福建省师大附中2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

福建师大附中2012—2013学年度下学期期末考试

高一数学试题

(满分:150分,时间:120分钟)

说明:试卷分第I 卷和第II 卷两部分,请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I 卷 共60分

一、选择题:(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.若0sin 02sin <>αα且,则α是( *** )

A. 第二象限角

B. 第三象限角

C. 第一或第三象限角

D. 第二或第三象限角

2.????+75sin 15cos 75cos 15sin 等于( *** )

A. 0

B.

21 C. 23 D. 1 3.如图,已知3,AB a AC b BD DC a b ===

, , 用、 表示AD ,则AD 等于(***)

A .34a b +

B . 3144a b +

C .1144a b +

D . 1344

a b +

4.若a =(2,1),b =(3,4),则向量a 在向量b 方向上的投影为( *** )

A .52

B.2

C.5

D.10

5.已知角α的终边过与单位圆交于点43(,)55

P -,则sin()

tan()2sin()cos(3)π

ααπαππα--?+-等于何值

( *** )

A .

45 B .54 C .53 D .5

3

- 6

.tan 20tan 4020tan 40?

?

?

?

++的值为( **** )

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A .1 B

C

D

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7.设1e 和2e 为不共线的向量,若21e ﹣32e 与k 1e +62e (k ∈R )共线,则k 的值为( *** )

A .k=4

B .k=-4

C .k=-9

D . k=9

A C

D B

8.在ABC ?

+ABC ?一定是(**** )

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A .钝角三角形

B .锐角三角形

C .直角三角形

D .不能确定

9.同时具有性质“(1)最小正周期是π;(2)图像关于直线3

π

=

x 对称;(3)在

]3

,6[π

π-

上是增函数”的一个函数是(****) A .)62sin(π+=x y B .)32cos(π+=x y C .)62sin(π-=x y D .)6

2cos(π

-=x y

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10.如右图,ABCD 是由三个边长为1的正方形拼成的矩形,且EAB α∠=,CAB β∠=, 则αβ+的值为 ( **** ) A .34π B .2

π C .

3

π

D .

4

π

11.已知,OA OB

是两个单位向量,且OA OB ?

=0.若点C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,

则(,),OC mOA nOB m n R =+∈ 则m

n

等于( **** )

A .

1

3

B .3 C

D .3

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12.若对任意实数a ,函数215sin(

)36k y x π

π+=-()k N ∈在区间[],3a a +上的值54

出现不少于4次且不多于8次,则k 的值为( **** )

A .2

B .4

C .3或4

D .2或3

第Ⅱ卷 共90分

二、填空题:(每小题4分,共20分。请把答案填在答卷上)

13.已知单位向量a ,b 的夹角为23

π,那么a b -= ***** .

14.若412sin =α,且)2

,4(π

πα∈,则ααsin cos -的值是 ****** .

15.设,αβ都是锐角,且45

sin ,cos()513

ααβ=+=,则sin β= ****** .

16.已知31)4sin(=-απ,则=?++?-α

ααπ

α2tan )2cos 1()

4cos()2cos 1( ****** . 17.设{}max sin ,cos x x 表示sin x 与cos x 中的较大者.若函数{}()max sin ,cos f x x x =,

给出下列五个结论:

①当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时,()f x 取得最小值;②()f x 是周期函数;③()f x 的值域是[1,1]-;④当且仅当322,()2

k x k k Z π

πππ+<<+

∈时,()0f x <;⑤()f x 以直线,()4

x k k Z π

π=+

∈为对称轴.其中正确结论的序号为 ****** .

三、解答题:(本大题共6题,满分70分)

18.(本小题满分12分)已知向量)4,1(),0,2(==. (Ⅰ)求||+的值;

(Ⅱ) 若向量k +与2+平行,求k 的值;

(Ⅲ)若向量b a k +与b a 2+的夹角为锐角,求k 的取值范围. 19.(本小题满分10分) 已知函数()sin(2)3

f x x π

=+

(Ⅰ)在给定的坐标系内,用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期内的图象,并求函数)(x f 的单调递减区间。

(Ⅱ) 若函数(),2

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f x ≥写出满足条件的x 的取值集合。

20.(本题满分12分)已知向量(sin cos )m A A →

=,,1)n →

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=-,⊥-)(, 且A 为锐角.

(Ⅰ) 求角A 的大小;

(Ⅱ) 求函数()cos24cos sin ()f x x A x x =+∈R 的值域.

21.(本小题满分10分)

某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于一个常数. ,17cos 13sin 17cos 13sin 2

2

-+,15cos 15sin 15cos 15sin 2

2

-+

,12cos 18sin 12cos 18sin 2

2

-+,48cos )18sin(48cos )18(sin 22

--+-

,55cos )25sin(55cos )25(sin 22

--+-

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.

(Ⅱ)根据 (Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

22(本小题满分12分)

如图,已知正方形ABCD 在直线MN 的上方,边BC 在直线 MN 上,E 是线段BC 上一点,以AE 为边在直线MN 的上方作 正方形AEFG ,其中AE=2,记∠FEN=α,△EFC 的面积为S. (Ⅰ)求S 与α之间的函数关系;

(Ⅱ)当角α取何值时S 最大?并求S 的最大值。

23.(本题满分14分)已知函数)sin()(φx ωA x f +=)2

2,0,0(π

φπωA <<->>的图象与x 轴交点为)0,6

-

,与此交点距离最小的最高点坐标为)1,12

(

π

(Ⅰ)求函数)(x f 的表达式; (Ⅱ)若函数

满足方程)01()(<<-=a a x f ,求在

内的所有实数根之和;

(Ⅲ)把函数()y f x =的图像的周期扩大为原来的两倍,然后向右平移

23

π

个单位,再把纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数()y g x =的图像。若对任意的

03m ≤≤,方程|()|g kx m =在区间5[0,

]6

π

上至多有一个解,求正数k 的取值范围.

A

D

F

G

N

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高一数学试题参考答案

一、BDDBA, DBCCD, CD

二、填空题:13.3 14.23-

15.65

16

16.31 17. ②④⑤

三、解答题:(本大题共6题,满分70分)

18.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)依题意得)4,3(=+,∴543||22=+=+

(Ⅱ)依题意得)8,4()8,2()0,2(2),4,12()4,1()0,2(=+=++=+=+k k k ∵向量b a k +与b a 2+平行 ∴044)12(8=?-+?k ,解得2

1

=

k (Ⅲ)由(2)得)8,4(2),4,12(=++=+b a k b a k ∵向量k +与2+的夹角为锐角

∴084)12(4)2()(>?++?=+?+k k ,且44)12(8?≠+k ∴29-

>k 且2

1≠k 19.(本小题满分10分)

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函数)(x f 的单调递减区间为)(],12

7,

12[

Z k k k ∈++ππ

ππ

(Ⅱ)

2222333

k x k π

π

π

ππ+≤+

+, 6k x k πππ∴≤≤+,所以满足条件的x 的集合为[,],6

k k k Z π

ππ+∈。

20.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)由题意得

,

01)(2

=?-=?-=?-

1cos 1,2sin()1sin()662m n A A A A ππ=-=∴-=∴-= ,,由A 为锐角得66A ππ-=,

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3

A π

=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知1cos 2A =

,所以2()cos22sin 12sin 2sin f x x x x x =+=-+2132(sin )22

x =--+ 因为x R ∈,所以[]sin 11x ∈-,

,因此,当1

sin 2

x =时,()f x 有最大值32,

当sin 1x =-时,()f x 有最小值 – 3,所以所求函数()f x 的值域是332?

?-???

?,

21.(本小题满分10分)

(Ⅰ)4

3

41130sin 21115cos 15sin 15cos 15sin 22=-=-=-+???

?? (Ⅱ)

)6

cos(sin )6(cos sin 22απ

ααπα---+=

434

34112cos 41412sin 43]2cos 2sin 232cos 21[21122cos 1212sin 43]2cos )23[cos(211=-

=+---++=-?

----+=α

ααααα

αααπ左 22.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)过点F 作FH MN ⊥,H 为垂足

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由三角知识可证明EAB FEH α∠=∠=, FH BE = 在Rt ABE ?中, sin 2sin EB AE αα== cos 2cos BC AB AE αα===

所以2s 2sin EC BC EB co αα=-=- 所以FCE ?的面积 S 1

(2s 2sin )2sin 2

co ααα=

-? 22sin s 2sin co ααα=- ,其中04

π

α<<

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知2

2sin s 2sin S co ααα=-

sin 2s 212)14

co π

ααα=+-=+-

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由04

π

α≤≤

,得

3

24

44

π

π

απ≤+

≤,

∴ 当1242π

απ+

=,即8

π

α=时,1S =最大

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因此,当8

π

α=

时,EFC ?的面积S 1-.

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23.(本小题满分14分)

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