-，若对任意的0x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围．

设计意图：学生在解决恒成立问题时首先想到的是直接用常规方法解决，当直接解法无法解决问题时，就要考虑变形求解。

五、 增加参数 体会深度

例4 已知432()216ln f x x ax x x b =---++，其中,a b R ∈.若对对任意[2,2]a ∈-，

4()f x x ≤-在(0,1]x ∈上恒成立，求实数b 的取值范围．

分析思路：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．本题的实质还是通过函数求最值解决．

解：4

()f x x ≤-恒成立又(0,1]x ∈即

23

216ln x x b

a x -++≤恒成立 由[2,2]a ∈-得2min 3

216ln ()2x x b

a x

-++≤=- 又(0,1]x ∈ ∴23

216ln 2x x b x -++≤-即32min (2216ln )b x x x ≤-+-

设32()2216ln g x x x x =-+-，则2

16()64g x x x x

'=-+-，(0,1]x ∈

()0g x '<，所以32()2216ln g x x x x =-+-在(0,1]x ∈递减min ()(1)0g x g <= 所以实数b 的取值范围是0b ≤

设计意图：通过变式，逐步增加思考难度，例4是有关双参数的恒成立问题，再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解的重要性．

变式 6 已知函数()()0≠++

=x b x a x x f ，其中R b a ∈,.若对于任意的??

?

???∈2,21a ，不等式()10≤x f 在??

?

???1,41上恒成立，求b 的取值范围.

方法1：化归最值，10)(10)(max ≤?≤x h x h ； 方法2：变量分离，)(

10x x

a

b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101

)(≤-++?=b x a x

a ?，]

2,21[∈a

六、课堂小结

通过今天这堂复习课，我们领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上，这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，即通过化归到函数求其最值来处理．

七、课堂练习 问题1

已知函数f (x )=3x 2-(2a +6)x +a +3。

(1) 对任意的R x ∈时， f (x )的值域是),0[+∞，求a 的值。 (2) 对任意的R x ∈时， 都有0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。 (3) 对任意的]1,4[--∈x 时， 都有0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。 (4) 若存在]1,4[--∈x ， 使0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。 (5) 对任意的]1,4[--∈a 时， 都有0)(≥x f 恒成立，求x 的取值范围。

【设计意图】

（1）这是一个恰成立问题。f (x )的值域是),0[+∞，是指对定义域内所有x 值，f (x )必须取遍),0[+∞的

所有值，因此必须令f (x )的最小值等于0，即03

3)(2min =--=

a

a x f ，解得a =0或a =-3。涉及了二次函数配方求最小值问题。

（2）这是一个恒成立问题。0)(≥x f 恒成立，是指对定义域内的所有x 的值，f (x )恒取非负实数，这里f (x )不一定要等于0，比如允许5)(≥x f ，而f (x )可以不取)5,0[的值，即f (x )的最小值大于或等于0。因为这里的定义域是R ，所以可利用.0)3(34)62(2≤+?-+=?a a 解得03≤≤-a 。

（3）与（2）的区别在于定义域的改变。虽然同样是恒成立问题，但是处理问题的方法有所不同。本

题的解法是分离参数，]1)2

1(41

)21[(23)21(12232--+-=-+-?

≥x x x x x a ，转化为求最大值问题。 （4）这是一个能成立问题。是指]1,4[--∈x 时，只要有x 满足0)(≥x f 即可，不一定要保证所有的x 都满足0)(≥x f 。

本题的解法是分离参数，]1)2

1(41

)21[(23)21(12232--+-=-+-?

≥x x x x x a ，转化为求最小值问题。 （5）关于x 的不等式转化为关于字母a 的函数式（主元转变），令g (a )=3x 2-(2a +6)x +a +3借助函数g (a )

的几何背景，充分运用]1,4[--∈a 的条件，即?

??≥-≥-0)1(0

)4(g g 。

问题2 问题1中的5个小题很相似，能说说它们之间的区别和联系？（复习逻辑用语？）

【设计意图】

体会问题1中5个小题之间的区别和联系，体会处理各种相似问题的方法。

问题3 你还能改变问题1中的条件，提出新问题吗？ 【设计意图】

学生不但应有解决问题的能力，还应有提出问题的能力．通过此问题，试图培养学生提出问题的能力，进一步进行变式、开放，发散思维．只提问题，但不解决，留作课后思考题。（但不知学生是

否能提出问题）——意图难以琢磨。

问题4 回顾问题1的解题过程，说说你有哪些收获？ 【设计意图】

作为高三数学复习，不能停留在“会做”、获得结果这个层面上．必须在如何分析条件、理解题意、寻找思路上下工夫，教会学生正确地逻辑地思考问题．

高考数学的复习，不仅要体现“量”，更需要体现“质”，这样才能举一反三． 注意引导学生回顾、反思，积累经验．

最后归结为：

1.构造函数，利用函数的图像与性质分析求解。

2.正确区分恒成立、能成立、恰成立问题。

3.处理三类问题的常用方法。

（这里把握不好，感觉提升的不够）

思考题：

已知关于x 的方程x 2-ax -2=0的两根为x 1，x 2，试问：是否存在实数m ，使得不等式||1212

x x lm m -≥++对任意实数]1,1[-∈a 及]1,1[-∈l 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由。

八、课后反思巩固

1．已知函数f （x ）＝x

a

x x ++22，x ∈［1，＋∞)．若对任意x ∈［1，＋∞)，f （x ）＞0恒

成立，实数a 的取值范围是 .

2．设函数3

2

9()62

f x x x x a =-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，m 的最大值是 ；

3. 函数2

()ln 21f x x x mx =+++在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为 。 4.设函数2

()1f x x =-，对任意2,3x ??∈+∞????，2

4()(1)4()x f m f x f x f m m ??-≤-+ ???

恒成立，则实数m 的取值范围是 .

5. 设函数2

()(4)8ln(4)f x x x =+-+，若当1[4,4]x e e

∈--时，不等式|()|f x m <，求实数m

的取值范围。

答案： m> 1

e

2 + 8

6.已知函数3

2

2

()(1)52f x x k k x x =--++-，22

()1g x k x kx =++，其中k ∈R .（I ）设函数

()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(0,3)上不单调．．．

，求k 的取值范围； 答案：()5,2k ∈--

7．已知函数1()ln(1),01x

f x ax x x

-=++

≥+，其中0a >若()f x 的最小值为1，求a 的取值范

围。

答案：[2,).+∞

8. 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．设函数()f x 在区间2133??-- ???

，内是减函数，求a 的取值范围．

9.已知函数)0()(>++

=a c x

b

ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为.1-=x y (I)用a 表示出b,c;(II)若[)+∞≥,1ln )(在x x f 上恒成立,求a 的取值范围; 答案：1[,)2

+∞

10．设函数)(x f =2

1x

e x ax ---.若当x ≥0时)(x

f ≥0，求a 的取值范围. 答案：1(,]2

-∞