2014高考数学 考前备战冲刺押题系列 名师预测卷18

卷18

一、填空题（每小题5分，共70分）

1. 若集合2

{|0}M x x x =-≤，函数2()log (1||)f x x =-的定义域为N ，则M N = ▲ .

2.设,(34)(4)a R i ai ∈++是纯虚数，则a = ▲ .

3. 已知命题“,|||1|2x R x a x ?∈-++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是__ ▲ __.

4. 一个算法的程序框图如右图所示，若执行该程序输出的结果为99

100

，则判断框中应填入的条件是 ▲ .

5．在ABC ?中，三内角A B C

、、的对边分别是a b c 、、，

若

22,sin a b C B -==，则角A 的值为 ▲ .

6．若αβ、是函数2

2

()lg lg 2f x x x =--的两个零点，则log log αββα+的值为 ▲ . 7. 若直线1y kx =+与圆2

2x y kx +++my 1-0=交于M N 、两点，且M 、N 两点关于直线

0=+y x 对称，则不等式组??

?

??≥≤-≥+-000

1y my kx y kx 表示的平面区域的面积是 ▲ . 8．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库。一号仓库 存有则10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨 货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中 存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运 输费，则最少需要的运费是 ▲ .

9. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10121000a a ，2141-=b b ，则=-+8

72011

11tan

b b a a ▲

.

10. 下列命题中，正确命题的序号为 ▲ . ①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行； ②已知平面α,直线a 和直线b ，且a b a a ⊥=?,α，则α⊥b ； ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；

④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；

⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形.

11．已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点1F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭

圆的右准线上，若1111112,()(0)F P F O

PQ F O F Q F P F O

λλ==+>

则椭圆的离心率为 ▲ .

12. 已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意,a b R ∈，都有2

2

()()2()f a b f a f b +=+成

立，则(2011)f = ▲ .

13. 在ABC ?中，已知,,a b c 分别,,A B C ∠∠∠所对的边，S 为ABC ?的面积，若向量

222

(4,)p a b c =+- ，(1,)q S = 满足//p q ，则C ∠= ▲ .

14. 设函数)cos (sin )(x x e x f x

-=，若π20110≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和

为 ▲ .

二、解答题

15．（14分）已知函数()sin(2)1f x x ?=++和()cos(2)g x x ?=+.

（1）设1x 是()f x 的一个极大值点，2x 上()g x 的一个极小值点，求12||x x -的最小值； （2）若/

/

()()f g αα=，求()6

g π

α+的值.

16．（14分）如图，所有棱长都为2的正三棱柱'''D C B BCD -，四边形ABCD 是菱形，其中E 为BD 的中点。

(1) 求证：'

'

'

//D AB E C 面；

（2）求证：面⊥'ACD 面'BDD ； （3）求四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分体积.

17．（15分）已知点P 是圆2

2

1x y +=上一动点，点P 在y 轴上的射影为Q ，设满足条件

QM QP λ=

（λ为非零常数）的点M 的轨迹为曲线C .

（1）求曲线C 的方程；

（2）若存在过点1

(,0)2

N 的直线与曲线C 相交于A B 、两点，且0(OA OB O = 为坐标原点）

，求λ的取值范围. 18．（15分）如图，在一条河流的上、下游分别有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万3m ，每天流过甲厂的河水流量是500万3m （含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万3m ，每天流过乙厂的河水流量是700万3m （含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化. 假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. （1）求河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是多少？（精确到0.01%）

（2）根据环保要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两家工厂都必须各自处理一部分污水.已知甲厂处理污水的成本是3

1000m 元/万，乙厂处理污水的成本是

3800/m 元万，求甲、乙两厂每天分别处理多少万3m 污水，才能使两厂处理污水的总费用最

少？最小总费用是多少元？

19．（16分）已知数列{}n a 的通项公式为*(,)n n

a n a N n a

=∈+. （1）若1315,,a a a 成等比数列，求a 的值；

（2）是否存在(3)k k k N ≥∈且，使得12,,k a a a 成等差数列，若存在，求出常数a 的值；若不存在，请说明理由；

（3）求证：数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中其它两项之积.

20．（16分）已知函数(),()ln (x

x

f x e ax

g x e x e =+=是自然对数的底数）. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线2

4(1)y x =-的切线，求a 的值； （2）若对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数a 的取值范围；

（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线

斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.

附加题 21、【选做题】请从A,B,C,D 四小题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．(4-1 几何证明选讲选做题) 如图，△ABC 内接于圆⊙,点D 是圆⊙上异于A 、B 、

C 三点的任意一点，过

D 点作AB BP ⊥，BC DQ ⊥，AC DR ⊥，交AB 、BC 、AC 分别为P,Q,R.

(1)求证：∠BDP=∠CDR ；(2)求证：P,Q,R 三点共线. B ．(4-2 矩阵与变换选做题)已知曲线C ：222y x -=.

（1）将曲线C 绕坐标原点顺时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.

C ．(4-4 坐标系与参数方程选做题)过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ．⑴若点P 恰为弦MN 的中点，求直线的方程； ⑵求PM PN ?的最小值及相应的α的值．

D ．(4-5 不等式选讲选做题)设a 、b 、c 均为实数，求证：

a 21+

b 21+

c 21≥c b +1+a c +1+b

a +1． 22、（10分）如图6，1111D C B A ABCD -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC

上的动点，且BF AE =． ⑴求证：E C F A

11⊥； ⑵当1A 、E 、F 、1C 共面时，求： ①1D 到直线E C 1的距离；

②面DE A 1与面DF C 1所成二面角的余弦值．

23.（10分）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一

题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为9

1． ⑴求选手甲可进入决赛的概率；

⑵设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

参考答案

一、填空题

1. [0,1)；

2. 3；

3. (,3)(1,)-∞-+∞ ；

4. 99?100?i i ≤<或；

5. 30?；

6. 4-；

7.

4

1； 8. 500元； 9. 3； 10. ④⑤；11. 215-； 12. 0或20112；13. 4

π

；14. π

ππ220121)1(e e e --. 二、解答题

15．解：（1）由题意，得11221222,22,,2

x k x k k Z k Z π

?π?ππ+=++=+∈∈……2分

于是1212|||()|4

4

x x k k π

π

π-=--≥

，当12k k =时等号成立. …………………………4分

所以12||x x -的最小值为

4

π

. ………………………… 6分

（2）因为/

/

()2cos(2),()2sin(2)f x x g x x ??=+=-+，…………………………8分 由/

/

()()f g αα=，得cos(2)sin(2),tan(2)1α?α?α?+=-++=-即， 所以2,()4

k k Z π

α?π+=-∈， …………………………10分

所以()cos(2)cos(2)cos

sin(2)sin

6

3

3

3

g π

π

π

π

αα?α?α?+

=++

=+-+

=(cos

sin )sin(2))33

4

k π

π

π

α?π-++=-…………………………12分

当k 为偶数时，()6

g π

α+

=

；当k 为奇数时，()6g πα+=.…14分 16．证明(1) 如图取''D B 的中点为F ，连AF,C ’F , 易得AFC ’F 为平行四边形。 E C AF '//∴,又’

‘

面D AB AF ?

∴'

''//D AB E C 面 ………..4分 （2）连接',CD AC ,因ABCD 是菱形故有

BD AC ⊥

又'''D C B BCD -为正三棱柱故有

'DD AC ⊥

所以'BDD AC 面⊥,而'ACD AC 面?

所以面⊥'ACD 面'BDD ……………9分 （3）设B ’D 与BD ’的交点为O ,由图得 四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分为 四棱锥O-ABCD

且易得O 到下底面的距离为1，

3260sin 222

1

20=???=ABCD S

所以公共部分的体积为3

3

213231=

??。 ……..14分 17．解：（1）设点P 的坐标为00(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为0(0,)y .

由QM QP λ= ，得0000,,,x

x x y y x y y λλ

====即. …………………………3分

因为点P 在圆22

1x y +=上，则2200

1x y +=，所以

2

22

1(0)x y λλ

+=≠.

故点M 的轨迹C 的方程为

2

22

1(0)x y λλ+=≠. …………………………7分

（2）因为直线的斜率为0时，0OA OB ≠

，故可设直线的方程为1

2

x my =+. 由2222

12

x my x y λλ?

=+

???+=?

得22221()04m y my λλ+++-= （＊）……………10分 设点1122(,),(,)A x y B x y ，则2

1212222214,m y y y y m m λλλ

-+=-=++. 因为0OA OB =

，则212121212121

0,()24

m x x y y x x m y y y y +==+++又，

所以22

2

2211(1)()()0424

m m m λλ+--++=， …………………………13分

因为0λ≠

，所以22

2

22

13134444,00m λλλλλλ

--=≥≤≤≠由，得-. 此时（＊）的判别式0?>成立，故λ

的取值范围是[ . …………15分 18．解：（1）由题意，甲厂排放的污水在流到乙厂时有3

220%0.4()m ?=万被净化， 所以河流在经过乙厂后污水的总含量为3

(20.4) 1.43()m -+=万. 故河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是

3

0.43%700

≈.…………………………6分 （2）设甲、乙两厂每天分别处理污水x y 、万3m ，两厂处理污水的总费用为z 元.

则20.25001004580.8(2)(1.4)0.2,127001000 1.4

020 1.4x x y x y x y x y -?≤?+≥??-+-??≤≤≤????≤≤?≤≤?

?≤≤?即. 目标函数为

1000800z x y =+.……………………98分

作可行域，如图. …………………………11分

平移直线:450l x y +=，当直线经过点(1,0.8)A 时，z 取最小值， 此

时

100018000.816

z =?+?=（元） …………………………13分

故甲、乙两厂每天应分别处理1万3m 、0.8万3m 污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是1640元. …………………………15分 19．解：（1）因为1315,,a a a 成等比数列，所以23115a a a =，即

223115

(

),43115a a a a a

=?∴=+++， *,4a N a ∈∴= . ……………………5分

(2)若存在(3)k k k N ≥∈且，使得12,,k a a a 成等差数列，则有122k a a a +=，

即

1412k a k a a +=

+++，得2

3k a

=+，3k N k ∈≥ 且，12a ∴=或. …………8分 故存在54k k ==或，使得12,,k a a a 成等差数列，

且5k =时，1,4a k ==时，2a =. ………11分 （3）*2222,,,222n n a n n n a n

n a N a a a n a n a n a

++∈∴=

=?=?+++ ………13分 22n a n a a +且和是数列{}n a 的不同于n a 的两项，

所以数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中其它两项之积. ……………16分 20．解：（1）/

/

() (1)x

f x e a f e a =+=+，，所以在1x =处的切线为

()()(1)y e a e a x -+=+-

即：()y e a x =+ ………………………………2分 与2

4(1)y x =-联立，消去y 得2

2

()440e a x x +-+=，

由0?=知，1a e =-或1a e =--. ………………………………4分 （2）/

()x

f x e a =+

①当0a >时，/

()0, ()f x f x >在R 上单调递增，且当x →-∞时，0,x

e ax →→-∞，

()f x ∴→-∞，故()0f x >不恒成立，所以0a >不合题意 ；………………6分

②当0a =时，()0x

f x e =>对x R ∈恒成立，所以0a =符合题意；

③当0a <时令/

()0x

f x e a +=，得ln()x a =-， 当(,,ln())x a ∈-∞-时，/

()0f x <， 当(ln(),)x a ∈-+∞时，/

()0f x >，故()f x 在(,ln())a -∞-上是单调递减，在(ln(),)a -+∞上是单调递增, 所以min [()](ln())ln()0,,f x f a a a a a e =-=-+->∴>-又0a <，

(,0)a e ∴∈-，

综上：(,0]a e ∈-. ………………………………10分 (3)当1a =-时，由（2）知min [()](ln())ln()1f x f a a a a =-=-+-=， 设()()()ln x

x

h x g x f x e x e x =-=-+，则/11

()ln 1(ln 1)1x x x x h x e x e e e x x x

=+?

-+=+-+，

假设存在实数0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在

R 上的最小值相等，0x 即为方程的解，………………………………13分

令/

()1h x =得：1(ln 1)0x e x x +

-=，因为0x e >， 所以1

ln 10x x

+-=. 令1()ln 1x x x ?=+-，则/22111

()x x x x x

?-=-= ，

当01x <<是/()0x ?<，当1x >时/

()0x ?>，所以1()ln 1x x x ?=+-在(0,1)上单调递

减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0x ??∴>=,故方程 1

(ln 1)0x e x x

+-=有唯一解为1，

所以存在符合条件的0x ，且仅有一个01x =. ………………………………16分

??????x y ??????

=y y ??+

??

????+????

=x y '????'??………………………2分

得到''x x y y x y ?????=??

，得到x x y y x y ?''???

?''??

代入222y x -=，得1

y x

=………………………5分

（2）（法一）曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，渐近线方程0x y ±=，

?????? 02????-??

=????

?

?????

02??????

=，……………………… 7分 设0x y ±=上任意点(,)x y 变换后对应的点为(,)x y ''

??????x y ??

????=x y '????'??，

得

''x x y y x y ????

?=??，求

得x x y y x y ?

''????''??

代入0x y ±=，得到0x =和

0y =……………9分

矩阵变换后，曲线C '的焦点坐标

是(。曲线C '的渐近线方程为0x =和

0y =。…………10分

（法二）曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，渐近线方程0x y ±=，

将点(0,2),(0,2)-

分别代入''x x y

y x y ????

?=??

，得到(………………………7分

将x x y y x y ?''???

?''??

代入0x y ±=，得到0x '=和0y '=；………………………9分

矩阵变换后，曲线C '

的焦点坐标是(。曲线C '的渐近线方程为0x =和0

y =。

C ．

解：设直线为cos ()sin x t t y t αα?=

???=?为参数，代入曲线并整理得

223

(1sin ))02

t t αα+++

=． 设,M N 分别对应与1t ，2t

，则12t t +=，1223

21sin t t α?=+．…………4分 ⑴若点P 恰为弦MN

的中点，则120t t +==，∴2

πα=

．

此时，直线的方程为x =

．………………………………………………………7分 ⑵122321sin PM PN t t α?==+， 当2sin 1α=时，即2πα=，PM PN ?的最小值为34，此时2

π

α=．………………10分

D. 证明： ∵a 、b 、c 均为实数．

∴

21（a 21＋b 21）≥ab

21≥b a +1

，当a =b 时等号成立； 21（b 21＋c 21）≥bc

21≥c b +1，当b =c 时等号成立； 21（c 21＋a 21）≥ca

21≥a c +1． ………………………………………………7分 三个不等式相加即得

a 21+

b 21+

c 21≥c b +1+a c +1+b

a +1

， 当且仅当a =b =c 时等号成立. ………………………………………………………10分22、以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则

)6 , 0 , 6(1A 、)6 , 6 , 0(1C ，设m AE =，则)0 , , 6(m E ，)0 , 6 , 6(m F -，从而)6 , 6 , (1--=m F A 、)6 , 6 , 6(1--=m E C ，直接计算知011=?F C F A ，所以

E C

F A 11⊥…………4分．

⑵①当1A 、E 、F 、1C 共面时，因为底面1111//D C B A ABCD ，所以EF C A //11，所以

AC EF //，从而E 、F 分别是AB 、BC 的中点……7分，设1D 到直线E C 1的距离为h ，

在E D C 11?中，93662221=++=

E C ，

2

21

111BC D C h E C ?=?， 解得24=h ……7分．

②由①得，)0 , 3 , 6(E 、 )0 , 6 , 3(F ，设平面DE A 1的一个法向量为) , , (1c b a n =，

依题意?????=+=?=+=?0

660

36111c a DA n b a n ，所以)1 , 2 , 1(1-=n ，同理平面DF C 1的一个法向量为

)1 , 1 , 2(2-=n ，

由图知，面DE A 1与面DF C 1所成二面角的余弦值2

1

cos 2121=

=θ（即3

π

θ=

）……10分．

23、解：⑴设选手甲任答一题，正确的概率为p ，依题意91)1(2=-p ，3

2=p ， 甲选答3道题目后进入决赛的概率为27

8

)32(3=

，甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分

别为27831)32(323=?C 、8116)31()32(2

324=

C ，所以，选手甲可进入决赛的概率81

64

8116278278=

++=P ……………………5分． ⑵ξ可取3，4，5，依题意3

1

271278)3(=+==ξP ，

27

10

3132)31(3231)32()4(223223=

??+??==C C P ξ， 27

831)32()31(32)31()32()5(22

242224=

??+??==C C P ξ……7分， （或27

8

)]4()3([1)5(==+=-==ξξξP P P ……7分）

所以，ξ的分布列为：

……8分

27

107

278527104313=

?+?+?=ξE ……10分．