高中数学知识重组、网络建构系列之函数与导数：专题四 导数应用之函数的极值与最值

专题四导数应用之函数的极值和最值

主干知识互联，提纲挈领

1．函数的极值的概念：

一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有

()()()()()00f x f x f x f x <>，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大（小）值，记作()

0y f x =极大值（()0y f x =极小值），其中0x 是极大值（小）点．极大值与极小值统称为极值．

2．函数的最值的概念：

设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ?∈，使得对x D ?∈，均满足()()0f x f x ≤（()()0f x f x ≥），那么称0x x =为函数()f x 的一个最大（小）值点，()0f x 称为函数()f x 的最大（小）值．

3．“极值”与“最值”的区别和联系：

右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．

（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性；

（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个；

（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

4．结论：

（1）一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在

[]b a ,上必有最大值与最小值；

（2）若函数()f x 在[]b a ,上单调递增，则()f a 为函数的最小值，()f b 为函数的最大值；若函数

()f x 在[]b a ,上单调递减，则()f a 为函数的最大值，()f b 为函数的最小值．

● 重点难点突破，抓住核心 考向1 利用导数求函数的极值与最值

【例1】【2016高考天津理数20】设函数

3()(1)f x x ax b =---，R x ∈，其中R b a ∈,

(I)求)(x f 的单调区间； (II) 若)(x f 存在极值点0x ，且

)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=；

（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：

)(x g 在区间[]02,上的最大值不小于．．．41．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ） 详见解析．

【解析】（Ⅰ）由b ax x x f ---=3

)1()(，可得

a x x f --=2)1(3)('．

下面分两种情况讨论： （1）当0≤a 时，有0)1(3)('2

≥--=a x x f 恒 成立，∴)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞．

（2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得

331a

x +=，或3

31a x -=． 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：

● 方法规律提升，融会贯通

1．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

2．对于可导函数f(x)，f ′(x 0)＝0是函数f(x)在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．

3．可导函数极值存在的条件：

(1)可导函数的极值点x0一定满足f ′(x0)＝0，但当f ′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．

(2)可导函数y ＝f(x)在点x0处取得极值的充要

条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同．

4．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近

的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

5．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．