几种常见函数的导数
§ 3.2 几种常见函数的导数
课时安排
1课时
从容说课
本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.
(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是x
x x x x x f x x f n
n ?-?+=?-?+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---?++??+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-?+-+-=-- ，
1112110)1()1(------++-?-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.
(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim
0=→?x
x x ，根据学生的情况可以补充证明.
第五课时
课 题 § 3.2 几种常见函数的导数
教学目标
一、教学知识点
1.公式1 C ′=0(C 为常数)
2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )
3.公式3 (sin x )′=cos x
4.公式4 (cos x )′=-sin x
5.变化率
二、能力训练要求
1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.
2.学会利用公式，求一些函数的导数.
3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.
三、德育渗透目标
1.培养学生的计算能力.
2.培养学生的应用能力.
3.培养学生自学的能力.
教学重点
四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，
(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .
教学难点
四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.
教学方法
建构主义式
让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.
Ⅱ.讲授新课
［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.
1.y =C (C 是常数)，求y ′.
［学生板演］解：y =f (x )=C ，
Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,
x
y ??=0. y ′=C ′=x
y x ??→?0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.
［学生板演］解：y =f (x )=x n ,
∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x n
n n n n n n n n n x x C x x C x x C x -??++?+?+=--)()(22211
n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211??++?+?=--
12211)(---?++?+=??n n n n n n n x C x x C x C x
y ∴y ′=(x n )′
111122110
0)(lim lim -----→?→?==?++?+=??=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.
3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.
［学生板演］
解：Δy =(x +Δx )-n -x -n
n n n n n n n n n n
n n
n n n n n n n
n n
n n
n x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()()()()(1)(11221122211?+?++?+-=???+?++?+-=?+?+-=-?+=----- ∴x
y y x ??='→?0lim n n n n n n n n n n n n n x x x x
C x
x x x C x x C x C ?-=?+?++?+-=----→?111
22110])()([lim
=-nx -n -1.
∴y ′=-nx -n -1.
※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)
［学生板演］
［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x
=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,
x
x x x x x x y ?-?+?=??sin sin cos cos sin , ∴x
y y x ??='→?0lim x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim
2
2
002000+?????-=??+??-=??+-?=?-?+?=→?→?→?→?→? =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .
∴y ′=cos x .
［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x
=2cos(x +2x ?)sin 2
x ?，
x
x y ?=??22, ∴x
y y x ??='→?0lim 2
2sin lim )2cos(lim 22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim 0000x
x x x x
x x x x
x x x x x x x ???+=???+=???+
=→?→?→?→? =cos x .
∴y ′=cos x .
(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)
※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)
［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x
=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,
x x x x x x x y
y x x ?-?-?=??='→?→?cos sin sin cos cos lim lim
00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim
2
2
00200?-????-=??-??-=??--?=→?→?→?→?x x x x x x
x x x x x x
x
x x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,
∴y ′=-sin x . ［生乙］解：x x x x x ?-?+→?cos )cos(lim
22sin )2sin(lim 22lim 00x
x x x x
x x ???+-=?=→?→? =-sin x ,
∴y ′=-sin x .
［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.
［板书］
(一)公式1 C ′=0(C 是常数)
公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)
公式3 (sin x )′=cos x
公式4 (cos x )′=-sin x
(二)课本例题
［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:
(1)(x 3)′；(2)(2
1x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.
(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x
. (3)解：x
x x x x 212121)()(2112121
==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)
(三)变化率举例
［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).
［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).
v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.
［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？
［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.
［生］例如角速度、电流等.
［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？
［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.
［师］下面来看两道例题.
［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).
［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.
解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.
［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？ ［生］比热容是v
1Q ′(T ) J/(kg·K).
图3-9
［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.
［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.
解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,
∴∠POA=1·t =t rad.
∴∠MPO =∠POA =t rad.
∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .
∴点M 的运动方程为y =10sin t .
∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t ，
即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.
［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)求下列函数的导数.
(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ.
［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.
［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.
［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .
［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.
2.求下列函数的导数. (1)31x
y =;(2)3x y =. (1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：32
1313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.
解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,
当t =3时，v =3×32=27(m/s),
∴质点在t =3时的速度为27 m/s.
4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=
221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度. 解：gt t g gt t s v =?==='=-12222
1)21
()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),
∴t =3时的速度为29.4 m/s.
［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).
这由极限的知识可以证得.
x
x f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ?-?+=?-?+='→?→?)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.
解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.
∴y ′|x =2=4×23=32.
∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),
即32x -y -48=0.
Ⅳ.课时小结
［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.
(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.
2.预习提纲：
(1)和(或差)的导数公式、证明过程.
(2)积的导数 公式、证明过程.
(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.
板书设计 § 3.2 几种常见函数的导数
公式1C ′=0(C 为常数)
公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)
公式3(sin x )′=cos x
公式4(cos x )′=-sin x
v 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.
函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在
点x 0对自变量x 的变化率.
1.y =C (C 是常数),求y ′.
2.y =x n (n ∈N *),求y ′.
3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.
4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)
5.y =cos x ,求y ′.(两种方法)
课本例题
(1)(x 3)′;(2)(21x )′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).
例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.
课堂练习
1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.
2.(1) )1(3'x ;(2)(3x )′.
3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.
4.22
1gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.
课后作业
几个常用函数的导数(教案)
3.2.1几个常用函数导数 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 教学过程： 【合作探究】 探究任务一：函数() ==的导数. y f x c 问题：如何求函数() y f x c ==的导数 新知：0 y'=表示函数y c=图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试：求函数() ==的导数 y f x x 反思：1 y'=表示函数y x=图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4 y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么 （2）这三个函数中，哪一个增加得最快哪一个增加得最慢 （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关 【典型例题】 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以0 0lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 函数 导数 y c = 0y '= 0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0． 若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y x ?→?→?'===?
几个常见函数的导数1
几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分： 年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min 一.知识点： 知识点一几个常用函数的导数 知识点二基本初等函数的导数公式
二.典例分析： 题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2 . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ； (4)y ′＝(4 x 3 )′＝(x 34)′＝1 434x -＝344 x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1 x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2 x 2 ＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2 上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别 作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，
即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组??? ? ? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得 ????? x ＝1， y ＝－4. ∴A (1，－4)． (2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由． 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 解 设切点坐标为(x 0，x 2 0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．
3.2.1几个常用函数的导数教案
3.2.1几个常用函数的导数教案 教学目标： 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数； 2. 利用公式解决简单的问题。 教学重点和难点 1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。 教学方法： 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。 教学过程： 一 复习 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。 二 新课 例1．推导下列函数的导数 （1） ()f x c = 解：()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===???， '00()lim lim 00x x y f x x ?→?→?===? 1. 求()f x x =的导数。 解： ()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===???， '00()lim lim 11x x y f x x ?→?→?===?。 '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则' 1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。 思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？ (2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？ 可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数2()y f x x ==的导数。
解： 22 ()()()2y f x x f x x x x x x x x x ?+?-+?-===+????， ''00 ()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ?→?→?===+?=?。 '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化： (1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢； （2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。 3. 求函数1()y f x x ==的导数。 解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -?+?--+?+?====-???+??+??， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x ?→?→?===-=-?+?? 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？ '(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+。 (2)改为点（3，3），结果如何？ (3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。 三 例题 1. 试求函数()y f x = 解： ()()y f x x f x x x ?+?-==??= ''0()lim lim x x y y f x x ?→?→?====? 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线 的切线方程。 解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'02.x x y x ==
常见函数的导数
常见函数的导数 学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的 思想并熟悉具体的操作步骤。 学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数 一、 知识点梳理 1. 基本初等函数，有下列的求导公式 '1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x = 4.()0C '= 3'2 5.()3x x = ' 2 116.()x x =- '= 1 8.()x x ααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)x x a a a a a '=>≠， a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x '= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－ 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 二、典例讲解 例1、求下列函数导数。 练习：（1）5 -=x y （2） 、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3 l o g = （5）、)100() 1(l o g 1 ≠>>-= x a a x a y x ，，， （6）、y=sin( 2π+x) (7)y=sin 3 π （8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π ，0 ) 的切线的直线方程. 2. 若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. (1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4 (4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y
3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
基础巩固强化 一、选择题 1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2 C ．0 D ．以上都不是 [答案] C [解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0. 2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y ＝sin x 的导数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝－cos x C ．y ＝cos x D ．y ＝－sin x [答案] C [解析] ∵(sin x )′＝cos x ， ∴选C. 3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条． 4．若y ＝cos 2π 3，则y ′＝( ) A ．－3 2 B ．－12
C ．0 D.12 [答案] C [解析] 常数函数的导数为0. 5．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.12 [答案] D [解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝1 2，故图象在x ＝2处的切线斜率为12. 6．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 [答案] B [解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 二、填空题 7．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________． [答案] y ＝x －1 [解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) y ′|x ＝1＝1，∴切线的斜率为1， ∴所求切线方程为：y ＝x －1. 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________．
3.2.1几个常用函数导数(学、教案)
3. 2.1几个常用函数导数 课前预习学案 （预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处） 复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ?= （2）求平均变化率y x ?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim = 上课学案 学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程 学习过程 合作探究 探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数 新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试： 求函数()y f x x ==的导数 反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题 例1 求函数1()y f x x ==的导数 解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???
常用基本初等函数求导公式积分公式.doc
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a
⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2
几种常见函数的导数
§ 3.2 几种常见函数的导数 课时安排 1课时 从容说课 本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用. (1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是x x x x x x f x x f n n ?-?+=?-?+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---?++??+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-?+-+-=-- ， 1112110)1()1(------++-?-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题. (2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim 0=→?x x x ，根据学生的情况可以补充证明. 第五课时 课 题 § 3.2 几种常见函数的导数 教学目标 一、教学知识点 1.公式1 C ′=0(C 为常数) 2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q ) 3.公式3 (sin x )′=cos x 4.公式4 (cos x )′=-sin x 5.变化率 二、能力训练要求 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 三、德育渗透目标 1.培养学生的计算能力. 2.培养学生的应用能力. 3.培养学生自学的能力. 教学重点
1常见函数的导数公式
1．常见函数的导数公式： （1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； （3）x x cos )'(sin =； （4）x x sin )'(cos -=； （5）a a a x x ln )'(=； （6）x x e e =)'(； （7）e x x a a log 1)'(log = ； （8）x x 1)'(ln = ． 2．导数的运算法则： 法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 ''(0)u u v uv v v v -?? =≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 例题：一：1：求函数323y x x =-+的导数. 2： y = x x sin 2．函数y =x 2cos x 的导数为 。 函数y =tanx 的导数为 。 2：求下列复合函数的导数： ⑴3 2 )2(x y -=； ⑵2 sin x y =； ⑶)4 cos(x y -=π ； ⑷)13sin(ln -=x y ．3 2 c bx ax y ++=
4．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线 （ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定 5．曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ） A 、( 1 , 0 ) B 、( 2 , 8 ) C 、( 1 , 0 )和(－1, －4) D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 6．f (x )=ax 3 +3x 2 +2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于 （ ） A. 3 19 B. 3 16 C. 3 13 D. 3 10 7．曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 8．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 9．物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,则在4s 附近的平均变化率 . 10．曲线y ＝x 3－3x 2 ＋1在点(1,－1)处的切线方程为__________________. 11．已知l 是曲线y = 3 1x 3 +x 的切线中，倾斜角最小的切线，则l 的方程是 . 12.已知过曲线y =3 1x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.?? ? ??38, 2 B.?? ? ??- 34,1 C.?? ? ??- -328,1 D.?? ? ??320, 3 13．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f y =的解析式. 14．求过点（2，0）且与曲线y = x 1相切的直线的方程.
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式 学习目标： 掌握初等函数的求导公式； 学习重难点： 用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x y = ?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x y 3log = （5）y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结 （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 随堂检测： 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2．设y = ，则它的导函数为 。 3．过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为 。 4．求下列函数的导函数 （1）2y x -= （2）y = (3）41y x = （4）2x y = （5）4log y x = （6）ln y x = （7）sin()2y x π=- （8）3cos()2 y x π =+ 5．求曲线x y e =在0x =处的切线方程。
几种常见函数的导数教案
几种常见函数的导数教案 教学目的 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点和难点 掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点． 教学过程 一、复习提问 1．按定义求导数有哪几个步骤？ 2．用导数的定义求下列各函数的导数： (1)y＝x5；(2)y＝c． 几点说明：练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备，在求Δy值时启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5；练习(2)推导前，首先指出这里y＝c称为常数函数，可设y=f(x)=c说明不论自变量取何值，对应的函数值均为c，以避免出如下错误，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx． 二、新课 1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式． 2．几个常见函数的导数公式． (1)设y=c(常数)，则y'=0． 此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c 的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．
(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)． 此公式的证明在教师指导下，由学生独立完成． 证明：设y=f(x)=x n， 此公式可叙述成“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”． (3)(sinx)'=cosx． 证明：y＝f(x)=sinx，
几个常用函数的导数
321几个常用函数导数 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用教学过程：【合作探究】 探究任务一：函数y f(x) c的导数. 问题：如何求函数y f(x) c的导数 新知：y 0表示函数y c图象上每一点处的切线斜率为______________ . 若y c表示路程关于时间的函数，则y ______ ，可以解释为________________ 即一直处于静止状态. 试试：求函数y f (x) x的导数 反思：y 1表示函数y x图象上每一点处的切线斜率为______________ . 若y x表示路程关于时间的函数，则y ______ ，可以解释为________________ 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y 2x,y 3x,y 4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数. (1)从图象上看，它们的导数分别表示什么 (2)这三个函数中，哪一个增加得最快哪一个增加得最慢 (3)函数y kx(k 0)增(减)的快慢与什么有关 【典型例题】 1 .函数y f (x) c的导数 根据导数定义，因为亠f(x x) f(x)口0 x x x 所以y lim lim 0 0 x 0 x x 0 y 0表示函数y c图像上每一点处的切线的斜率都为0?若y c表示路程关于时间的函 数，则y 0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态. 2.函数y f (x) x的导数 因为_y f (x x) f (x) xxx 1 x x x 所以y
常见函数的导数公式
几种常见函数的导数公式： ①C'=0(C为常数函数) ②(x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数。 ③(sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤(e^x)' = e^x (a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 【其中第4类不用记，那是大学的内容】 希望回答对你有所帮助！
(完整版)【经典】常用的求导和定积分公式(完美)
一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且
)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+?
几个常用函数的导数教案
§1.2.1几个常用函数的导数 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 教学过程： 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y ?→?→?'=== 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y ?→?→?'===
几个常见函数的导数
§1.2.1几个常见函数的导数 【学情分析】： 本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总会归结为求极 限,而本章并没有介绍极限知识,因此, 教科书只是采用这种方法计算21 ,,,, y c y x y x y y x =====这五个常见函数的导数.学生只要会用导数公式和求简单函数的导数即可. 【教学目标】： （1）用导数定义, 求函数2 1 ,,,, y c y x y x y y x =====. （2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数. （3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识. 【教学重点】： 能用导数定义, 求函数21 ,,,, y c y x y x y y x =====. 【教学难点】： 能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.
3 (4)(0) y x x =>
练习与测试： A ．基础题. 1．求下列函数的导数： （1）12 y x = （2）y = （3）41 y x = （4）y = 答案：（1）'11 12y x = （2）' y = （3）' 5 4y x -=- （4）2' 5 35 y x -= 2．已知函数2 ()f x x =，则' (3)f =（ ） （A ）0 （B ）2x （C ）6 （D ）9 答案：C 3．已知函数1()f x x =，则' (2)f -=（ ） （A ）4 （B ）14 （C ）4- （D ）1 4 - 答案：D
4．已知函数3 ()f x x =的切线的斜率等于3，则其切线方程有（ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）多余2条 （D ）不存在 答案：B B ．难题 1．已知(1,1),(2,4)P Q -是曲线2 y x =上两点，求与直线PQ 平行的曲线2 y x =的切线方程． '(1,1),(2,4)121 11,24 11424410PQ P Q k y x x y y x x y -∴=====- =---=解：令得所以曲线的切线方程为：即 2．设曲线3 y x =过点3 (,)a a 的切线与直线,0x a y ==所围成的三角形面积为 1 3 ，求a . 3'2 332233 3()|3(,)3()320 2 0,;,3 12 ()1 231 x a k x a a a y a a x a a x a y y x a x a y a S a a a a ===∴-=---======-=∴=±解：过点的切线方程为即令得得
几个常用函数的导数练习
第一章 1.2 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课后强化演练 一、选择题 1．若f (x )＝cos π 6，则f ′(x )等于( ) A ． 32 B ．0 C ．12 D ．－12 答案：B 2．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝x ，则y ′＝1 2x ；③若y ＝2x ，则y ′＝2x ；④若f (x )＝log a x (a ＞ 0且a ≠1)，则f ′(x )＝log a e x .其中正确的有( ) A ．①② B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④ 答案：D 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1 2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．12 解析：设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵y ′＝x 2－3 x ， ∴y ′|x ＝x 0＝x 02－3x 0＝1 2，整理得：x 20－x 0－6＝0，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍)． 答案：A 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．????0，π 4 B ．???? 3π4，π C ．????0，π4∪??? ?3π 4，π D ．????0，π4∪????π2，3π 4 解析：设P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0，∴直线l 的斜率k ＝cos x 0∈[－1,1]．又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α≤π4或3π 4 ≤α＜π.
答案：C 5．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则g ′(x )－f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪????23，＋∞ B ．??? ?0，2 3 C ．??? ?－2 3，0 D ．? ???－∞，－2 3∪(0，＋∞) 解析：∵g ′(x )＝3x 2，f ′(x )＝2x ，由g ′(x )－f ′(x )＞0，得3x 2－2x ＞0，得x ＞2 3或x ＜0. 答案：A 6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 解析：∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝2×(－2)＋2x ＝2x －4. ∴f ′(0)＝－4. 答案：D 二、填空题 7．函数y ＝x －1 在(1,1)处的切线方程为________． 解析：∵y ′|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 8．若曲线y ＝x a ＋1(a ∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则a ＝________. 解析：由题意知：y ′| x ＝1＝a ＝2－0 1－0＝2. 答案：2 9．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1 e . ∴切线方程为y －1＝1 e (x －e)，即x －e y ＝0. 答案：1 e x －e y ＝0 三、解答题 10．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2，求适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值． 解：∵f ′(x )＝1 x ，g ′(x )＝2x ，
常见函数的导数
选修2-2 导数及其应用 §1.2.1 常见函数的导数 （ 总第50课时） 一、【目的要求】 （1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数 （2）掌握基本初等函数的运算法则 二、【教学过程】 1、定义法求导数的步骤：见教课书18P 。 2、用定义法求下列函数的导数 （1）b kx x f +=)(（k,b 为常数） 注意 ① k b kx =+')(（一次项系数）； ② 当k=0时，f(x)=b(常数)，0)('=x f ，即常数函数的导数为0； ③ 当k=1,b=0时，f(x)=x ，1)('=x f 。 （2）2)(x x f = (3) 3)(x x f = (4) x x f 1)(= (5)x x f =)( 由（2）～（5），你能发现什么重要规律？ 。 3、对于基本初等函数，有下列求导公式（不必证明，但需熟记） ______)('=a x ； _____)('=x a （a>0且a ≠1）； _____)(log '=x a （a>0且a ≠1） ； _____)'(=x e ； _____)(ln '=x ； ______)(sin '=x ； ______)(cos '=x 。
4、典题讲解 例1、求下列函数的导数 （1）100x y = （2）41x y = （3）53x y = （4）x y 4= （5）x y 5log = （6）y=sin 3π （7）x x x y = （8）434cos 4sin 44-+=x x y （9）)4cos 21(2sin 22x x y --= 例2、若直线b x y +-=为函数x y 1= 图像的切线，求b 及切点坐标。 例3、直线b x y +=2 1能作为下列函数)(x f y =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由。 （1）x x f 1)(= (2) 4)(x x f = (3) x x f sin )(= (4) x e x f =)( 5、当堂反馈 1、y=lnx 在点（1，0）处的切线方程是 ；又若曲线x e y =在点 ),22e （ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为S ，则S= 。 2、设x x f cos )(0=，)()('01x f x f =，)()('12x f x f =……)()(')1(x f x f n n =+，N n ∈， 则)(2010x f =___________。 3、经过点（2，0）且与曲线x y 1=相切的直线方程是 。