材料力学第4章弯曲内力
第4章 弯曲内力
§4–1 §4–2 §4–3 §4–4 §4–5 §4–6 弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 习题课 利用M(x)、Fs(x) 、 q(x)之间的
§4-1 弯曲的概念与实例
受力特点：外力垂直于杆件的轴线，或外力偶的作用面与杆件 的轴线平行 变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
微分关系作剪力图和弯矩图图
§4-2 受弯杆件的简化
纵向对称面
一、支座的几种基本形式 1° 固定支座 2° 活动支座
轴线
三、静定梁的基本形式 1° 简支梁 2° 外伸梁
3° 固定端支座 二、载荷的简化 1° 集中力 2° 均布力 3° 集中力偶 m P q 3° 悬臂梁
轴线：横截面中心的连线。 纵向对称面：杆件横截面的对称轴与轴线确定的平面。 平面弯曲：引起弯曲的外力(偶)位于杆件的纵向对称面， 轴线弯曲后也位于此平面内。
§4-3 剪力和弯矩
1. 弯曲内力(剪力和弯矩） 分布力系向截面中心O简化，得到 主矢Fs，主矩M Fs称为横截面m-m上的剪力，M称 为横截面m-m上的弯矩 由 ∑ Fy = 0 Fs FA M 由 ∑M = 0 2.符号规定： Fs：截面左上右下为正，反之为负(或使 截面附近产生顺时针方向转动为正)； M: 截面附近微段向下凸为正，向下凹 为负 A
P1
m m
P2
P3 B
3. 截面一侧法
FS = M=
∑F
y一侧
Fs等于截面一侧外力的代数和，若取左侧为 研究对象，则向上为正，向下为负。
P1 o Fs Fs>0
M
Fs<0
M等于截面一侧外力对截面中心取矩的代数 和，若取左侧为研究对象，则顺时针矩为 正，逆时针矩为负。 [例1] 求图示梁中1-1、2-2上的剪力和弯矩。 q 1 2 M=qa2 P=qa
一侧
∑M
A a 1
C a 2
D a
B
1
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
一、梁在简单载荷作用下的Fs、M图 若以x表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯 矩是x的函数，即
FS = FS ( x)
2. 简支梁承受集中力荷载
x1
x2
M = M ( x)
Fs Fs Fs
分别称为剪力方程和弯矩方程 1. 悬臂梁承受均布荷载
FS ( x) = ? qx
1 M ( x) = ? qx 2 2
3. 简支梁承受集中力偶荷载
二、由以上Fs、M图能得到下列结论： 1. 微分关系。将M(x)、Fs(x)分别对x求导，初步看其关系。 2. 分析集中力作用点Fs、M图的主要特征；集中力偶m作用 处Fs、M图的主要特征；分布载荷发生突变时Fs、M图的主 要特征。 3. 分段原则：集中力作用处、集中力偶作用处、分布载荷 突变处和支座位置。
x1
x2
Fs
Fs
Fs
三、剪力、弯矩与分布荷载间的关系 q(x) 对dx 段进行平衡分析，有：
∑M
A ( Fi )
v
=0 ,
∑F
FS ( x ) + q ( x ) dx ? [FS ( x ) + dFS ( x ) ] = 0
y
=0
1 FS ( x)dx + q( x)(dx) 2 + M ( x) ? [ M ( x) + dM ( x)] = 0 2 dM ( x ) = FS ( x) dx
x y M(x) Fs(x) dx A
dx q(x) M(x)+d M(x) Fs(x)+d Fs(x)
q ( x )dx = dFS ( x)
dFS (x ) = q (x ) dx
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 y M(x) A Fs(x) dx Fs(x)+d Fs(x) q(x) 弯矩与荷载集度的关系是： M(x)+d M(x)
剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。
dM 2 ( x ) = q( x) dx 2
2
[例1] 列剪力方程和弯矩方程，作Fs、M图。
习题课 利用M(x)、Fs(x)、q(x)之间的微分关系作Fs、M图
Fs
Fs
Fs
[例] 作梁的Fs、M图。 q=3KN/m C 2m Fs 4.83m
m=3KN.m B 2m RB
q=1KN/m A RA Fs 7KN + 4m
P1=2KN m=10KN.m C 4m D 4m B RB 3m
P2=2KN E
A RA
8.5KN
D 4m
+ 6 KN
6.04KN·m 7KN·m
3KN 1KN
2KN
3.5KN
1m
+
3KN
M
M 6KN·m
20.5KN ·m 20KN ·m 16KN ·m
+
4KN·m
+
6KN ·m
6KN ·m
3
材料力学专项习题练习 6弯曲内力
精选文档 弯曲内力 1. 长l 的梁用绳向上吊起，如图所示。 离为x 。梁内由自重引起的最大弯矩|M |max 为最小时的x (A) /2l ； (B) /6l ； (C) 1)/2l ； (D) 1)/2l 。 2. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。下列结论中哪个是正确的？ (A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同； (B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同； (C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同； (D) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。 3. 图示(a)、 (b)两根梁，它们的 (A) 剪力图、弯矩图都相同； (B) 剪力图相同，弯矩图不同； (C) 剪力图不同，弯矩图相同； (D) 剪力图、弯矩图都不同。 4. 图示梁，当力偶M e 的位置改变时，有下列结论： (A) 剪力图、弯矩图都改变； (B) 剪力图不变，只弯矩图改变； (C) 弯矩图不变，只剪力图改变； (D) 剪力图、弯矩图都不变。 5. 图示梁C 截面弯矩M C = ；为使M C =0，则M e = ；为使全梁不出现正弯矩，则M e ≥ 。 6. 图示梁，已知F 、l 、a 。使梁的最大弯矩为最小时，梁端重量P = 。
7. 图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B 端支反力为 ，弯矩图为 次曲线，|M |max 发生在 处。 8. 图示梁，m (x )为沿梁长每单位长度上的力偶矩值， m (x )、q (x )、F S (x )和M (x )之间的微分关系为： S d () ; d F x x = d () d M x x = 。 9. 外伸梁受载如图，欲使AB 中点的弯矩等于零时，需在B 端加多大的集中力偶矩（将大小和方向标在图上）。 10. 简支梁受载如图，欲使A 截面弯矩等于零时，则 =e21e /M M 。 1-10题答案：1. C 2. D 3. B 4. B 5. 28e 2M ql -；42ql ；22ql 6. ?? ? ??-a l a F 24 7. m 0/2； 二；l /2 8. q (x )；F S (x )+ m (x ) 9. 10. 1/2 11-60题. 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解： 2 2 F qa 2 2 qa
材料力学基本公式
材料力学基本公式 (1)外力偶矩计算公式（P功率，n转速） (2)弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 (3)轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力，横截面面积A，拉应力为正） (4)轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角α从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） (5)纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） (6)纵向线应变和横向线应变，
(7)泊松比 (8)胡克定律 (9)受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 (10)承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 (11)轴向拉压杆的强度计算公式 (12)延伸率 (13)截面收缩率 (14)剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）
(15)拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 (16)圆截面对圆心的极惯性矩（） (17)圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩，所求点到圆心距离） (18)圆截面周边各点处最大切应力计算公式 (19)扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆 (20)圆轴扭转角与扭矩、杆长l、扭转刚度的关系式 (21)等直圆轴强度条件 (22)扭转圆轴的刚度条件：或
(23)平面应力状态下斜截面应力的一般公式 (24)平面应力状态的三个主应力 (25)主平面方位的计算公式 (26)平面内剪应力最大值和最小值 (27)三向应力状态最大与最小正应力, (28)三向应力状态最大切应力 (29)广义胡克定律
(30)四种强度理论的相当应力 (31)一种常见的应力状态的强度条件， (32)组合图形的形心坐标计算公式 , , (33)平面图形对x轴，y轴，z轴的静矩 , , (34)任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩 之和的关系式 (35)截面图形对z轴和y轴的惯性半径, (36)矩形、圆形、空心圆形对中性轴的惯性矩 , , (37)平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为A） (38)纯弯曲梁的正应力计算公式
材料力学专项习题练习6弯曲内力
弯曲内力 1. 长l 的梁用绳向上吊起，如图所示。距离为x 。梁内由自重引起的最大弯矩|M |max 为最小时的x 为： (A) /2l ； (B) /6l ； (C) 1)/2l ； (D) 1)/2l 。 2. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。下列结论中哪个是正确的？ (A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同； (B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同； (C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同； (D) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同 3. 图示(a)、(b)两根梁，它们的 (A) 剪力图、弯矩图都相同； (B) 剪力图相同，弯矩图不同；(C) 剪力图不同，弯矩图相同；(D) 剪力图、弯矩图都不同。 4. 图示梁，当力偶M e 的位置改变时，有下列结论： (A) 剪力图、弯矩图都改变； (B) 剪力图不变，只弯矩图改变； (C) 弯矩图不变，只剪力图改变； (D) 剪力图、弯矩图都不变。 5. 图示梁C 截面弯矩M C = ；为使M C =0，则M e = ；为使全梁不出现正弯矩，则M e ≥ 。 6. 图示梁，已知F 、l 、a 。使梁的最大弯矩为最小时，
梁端重量P = 。 7. 图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B 端支反力为 ，弯矩图为 次曲线，|M |max 发生在 处。 8. 图示梁，m (x )为沿梁长每单位长度上的力偶矩值， m (x )、q (x )、F S (x )和M (x )之间的微分关系为： S d () ;d F x x = d () d M x x = 。 9. 外伸梁受载如图，欲使AB 中点的弯矩等于零时，需在B 端加多大的集中力偶矩（将大小和方向标在图上）。 10. 简支梁受载如图，欲使A 截面弯矩等于零时，则 =e21e /M M 。 1-10题答案：1. C 2. D 3. B 4. B 5. 28e 2M ql -；42ql ；22ql 6. ?? ? ??-a l a F 24 7. m 0/2；二；l /2 8. q (x )； F S (x )+ m (x 9. 10. 1/2 222
材料力学常用公式
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功 率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件 横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标 距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 ? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力 ，脆性材料 ，塑 性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所 求点到圆心距离r） 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
20.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径） 扭转切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不 同（如阶梯轴）时 或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料 ；脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公 式, 28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力， ，33.三向应力状态最大与最小正应力 , 34.三向应力状态最大切应力 35.广义胡克定律
材料力学习题册答案-第4章 弯曲内力
第四章梁的弯曲内力 一、判断题 1．若两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，则两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。（×) 2．最大弯矩必然发生在剪力为零的横截面上。（×) 3．若在结构对称的梁上作用有反对称载荷，则该梁具有对称的剪力图和反对称的弯矩图。 图4-1 二、填空题 1．图4-2 所示为水平梁左段的受力图，则截面C 上的剪力 SC F=F ，弯矩C M=2Fa。2．图4-3 所示外伸梁ABC ，承受一可移动载荷F ，若F 、l均为已知，为减小梁的最大弯矩值，则外伸段的合理长度a= l/3 。 图4-2 图4-3 3．梁段上作用有均布载荷时，剪力图是一条斜直线，而弯矩图是一条抛物线。 4．当简支梁只受集中力和集中力偶作用时，则最大剪力必发生在集中力作用处。 三、选择题 1．梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为（C )。 A Fs 图有突变，M 图无变化； B Fs图有突变，M图有转折； C M 图有突变，Fs图无变化； D M 图有突变，Fs 图有转折。 2．梁在集中力作用的截面处，它的内力图为（B )。 A Fs 有突变，M 图光滑连续； B Fs 有突变，M 图有转折； C M 图有突变，凡图光滑连续； D M 图有突变，Fs 图有转折。 3．在图4-4 所示四种情况中，截面上弯矩M 为正，剪力Fs 为负的是（B ）。 4．简支梁及其承载如图 4-1 所示，假 想沿截面m-m将梁截分为二。若取梁左 段为研究对象，则该截面上的剪力和弯 矩与q、M 无关；若以梁右段为研究对象， 则该截面上的剪力和弯矩与 F 无关。 （× )
图4-4 4．梁在某一段内作用有向下的分布力时，则在该段内，M 图是一条（A ）。 A 上凸曲线；B下凸曲线； C 带有拐点的曲线； D 斜直线。 5．多跨静定梁的两种受载情况分别如图4-5 ( a ）、（b ）所示，以下结论中（A ）是正确的。力F 靠近铰链。 图4-5 A 两者的Fs 图和M 图完全相同； B 两者的Fs 相同对图不同； C 两者的Fs 图不同，M 图相同； D 两者的Fs图和M 图均不相同。 6．若梁的剪力图和弯矩图分别如图4-6 ( a ）和（b ）所示，则该图表明( C ) A AB段有均布载荷BC 段无载荷； B AB 段无载荷，B截面处有向上的集中力，B C 段有向下的均布载荷； C AB 段无载荷，B 截面处有向下的集中力，BC 段有向下的均布载荷； D AB 段无载荷，B 截面处有顺时针的集中力偶，BC 段有向下的均布载荷。 图4-6
材料力学基本公式
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dF A F p A = ??=→?lim 正应力σ、切应力τ。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲； 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统 称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []s s n σσ=，[]b b n σσ= ，强度条件：[]σσ≤??? ??=max max A F N ，等截面杆 []σ≤A F max 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为： l l ?= ε， A F N =σ。横向应变为： b b b b b -=?= 1'ε，横向应变与轴
向应变的关系为：μεε-='，μ为横向变形系数或泊松比。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限P σ时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量（GPa 1= pa MPa 931010=）。将应力与应变的表达式带入得：EA Fl l = ?EA 为抗拉或抗压刚度。 静不定(超静定)：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。需要由几何关系构造变形协调方程。 扭转变形时的应力，薄壁圆筒扭转 δ πτ202R M e = 其中 )min () (9549 )(r n kw p m N M e =? 420d D r R R +=+=为圆筒的平均半径。剪切胡克定律：当剪切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力 τ 与切应变γ成正比。γ τ G =. 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设 dx d φ ρ γρ=。物理关系——剪切胡克定律 dx d G G φρ γτρρ==。力学关系P A A A I dx d G dA dx d G dx d G dA T ?ρ?φρρτρ====???2 2 圆轴扭转时的应力 ： t p W T I TR == max τ, t W = R I p 称为抗弯截面系数;强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度 校核、截面设计和确定许可载荷。 圆截面对圆心的极惯性矩（a ）实心圆 32 4 D I P π= ； 16 3 D W t π= （b ）空心圆,() 4 4 44132 32 ) (αππ-= -= D d D I P ; () 43 116 απ-= D W t (D,d 分别是外，内径； D d = α) 圆轴扭转时的变形： ?? ==l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆： p GI Tl = ?其中为圆轴的抗弯刚度P GI
材料力学公式汇总
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 0正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应 力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3 n s σσ=， []b b n σσ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ρ γρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φρ γτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ???===2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确
材料力学专项习题练习6弯曲内力
弯曲内力 1. 长l的梁用绳向上吊起，如图所示。钢绳绑扎处离梁端部的 距离为x。梁内由自重引起的最大弯矩|M|max为最小时的x值为： (A) /2 l； (B) /6 l； (C) 1)/2 l。 l； (D) 1)/2 2. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。下列结论中哪个是正确的？ (A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同； (B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同； (C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同； (D) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。 3. 图示(a)、(b)两根梁，它们的 (A) 剪力图、弯矩图都相同； (B) 剪力图相同，弯矩图不同； (C) 剪力图不同，弯矩图相同； (D) 剪力图、弯矩图都不同。 4. 图示梁，当力偶M e的位置改变时，有下列结论： (A) 剪力图、弯矩图都改变； (B) 剪力图不变，只弯矩图改变； (C) 弯矩图不变，只剪力图改变； (D) 剪力图、弯矩图都不变。 5. 图示梁C截面弯矩M C = ；为使M C =0，则M e= ；为使全梁不出现正弯矩，则M e≥。 6. 图示梁，已知F、l、a。使梁的最大弯矩为最小时，梁端重量P= 。 7. 图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B端支反力为，弯矩
图为 次曲线，|M |max 发生在 处。 8. 图示梁，m (x )为沿梁长每单位长度上的力偶矩值， m (x )、q (x )、F S (x )和M (x )之间的微分关系为： S d ();d F x x = d () d M x x = 。 9. 外伸梁受载如图，欲使AB 中点的弯矩等于零时， 需在B 端加多大的集中力偶矩（将大小和方向标在 图上）。 10. 简支梁受载如图，欲使A 截面弯矩等于零时，则 =e21e /M M 。 1-10题答案：1. C 2. D 3. B 4. B 5. 28e 2 M ql -；42 ql ；22 ql 6. ??? ??-a l a F 24 7. m 0/2；二；l /2 8. q (x )；F S (x )+ m (x ) 9. 10. 1/2 11-60题. 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2?轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式Cr=杆件横截面轴力刊，横截面面积仏拉应力为正） 3. 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹 角a从X轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4. 纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距1,拉伸后试样 标距11；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径dl） M = I l-I M = d l-d 5. 纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 外力偶 KI N 血矩计箕公式（P功率，n转 速） T a = P a Sinaf= CrCDSafailIa= —siπ2α 2 Cr= EE 7.胡克定律
17? &受多个力作用的杆件纵向变形计算公式？ 9?承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 14.剪切胡克定律（切变模量G 9切应变g ） T =G ^ 15. 拉压弹性模量E 泊松比"和切变模量G 之间关系 T 9所求点到 11. 许用应力 H=? 脆性材料血=还，塑性材 料氐=还 12.延伸率 L -I 5- 1 X100% 1 10. 轴向拉压杆的强度计算公式 13. 截面收缩率 A A-A I Ψ= X100% 圆截面对 心的极惯性矩（a ）实心圆 （b ）空心 轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 32 T
18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19? 扭转截面系数 Wrr= ≠, （a ）实心圆 Wl= ^ （b ）空心圆I 鲁（I F 20. 薄壁圆管（壁厚δ ≤ R o /10 , R o 为圆管的平均半 21.圆轴扭转角炉与扭矩7；杆长人 扭转刚度GHP 的关 径不同（如阶梯轴）时 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料E = (WA)I 叫脆性材料I T l = (°?8 ~ Io )I er l Gi I TT 26. 受压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计 径）扭转切应力计算公式 T ~2τ^δ TL 系式"瓯 22 同一材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直 扭转圆轴的刚度条件？乳 ≤l^l Z 或
材料力学公式汇总
材料力学常用公式 1.外力偶 矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的 关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的 计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应 力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线 的方位角为正） 5. 6.纵向变形和横向变形（拉伸前 试样标距l，拉伸后试样标距l1； 拉伸前试样直径d，拉伸后试样 直径d1）7. 8.纵向线应变和横向线应变 9. 10.泊松比 11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形 计算公式? 13.承受轴向分布力或变截面的杆 件，纵向变形计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力，脆性 材料，塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率
18.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 19.拉压弹性模量E 、泊松比和切变模量G之间关系式 20.圆截面对圆心的极惯性矩（a） 实心圆 21.（b）空 心圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点 到圆心距离r） 23.圆截面周边各点处最大切应力 计算公式 24.扭转截面系数，（a） 实心圆 25.（b）空心圆26.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ， R0为圆管的平均半径）扭转切 应力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、 扭转刚度GH p的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的 扭矩不同或各段的直径不同（如 阶梯轴）时或 29.等直圆轴强度条件 30.塑性材料；脆 性材料 31.扭转圆轴的刚度条件? 或
32.受内压圆筒形薄壁容器横截面 和纵截面上的应力计算公式 , 33.平面应力状态下斜截面应力的 一般公式 , 34.平面应力状态的三个主应力 , , 35.主平面方位的计算公式 36.面内最大切应力 37.受扭圆轴表面某点的三个主应 力，，38.三向应力状态最大与最小正应 力, 39.三向应力状态最大切应力 40.广义胡克定律 41. 42. 43.四种强度理论的相当应力 44.一种常见的应力状态的强度条 件，45.组合图形的形心坐标计算公式 ， 46.任意截面图形对一点的极惯性 矩与以该点为原点的任意两正
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
材料力学得基本计算公式外力偶矩计算公式(P功率,n转速) 1.弯矩、剪力与荷载集度之间得关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力得计算公式 (杆件横截面 轴力F N,横截面面积A,拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上得正应力与切应力计算公式(夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线得方位角为正) 4.纵向变形与横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d１) 5.纵向线应变与横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律 8.受多个力作用得杆件纵向变形计算公式？ 9.承受轴向分布力或变截面得杆件,纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆得强度计算公式 11.许用应力, 脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g )
15.拉压弹性模量E、泊松比与切变模量G之间关系式 16.圆截面对圆心得极惯性矩(a)实心圆 (ｂ)空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T,所求点到圆心距离r ) 18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数 ,(a)实心圆? (b)空心圆 20.薄壁圆管(壁厚δ≤Ｒ０/10 ,R0为圆管得平 均半径)扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩Ｔ、杆长l、扭转刚度GＨｐ得 关系式 22.同一材料制成得圆轴各段内得扭矩不同或各段得 直径不同(如阶梯轴)时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料;脆性材料 25.扭转圆轴得刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面与纵截面上得应力 计算公式, 27.平面应力状态下斜截面应力得一般公式 , 28.平面应力状态得三个主应力 , , 29.主平面方位得计算公式
材料力学常用基本公式
材料力学常用基本公式 Prepared on 24 November 2020
1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积 A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至 外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径 d，拉伸后试样直径d1） 6. 7.纵向线应变和横向线应变 8. 9.泊松比 10.胡克定律
11.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 12.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 13.轴向拉压杆的强度计算公式 14.许用应力，脆性材料，塑性材料 15.延伸率 16.截面收缩率 17.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 18.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 19.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 20.（b）空心圆 21.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）
22.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 23.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 24.薄壁圆管（壁厚δ≤ R /10 ，R 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式 25.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 26.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时 或 27.等直圆轴强度条件 28.塑性材料；脆性材料
29.扭转圆轴的刚度条件或 30.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 31.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 32.平面应力状态的三个主应力, , 33.主平面方位的计算公式 34.面内最大切应力 35.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 36.三向应力状态最大与最小正应力 , 37.三向应力状态最大切应力
材料力学弯曲内力习题
第四章 弯 曲 内 力 一 是非题 4.1 按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。 （ ） 4.2 当计算梁的某截面上的剪力时，截面保留一侧的横向外力向上时为正，向下时为负。 （ ） 4.3 当计算梁的某截面上的弯矩时，截面保留一侧向上的横向外力对截面形心取的矩一 定为正。 （ ） 4.4 梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。 （ ） 4.5 若连续梁的联接铰处无载荷作用，则该铰的剪力和弯矩为零。 （ ） 4.6 分布载荷q （x ）向上为负，向下为正。 （ ） 4.7 最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。 （ ） 4.8 简支梁的支座上作用集中力偶M ，当跨长L 改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。 （ ） 4.9 剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。 （ ） 4.10 若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。 （ ） 二．选择题 4.11 用内力方程计算剪力和弯矩时，横向外力与外力矩的正负判别正确的是（ ） A. 截面左边梁内向上的横向外力计算的剪力及其对截面形心计算的弯矩都为正 B. 截面右边梁内向上的横向外力计算的剪力及其对截面形心计算的弯矩都为正 C. 截面左边梁内向上的横向外力计算的剪力为正，向下的横向外力对截面形心计算的弯矩为正 D. 截面右边梁内向下的横向外力计算的剪力为正，该力对截面形心计算的弯矩也为正 4.12 对剪力和弯矩的关系，下列说法正确的是（ ） A. 同一段梁上，剪力为正，弯矩也必为正 B. 同一段梁上，剪力为正，弯矩必为负 C. 同一段梁上，弯矩的正负不能由剪力唯一确定 D. 剪力为零处，弯矩也必为零 题4.14图 4.13 以下说法正确的是（ ） A. 集中力作用处，剪力和弯矩值都有突变 B. 集中力作用处，剪力有突变，弯矩图不光滑 C. 集中力偶作用处，剪力和弯矩值都有突变 D. 集中力偶作用处，剪力图不光滑，弯矩值有突变 4.14 简支梁受集中力偶Mo 作用，如图所示。 题4.15图 以下结论错误的是（ ） A. b =0时， 弯矩图为三角形 B. a =0时，弯矩图为三角形 C. 无论C 在何处，最大弯矩必为Mo D. 无论C 在何处，最大弯矩总在C 处 4.15 图示二连续梁的支座，长度都相同，集中力P 分别位于C 处右侧和左侧但无限接近联接铰C 。 以下结论正确的是（ ） A. 两根梁的Q 和M 图都相同 B. 两根梁的Q 图相同，M 图不相同
材料力学公式最全总汇
外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN，横 截面面积A，拉应力为正） 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 纵向线应变和横向线应变 泊松比 胡克定律 受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式
轴向拉压杆的强度计算公式 许用应力，脆性材料，塑性材料 延伸率 截面收缩率 剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r ） 圆截面周边各点处最大切应力计算公式 扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式
圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式 同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时 或 等直圆轴强度条件 塑性材料；脆性材料 扭转圆轴的刚度条件? 或 受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 平面应力状态的三个主应力, ,
主平面方位的计算公式 面内最大切应力 受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 三向应力状态最大与最小正应力, 三向应力状态最大切应力 广义胡克定律 四种强度理论的相当应力 一种常见的应力状态的强度条件， 组合图形的形心坐标计算公式， 任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯
材料力学习题册答案-第4章弯曲内力
第四章 梁的弯曲内力 一、 判断题 1． 若两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，则两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。（ × ) 2． 最大弯矩必然发生在剪力为零的横截面上。（ × ) 3． 若在结构对称的梁上作用有反对称载荷，则该梁具有对称的剪力图和反对称的弯矩图。（ √ ) 图 4-1 二、 填空题 1．图 4-2 所示为水平梁左段的受力图，则截面 C 上的剪力 SC F =F ，弯矩C M =2Fa 。 2．图 4-3 所示外伸梁 ABC ，承受一可移动载荷 F ，若 F 、l 均为已知，为减小梁的最大弯矩值，则外伸段的合理长度 a= l/3 。 图 4-2 图4-3 4． 简支梁及其承载如图 4-1 所示，假想沿截面m-m 将梁截分为二。若取梁左段为研究对象，则该截面上的剪力和弯矩 与q 、M 无关；若以梁右段为 研究对象，则该截面上的剪力
3．梁段上作用有均布载荷时，剪力图是一条斜直线，而弯矩图是一条抛物线。 4．当简支梁只受集中力和集中力偶作用时，则最大剪力必发生在集中力作用处。 三、选择题 1．梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为（ C )。 A Fs 图有突变， M 图无变化； B Fs图有突变，M图有转折； C M 图有突变，Fs图无变化； D M 图有突变， Fs 图有转折。2．梁在集中力作用的截面处，它的内力图为（ B )。 A Fs 有突变， M 图光滑连续； B Fs 有突变， M 图有转折； C M 图有突变，凡图光滑连续； D M 图有突变， Fs 图有转折。3．在图4-4 所示四种情况中，截面上弯矩 M 为正，剪力 Fs 为负的是（ B ）。 图 4-4 4．梁在某一段内作用有向下的分布力时，则在该段内， M 图是一条（ A ）。
材料力学重点及公式(期末复习)
1、材料力学的任务： 强度、刚度和稳定性； 应力单位面积上的内力。 平均应力（1.1） 全应力（1.2） 正应力垂直于截面的应力分量，用符号表示。 切应力相切于截面的应力分量，用符号表示。 应力的量纲： 线应变单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。 外力偶矩 传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P 来计算。 当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 拉（压）杆横截面上的正应力
拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式为 (3 -1) 式中为该横截面的轴力，A为横截面面积。 正负号规定拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角时 拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 (3-2) 正应力（3-3） 切应力（3-4） 式中为横截面上的应力。 正负号规定： 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 拉应力为正，压应力为负。 对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。 两点结论： （1）当时，即横截面上，达到最大值，即。当=时，即纵截面上，==0。 （2）当时，即与杆轴成的斜截面上，达到最大值，即 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。
材料力学习题弯曲内力
弯 曲 内 力 基 本 概 念 题 一、选择题 (如果题目有5个备选答案，选出2～5个正确答案，有4个备选答案选出一个正确答案。) 1. 平面弯曲梁的横截面上一般存在( )。 A ．M B ．F S C ．轴向拉力 D. 轴向压力 E.. 扭矩 2. 纯弯曲梁段各横截面上的内力是( )。 A ．M 和F S B ．F S 和F N C ．M 和F N D. 只有M 3. 什么梁可不先求支座反力，而直接计算内力( )。 A ．简支梁 B ．悬臂梁 C ．外伸梁 D ．静定梁 4.关于图4所示梁，下列论述正确的是( )。 A ．A B 段内各截面的剪力为-P B ．B C 段内各截面的剪力为零 C ．AB 段内各截面的弯矩不等且为负 D ．AB 段和BC 段都是纯弯曲梁段 E ．BC 段是纯弯曲梁段 题4图 题5图 5. 图示简支梁受集中力作用，以下结论正确的是( )。 A ．l Pb x F AC = )( S 段 B ．x l Pb x M AC =)( 段 C ．l Pa x F CB =)( S 段 D ．)()( x l l Pa x M CB -=段 E ．P F SC = 6. 在无荷载作用的梁段上，下列论述正确的是（ ）。 A ．F S ＞ 0时，M 图为向右下的斜直线 B ．F S ＞ 0时，M 图为向下凸的抛物线 C ．F S ＜ 0时，M 图为向右上的斜直线 D ．F S ＜ 0时，M 图为向上凸的抛物线 E ． F S = 0时，M 图为水平直线 7. 在集中力P 作用处C 点，有（ ）。 A ．F S 图发生突变 B ．M 图出现拐折 C ．P F SC = D ．F SC 不确定 E ．P F F SC SC =-右左 8. 在集中力偶m 作用点C 处，下列论述正确的是( )。 A ．F S 图无变化，M 图有突变 B ． C M 不确定 -17- C ．F S 图无变化，M 图的切线斜率无变化 D ．F S 图有突变，M 图发生拐折 E ．m M M C C =-右左 9. 悬臂梁的弯矩图如图所示，则梁的F S 图形状为（ ）。 A ．矩形 B ．三角形 C ．梯形 D ．零线(即各横截面上剪力均为零) 题9图 题10图 10. 简支梁的弯矩图如图所示，则梁的受力情况为（ ）。 A ．在A B 段和CD 段受有均布荷载作用 B ．在B C 段受有均布荷载作用 C ．在B 、C 两点受有等值反向的集中力P 作用
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横 截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律
8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）
18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径） 扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的 关系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,
27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 32.三向应力状态最大与最小正应力, 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律
材料力学常用公式
材料力学常用公式 1外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6纵向线应变和横向线应变 7泊松比 8胡克定律 9受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 10承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式
11轴向拉压杆的强度计算公式 12许用应力，脆性材料，塑性材料 13延伸率 14截面收缩率 15剪切胡克定律（切变模量G，切应变g） 16拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r） 19圆截面周边各点处最大切应力计算公式 20扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应
力计算公式 22圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23同一材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或 24等直圆轴强度条件 25塑性材料；脆性材料 26扭转圆轴的刚度条件? 或 27受压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 28平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29平面应力状态的三个主应力, ,
30主平面方位的计算公式 31面最大切应力 32受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 33三向应力状态最大与最小正应力, 34三向应力状态最大切应力 35广义胡克定律 36四种强度理论的相当应力 37一种常见的应力状态的强度条件， 38组合图形的形心坐标计算公式， 39任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式 40截面图形对轴z和轴y的惯性半径? , 41平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为
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材料力学公式汇总
第二章：拉伸、压缩与剪切
序
号
名称
1 正应力
σ = FN A
公式
备注
页码
应用条件：外力合力作用线沿杆
的轴线
P12
2
斜截面上的 正应力与切 应力
σα
=
σ cos2
α
=
σ 2
(1 +
cos 2α)
τα
=
σ 2
sin
2α
胡克定律
σ = Εε
3 剪 切 胡 克 定 τ = Gγ
律
4
拉压杆轴向 变形
Δ
l
=
±
FN L EA
(σ ≤ σ p时)
P16
P19
式中： γ --切应变； γ = r?
l
P53
式中： EA --抗拉（压）刚度
P18
泊松比（横向 变形系数）
ν
=
ε′ ε
= ? ε ′ ε ′ = ε
?νε
= ?νσ Ε
式中： ε ′ --横向正应变 ε --轴向正应变
P19
5
G、E、μ
关系
G=
E （2 1+
μ）?
? ? ? ? ?
εx=ε y=0
γ
xy
=τ G
????ε
??
450
σ1=τ σ3=?τ
????ε
??
450
=
γ =?
xy
=
?
τ
...( a )
2 2G
1 E
(σ
3
?
μσ1
)=?
(1+μ
G
)τ
...(b)
式中：G --切变模量 E—弹性模量 μ--泊松比
杆件轴向拉 压应变能
Vε
=W
=
1 2
FΔl
=
FN2l 2EA
6
应变能密度 （单位体积
v = 1 σε = 1 Eε 2 = σ 2
22
2E
应变能）
???Q Δl
=
FN L EA
? ??
P23
单位：
J m3
；总应变能
∫ Vε = V vε dv
P23
杆 件 温 度 变 ΔlT = αl ? ΔT ? l
式中：αl 为材料线胀系数
7 形量
ΔlT
= Δl
=
FRBl EA
? αl ? ΔT ?l
=
FRBl EA
?FRB = E?αl ?ΔT? A? σT (热应力)
=
FRB A
= αl ? E ? ΔT
P188 P188
附录 I：截面的几何性质
∫ 1
静矩
SZ =
ydA
A
2 形心
∫ yc =
A ydA = SZ
A
A
3
组合截 面形心
n
n
∑ ∑ yc = Ai yi
Ai
i =1
i =1
∫ 惯性矩
yx =
x2dA
A
惯性积
∫ 实心圆轴： I p =
d 2
ρ 2 2πρ d ρ
=
πd4
0
32
4
极惯 性矩
∫ I p =
ρ 2dA
A
空心圆轴： I p
=
π 32
(D 4
? d 4)
=
π D4 32
(1 ? α
4)
薄壁圆截面： I p = 2π R03δ
∫ y xy =
xydA
A
P322 P323
-1-