华中师大一附中2017年自主招生考试数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2017年高中招生考试

数学试题

考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)

1．实数a，b，c在数轴上对应的点如右图所示，化简代数式＋＋－

＋的结果为( )

A．2b－c－1 B．－1 C．2a－c－1 D．b－c＋1

2．已知点A，B分别是双曲线y=和直线y=－x上任意一点，则AB的最小值为( ) A．2 B．4C．4 D．2

3．如图，反比例函数y=(k为非零常数)的图象经过二次函数

y=ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象的顶点(－，m) (m>0)

则( )

A．a=b＋2k B．a=b－2k

C．k＜b＜0 D．a＜k＜0

4．若实数a，b满足a2＋b2=4，则＋=( )

A．－2 B．0 C．2 D．4

5．已知y=f(x)满足：(1)f(1)=1(f(1)表示x=1时对应的y的值，下同) ；(2)当00；

(3)对任意实数x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2 f(1－x) f(y)，则f()=( )

A．1 B．C．D．

6．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则

GH＋CH的最小值为( )

A．4B．9

C．D．

二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

7．x=(b＞21)，则x2－bx＋103=__________．

8．已知关于x的方程无解，则a的值为__________．

9．已知=7，则=__________．

10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5，且tan∠EFC=，连接DF．则点A到DF的距离为__________．

第10题图第11题图

11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，F为AP的中点，AB分别交OP、EF于点T、点S．若，则=__________．12．定义：使函数y=f(x)的函数值为零的x的值叫函数y=f(x)的幸运点(如：y=x2－2x+1 的幸运点为x=1；y=x2－2x－3的幸运点为x=3，x=－1；y=x＋1的幸运点为x=－1)．设f(x) =

＞，若g(x)f(x)－b恰好有两个幸运点，则实数b的取值范围为__________．三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．(本小题满分16分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接BC交⊙O于点D，AD、BE交于点F，连接DE．

(1)求证：点F在△ABC的AB边的高上；

(2)若AB=DE，求∠AFB的度数．

14．(本小题满分16分)

(1)设k，t为常数，解关于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①

(2)在(1)的条件下，若方程①只有整数根，且关于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有两个正整数根y1，y2，则t为何值时，y21+y22有最小值？

15．(本小题满分16分)已知ABCD 的对角线AC 、BD 相交于E 点，∠CAD=a ，∠BAC=β． (1)如图1，若a =2β，BD=10，AD=8，求AC 的长；

(2)如图2，若a =β=45°，点M 为线段AB 上一动点，连接DM ，将DM 绕D 点逆时针旋转60°得线段DN ，连接BN ．若点M 由A →E 匀速运动，点M 到达E 点后运动停止，在点M 运动的过程中，∠CBN 的度数是否变化？若变化，求其取值范围；若不变，求其值．

16．（本小题满分18分）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1所示，A （0，a ）（a ＞0），直线l ：y ＝

，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到A 点距离与点B 到l 的距离相等． (1)求a 的值；

(2)如图2，若直线l 1：y ＝kx ＋

交抛物线于E ，D 两点，连接DO 、OE ．

①过点E 作EC ⊥x 轴于点C ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，求

∠

∠

的值；

②过点E 作EM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，点G 为MN 的中点，若点G 到DE 的距离为

，求k 值．

A

B

C

D

E M

A B

D

C

E

N 图1

图

2

华中师大一附中2017年高中招生考试

数学试题参考答案

考试时间：80分钟卷面满分：150分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)

7．0 8．1，2，4 9．3 10．411．12．－3

∴AD、BE是△ABC的两条高，

∴F是△ABC的AB边上的高．

（2）∵∠CDE＝∠CAB，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，

∴cosC，∴∠C=45°，

∵∠C＋∠EFD＝180°，∴∠AFB＝∠EFD＝135°．

14．（1）当k＝0时，x＝2符合题意；

当k≠0时，则(x－2)(kx＋3－k)＝0，∴x1＝2，x2＝

（2）由（1）得，k＝0时，x＝2

∴y1＋y2＝5，y1·y2＝，∴(y1，y2，t)＝(4，1，12)或(3，2，18)或(1，4，12)或(2，3，8) ∴y21+y22＝17或13

当k≠0时，x1＝2，x2＝

∴k＝，则k＋3＝，y1＋y2＝＝5＋≥2，

∴x2－2＝－5，1，5，∴x2＝－3，3，7

∴k＝，，，∴y1＋y2＝4，10，6

当y1＋y2＝4时，(y1，y2)＝(3，1)或（2，2）或（1，3），y21+y22＝8或10

当y1＋y2＝6时，y21+y22＝(6－y2)2＋y22＝2(y2－3)2＋18≥18

当y1＋y2＝10时，y21+y22＝(10－y2)2＋y22＝2(y2－5)2＋50≥50

∴(y21+y22)min＝8，∴y1＝y2＝2，k＝，又y1·y2＝，∴t＝(k＋3)y1·y2＝15

综上，当t＝15时，y21+y22有最小值．

15．（1）以B 为圆心，BC 为半径画弧交AC 于C ，F 两点，连接BF ，作BS ⊥AC 于S

∵a =2β，∠BCA ＝∠DAC ＝∠BFC ，∴∠ABF ＝∠BAF ∴BC ＝AD ＝BF ＝AF ＝8

∴ES ＝CE －CS ＝

AC －

CF=

AF ＝4

∴BS ＝ ＝3，∴CS ＝ ＝ ，∴CE ＝4＋ ∴AC=8+2

或延长EC 至T ，使CT ＝BC ，连接BT ，做法与上法类似． （2）法1：以AD 为边作等边△AFD ，

以DE 为边作等边△DEG （如图所示），连NG ，FG

∵a =β=45°，易证四边形ABCD 为正方形， 易证△MDE ≌△NDG ，△ADE ≌△FDG ， ∠FGD ＝∠AED ＝∠NGD ＝90°， ∴F ，N ，G 三点共线

∠ABF ＝∠AFB ＝75°，∠DBF ＝30°

延长BF 交直线DG 于G ′，∴∠BG ′D ＝90°， ∴BD ＝2DG ′＝2DG ，∴G 与G ′重合，

∴B 、F 、N 、G 四点共线，∴∠NBD ＝30°，∠CBN ＝15°不变． 法2：作等边△DEG ，连接NG ，易证△MDE ≌△NDG ，

∴∠MED ＝∠NGD ＝90°，∠EDG ＝60°，延长GN 交直线BD 于B ′，则DB ′＝2DG ， 又∵BD ＝2DG ，∴BD ＝DB ′，∴B 与B ′重合，∴∠DBG ＝30°，∴∠CBN ＝15°． 16．（1）设B(x ，y )，∴y ＝x 2，∴x 2＋(y －a )2＝(y ＋

)2，∴(

－2a )y ＋a 2－

＝0，

∴

－

－ ，∴a ＝ ，或B 与O 重合，a ＝

，再证BA 与B 到直线l 的距离相等． （2）①作BC ⊥x 轴于C ，DF ⊥x 轴于F ，设ED 的解析式为y ＝kx ＋

， E(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，

＝ ＋

，∴

－kx －

＝0，

∴x 1＋x 2＝k ，x 1·x 2＝－

，∴y 1＝x 21，y 2＝x 22 ∴tan ∠OEC ＝

，tan ∠DOF ＝

，∴

∠

∠

＝

＝4

（3）∵EA ＝EM ，DN ＝DA ，∴∠EAM ＋∠DAN ＝

（180°－∠AEM ＋180°＋∠ADM ）＝90°，∴∠MAN ＝90°

∴GA ＝GM ＝GN ，∴△GME ≌△GAE ，∴∠GAE ＝∠GMA ＝90°，

∴GA ⊥DE ，MN ＝∣x 1－x 2∣＝ ＝ ＝2GA ＝ ，∴k ＝±2．