江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试(数学)

江苏省无锡市

2013届高三上学期期末考试

数 学 试 题

命题单位：江阴市教研室 制卷单位：无锡市教育科学研究院

注意事项：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．设全集U=R ，集合A={}

{}2

|20,|1x x x B x x -<=>，则集U A B = e 。

2．已知i 是虚数单位，则

122i

i

-+等于 。 3．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200

人的样本，则高中二年级被抽取的人数为 。 4．右边的程序语句运行后，输出的S 为 。

5．在△ABC 中，∠A=45o ，∠C=105o ，

AC 的长度为 ． 6．已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）．若|la+b|不超过5，则k 的取值范围是 ．

7．已知P ：|x －a|＜4；q ：（x －2）（3－x ）>0，若?p 是?q 的充分不必要条件，则a 的取值范围

为 ．

8．已知变量x ，y 满足约束条件0

04x y y x ≤??

≥??-≤?

，表示平面区域M ，若-4≤a≤t 时，动直线x+y=a 所经过的平面

区域M 的面积为7．则t= ．

9．已知圆C l ：22(1)(1)1x y ++-=，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －l =0对称，则圆C 2的方程为 ．

10．等差数列{a n }的公差为-2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 20=__ ． 11．如图，过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交其准线于

点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。

12．

设函数())(0)f x ??π=+<<．若()()f x f x '+是奇函数，则?= ．

13．定义一个对应法则f ：P （rn ，n ）→p '（m ，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （-2，

6）与点B （6，-2），点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则f ：M→M'．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点M'经过的路线的长度为 。

14．已知关于x 的函数y=2

(1)t x t x

-+（f ∈R ）的定义域为D ，存在区间[a ，b]?D ，f （x ）的值域也是[a ，

b]．当t 变化时，b －a 的最大值= 。

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）

已知向量(sin ,1)m x =- ，向量1

,)2

n x = ，函数()()f x m n =+ ·m 。

（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期T; （Ⅱ）若不等式f （x ）－t=0在[,]42

x ππ

∈上有解，求实数t 的取值范围．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P －A BCD 中，底面ABCD 为菱形，BD ⊥面PAC,A C=10，PA=6,cos ∠PCA=

4

5

，M 是PC 的中点． （Ⅰ）证明PC ⊥平面BMD;

（Ⅱ）若三棱锥M －BCD 的体积为14，求菱形ABCD 的边长．

17．（本小题满分14分）

要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，

EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=12AB, tan ∠FED=3

4

，设AB=x 米，BC=y 米．

（Ⅰ）求y 关于x 的表达式；

（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？

18．（本题满分16分）

如图，已知椭圆C ：2222x y a b +=1

的离心率为2

，过椭圆C 上一点P （2，1）作倾斜角互补的两条直

线，分别与椭圆交于点A 、B ，直线AB 与x 轴交于点M ，与y 轴负半轴交于点N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：

（Ⅱ）若S △PMN =

3

2

，求直线AB 的方程

.

19．（本小题满分16分） 已知数列{a n }中，a 1=2，n ∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足112

2

n n n a S S ++=-。

（Ⅰ）求{S n }的通项公式；

（Ⅱ）设{b k }是{S n ）中的按从小到大顺序组成的整数数列。

（1）求b 3；

（2）存在N （N ∈N +），当n≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项，求N 的范围．

20．（本小题满分16分）

已知函数f （x ）=ax 2+1，g （x ）=x 3+bx ，其中a>0，b>0．

（Ⅰ）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点P （2，c ）处有相同的切线（P 为切点）， 求a ，b 的值；

（Ⅱ）令h （x ）=f （x ）+g （x ），若函数h （x ）的单调递减区间为[,23

a --

]，求： （1）函数h （x ）在区间（一∞，-1]上的最大值M （a ）； （2）若|h （x ）|≤3，在x ∈[-2，0]上恒成立，求a 的取值范围。

数学（加试）

命题单位：江阴市教研室 制卷单位：无锡市教育科学研究院

注意事项：本卷考试时间为30分钟，全卷满分为40分．

21．[选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，

则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1:几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC 的延长

线于点E ．

求证：DE 是圆O 的切线．

B ．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知，点A 在变换T ：2x x x y y y y '+??????

→=??????

'??????

作用后，再绕原点逆时针旋转90o ，得到点、B ．若点B 的坐标为（-3，4），求点A 的坐标．

C ．选修4－4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）

已知在极坐标系下，圆C ：p= 2cos （2

π

θ+

）与直线l ：ρsin （4

π

θ+

）M 为圆C 上的动

点．求点M 到直线l 距离的最大值．

D ．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知|x+1|+|x －l|＜4的解集为M ，若a ，b ∈M ，证明：2|a+b |<|4+ab|。

22．（本小题满分10分）

某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，

经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t ），结果如下： 注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率． （Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；

（Ⅱ）用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分） 已知函数f （x ）=

12

x 2

+1nx ． （Ⅰ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最大值、最小值；

（Ⅱ）设g （x ）=f （x ），求证：[()]()22()n

n

n

g x g x n N +

-≥-∈．