2015-2016高中数学 1.2.1基本初等函数的导数公式学案 新人教A版选修2-2
1．2 导数的计算
1．2.1 基本初等函数的导数公式
1．掌握各基本初等函数的求导公式．
2．能根据导数定义，求几个常用函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝1x
的导数．
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
基础梳理 1．几个常用函数的导数.
解析：几何意义：表示在函数y ＝x 的图象上每一点处的切线的斜率都为1； 物理意义：若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则f ′(x )＝1表示物体的瞬时速度始终为1，即物体做匀速直线运动．
2．基本初等函数的导数公式.
想一想：(1)计算过程：? ????cos 6′＝－sin 6＝－2，正确吗？ (2)已知f (x )＝x 2
，则f ′(3)＝________．
(1) 解析：不正确，因为cos π6＝3
2
，为常数，而常数的导数为0.
(2) 解析：因为f ′(x )＝2x ，所以f ′(3)＝2×3＝6.
自测自评 1．下列各式正确的是(D )
A ．(log a x )′＝1x
B ．(log a x )′＝ln 10
x
C ．(3x )′＝3x
D ．(3x )′＝3x
ln 3
2．已知函数f (x )＝? ??
??12x
，则函数图象在x ＝0处的切线方程为(B )
A ．x ln 2－y －1＝0
B ．x ln 2＋y －1＝0
C ．x ＋y ln 2－1＝0
D ．x －y ln 2－1＝0
解析：f ′(x )＝??????? ????12x ′＝? ????12x ln 12＝－? ????12x ln 2；所以切线的斜率为k ＝f ′(0)＝－
ln 2，又切点坐标为(0，1)，则切线方程为y －1＝－x ln 2，即x ln 2＋y －1＝0.故选B.
3．下列结论中正确的个数为(D )
①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2
27；
③y ＝2x
，则y ′＝2x
ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1
x ln 2
. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
解析：对于y ＝ln 2，y ′＝0，所以①错；对于y ＝1x
2，y ′＝(x －2)′＝－2x －3
，所以y ′|x
＝3
＝－233＝－227
，所以②正确；对于y ＝2x
，y ′＝(2x )′＝2x ln 2，所以③正确；对于y ＝log 2x ，
y ′＝1
x ln 2
，所以④正确．故选D.
基础巩固
1．下列函数满足f (x )＝f ′(x )的是(C ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝x C ．f (x )＝0 D ．f (x )＝1
2．已知f (x )＝x n
且f ′(－1)＝－4，则n 等于(A ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 解析：∵f ′(x )＝nx n －1
，∴f ′(－1)＝n (－1)
n －1
＝－4.
若(－1)n －1
＝－1，则n ＝4，此时满足(－1)n －1
＝－1；
若(－1)
n －1
＝1，则n ＝－4，此时不满足(－1)
n －1
＝1.∴n ＝4故选A.
3．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2
，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(C )
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒
解析：v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ，所以v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.
4．在点P (1，1)处与曲线y ＝x 4
相切的切线与直线4x －y ＋1＝0的位置关系是________． 解析：因为y ＝x 4
，所以y ′＝4x 3
，所以切线的斜率k ＝4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，与已知直线平行．
答案：平行
能力提升
5．过曲线y ＝1
x
上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为(B )
A.? ??
??12，2 B.? ????12，2或? ??
??－12，－2
C.? ????－12，－2
D.? ??
??12，－2 6．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是(A )
A.??????0，π4∪????
??34π，π B ．[0，π)
C.??
????π4，34π D.?
?????0，π4∪??????π2，34π
解析：∵(sin x )′＝cos x ，∴直线l 的斜率k l ＝cos x ，
∴－1≤k l ≤1，∴直线l 的倾斜角的范围是??????0，π4∪????
??34π，π.
7．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝_____________. 解析：因为f ′(x )＝
1x ln a ，所以f ′(1)＝1
ln a
＝－1. 所以ln a ＝－1，所以a ＝1
e .
答案：1e
8．曲线y ＝x 3
在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________． 解析：∵y ′＝3x 2
.∴切线的斜率为y ′|x ＝1＝3×12
＝3，
∴切线方程为y －1＝3(x －1)，与x 轴的交点为? ??
??23，0，与直线x ＝2的交点为(2，4)．
∴S ＝12??????2－23×4＝83.
答案：83
9．已知函数y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0，0)，B ? ??
?
?3π2，－1，试求过原点的函数的
切线方程．
解析：因为y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0，0)，B ? ????3π2，－1，所以?????0＝b ，－1＝a sin 3π
2＋b ，解得???
??a ＝1，b ＝0，
所以y ＝sin x . 又因为y ′＝cos x ，
所有y ′|x ＝0＝1， 所以切线方程为y ＝x .
10. 已知抛物线y ＝x 2
，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解析：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2
的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 2
0)，因为y ′＝2x ，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1,
所以x 0＝12，所以切点坐标为? ????12，14， 所以切点到直线x －y －2＝0的距离
d ＝
??????12－14－22
＝
72
8
，
所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728
.
(完整版)基本初等函数的导数公式随堂练习
1.2.2 基本初等函数的导数公式 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝e 3 ，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②? ????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1 2 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．??????0，π4∪??????3π4，π B ．[0，π) C ．??????π4，3π4 D ．??????0，π4∪??????π2，3π4 5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A ．1n B ．1n ＋1 C ．n n ＋1 D ．1 课后探究 1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为
一、选择题 2．已知函数f (x )＝x 3 的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 4．y ＝x α 在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 5．f (x )＝ 1x 3 x 2 ，则f ′(－1)＝( ) A ．52 B ．－52 C ．53 D ．－53 6.函数y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2 2 二、填空题 7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4 x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________． 三、解答题 10．求证双曲线y ＝1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值． 一、选择题 11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4
常用基本初等函数求导公式积分公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（） 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 基本初等函数的导数公式推导过程 一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程 命题 若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=． 推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证． 二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题 推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时，sin 22 x x ??=，所以此时sin 212x x ?=?． 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ，所以原命题得证． 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程 命题 “放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小 导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、"0 2、 （乂7二心I （n 为正整数） 3、 Ca x y=a x \na Ce x y=e x （long a xy=-^— 4、 xina （lnxX=- 5、 x 6、 （sin Q 二 cos x 7 （cos x ）‘二-sin x '（ly=-± 8. x 对 知识点二：导数的四则运算法则 1、 （"土 v y=u ± v r 2、 （nv ）r =u F v + //v r 3、 （Cu7=Cu 4、 v 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1. 如果在广（力＞°,则/a ）在此区间是增区间，为/（X ）的单调增区间。 2、如果在（""），广（x ）v0,则/（x ）在此区间是减区间，（心）为/（X ）的单调减区 间。 一、计算题 1. 计算下列函数的导数: (1) y = x 15 (2) y = x* (XH O) (3) 5 y = x 4 (x a 0) (4) 2 y = x^ (XA O) (5) 2 y = x 3 (X A 0) (6) y = x 5 (7) ＞，=v2 , 24) (7) y = sin x (8) y = cos x (9) y=r (10) y = In x (11) y = e x 2、求下列函数在给泄点的导数: 2 (1)尸存，“16 7T . X =— (4) y = xsinx , 4 x y = --- (6) 1+F ,兀=1 (2) y = sinx (3)y = cosx x = 2TT 3 (5) ＞，=v 2014年12月02日的高中数学组卷1．（2014?烟台一模）已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）数列满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求证：． 2．（2014?宁波模拟）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：． 3．（2014?东营一模）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+n2﹣1，数列{b n}满足3n?b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，且b1=3．（Ⅰ）求a n，b n； （Ⅱ）设T n为数列{b n}的前n项和，求T n，并求满足T n＜7时n的最大值． 4．（2014?成都一模）已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）若数列{b n}满足b1=a1，=+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）． 5．（2014?广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由． （3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜． ()()()()()()()( )( )()()1 222 2 ()'0 ()'()'ln '1 (log )'ln 1ln '(sin )'cos cos 'sin tan 'sec cot 'csc sec 'sec tan csc 'csc cot arcsin 'arccos '1arctan '11cot '1a a x x x x a c x ax a a a e e x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x x -========-==-==-= ==+-=+ 导数运算法则 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2'''''''''u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x v x u x v x u x v x u x u x ±=±=+??-= ? ??????? 1220 ln 1ln 1log ln sin cos cos sin tan sec cot csc sec sec tan csc csc cot arcsin arccos 1arctan 1arc cot u u x x x x a dc dx ux dx de e dx da a adx d x dx x d x dx x a d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx d x dx d x dx x d x -========-==-==-= ==+-=211dx x + 微分的四则运算： ()()2()0d u v du dv d uv udv vdu v udv vdu d u u u ±=±=+-??=≠ ??? 基本初等函数的导数公式 学习目标： 掌握初等函数的求导公式； 学习重难点： 用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x y = ?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x y 3log = （5）y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结 （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 随堂检测： 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2．设y = ，则它的导函数为 。 3．过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为 。 4．求下列函数的导函数 （1）2y x -= （2）y = (3）41y x = （4）2x y = （5）4log y x = （6）ln y x = （7）sin()2y x π=- （8）3cos()2 y x π =+ 5．求曲线x y e =在0x =处的切线方程。 1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。 2掌握导数的四则运算法则； 3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。 教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学安排：两课时 教学过程： 引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。 且 知识讲解： 一：基本初等函数的导数公式 为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下： 关于表特别说明：1 常数函数 的导 数是 0； 2幂函数 导数是以对应幂函数的指数为系数 3 余弦函 数的导数是正弦函数的相反 数。 从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正， 和余弦函数在该区间的正负是一致的， 余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负， 和正弦函数在该区间的正负是相反的，故 有一个负号。 4 的导数是它自身。 5 例1计算下列函数的导数 强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的 位置是在底数上还是在指数上。 2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。 练习：求下列函数的导数。 例 2．（课本P14例1）假设某国家在20 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约 是多少（精确到0.01 ）？ /年） 在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 提出问题： 10个年头，这种 0.01）？ 二导数的计算法则 推论1 导数不变） 2 （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数 的导数） 3 解决问题： 公式和求导法则，有 /年） 0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。 高考专题 放缩法 缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。 数列及不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列及不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类及数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 < n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得： 1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列， 所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以 12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以 §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ； （4）y ＝ x x 4 ； （5）y ＝x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x =<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． '' ' '252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ?--?-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ?--?-=-25284(100) x =- （1） 因为' 25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'2 5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证： 解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设 ，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．． ∴． 3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数 ．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为， 几种常见函数的导数公式： ①C'=0(C为常数函数) ②(x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数。 ③(sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤(e^x)' = e^x (a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 【其中第4类不用记，那是大学的内容】 希望回答对你有所帮助！ 1．常见函数的导数公式： （1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； （3）x x cos )'(sin =； （4）x x sin )'(cos -=； （5）a a a x x ln )'(=； （6）x x e e =)'(； （7）e x x a a log 1)'(log = ； （8）x x 1)'(ln = ． 2．导数的运算法则： 法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 ''(0)u u v uv v v v -?? =≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 例题：一：1：求函数323y x x =-+的导数. 2： y = x x sin 2．函数y =x 2cos x 的导数为 。 函数y =tanx 的导数为 。 2：求下列复合函数的导数： ⑴3 2 )2(x y -=； ⑵2 sin x y =； ⑶)4 cos(x y -=π ； ⑷)13sin(ln -=x y ．3 2 c bx ax y ++= 4．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线 （ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定 5．曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ） A 、( 1 , 0 ) B 、( 2 , 8 ) C 、( 1 , 0 )和(－1, －4) D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 6．f (x )=ax 3 +3x 2 +2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于 （ ） A. 3 19 B. 3 16 C. 3 13 D. 3 10 7．曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 8．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 9．物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,则在4s 附近的平均变化率 . 10．曲线y ＝x 3－3x 2 ＋1在点(1,－1)处的切线方程为__________________. 11．已知l 是曲线y = 3 1x 3 +x 的切线中，倾斜角最小的切线，则l 的方程是 . 12.已知过曲线y =3 1x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.?? ? ??38, 2 B.?? ? ??- 34,1 C.?? ? ??- -328,1 D.?? ? ??320, 3 13．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f y =的解析式. 14．求过点（2，0）且与曲线y = x 1相切的直线的方程. 学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和 不等问题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 基本初等函数的导数公式表
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1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案
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