2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷A(纯WORD版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}
2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )
A .
{}0 B .{}0,2
C .
{}2,0-
D .
{}2,0,2-
2.定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,
2
1y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B .3
C .2
D .1
3.若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A .
()2,4
B .
()2,4-
C .
()4,2-
D .
()4,2
4.已知离散型随机变量X 的分布列为
X 1 2 3
P
35 310
110
则X 的数学期望EX = ( )
A . 3
2 B .2 C .5
2 D .3
5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )
A . 4
B .14
3
C .16
3
D .6
6.设
,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是(
)
正视图
俯视图
侧视图
第5题图
A . 若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥
B .若//αβ,m α?,n β?,则//m n
C .若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥
D .若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥
7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3
2,在双曲线C 的方程是 ( )
A . 2214x =
B .22145x y -=
C .221
25x y -=
D
.22
12x =
8.设整数4n ≥,集合
{}
1,2,3,,X n = .令集合
(){}
,,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,若
(),,x y z 和
(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )
A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ?
B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈
C .
(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈
D .
(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈
二、填空题:本题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分
(一)必做题(9~13题)
9.不等式2
20x x +-<的解集为___________. 10.若曲线ln y kx x =+在点
()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.
11.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______.
12. 在等差数列
{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.
13. 给定区域D :4440x y x y x +≥??
+≤??≥?,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是z x y =+在D 上
取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C
的参数方程为x t
y t ?=??
=?
?(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为
_____________.
15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过
C 作圆O 的切线交A
D 于
E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12
分)已知函数
()12f x x π?
?=- ?
??,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π??- ???的值; (Ⅱ) 若
3cos 5θ=,3,22πθπ??∈ ???,求23f πθ?
?+ ?
?
?.
17.(本小题满分12分)
某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
.
A
E
D C
B
O
第15题图
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;
(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.
18.(本小题满分14分)如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是
,AC AB 上的点
,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,
其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1
1a =,21212
33n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求
2a 的值;
(Ⅱ) 求数列
{}n a 的通项公式;
.
C
O B
D
E
A C
D
O
B
E
'A
图1
图2
1 7 9
2 0 1 5
3 0
第17题图
(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1
211174n a a a +++< .
20.(本小题满分14分)
已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=
的距离为.设P
为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程; (Ⅱ) 当点
()
00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程;
(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF
?的最小值.
21.(本小题满分14分) 设函数
()()2
1x f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ) 当
1,12k ??
∈ ?
??时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .
参考答案一、选择题1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.B 8.B
9.() 2,1 -
10.1-11.7 12.20 13.6
14
.
sin
4
π
ρθ??
+=
?
??
15
.
16.(Ⅰ
)
1 661244
f
πππππ??????
-=--=-==
? ? ?
??????;
(Ⅱ
)
222cos2sin2 33124
f
ππππ
θθθθθ??????
+=+-=+=- ? ? ?
??????
因为
3
cos
5
θ=
,
3
,2
2
π
θπ
??
∈ ?
??,所以
4
sin
5
θ=-
,
所以
24
sin22sin cos
25
θθθ
==-
,
22
7
cos2cos sin
25
θθθ
=-=-
所以
2
3
f
π
θ
??
+
?
??cos2sin2
θθ
=-
72417
252525
??
=---=
?
??.
17.解:(1)由题意可知,样本均值
171920212530
22
6
x
+++++
==
(2) 样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名,
∴可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为:
21246?
=
(3) 从该车间12名工人中,任取2人有2
1266C =种方法, 而恰有1名优秀工人有
11
10220C C = ∴所求的概率为:
11
1022
1220106633C C P C =
== 18.
(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===
连结,OD OE ,
在OCD ?中,由余弦定理可得
OD
==
由翻折不变性可知A D '=,
所以222
A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,
理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角
.
结合图1可知,H 为AC 中点,
故
OH =
,从而
A H '=
所以
cos OH A HO A H '∠
=
=',所以二面角A CD B '--C D O
B
E
'A
H
向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,
则
(
A ',
()0,3,0C -,
()1,2,0D -
所以(
CA '=
,
(
1,DA '=-
设
()
,,n x y z =
为平面A CD '的法向量,则
00n CA n DA ?'?=??'?=??
,
即3020y x y ?=??-+=??,
解得y x z =-???
=?
?,令1x =,
得(
1,n =- 由(Ⅰ) 知
,
(
OA '=
为平面
CDB
的一个法向量,
所以
cos ,5n OA n OA n OA '?'===
'
,即二面角A CD B '--
的平面角的余弦值为5.
19.. .(1) 解: 21212
33n n S a n n n
+=---
,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212
2212
33a S a a ==---=-
又
11a =,24a ∴=
(2)解: 21212
33n n S a n n n
+=---
,n N *∈. ∴ ()()32111212
2333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-
①
∴当2n ≥时,
()()()
111213
n n n n n S n a =-+=--
②
由① — ②,得
()()
112211n n n n S S na n a n n -+-=---+
1222n n n a S S -=-
()()
1211n n n a na n a n n +∴=---+
111n n a a n n +∴-=+ ∴数列n a n ????
??是以首项为1
11a =,公差为1的等差数列.
()()2111,2n
n a n n a n n n ∴
=+?-=∴=≥
当1n =时,上式显然成立. 2*
,n a n n N ∴=∈ (3)证明:由(2)知,2*
,n a n n N =∈
①当1n =时,1
1714a =<,∴原不等式成立.
②当2n =时, 1
21117144a a +=+<,∴原不等式亦成立.
③当3n ≥时,
()()()()
221111,11n n n n n n >-?+∴
<
-?+
()()()
2221211111111111121324211n a a a n n n n n ∴
+++=+++<+++++??-?-?+
111111111111111121322423522211n n n n ??????????=+-+-+-++-+- ? ? ? ? ?
--+?????????? 1111111111112132435211n n n n ??=+-+-+-++-+- ?
--+?? 1111171117121214214n n n n ????=++--=+--<
? ?++????
∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.
综上,对一切正整数n ,有1
211174n a a a +++< .
20.(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,
2=
结合0c >,解得1c =.
所以抛物线C 的方程为2
4x y =.
(Ⅱ) 抛物线C 的方程为2
4x y =,即
214y x =
,求导得12y x '=
设()11,A x y ,()22,B x y (其中22
1212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,
所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即2
111
22x x y x y =-+,即1
1220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=
因为切线,PA PB 均过点()
00,P x y ,所以
1001220x x y y --=,2002220x x y y --=
所以
()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.
所以直线AB 的方程为
00220x x y y --=.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,
21
BF y =+,
所以
()()()121212111
AF BF y y y y y y ?=++=+++
联立方程002220
4x x y y x y --=??=?,消去x 整理得()222
000
20y y x y y +-+=
由一元二次方程根与系数的关系可得21
2002y y x y +=-,2
120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ?=+++=+-+
又点
()
00,P x y 在直线l 上,所以
002x y =+,
所以
2
2220000001921225222y x y y y y ?
?+-+=++=++
??? 所以当
012y =-
时, AF BF ?取得最小值,且最小值为9
2.
21.(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()
1222x x x x
f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令
()0
f x '=,得
10x =,2ln 2x =
当x 变化时,
()()
,f x f x '的变化如下表:
x (),0-∞
0 ()0,ln 2
ln 2
()ln 2,+∞
()f x '
+
- 0
+
()
f x
极大值
极小值
右表可知,函数
()
f x 的递减区间为
()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.
(Ⅱ)
()()()
1222
x x x x
f x e x e kx xe kx x e k
'=+--=-=-
,令
()0
f x
'=
,得
10
x=
,
() 2
ln2
x k =
,
令
()()
ln2
g k k k
=-
,则
()11
10
k
g k
k k
-
'=-=>
,所以
()
g k
在
1
,1
2
??
?
??上递增,
所以
()ln21ln2ln0
g k e
≤-=-<
,从而
()
ln2k k
<
,所以
()[]
ln20,
k k
∈
所以当
()
()
0,ln2
x k
∈
时,
()0
f x
'<
;当
()
()
ln2,
x k
∈+∞
时,
()0
f x
'>
;
所以
()()
{}()
{}3 max0,max1,1k
M f f k k e k ==---
令
()()3
11
k
h k k e k
=--+
,则
()()3
k
h k k e k
'=-
,令
()3
k
k e k
?=-
,则()330
k
k e e
?'=-<-<
所以
()k
?
在
1
,1
2
??
?
??上递减,而
(
)()
13
130
22
e
??
???
?=-<
??
???
所以存在
1
,1
2
x
??
∈ ?
??使得()00
x
?=
,且当
1
,
2
k x
??
∈ ?
??时,()0
k
?>
,当
()
,1
k x
∈
时,
()0
k
?<
,
所以
()k
?
在
1
,
2
x
??
?
??上单调递增,在()
,1
x
上单调递减.
因为
17
28
h
??
=>
?
??,()10
h=
,所以
()0
h k≥
在
1
,1
2
??
?
??上恒成立,当且仅当1
k=时取得
“=”.
综上,函数
()
f x
在
[]
0,k
上的最大值
()3
1k
M k e k
=--
.
中学自主招生考试数学试卷试题
2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们,欢迎参加一六八中学自主招生考试,希望你们凝神静气,考出水平!开放的一六八中学热忱欢迎你们!本学科满分为120分,共17题;建议用时90分钟。 一、填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、计算= . 2、分解因式:= . 3、函数中,自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1,x2,…,x n的方差为1,则数据10x1+5,10x2+5,…,10x n+5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为(a, 0)(b, 0)(0, c),则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上,⊙、⊙的半径分别为2和1,=5,则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个. 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm, 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:
则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移,使平移后的图像过C(0,-2),交x轴于A、B两点,并且△ABC 的面积等于4,则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图,平行四边形ABCD中,P点是形内一点,且△P AB的面积等于8 cm2,△P AD的 面积等于7 cm2,,△PCB的面积等于12 cm2,则△PCD的面积是cm2. (第10题图)(第11题图) 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体,其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格,问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O,D、E分别是AB、AC的中点,延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分) 13、已知(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求:①a∶b∶c②
初中升高中-学校自主招生选拔考试-数学试题
数学试卷 一、选择题(30分) 1.在0,-2, 1,-3这四个数中,最小的数是( ). A .0 B .-2 C .1 D .-3 2. 函数中,自变量的取值范围是( ). A .x≥1 B .x≤1 C .x≥-1 D .x≤-1 3.把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( ). A . B . C . D . 4.如图,小红和小丽在操场上做游戏,她们先在地上画出一个圆圈,然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子,则投一次就正好投到圆圈内是( ). A .必然事件(必然发生的事件) B .不可能事件(不可能发生的事件) C .确定事件(必然发生或不可能发生的事件) D .不确定事件(随机事件) 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根,则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6.我们从不同的方向观察同一物体时,可以看到不同的平面图形,如图,从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A . B . C . D . 7.已知 ,我们又定义 ,, ,……,根据你观察的规律可推测出=( ). 1 0 1 0 1 0 1 0
A. B. C. D. 8.如图,在矩形中,M、N分别为边、边的中点, 将矩形沿折叠,使A点恰好落在上的点F处, 则∠的度数为( ). A.20°B.25 °C.30°D.36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况,从该年级学生中随机 抽取了4%的学生,对其参加的体育活动项目进行了调查,将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论:①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人;②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°;③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%;④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10.如图,等腰△中,∠90°,4,⊙C的半径为1,点P在斜边上,切⊙O于点Q,则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题(18分) 11.如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O
自主招生数学试卷(含答案)
中学自主招生数学试卷 一、选择题(共5小题,每题4分,满分20分) 1.(4分)下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+()2+2﹣1的结果相同的是() A.B.D. 2.(4分)如图,∠ACB=60°,半径为2的⊙O切BC于点C,若将⊙O在CB上向右滚动,则当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为() A.2πB.4πC.2D.4 3.(4分)如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积,那么整数p的值可取多少个() A.4 B.5 C.6 D.8 4.(4分)小明、小林和小颖共解出100道数学题,每人都解出了其中的60道,如果将其中只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多多少道() A.15 B.20 C.25 D.30 5.(4分)已知BD是△ABC的中线,AC=6,且∠ADB=45°,∠C=30°,则AB=() A.B.2C.3D.6 二、填空题(共6题,每小题5分,满分30分) 6.(5分)满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是. 7.(5分)已知三个非负实数a,b,c满足:3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1,若m=3a+b﹣7c,则m的最小值为. 8.(5分)如图所示,设M是△ABC的重心,过M的直线分别交边AB,AC于P,Q两
点,且=m,=n,则+=. 9.(5分)在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个. 10.(5分)如图所示:在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴交于A(0,),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC=. 11.(5分)如图所示:两个同心圆,半径分别是和,矩形ABCD边AB,CD分别为两圆的弦,当矩形ABCD面积取最大值时,矩形ABCD的周长是. 三、简答题(共4小题,满分50分) 12.(12分)九年级(1)、(2)、(3)班各派4名代表参加射击比赛,每队每人打两枪,射中内环得50分,射中中环得35分,射中外环得25分,脱靶得0分.统计比赛结果,(1)班8枪全中,(2)班1枪脱靶,(3)班2枪脱靶,但三个班的积分完全相同,都是255分. 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由: 班级内环中环外环
重点高中自主招生考试数学试卷集大全集)
6.如图,点A 在函数=y x 6 -)0( 则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数..=x . 16.如图,E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点,AF 与DE 相交于点 P ,BF 与CE 相交于 点Q ,若S △APD 15 =2cm ,S △BQC 25=2cm , 则阴影部分的面积为 2cm . . 19.将背面相同,正面分别标有数字 1、2、3、4的四张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上. (1)从中随机抽取一张卡片,求该卡片正面上的数字是偶数的概率; (2)先从中随机抽取一张卡片(不放回... ),将该卡片正面上的数字作为十位上的数字;再随机抽取一张,将该卡片正面上的数字作为个位上的数字,则 组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少?请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作,某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳 动.若每处安排10人,则还剩15人;若每处安排14人,则有一处的人数不足14人,但不少于10人.求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 21.如图,四边形ABCD 是正方形,点N 是CD 的中点,M 是AD 边上不同于点A 、 D 的点, 若10 10 sin = ∠ABM ,求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图,抛物线的顶点坐标是?? ? ??892 5,-,且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式; (2)设该抛物线与y 轴相交于点B ,与x 轴相交于C 、D 两点(点C 在点D 的左边), 试求点B 、C 、D 的坐标; (3)设点P 是x 轴上的任意一点,分别连结AC 、BC .试判断:PB PA +与BC AC +23.如图,AB 是⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BM ,点(第21题图) N (第22题图) C D F (第16题图) 高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学: 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学,有雄厚的师资,优秀的学生,先进的育人理念,还有美丽的校园,相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试,请你仔细阅读下面的话: 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分,考试时间为70分钟。 2、答题时,应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上,请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题:(每个题目只有一个正确答案,每题4分,共32分) 1.计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是( ) A .2 B .2 C .1 D .3 2.如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D ''',图中阴影部分的面积为( ) A .313 - B . 33 C .314 - D . 12 3.已知b a ,为实数,且1=ab ,设11+++= b b a a M ,1 1 11++ +=b a N ,则N M ,的大小关系是( ) A .N M > B .N M = C .N M < D .无法确定 4. 一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程的 4 1 ,估计步行不能准时到达,于是他改乘出租车赶往考场,他的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1),则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A .20分钟 B.22分钟 C.24分钟 D .26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象( ) A. 向左移动1个单位,向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位,向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位,向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位,向下移动3个单位。 6.下列名人中:①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦,其中是数学家的是( ) A .①④⑦ B .②④⑧ C .②⑥⑧ D .②⑤⑥ 7.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品,这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示: 欲购买的 商品 原价(元) 优惠方式 A B C D B ' D C ' 2016年高中部自主招生考试试题 数学(试题卷) 一.选择题(共6小题,每小题6分,共36分) 1.一列数a 1,a 2,a 3,…,其中a 1=,a n = (n 为不小于2的整数),则a 100=( ) 2.已知 ,则的值为( ) 或1 3.已知AD ∥BC ,AB ⊥AD ,点E ,点F 分别在射线AD ,射线BC 上.若点E 与点B 关于AC 对称,点E 与点F 关于BD 对称,AC 与BD 相交于点G ,则( ) ADB= AGB= 4.如图,若将左图正方形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设a=1,则b=( ) 5.如图所示,在直角坐标系中,A 点坐标为(﹣3,﹣2),⊙A 的半径为1,P 为x 轴上一动点,PQ 切⊙A 于点Q ,则当PQ 最小时,P 点的坐标为( ) 6.已知抛物线y=﹣x +1的顶点为P ,点A 是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A 作x 轴的平行线交二次函数图象于点B ,分别过点B 、A 作x 轴的垂线,垂足分别为C 、D ,连结PA 、PD ,PD 交AB 于点E ,△PAD 与. . 二.填空题(共4小题,每小题6分,共24分) 7.如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点,则b的可能值是.8.如图,已知直线交x轴、y轴于点A、B,⊙P的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方 向移动,移动时间为t(s),半径为,则t=s时⊙P与直线AB相切. 9.一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体称为集合.一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现的.如一组数1,1,2,3,4就可以构成一个集合,记为A={1,2,3,4}.类比实数有加法运算,集合也可以“相加”.定义:集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和,记为A+B.若A={﹣2,0,1,5,7},B={﹣3,0,1,3,5},则A+B=. 10.对于X,Y定义一种新运算“*”:X*Y=aX+bY,其中a,b为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.若成立,那么2*3=. 三.解答题(共5题,每题12分,共60分) 11.如图,二次函数与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P从A点出发,以1个单位每秒 的速度向点B运动,点Q同时从C点出发,以相同的速度向y轴正方向运动,运动时间为t秒,点P到达B点时,点Q同时停止运动.设PQ交直线AC于点G. (1)求直线AC的解析式; (2)设△PQC的面积为S,求S关于t的函数解析式; (3)在y轴上找一点M,使△MAC和△MBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的M点的坐标; (4)过点P作PE⊥AC,垂足为E,当P点运动时,线段EG的长度是否发生改变,请说明理由. 试题图 备用图 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明:(1)请各位同学注意,本试卷题目有一定的难度,你要根据自己的情况量力而行,争取用最短的时间获得最多的分数,提高自己的考试效率!考试,比的不仅是知识和能力,更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值,争取把会做的题目都做对,祝你取得好成绩! (2)请在背面的答题纸上作答。另外,答完题后注意保护好自己的答案,防止他人的不劳而获,要做到公平竞争! 一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)。每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里,不填、多填或错填都得0分。 1.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图.图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ,B 点表示四月的平均最低气温约为5C o .下面叙述不 正确的是 A .各月的平均最低气温都在0C o 以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均气温高于20C o 的月份有5个 2.上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象,由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A .1x <-或5x > B .5x > C .15x -<< D .无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A . 115 B . 815 C .18 D . 130 4.在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-,则ABC ?的面积为 A B C D 5.上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积... (表面面积,也叫全面积)为 A .20π B .24π C .28π D .32π 参考公式:圆锥侧面积S rl π=,圆柱侧面积2S rl π=,其中r 为底面圆的半径,l 为母线长. 6.如下图,在ABC ?中,AB AC =,D 为BC 的中点, BE AC ⊥于E ,交AD 于P ,已知3BP =,1PE =, 则AE = A B C D 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a =,2c =,2cos 3 A =,则b = A B C .2 D .3 8.如下图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短..路径条数为 A .9 B .12 C .18 D .24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数,且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 . 4.设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 . 5.11!22!33!!n n ?+?+?++?= . 6.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N .若M N ?,则k 的最小值为 . 7 . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= . 8.设0a ≥,且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = . 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 . 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =,则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分,共50分) 11.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ,试写出R 用h 表示的函数关系式,并计算当 10,4r mm h mm ==时,R 的值. 12.设函数()sin cos f x x x =+,试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性),求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像. 13.已知线段AB 长度为3,两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 2017高中自主招生考试数学模拟试卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.). 1.(3分)若不等式组的解集是x>3,则m的取值范围是() A . m>3 B.m≥3C.m≤3D. m<3 2.(3分)如图,在△ABC中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则AC=() (2)(3)A.B.C.D. 3.(3分)(2011?南漳县模拟)如图,AB为⊙O的一固定直径,它把⊙O分成上,下两个半圆,自上半圆上一点C作弦CD⊥AB,∠OCD的平分线交⊙O于点P,当点C在上半圆(不包括A,B两点)上移动时,点P() A.到CD的距离保持不变B.位置不变 C. 等分 D.随C点移动而移动 4.(3分)已知y=+(x,y均为实数),则y的最大值与最小值的差为() A. 2﹣1 B. 4﹣2 C. 3﹣2 D. 2﹣2 5.(3分)(2010?泸州)已知O为圆锥的顶点,M为圆锥底面上一点,点P在OM上.一只蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是() A.B.C.D. 6.(3分)如图(6),已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了() A. 6圈B.圈C. 7圈D. 8圈 7.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图(7),则以下结论正确的有:①abc>0; ②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1,m为实数)() (6)(7)(8)A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 8.(3分)如图8,正△ABC中,P为正三角形内任意一点,过P作PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC连结AP、BP、CP,如果,那么△ABC的内切圆半径为() A. 1 B.C. 2 D. 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 9.(3分)与是相反数,计算=_________. 10.(3分)若[x]表示不超过x的最大整数,,则[A]=_________. 11.(3分)如图,M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点,AN与BM交于点O,则= _________. (11)(12) 12.(3分)如图,已知圆O的面积为3π,AB为直径,弧AC的度数为80°,弧BD的度数为20°,点P为直径AB上任一点,则PC+PD的最小值为_________. 2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解:326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法,有理根p c q = ,分子是常数项的因数,分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>,224a b ab +=,则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ,然后采用换元法;或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=,则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成; 4. 已知21()()()4b c a b c a -=--,且0a ≠,则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ,然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球(仅颜色不同),第一次从中取出一个球,记下颜 色后放回,摇匀,第二次从中取出一个球,则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9 【解析】难度简单,直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ,AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?, 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ,9AD =,12AB =,将纸片折叠,使A 、C 两点重合,折痕长是 【答案】 454 【解析】 8. 任给一个正整数n ,如果n 是偶数,就将它减半(即2 n ),如果n 是奇数,则将它乘以3 加1(即31n ),不断重复这样的运算,现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上 述规则施行变换(注:1可以多次出现)后的第八项为1,则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】高中自主招生考试数学试卷
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